Для анализа эффективности деятельности предприятий одной из отраслей экономики была проведена 20%-ная механическая выборка, в результате которой получены следующие данные за год, млн руб.:

Таблица 7 Исходные данные

Задание 1

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить интервальный ряд распределения предприятий по Выручке от продажи продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

3. Путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение задания 1

1.1 Построение интервального ряда распределения предприятий по выручке от продажи продукции

По исходным данным (табл.1) построим статистический ряд распределения. Для изучения финансовых результатов деятельности предприятия построим интервальный вариационный ряд:

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по выручке от продажи, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала i определяется по формуле 1:

, (1)

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, xmax = 94 млн руб., xmin = 21 млн руб.:

Таблица 8

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Выручка от продажи продукции представлен во вспомогательной (разработочной) Таблице 3:

Таблица 9 Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по выручке от продажи продукции.

Таблица 10 Распределение предприятий по выручке от продажи продукции

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются другие характеристики ряда (графы 4 - 5 табл.5). Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты cum fj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле

(2)

Таблица 11 Структура предприятий по выручке от продажи продукции

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по выручке от продажи продукции не является равномерным: преобладают предприятия с выручкой от 35,6 млн руб. до 50,2 млн руб. (это 11 предпрятий, доля которых составляет 37%).

1.2 Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, Vу на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6.

Таблица 12 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической взвешенной:

(3)

Расчет среднего квадратического отклонения:

(4)

Расчет дисперсии:

у2 =17,4732=305,305 млн руб.

Расчет коэффициента вариации:

(5)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя выручка от продажи продукции предприятий составляет 52,147 млн руб., отклонение от средней выручки в ту или иную сторону составляет в среднем 17,473 млн руб., наиболее характерные значения выручки от продажи продукции находятся в пределах от 34,674 млн руб. до 69,62 млн руб. (диапазон ). Значение Vу = 33,507% превышает 33%, но, так как расхождение в значениях небольшое, вариация выручки от продажи продукции в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку количественно однородна.

1.3 Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(6)

где хМo - нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

fMo - частота модального интервала,

fMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 35,6 - 50,2 млн. руб., так как его частота максимальна (fi = 11).

Расчет моды по формуле (6):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный объем выручки от продажи продукции характеризуется средней величиной 44,36 млн руб.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности. Значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (7)

где хМе- нижняя граница медианного интервала,

i - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

fМе - частота медианного интервала,

SMе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5. Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

Медианным интервалом является интервал 35,6 - 50,2 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота cum fi = 16 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности

=

Расчет значения медианы по формуле (7):

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем объем выручки от продажи продукции не более 48,871 млн руб., а другая половина - не менее 48,871 млн руб.

Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=52,147млн руб., Мо=44,36млн руб., Ме=48,871млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение выручки предприятий (52,147 млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

1.4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль, образовав по каждому признаку четыре группы с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Выручка от продажи продукции (X), результативным - признак Чистая прибыль (Y).

2.1. Установление наличия и характера связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

1а. Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 13 Зависимость суммы прибыли от объема выручки от продажи продукции

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением выручки от продажи продукции от группы к группе систематически возрастает и средняя прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы - группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака Х - Выручки от продажи продукции известны из табл. 8. Для результативного признака Y - Чистая прибыль величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5, уmax = 27 млн руб., уmin = 2 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 14):

Таблица 14

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала число банков, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 15 Распределение предприятий по сумме прибыли

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 16 Корреляционная таблица зависимости чистой прибыли предприятий от выручки от продажи продукции