Биматричные игры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Общее введение в теорию игр

2. Биматричные игры

3. Оптимальность по Парето, Множество Парето

Заключение

Введение

Цель моей курсовой работы заключается в том, чтобы научиться применять теорию игр в жизни, т.е. выбирать наиболее выгодные для себя стратегии или хотя бы беспроигрышные. А для этого мы рассмотрим раздел теории игр «Биматричные игры» и научимся их решать.

Так же нельзя не отметить, что работа является актуальной, так как на практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях.

Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации.

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

1. Общее введение в теорию игр

биматричный игра парето

Игра - это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько индивидуумов (участников, игроков) влияют на ситуацию (исход игры), причем их интересы (их выигрыши при различных возможных ситуациях) различны. Антагонизм интересов рождает конфликт, в то время как совпадение интересов сводит игру к чистой координации, для осуществления которой единственным разумным поведением является кооперация. В большинстве игр, возникающих из анализа социально-экономических ситуаций, интересы не являются ни строго антагонистическими, ни точно совпадающими. Продавец и покупатель согласны, что в их общих интересах договориться о продаже, конечно, при условии, что сделка выгодна обоим. Однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах, определяющихся условиями взаимной выгодности сделки. Подобно этому рядовые избиратели, как правило, согласны отвести кандидатов, представляющих крайние точки зрения.

Однако при избрании одного из двух кандидатов, предлагающих различные компромиссные решения, возникает ожесточенная борьба. Нельзя не согласиться, что большинство напоминающих игры конфликтных ситуаций общественной жизни порождают как конфликтное, так и кооперативное поведение. Поэтому можно сделать вывод, что теория игр является полезным логическим аппаратом для анализа мотивов поведения участников в подобных ситуациях. Она располагает целым арсеналом формализованных сценариев поведения, начиная с некооперативного поведения и до кооперативных соглашений с использованием взаимных угроз. Для каждой игры в нормальной форме использование различных кооперативных и некооперативных концепций равновесия, как правило, приводит к различным исходам. Их сравнение является основным принципом теоретико-игрового анализа и, по-видимому, источником строгих и вместе с тем содержательных рассуждений о побудительных мотивах поведения вытекающих только из структуры игры в нормальной форме.

Во многих социальных науках имеется большое количество моделей, при анализе которых требуется изучать способы выбора стратегий. Приложения теории игр преимущественно развиваются в связи с исследованием экономики.

Это соответствует установкам основоположников теории игр фон Неймана и Моргенштерна. Однако прочная репутация теоретико - игрового подхода утвердилась только после теоремы Дебре - Скарфа, позволяющей рассматривать конкурентное равновесие как результат кооперативных действий. С тех пор целые разделы экономической теории (такие, как теория несовершенной конкуренции или теория экономического стимулирования) развиваются в тесном контакте с теорией игр.

Поиск равновесных концепций, являющихся идеализацией целого спектра некооперативных и кооперативных схем поведения, тесно связан с основами социологии. В современных социологических исследованиях формальные теоретико-игровые модели весьма редки и с математической точки зрения элементарны. И все - таки влияние теории игр кажется нам уже необратимым, по крайней мере на этапе обучения.

Математическая теория предлагает для решения поставленных задач теорию игр, определяемую как раздел математики, ориентированный на построение формальных моделей принятия оптимальных решений в ситуации конкурентного взаимодействия. Данное определение главной задачей теории игр ставит последовательность действий эффективного поведения в условиях конкуренции, конфликтности.).

В теории игр участников конкурирующего взаимодействия называют игроками, каждый из них имеет непустое множество допустимых действий, совершаемых им по ходу игры, которые называются ходами или выборами. Набор всех возможных ходов по одному из списка возможных ходов каждого игрока (участвующих в парах, тройках и т.д. ходов) называется стратегией. Грамотно построенные стратегии взаимно исключают друг друга, т.е. взаимно исчерпывают все способы поведения игроков. Исходом игры называется реализация игроком выбранной им стратегии. Каждому исходу игры соответствует определяемое игроками значение полезности (выигрыша), называемое платежом.

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, доступности информации и т.д.

1. В зависимости от количества игроков различают парные игры и игры n игроков. Математический аппарат реализации парных игр наиболее проработан. Игры трёх и более игроков исследовать сложнее из-за трудностей технической реализации алгоритмов решения.

