Оптимізаційні динамічні моделі еколого-економічної рівноваги

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

УДК 519.86

ОПТИМІЗАЦІЙНІ ДИНАМІЧНІ МОДЕЛІ ЕКОЛОГО-ЕКОНОМІЧНОЇ РІВНОВАГИ

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ГРИГОРКІВ Василь Степанович

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор ЛЯШЕНКО Ігор Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичних методів еколого-економічних досліджень (ММЕЕД)

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України ВЕЛИКИЙ Анатолій Павлович, Державний науково-дослідний інститут інформатизації і моделювання в економіці при Адміністрації Президента України та НАН України, директор,

доктор фізико-математичних наук, професор МИХАЛЕВИЧ Михайло Володимирович, Українська академія зовнішньої торгівлі, завідувач відділом,

доктор фізико-математичних наук, професор МАКАРЕНКО Олександр Сергійович, Інститут прикладного системного аналізу НАН України та Міносвіти і науки України, професор.

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України, відділ моделювання динаміки процесів Землі і планет м.Київ.

Захист відбудеться 13 жовтня 2000 року о 11 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680 МСП Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий 9 вересня 2000 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради В.Ф. СИНЯВСЬКИЙ

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. У другій половині ХХ століття почалась інтеграція економічних і екологічних знань, їх кількісне та якісне зростання. Математична економіка, яка на той час досягла значних наукових висот, стала могутнім джерелом нових задач, які стимулювали розвиток методів оптимізації та інших розділів математики. Поряд з математичною економікою прогресивними темпами розвивалась математична екологія.

Проблеми виснаження невідтворюваних природних ресурсів, екологічні катастрофи, а також результати наукових досліджень окремо економічних і екологічних процесів обумовили врешті-решт поступовий перехід до вивчення проблем екологічної економіки. Стало зрозумілим, що система ”природа-виробництво” повинна підкорятись таким критеріям розвитку, які б відображали як економічні (орієнтовані на співвимірювання витрат праці), так і екологічні (орієнтовані на збереження цілісності природи) інтереси, а взаємодія людського суспільства і природного середовища повинна вивчатись в рамках єдиної еколого-економічної системи. Складність врахування екологічної складової при побудові концепції економічного розвитку та потреба розглядати цілісні еколого-економічні системи привели науковців до математичного моделювання та оптимізації як найбільш могутніх і ефективних засобів дослідження еколого-економічних систем.

Ці засоби були створені значною мірою завдяки фундаментальним працям Ж.Л. Лагранжа, Р. Беллмана, Л.С. Понтрягіна, Л.В. Канторовича, М.М. Красовського, А.М. Колмогорова, М.М. Мойсеєва, А.Я. Дубовицького, О.О. Мілютіна, Е.Г. Гольштейна, Ф.П. Васильєва, В.Ф. Кротова, Р.Ф. Габасова, Ю.П. Іванілова, О.О. Петрова, П.С. Краснощокова та таких відомих українських учених, як В.М. Глушков, В.С. Михалевич, Б.М. Пшеничний, Н.З. Шор, Ю.М. Єрмольєв, І.В. Сергієнко, В.М. Кунцевич, Б.М. Бублик, А.О. Чикрій, І.М. Ляшенко, М.Ф. Кириченко, О.Г. Наконечний, Ф.Г. Гаращенко, І.В. Бейко, А.П. Великий, М.В. Михалевич, В.В. Остапенко, О.С.Макаренко, М.З. Згуровський, В.В. Скопецький, В.С. Дейнека та інші.

Головною ознакою цілісних еколого-економічних систем є керованість, тобто наявність мети і критерію розвитку. Тому вони відносяться до складу кібернетичних систем - систем, якими можна керувати за допомогою деяких вільних екзогенних змінних. Серед існуючих на сьогоднішній день моделей еколого-економічних систем розрізняють балансові, оптимізаційні та імітаційні моделі. Класичним представником балансових моделей є, наприклад, модель Леонтьєва-Форда. До оптимізаційних належить, зокрема, модель ”оптимального збирання врожаю” (оптимальної експлуатації природних ресурсів) Моно-Ієрусалимського. Славнозвісний проект Дж.Форрестера, в якому аналізується взаємодія трьох систем: демографічної, індустріальної та аграрної, належить до імітаційних моделей. Ідея цього проекту полягає в збереженні рівноваги між суспільством і природою в глобальному масштабі.

Ця ідея була провідною на Конференції ООН з навколишнього середовища і розвитку (1992 р.), на якій керівники 179 країн світу, включаючи Україну, спільно виробили всесвітню програму дій під назвою ”Порядок дня на XXI століття”. Основу програми склали 27 принципів, що регламентують раціональну поведінку людства на шляху переходу на збалансований в економічному, екологічному та соціальному сенсі спосіб життя. Такий спосіб передбачає самовідтворюваний розвиток економіки та економічне зростання в межах допустимих можливостей природного середовища. Цей розвиток був названим сталим (стійким, самовідтворюваним).

Збалансований в динаміці еколого-економічний процес суспільного розвитку (процес сталого розвитку) став надзвичайно важливим об'єктом, дослідження якого належить до пріоритетних напрямів наукової діяльності, зокрема математичного моделювання.

Актуальність теми випливає із сформульованої коротко концепції сталого розвитку, фундаментальні основи якого на сьогоднішній день знаходяться ще в початковій стадії наукових розробок. Очевидним є той факт, що обійтися тут без математичних досліджень не можна, адже абстрагування від реальних еколого-економічних систем до їх математичних моделей і, навпаки, перехід від якісного аналізу моделей до висновків про реальні еколого-економічні системи - один із найбільш ефективних методів вивчення подібної проблеми.

Таким чином, основним об'єктом досліджень даної дисертаційної роботи є динамічний процес - сталий (збалансований, рівноважний) розвиток еколого-економічних систем.

Зв'язок роботи з науковими темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі математичних методів еколого-економічних досліджень (ММЕЕД) факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і є частиною досліджень наукової держбюджетної теми ”97067 - математичне моделювання та алгоритми розв'язування задач оптимізації еколого-економічних систем” (номер держреєстрації - 0197U003334).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методології дослідження умов оптимальної рівноважної (магістральної) динаміки еколого-економічних систем шляхом створення нових засобів побудови і аналізу відповідних математичних моделей.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлені такі наукові завдання:

1. Розвинути структурний (оптимізаційний) підхід для побудови математичних моделей виробничих функцій, що є окремими моделями виробничих процесів або елементами більш складних моделей економічних та еколого-економічних систем; розробити методи побудови цих функцій у явному аналітичному вигляді.

2. Виходячи з актуальності збалансованого розвитку економіки за наявністю екологічних обмежень, розробити моделі оптимального еколого-економічного росту для агрегованої та багатосекторної еколого-економічних систем та встановити на їх основі достатні умови існування магістральних (оптимальних рівноважних) траєкторій росту та оптимальних траєкторій росту магістрального типу (траєкторій, одна ланка яких є магістраллю), що разом з оптимальним керуванням складають оптимальний процес магістрального типу.

3. Дослідити умови збалансованого експоненційного та оптимального економічного росту за допомогою агрегованих динамічних моделей еколого-економічної рівноваги.

4. Розвинути методику оптимізації еколого-економічних систем з використанням лінійних та нелінійних динамічних моделей Леонтьєва-Форда в умовах екологічної рівноваги.

Наукова новизна одержаних результатів дисертації полягає:

У створенні методології математичного моделювання рівноважних динамічних процесів, що характеризують агрегований розвиток складних динамічних систем (економічних, еколого-економічних, технологічних, біотехнологічних та ін.) та знаходженні оптимальних рівноважних станів їх функціонування (магістральних траєкторій).

У розробці методу побудови в явній аналітичній формі математичних моделей виробничих функцій максимального випуску (ВФМВ) як функцій значень задачі лінійного програмування та встановленні їх властивостей.

У застосуванні негладких виробничих функцій в одно- та багатосекторних моделях економічного росту та побудові оптимальних програм і траєкторій росту для таких моделей.

У розвитку достатніх умов оптимальності для деяких випадків загальної негладкої задачі оптимального керування.

У розвитку неокласичних моделей економічного росту при побудові та дослідженні моделей росту в умовах еколого-економічної рівноваги.

У побудові нових агрегованих та багатосекторних оптимізаційних динамічних моделей еколого-економічних систем та їх математичному аналізі.

У розробці оптимізаційних лінійних та нелінійних моделей еколого-економічного міжгалузевого балансу.

Практична значимість одержаних результатів. Робота має як теоретичний, так і прикладний характер. Її результати і методика досліджень є конструктивними, тому можуть ефективно використовуватись при практичному розв'язуванні задач з прийняття еколого-економічних чи технологічних рішень. Зокрема, метод побудови моделей ВФМВ може застосовуватись в теорії виробництва, споживання та корисності для побудови відповідних моделей функцій затрат, споживання та корисності, а також в задачах прогнозування технологічних, економічних та еколого-економічних показників, якщо відомі технологія, ресурсні обмеження і функція мети.

Запропоновані в роботі економічні та еколого-економічні моделі є новим математичним інструментарієм для дослідження реальних процесів еколого-економічної взаємодії та агрегованої динаміки складних технологічних процесів, зокрема в біотехнології.

Всі результати роботи можуть бути використані в науково-методичному та навчальному процесі.

Апробація результатів дисертації. Результати, які викладені в дисертації, доповідались на таких конференціях і семінарах: на VII Всесоюзній науково-технічній конференції ”Проблемы, задачи и опыт применения технологии разработки и внедрения программных средств АСУТП” (Чернівці, 1990р.), на науково-технічній конференції ”Проблемы экологии и ресурсосбережения ”Экоресурс-1” (Чернівці, 1991р.), на міжнародній конференції ”Теория приближения и задачи вычислительной математики” (Дніпропетровськ, 1993р.), на міжнародній науковій конференції ”Навколишнє середовище і здоров'я” (Чернівці, 1993р.), на міжнародній науково-практичній конференції ”Механизмы управления в свободных экономических зонах” (Чернівці, 1993р.), на науковій конференції викладачів, співробітників та студентів, присвяченої 120-річчю заснування Чернівецького університету (Чернівці, 1995р.), на 6-й та 7-й міжнародних конференціях ім. академіка М.Кравчука (Київ, 1997-1998рр.), на міжнародній науковій конференції ”Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998р.), на міжнародній науковій конференції ”Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” (Київ, 1999р.), на наукових семінарах математичного факультету Чернівецького державного університету ім.Ю.Федьковича (Чернівці, 1988-2000р.), факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 1998-2000рр.), Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2000р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 36 наукових робіт. З них - 26 статей у наукових виданнях (журналах і збірниках наукових праць), 4 доповіді в матеріалах та 6 тез доповідей міжнародних та національних наукових конференцій.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержані особисто або за особистою участю автора. У працях та доповідях, що написані у співавторстві, дисертанту належать:

у [2] - алгоритм побудови оптимальної програми та траєкторії економічного росту у випадку кусково-лінійних виробничих функцій;

у [5] - дослідження динаміки багатосекторної економіки із заданою структурою капіталовкладень на основі запропонованої моделі з кусково-лінійними виробничими функціями;

у [10] - аналіз моделі та розробка алгоритму знаходження оптимальної траєкторії багатосекторної еколого-економічної системи;

у [21] - встановлення умов існування режиму збалансованого експоненційного росту в динамічній моделі еколого-економічної рівноваги;

у [22] - дослідження оптимізаційної еколого-економічної задачі, необхідні та достатні умови існування і оптимальності розв'язку дискретного аналогу задачі;

у [23] - алгоритм побудови загальних розв'язків термінальної задачі керування для лінійної динамічної моделі Леонтьєва-Форда та постановки оптимізаційних задач на множинах термінальних керувань;

у [24] - запропонований метод побудови математичних моделей макровиробничих функцій, формулювання та доведення основних теорем;

у [26] - обгрунтування оптимізаційного (структурного) підходу до математичного моделювання виробничих функцій, формалізація задачі математичного програмування як моделі виробничої функції;

у [32] - постановка та математичне обгрунтування задачі.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів та списку використаних джерел, що містить 194 найменування. Повний обсяг роботи становить 296 сторінок, з них 273 сторінки основного змісту та 23 сторінки використаних джерел.

Основний зміст роботи

екологічний економічний модель рівновага

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, визначається мета дослідження, коротко викладено зміст дисертації та її основні результати.

Перший розділ присвячено математичному моделюванню виробничих функцій максимального випуску.

У пункті 1.1 обгрунтовується поняття виробничої функції як моделі залежності результату виробничого процесу від факторів, що його обумовлюють, зазначається на два основних підходи, що використовуються при побудові моделей виробничих функцій: оптимізаційний (структурний) та статистичний (економетричний). У роботі використовується оптимізаційний підхід до моделювання виробничих функцій. У пункті 1.2 описується загальна модель ВФМВ. Під ВФМВ розуміється функція значень задачі математичного програмування

де - вектор випуску продукції, - вектор наявних для виробництва ресурсів, - вектор-функція витрат ресурсів на виробництво вектора продукції , - скалярний доход від реалізації продукції- невід'ємний ортант векторного простору - в загальному випадку є нелінійними), - розв'язок задачі (1). Отже, функція описується неявно задачею (1) і є відображенням множини допустимих ресурсів у множину ефективних випусків при визначених технологіях.

Властивості моделей ВФМВ вивчаються у пункті 1.3. Досліджується типовий випадок, коли задача (1) є регулярною задачею угнутого програмування.

У теоремі 1.1 формулюються деякі відомі твердження, з яких випливає, що функція є скінченою, угнутою, монотонно неспадною по кожному із аргументів і кусково-гладкою (в загальному випадку). Нижче доводиться наступна теорема про однорідність функції .

Теорема 1.2. Нехай у задачі (1) цільова функція є однорідною функцією степеня а вектор-функція - однорідною вектор-функцією степеня . Тоді функція є однорідною функцією степеня .

Важливе прикладне значення має модель ВФМВ, яка описується задачею сепарабельного (наприклад, лінійного) програмування:

Має місце наступне твердження.

Теорема 1.3. Нехай у задачі (2) функції є однорідними степеня. Тоді функція - лінійно однорідна.

Теореми 1.2 та 1.3 дозволяють увести поняття узагальненої лінійно однорідної виробничої функції, тобто ВФМВ, яка задається нелінійною задачею (1) або (2) і є лінійно однорідною (для (1) це буде при , а для (2) при ). У пункті 1.3 наведені також приклади побудови ВФМВ, що задається нелінійною задачею (2), у явному аналітичному вигляді. Побудова ВФМВ у випадку лінійних залежностей доходу та витрат ресурсів від вектора випуску розглядається в пункті 1.4. Неявне описання функції тут здійснюється задачею лінійного програмування (ЛП).

де невід'ємний вектор і технологічна матриця , що складається з невід'ємних елементів, є відомими і сталими, - операція скалярного добутку. Основним результатом даного пункту є така теорема.

Теорема 1.4. Нехай- множина всіх вершин множини множина сусідніх із вершин Тоді визначена задачею (3) виробнича функція максимального випуску має такий аналітичний вигляд:

Зауважимо, що через позначена множина всіх векторних параметрів , за яких задача (3) є допустимою, зокрема, при зроблених раніше припущеннях Крім того, всі складові підмножини , що формують область , вважаються непорожніми. Зазначимо також, що у більш загальних випадках та вершина , для якої , не впливає на структуру функції .

Теорема 1.4 визначає конструктивний метод побудови кусково-лінійної ВФМВ у явному аналітичному вигляді для випадку задачі (3). Алгоритм цього методу полягає в послідовному знаходженні вершин множини та формуванні множини і області для вершини Практична реалізація цього алгоритму здійснюється за допомогою модифікованого методу Гаусса. Приклади побудови функції (4) наведені в кінці пункту 1.4. Побудова наближених ВФМВ у випадку сепарабельних залежностей доходу та витрат ресурсів від вектора випуску розглядається у пункті 1.5. Зокрема, якщо описується задачею.

Де - відомі числа, то здійснивши кусково-лінійну апроксимацію опуклих сепарабельних (нелінійних) функцій в області , задачу (5) можна апроксимувати наближеною задачею ЛП. Функція останньої задачі і є наближенням функції визначеної задачею (5). Очевидно, будувати наближені ВФМВ можна у всіх випадках, коли нелінійна задача апроксимується задачею ЛП. Пункт 1.6 присвячений сітковим виробничим функціям та кусково-лінійним виробничим функціям однієї змінної. Пропонується один економетричний підхід до побудови сіткових і кусково-лінійних виробничих функцій однієї змінної. Якщо виробнича діяльність суб'єкта господарювання формалізується у вигляді векторної задачі математичного програмування, то ставиться задача побудови параметричних та векторних виробничих функцій. Зокрема, перехід від багатокритеріальної до однокритеріальної задачі математичного програмування за допомогою методу лінійної згортки критеріїв дозволяє визначити багатопараметричну сім'ю агрегованих (по критерію) ВФМВ. Можливості побудови таких функцій обгрунтовуються у пункті 1.7. Питання побудови динамічних ВФМВ розглядаються у пункті 1.8.

Зазначимо, що сфера застосування ВФМВ є досить широкою. Наприклад, їх ефективно можна використовувати в задачах прогнозування та моделювання економічних, еколого-економічних та біотехнологічних процесів. Приклад реального застосування методики побудови виробничої функції максимального випуску наведений у пункті 1.9.

У другому розділі досліджуються моделі оптимального росту одно- та багатосекторної економіки у випадку моделей кусково-лінійних виробничих функцій. Як випливає з першого розділу, клас негладких виробничих функцій реально існує і є більш широким за клас неокласичних (гладких) виробничих функцій. У зв'язку з цим, з одного боку, застосування негладких виробничих функцій в моделях росту видається важливим як в теоретичному, так і практичному сенсі, а з іншого боку - у випадку негладких (наприклад, кусково-лінійних) функцій часто вдається у явному вигляді побудувати оптимальну програму та траєкторію росту, що є особливо важливим в прикладних економіко-математичних дослідженнях.

У пункті 2.1 описуються варіанти основних припущень, що використовуються при побудові одно- та багатосекторних моделей росту. Агрегованій моделі росту присвячений пункт 2.2. Модель записується в класичній формі:

де - капіталоозброєність (фазова змінна), - норма нагромадження капіталу (керування), - коефіцієнт зношеності фондів, - однофакторна кусково-лінійна виробнича функція (це основна відмінність (6) від неокласичних моделей росту), - вагова функція або дисконтуючий множник (- відомі невід'ємні величини, причому). Будемо вважати, що функція є визначеною в, додатною при угнутою, монотонно зростаючою і на має вигляд.

Причому Застосування кусково-лінійних виробничих функцій дозволяє конструктивним шляхом (на основі достатніх умов оптимальності) не тільки встановити існування розв'язку задачі оптимального керування (ЗОК) (6), але й визначити його аналітичну формулу.

Теорема 2.1. Нехай для моделі (6) виконуються умови: 1) на функція задається формулою (7); 2) але існує таке що- значення , при якому (якщо немає, то. Тоді для моделі (6) існує оптимальний процес росту, який визначається формулою.

У пункті 2.3 пропонується модель росту багатосекторної економіки у випадку незалежних секторів. Нехай та- відповідно капіталоозброєність, норма амортизації, норма нагромадження капіталу, однофакторна галузева виробнича функція та невиробниче споживання -го сектора. Подібно до функція є визначеною в, монотонно зростаючою і строго угнутою. Якщо всі сектори економіки є незалежними, то модель росту формалізується так:

Де невід'ємні значення а також кусково-лінійні виробничі функції вважаються відомими. Оскільки сектори економіки функціонують незалежно один від одного, а цільовий функціонал є адитивним, то модель (9) фактично розбивається на підмоделей (6). При цьому оптимальний процес моделі (6) для -го сектора економіки є відповідною компонентою оптимального процесу моделі (9), однак існування магістралі для моделі (9) гарантується тільки умовою де відповідно лівий та правий моменти перемикання на магістраль оптимальної траєкторії -го сектора. Результати дослідження моделі (9) зафіксовані в теоремі 2.3, що є узагальненням результатів теореми 2.1 на випадок багатосекторної економіки з незалежними секторами. Структура оптимального процесу магістрального типу для (9) повністю аналогічна (8). У пункті 2.4 досліджується також нова модель багатосекторної економіки у випадку відомої структури взаємних капіталовкладень. Ця структура визначається відомою матрицею у якій. Зміст елементів матриці полягає в наступному. Нехай - частка кінцевого продукта -го сектора економіки, яка використовується на інвестування всієї економіки (всіх секторів, у тому числі і -го), а - частка інвестицій з -го сектора в -ий, яка пропорційна частині всіх інвестицій -го сектора з коефіцієнтом, тобто Отже, коефіцієнти пропорційності - це елементи матриці. Записавши у (9) замість системи незалежних диференціальних рівнянь систему диференціальних рівнянь, що враховує структуру взаємних капіталовкладень в розвиток економіки, отримаємо при всіх раніше прийнятих припущеннях один із варіантів моделі росту багатосекторної економіки із взаємозалежними секторами:

Як і раніше, у ЗОК (10) - фазова змінна, а - керування причому (10) складає інтерес як у випадку гладких (зокрема, неокласичних), так і у випадку кусково-лінійних виробничих функцій. У роботі досліджується останній випадок. Достатні умови існування для (10) особливої оптимальної траєкторії - траєкторії магістрального типу, даються теоремою 2.4.

Досліджується також частинний випадок моделі (10), умови одночасного проходження граничними траєкторіями всіх проміжних фазових станів, які знаходяться під магістраллю для лівих граничних траєкторій та над магістраллю - для правих граничних траєкторій. При доведенні теорем 2.1-2.4 використовувалась методика дослідження оптимальності розв'язку задачі оптимального керування, що базується на відомих достатніх умовах оптимальності.

Моделі багатьох реальних процесів (економічних, еколого-економічних та ін.) часто формалізуються у вигляді негладкої задачі оптимального керування. У зв'язку з цим у пункті 2.5 досліджується наступна задача:

- фазовий вектор, - вектор керування, - задані додатні величини, а всі функції, що входять в постановку задачі (11), визначені на деяких відкритих множинах відповідних векторних просторів, угнуті за сукупністю змінних і недиференційовні. Для фазових обмежень уводяться множини, кожна з яких вважається об'єднанням скінченного числа проміжків часу, кінці яких ділять відрізок на скінченну кількість відрізків точками- суперградієнти, що належать відповідно супердиференціалам і за допомогою яких визначаються у зазначених точках похідні за напрямками (всі суперградієнти залежать від вибраного напрямку). Останні п'ять із вищеперелічених суперградієнтів знаходяться при кожному значенні індекса , тому вони формують матриці.

Результатом дослідження задачі (11) є така теорема.

Теорема 2.5. Допустимий процес задачі (11), буде оптимальним, якщо існують такі кусково-неперервні функції та кусково-неперервні функції які є гладкими на неперервними справа в точках і для яких а також числа що виконуються:

1) умова для вектор-функції вздовж довільного напрямку.

2) умови трансверсальності при вздовж довільного напрямку та при вздовж довільного напрямку.

3) умова стрибків вздовж довільного напрямку:

4) умови невід'ємності:

5) умови доповнюючої нежорсткості:

6) умови стаціонарності для керувань вздовж довільного напрямку: та при вздовж довільного напрямку:

7) умова угнутості вздовж довільного напрямку:

де - деяка нескінченно мала вищого порядку, ніж.

Достатні умови оптимальності, які сформульовано в теоремі 2.5, є узагальненням на випадок негладкої задачі оптимального керування відомих аналогічних результатів для гладкої задачі оптимального керування. Ці результати мають як теоретичне, так і прикладне значення.

Третій розділ присвячено деяким новим агрегованим моделям еколого-економічних процесів. Як при побудові, так і при математичному аналізі цих моделей істотно використовується теорія неокласичних виробничих функцій та економічного росту. Динамічна модель еколого-економічної рівноваги розглядається в пункті 3.1. Позначимо через - випуск продукції у момент - споживання,- капіталоутворення (інвестиції),- інвестиції у виробничий сектор,- інвестиції у очисні споруди,- капітал виробничого сектору,- капітал очисних споруд,- трудові ресурси,- сталу норму амортизації у виробничому секторі,- сталу норму амортизації на очисних роботах. Тоді динамічну модель еколого-економічної рівноваги складають такі співвідношення:

де додатні сталі та означають маргінальні величини відповідно потоку забруднення від валового випуску та потоку очищення від капіталу на очищення, - константа, що означає баланс потоку забруднення та очищення в умовах відсутності економічної діяльності, - норма нагромадження загального капіталу- задані константи. Співвідношення (12), очевидно, включають в себе умову екологічної рівноваги, тотожності для інвестицій, виробничу функцію, яку надалі будемо вважати неокласичною (двічі неперервно диференційовну, лінійно однорідну, угнуту, монотонно зростаючу і визначену в невід'ємному ортанті) та функцію трудових ресурсів. Постає питання: чи можливе збалансоване експоненційне зростання економіки при виконанні еколого-економічної рівноваги (перше співвідношення (12) і ). Відповідь на це дає теорема.

Теорема 3.1. Для того, щоб модель (12) з сталою нормою нагромадження капіталу та нульовою константою мала збалансований експоненційний розв'язок, що задовольняє умовам еколого-економічної рівноваги, необхідно і досить, щоб виконувалась умова При цьому рівноважне значення капіталоозброєності визначається як єдиний додатний корінь рівняння.

Зауважимо, що Справедливим є таке твердження.

Теорема 3.2. Максимально можливе питоме споживання при збалансованому еколого-економічному розвитку в моделі (12) досягається тоді, коли - корінь рівняння При цьому.

У пункті 3.2 досліджується модель оптимізації економіки в умовах динамічної екологічної рівноваги, яка є розширенням моделі, розглянутої в попередньому пункті на випадок, коли - функція змінної часу. Ця модель має вигляд

- задані величини.

Теорема 3.3. Нехай для моделі (13) виконуються умови:

1) функція є такою, що функція монотонно зростає при і при величини задовольняють нерівність: де - корінь рівняння

5) досліджуваний проміжок часу є досить великим;

6) існують допустимі траєкторії магістрального типу.

Тоді для моделі (13) існує оптимальний процес де і - точки перемикання лівої і правої граничних траєкторій на магістраль . Крім того, період проходження через магістраль є додатним, найбільшим серед всіх допустимих і таким, що.

Запропоновані в пунктах 3.1 і 3.2 моделі відображають різні реальні ситуації, але є моделями з типовим економічним критерієм якості - рівнем споживання. Однак, в тих випадках, коли відомий критерій розвитку еколого-економічної системи, що враховує співвідношення між економічними та екологічними показниками, актуальною є побудова моделі з еколого-економічним критерієм.

Агрегована модель оптимізації економіки з еколого-економічним критерієм вивчається у пункті 3.3. Перший варіант цієї моделі (в нормативних показниках) такий:

- двічі неперервно диференційовна функція шкідливості питомого забруднення при величини вважаються відомими, причому величина характеризує ту реальну ситуацію, коли заданий однаковий верхній рівень норми нагромадження виробничого капіталу та нижній рівень норми нагромадження загального капіталу (тобто капітал на очисні споруди буде виділятись тільки при. У задачі (14)- фазові змінні, а - змінні керування. Частинний випадок, коли (14) має оптимальний процес магістрального типу, відображений в теоремі 3.5. Якщо замінити обмеження на керування обмеженнями а у цільовому функціоналі покласти то матимемо інший варіант моделі оптимізації економіки з еколого-економічним критерієм, для якого виписуються достатні умови оптимальності у формі принципу максимуму, що випливають з відомих достатніх умов оптимальності для загальної задачі оптимального керування.

Пункт 3.4 присвячений моделюванню розподілу інвестицій в еколого-економічній системі. Однією із задач максимізації корисності інвестиційного процесу є така задача:

де- фазові змінні,- керування,- вагові коефіцієнти, що характеризують пріоритетність кожного із складових доданків у цільовому функціоналі. У (15) диференціальне рівняння для забруднення моделює ситуацію, коли тобто коли капітал виробничого сектора і капітал очисних споруд збалансовані. Модель (15) є простою, але має важливий прикладний зміст. Формулюється також модель розподілу інвестицій у випадку рівнянь росту капіталів і :

На відміну від попередніх макромоделей еколого-економічних систем, які запропоновано в третьому розділі, моделі оптимального розподілу інвестицій формалізують задачу інвестора і використовують просту, але конкретно визначену функцію корисності еколого-економічного процесу. На основі цих моделей вивчається динаміка оптимального інвестиційного процесу в еколого-економічній системі та його наслідки.

У пункті 3.5 описана модель оптимальної експлуатації природних ресурсів, яка має вигляд.

де- потік корисного продукту; - потік сировини (природного ресурсу);- потік непереробленої сировини (“залишки” природного ресурсу);- потік відходів (забруднень); - технологічний коефіцієнт, що показує, скільки частин сировини потрібно для утворення однієї частини корисного продукту;- керування, що відповідно означають швидкість протікання технологічного процесу, потік нейтралізуючого контрагента, збагачення технологічного процесу; функція є відомою додатною і неперервно диференційовною функцією;- заданий момент часу;- відомі числові параметри. Диференціальні рівняння моделі описують динамічний баланс трьох потоків: сировини, корисного продукту та відходів (забруднень), а функціонал відображає прибуток (корисність) технологічного процесу.

На основі аналізу вищеописаної моделі оптимальної експлуатації природних ресурсів (”оптимального збирання врожаю”) конкретизується загальна концепція математичного моделювання динаміки складних технологічних процесів, зокрема економічних, еколого-економічних і біотехнологічних, з метою встановлення оптимальних рівноважних режимів їх функціонування, що є магістральними траєкторіями відповідних задач оптимального керування, що формалізують зазначену модель.

Четвертий розділ складається з семи пунктів. У першому пункті цього розділу пропонується модель багатосекторної системи еколого-економічного розвитку:

де - частка кінцевої продукції, що використовується у ролі інвестицій, вкладених у розвиток економіки; - частка кінцевої продукції, що використовується на невиробниче споживання;- частка кінцевої продукції, що використовується на боротьбу із забрудненням довкілля; - частка кінцевої продукції, якою оцінюється забруднення, породжене виробництвом у -ому секторі економіки- кількість одиниць забруднення, що ліквідовуються однією одиницею використаної кінцевої продукції; - як і раніше, коефіцієнт природного спаду забруднення; - неокласична функція корисності еколого-економічного процесу при всіх. Усі інші параметри і функції визначені раніше. Модель (16) формалізує багатосекторну еколого-економічну систему, яка складається з взаємно незалежних секторів економіки (кожний сектор виробляє свій єдиний продукт і кожний продукт виробляється своїм єдиним сектором), кожний з яких інвестує боротьбу із забрудненням довкілля. У (16) змінні - фазові, а- керування. Модель (16) досліджена на предмет існування магістралі та розв'язку магістрального типу при деяких конкретних множинах початкових та кінцевих станів. Деякі результати цього дослідження викладені в теоремі 4.1.

Пункти 4.2-4.7 четвертого розділу присвячені оптимізаційним задачам, що базуються на динамічній моделі Леонтьєва-Форда. Базовий варіант лінійної динамічної моделі Леонтьєва-Форда із сталою технологією основного та допоміжного виробництва такий:

де відповідно вектори-стовпці валової продукції, знищених забруднювачів, кінцевої продукції, незнищених забруднювачів, абсолютних приростів основного виробництва, абсолютних приростів знищення забруднювачів. Матриці мають такий зміст: - квадратна матриця витрат продукції на випуск одиниці продукції ; - прямокутна матриця витрат продукції на знищення одиниці забруднювачів ; - прямокутна матриця випуску забруднювачів при випуску одиниці продукції ; - квадратна матриця випуску забруднювачів при знищенні одиниці забруднювачів ; = - квадратна матриця коефіцієнтів капіталоємності приростів основного виробництва (випуску продукції); - прямокутна матриця капіталоємності приростів допоміжного виробництва (знищення забруднювачів). Усі вищеперелічені матриці у моделі є сталими і складаються з невід'ємних елементів, а вектори - невід'ємними вектор-функціями часу - задане). Отже, в реальних умовах співвідношення (17) слід доповнити співвідношеннями

Невід'ємність векторів означає “незворотність” капіталовкладень. Якщо заданий початковий стан, то, розглядаючи динаміку еколого-економічної системи в умовах екологічної рівноваги та вважаючи матриці продуктивними (тобто такими, для яких існують матриці що складаються з невід'ємних елементів), а матрицю- невиродженою- відповідно одиничні діагональні матриці -го та -го порядків), від (17)-(20) приходимо до співвідношень:

- деяка задана функція, зокрема причому узгоджені таким чином:

Співвідношення (21), (22) забезпечують виконання (17)-(20) і формують множину допустимих процесів, на якій, вибравши критерій розвитку еколого-економічної системи, можна шукати оптимальний процес (- фазова траєкторія, - траєкторія керування). У пункті 4.2 розглядається задача.

де і - вектори вагових коефіцієнтів, зокрема ціни кінцевої та валової продукції. Детально досліджується дискретний аналог задачі (21)-(23), тобто дискретна ЗОК.

де- крок розбиття відрізка на рівних частин Двоїстою до (24) буде задача.

У задачі (25) в ролі фазових змінних служать, а в ролі керувань -. Основні результати для взаємно двоїстих задач (24), (25), які є задачами лінійного динамічного програмування, формулюються в теоремах 4.2-4.6. Зокрема, основні співвідношення двоїстості наведені в наступному твердженні.

Теорема 4.3. Для того, щоб допустимий процес де був оптимальним для пари двоїстих задач (24), (25), необхідно і досить виконання умов:

Останні співвідношення дозволяють звести розв'язування взаємно двоїстих задач (24) і (25) до розв'язування пари задач - дискретного принципу максимуму для прямої (24) та дискретного принципу мінімуму для двоїстої (25) задач (теореми 4.4 і 4.5). У пункті 4.3 за критерій розвитку еколого-економічної системи взято максимізацію на множині квадратичного функціонала.

де - вектор штрафів за відхилення на одиницю траєкторії від бажаної траєкторії-, як і раніше, вектор оцінки ефекту від термінального валового випуску Формулюються аналогічні твердження двоїстості (теореми 4.7-4.9) для відповідної дискретної задачі та двоїстої до неї, які є задачами квадратичного динамічного програмування. Як у випадку задач лінійного динамічного програмування, так і у випадку задач квадратичного динамічного програмування, ці співвідношення дозволяють звести розв'язування зазначених задач до сумісного розв'язування задач дискретного принципу максимуму.

У пункті 4.4 досліджується термінальна задача керування для лінійної динамічної моделі Леонтьєва-Форда, тобто задача побудови множини всіх керувань які переводять систему (17) з початкового стану (19) в термінальний стан.

Оскільки (26) рівносильне співвідношенню, то замість задачі (17), (19), (26) розглядається задача (21), (27). За допомогою апарату теорії псевдообернених операторів будується множина термінальних керувань для задачі (21), (27) та її дискретного варіанту. Множина всіх керувань, які розв'язують термінальну задачу (у випадку некерованості системи ставиться задача попасти з початкового стану на множину термінальних станів, кожний з яких знаходиться на мінімальній віддалі від заданої термінальної точки, має вигляд.

Знак “+” в визначає операцію псевдообертання. Якщо існує матриця то

Для дискретної термінальної задачі де множина термінальних керувань така:

Зауважимо, що множини завжди є непорожніми. Оптимізаційні задачі на множинах термінальних керувань для лінійної динамічної моделі Леонтьєва-Форда як неперервного, так і дискретного типу вивчаються у пункті 4.5. Особливість цих задач полягає в тому, що вони не належать до класу задач оптимального керування, мають порівняно з ними меншу розмірність та алгоритмічно більш адаптовані до програмної реалізації. Одним з методів розв'язування цих задач в неперервному випадку є скінченно-різницевий метод, який зводить вихідну задачу до задачі математичного, зокрема, лінійного програмування. У дискретному випадку ці задачі є задачами математичного програмування за побудовою. У пункті 4.6 базовим варіантом для побудови оптимізаційних моделей служить лінійна динамічна модель Леонтьєва-Форда із змінною технологією основного та допоміжного виробництва, тобто модель (17), в якій всі матриці залежать від змінної часу . При певних припущеннях на параметри моделі формуються неперервні та дискретні задачі оптимального керування з лінійним та квадратичним цільовим функціоналом. Основні твердження двоїстості для дискретних задач зафіксовані в теоремах 4.10-4.13. Розглядається також питання побудови множини термінальних керувань для відповідної термінальної задачі у випадку лінійної динамічної моделі Леонтьєва-Форда із змінною технологією.

Оптимізаційній моделі з нелінійним динамічним еколого-економічним міжгалузевим балансом присвячений пункт 4.7. За вихідний варіант моделі нелінійного динамічного еколого-економічного балансу пропонується модель:

Причому всі функції є в загальному випадку нелінійними. Зміст функцій такий: - затрати продукції на випуск продукції кількістю одиниць;- затрати продукції на знищення забруднювачів кількістю одиниць - випуск забруднювачів при випуску продукції кількістю одиниць;- випуск забруднювачів при знищенні забруднювачів кількістю одиниць; - затрати продукції на приріст продукції кількістю одиниць; - затрати продукції на приріст знищених забруднювачів кількістю одиниць.

Здійснивши певні припущення відносно (28), далі формується оптимізаційна модель, яка в математичному плані є неперервною нелінійною (функції- нелінійні) задачею оптимального керування із змішаними обмеженнями на фазову траєкторію і керування. У задачі (29) функція є функцією корисності кінцевої продукції (вона визначена при всіх невід'ємних значеннях аргументів, монотонно неспадна і угнута (опукла вгору)), а цільовий функціонал містить дві складові: інтегральну оцінку кінцевої продукції (її корисності) та термінальну оцінку валової продукції.

Дискретним варіантом задачі (29) є задача, яка моделює дискретний нелінійний динамічний еколого-економічний міжгалузевий баланс. Ця задача детально досліджена. Для її розв'язання запропоновано алгоритми, що базуються на методі з оцінкою цільового функціонала та лінеаризованому принципі максимуму.

Основні результати роботи та висновки

1. Розроблено концепцiю математичного моделювання рiвноважних динамiчних процесiв, що характеризують агрегований розвиток складних динамiчних систем (економiчних, еколого-економiчних, технологiчних, бiотехнологiчних та iнших). Запропоновано методологiю дослiдження та знаходження стацiонарних оптимальних рiвноважних станiв таких систем.

2. Розвинуто оптимiзацiйний пiдхiд в математичному моделюваннi виробничих функцiй (функцiй випуску, затрат, корисностi та iн.). Розроблено метод побудови в явнiй аналiтичнiй формi моделей виробничих функцiй максимального випуску, якi є залежностями максимальних значень цiльової функцiї задачi лiнiйного програмування (оптимального планування виробництва) вiд вектора обмежень (наявних ресурсiв). У випадку угнутої (або опуклої) задачi сепарабельного програмування запропоновано алгоритми побудови наближених виробничих функцiй максимального випуску.

3. Створено комплекс математичних моделей економiчного росту, що доповнюють та розвивають неокласичнi моделi росту. Це - агрегована та багатосекторнi моделi у випадку незалежних секторiв та вiдомої структури взаємних капiталовкладень з кусково-лiнiйними виробничими функцiями, агрегованi та багатосекторнi моделi еколого-економiчних та технологiчних систем.

4. Встановлено достатнi умови оптимальностi допустимого процесу в негладкiй задачi оптимального керування, що узагальнюють вiдомi результати для гладкої задачi.

5. Дослiджено агреговану динамiчну модель еколого-економiчної рiвноваги, в якiй ступiнь забруднення довкiлля та питоме споживання є стабiльними (сталими) величинами. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування збалансованого експоненцiйного зростання економiки в умовах еколого-економiчної рiвноваги.

6. Запропоновано та дослiджено оптимiзацiйну модель економiчного росту в умовах екологiчної рiвноваги (стан забруднення є сталою величиною). Одержано достатнi умови оптимальностi процесу магiстрального типу для цiєї моделi.

7. На основi агрегованих моделей оптимального розподiлу iнвестицiй в еколого-економiчнiй системi вивчена динамiка оптимального iнвестицiйного процесу. Моделюється розподiл iнвестицiй також в багатосекторнiй еколого-економiчнiй системi, в якiй всi взаємно незалежнi галузi економiки iнвестують галузь допомiжного виробництва (знищення забруднювачiв).

8. З використанням лiнiйної динамiчної моделi мiжгалузевого еколого-економiчного балансу iз сталою та змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва (динамiчної моделi Леонтьєва-Форда) розроблено новi оптимiзацiйнi динамiчнi моделi неперервного i дискретного типу. Для моделей дискретного типу одержано умови iснування та оптимальностi їх розв'язкiв.

9. Вивчено термiнальнi задачi керування для лiнiйної динамiчної моделi Леонтьєва-Форда. Побудовано множини загальних розв'язкiв цих задач. На множинах термiнальних керувань здiйснено постановки вiдповiдних оптимiзацiйних задач.

10. Побудовано нову оптимiзацiйну модель з нелiнiйним динамiчним еколого-економiчним мiжгалузевим балансом. Для дискретного варiанта моделi запропоновано алгоритми розв'язання вiдповiдної задачi.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях

1. Григоркiв В.С. Моделювання сiткових макровиробничих функцiй багатьох змiнних // Доп. НАН України. 1997. N9. C. 14-17.

2. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. Моделювання економiчного росту у випадку кусково-лiнiйних макровиробничих функцiй // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1997. Вип. 4. C. 155-161.

3. Григоркiв В.С. Моделювання оптимального контролю над забрудненням довкiлля // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1998. Вип.1. C. 155-163.

4. Григоркiв В.С. Про одну модель багатосекторної економiки // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь. К.: Iн-т мат. НАН України, 1998. Вип.2. С. 95-105.

5. Ляшенко И.Н., Григоркив В.С. Моделирование динамики многосекторной экономики с кусочно-линейными производственными функциями // Кибернетика и системный анализ. 1998. N3. C. 156-162.

6. Григоркiв В.С. Оптимальне iнвестування еколого-економiчної системи // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1998. Вип.3. C. 169-174.

7. Григоркiв В.С. Моделювання оптимальної траєкторiї забруднення при заданому ростi капiталу // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь. К.: Iн-т мат. НАН України, 1998. Вип.3. С. 48-54.

8. Григоркiв В.С. Моделювання та оптимiзацiя динамiки двохсекторної економiки // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1998. Вип.4. C. 122-132.

9. Григоркiв В.С. Про моделювання оптимального росту однопродуктової макроекономiки // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. праць. Математика. Чернiвцi: ЧДУ, 1999. Вип. 46. С. 25-28.

10. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Об оптимальной траектории многосекторной эколого-экономической системы // Проблемы управления и информатики. 1999. N1. С. 113-123.

11. Григоркiв В.С. Побудова виробничих функцiй з сепарабельними залежностями доходу та затрат ресурсiв // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1999. Вип.1. C. 184-190.

12. Григоркив В.С. Моделирование многосекторной эколого-экономической системы // Кибернетика и системный анализ. 1999. N3. C. 147-157.

13. Григоркiв В.С. Оптимiзацiя економiки в умовах динамiчної екологiчної рiвноваги // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1999. Вип.2. C. 218-227.

14. Григоркив В.С. Агрегированная модель оптимизации экономики с эколого-экономическим критерием // Кибернетика и системный анализ. 1999. N4. C. 124-133.

15. Григоркив В.С. Построение производственных функций при заданных линейных технологиях // Проблемы управления и информатики. 1999. N5. С. 145-150.

16. Григоркив В.С. Обобщенные линейно однородные производственные функции // Кибернетика и системный анализ. 1999. N5. C. 124-132.

17. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна динамiчна мiжгалузева модель еколого-економiчного розвитку з квадратичною функцiєю корисностi кiнцевої продукцiї // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1999. Вип.3. С. 192-199.

18. Григоркiв В.С. Оптимiзацiя еколого-економiчної системи з квадратичною функцiєю корисностi кiнцевої продукцiї на основi динамiчної моделi Леонтьєва-Форда iз змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва // Вiсн. Київськ. ун-ту. Сер., Фiзико-математичнi науки. 1999. Вип.4. С. 127-133.

19. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна модель з нелiнiйним динамiчним еколого-економiчним мiжгалузевим балансом // Волинський мат. вiсн. 1999. Вип.6. C. 47-52.

20. Григоркiв В.С. Оптимiзацiйна динамiчна модель Леонтьєва-Форда iз змiнною технологiєю основного та допомiжного виробництва // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. праць. Математика. Чернiвцi: Рута, 2000. Вип. 76. С. 17-22.

21. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. Динамiчна модель еколого-економiчної рiвноваги // Доп. НАН України. 2000. N2. C. 79-84.

22. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Оптимизационная динамическая модель Леонтьева-Форда в условиях экологического равновесия // Кибернетика и системный анализ. 2000. N2. C. 73-79.

23. Григоркив В.С., Ляшенко И.Н. Построение общих решений терминальной задачи управления для линейной динамической модели Леонтьева-Форда // Проблемы управления и информатики. 2000. N2. С. 131-140.

24. Григоркив В.С., Зоидов К.Х. К вопросу о построении производственной поверхности с заданными свойствами формы // Докл. АН Тадж. ССР. 1988. Т.31, N 12. c. 782-786.

25. Григоркiв В.С. Сплайновi моделi макровиробничих функцiй багатьох змiнних // Автоматизацiя виробничих процесiв. 1997. N2. C. 34-38.

26. Ляшенко I.М., Григоркiв В.С. До вдосконалення методiв побудови виробничих функцiй // Економiка України. 1998. N10. C. 83-85.

27. Григоркив В.С. Моделирование производственных соотношений: задачи, алгоритмы, программы // Тез. докл. VII Всесоюз. науч.-техн. конф. "Проблемы, задачи и опыт применения технологии разработки и внедрения программных средств АСУ ТП". Черновцы, 1990. С. 86.

28. Григоркив В.С. Математическое моделирование эколого-экономических процессов производства // Тез. докл. науч.-техн. конф."Проблемы экологии и ресурсосбережения "Экоресурс-1". Черновцы. 1991. C. 9-10.

29. Григоркив В.С. Аппроксимация производственных функций // Тез. Мiжнар. конф. "Теория приближения и задачи вычислительной математики". Днiпропетровськ: Вид-во ДДУ, 1993. С. 62.

30. Григоркiв В.С. До проблеми математичного моделювання еколого-економiчної системи регiону // Тез. доп. Мiжнар. наук. конф. "Навколишнє середовище i здоров'я". Чернiвцi, 1993. С. 269.

31. Григоркив В.С. Моделирование оптимального роста производства в условиях свободной экономической зоны // Тез. докл. Междунар. науч.-практической конф. "Механизмы управления в свободных экономических зонах". Ч.II. Черновцы, 1993. С. 45-47.

32. Григоркiв В.С., Сторощук Б.Д. Побудова i дослiдження математичних моделей макроекономiки // Матерiали наук. конф. викладачiв, спiвробiтникiв та студентiв, присвяченої 120-рiччю заснування Чернiвецького ун-ту (4-6 травня 1995 р.). Фiзико-математичнi науки. Чернiвцi: Рута, 1995. Т.2. С. 84.

...