2. По количеству стратегий игры бывают конечные и бесконечные. Конечной называется игра с конечным числом возможных стратегий игроков. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, то игра называется бесконечной.

3. По характеру взаимодействия игры делятся на:

· бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

· коалиционные (кооперативные) - игроки могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции жестко заданы на этапе постановки задачи и не могут меняться во время игры.

4. По характеру выигрышей игры делятся на:

· игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю);

· игры с ненулевой суммой.

5. По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, дуэли и др.

Матричная игра - это конечная парная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец - номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. В теории математики доказано, что игры этого класса имеют решения, однако пока не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Целью любой игры является максимизация каждым игроком своей выгоды. Смысл математической теории игр, построенной на приведенной выше классификации, состоит в формализации (упрощении) и облегчении оптимального выбора. Множество всех возможных стратегий игр составляет большое число, растущее тем сильнее, чем больше игроков и набор доступных каждому ходов. Так для пары игроков, если условия игры позволяют каждому совершить по n ходов, в игре существует 2n стратегий.

Простой перебор и оценка (сравнение) такого числа стратегий представляют собой технически очень сложную задачу и неприемлемы на практике. Математический аппарат позволяет значительно снизить число требующих анализа и сравнения стратегий, отбросив заведомо неэффективные. Когда же получен ограниченный, разумный для анализа набор точек равновесия (одинаково предпочитаемых всеми игроками исходов игры), на основе анализа выигрышей игроков, выбирается наиболее рациональный результат. При выборе результата существуют два основных подхода, которые дают название окончательной стратегии игры:

· Минимаксная стратегия (выбор из максимальных (наихудших) проигрышей минимальных (наилучших).

· Максиминная стратегия (выбор из минимальных (наихудших) выигрышей максимальных (наилучших).

Развитием теории игр с использованием методов вероятностного анализа является математическая теория принятия решений. Эта теория оперирует не действительным (актуальным) решением, а средним, которое есть ожидаемое решение игры в течение ее многократного повторения. Данное свойство актуально для решения правовых задач, поскольку нормативный характер права означает, что оно ориентировано на неопределенного субъекта и предполагает многократное повторение правоотношений. Чтобы не вдаваться в глубокие математические выкладки, отметим лишь, что теория принятия решений предлагает систему критериев (например, критерий Гурвица, Хаджи-Лемана, критерий ожидаемого значения), которые с помощью вероятностного анализа исходов игр позволяют осуществить выбор оптимального решения в условиях риска и неопределенности.

2. Биматричные игры

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a , а Второй получает b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x?a, y?b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:

V1>max, a11*x+a21*(1-x) ?V1,a11*x+a12*(1-x)?V1, 0?x?1;

V2>max, a11*y+a12*(1-y) ?V2,a21*y+a22*(1-y)?V2, 0?y?1.

3. Оптимальность по Парето, Множество Парето

Оптимальность по Парето

Содержательные представления об устойчивости, выгодности и справедливости многообразны. Выше мы рассматривали проявление устойчивости через равновесие. Существует и иной вариант устойчивости ситуации, в большей степени, чем равновесность, отражающий черты ее выгодности. Это оптимальность по Парето.

Рассмотрим биматричную игру с 2 х 2-матрицами

и

Пусть и -- средние выигрыши игроков А и В.

Ситуация (р*, q*) в биматричной игре А и В наказывается оптимальной по Парето, если из того, что

вытекают равенства

Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш одного из игроков, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Различие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Парето, состоит в следующем:

· в ситуации равновесия ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша;

· в ситуации, оптимальной по Парето, игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

Множество Парето

Рассмотрим на плоскости (U, V) множество Щ (рис. 8). Каждая его точка обладает одним из следующих свойств: либо все точки, ближайшие к ней, принадлежат множеству Щ (такая точка называется внутренней точкой множества Щ), либо сколь угодно близко от нее расположены как точки множества Щ, так и точки, множеству Щ не принадлежащие (такие точки называются граничными точками множества Щ). Граничная точка может как принадлежать множеству Щ, так и не принадлежать. Здесь мы будем рассматривать только такие множества, которым принадлежат все точки границы. Множество всех граничных точек множества называется его границей. Обозначение: дЩ.

Пусть М -- произвольная точка множества Щ, внутренняя или граничная, и (U, V) --ее координаты. Поставим следующий вопрос: можно ли, оставаясь во множестве Щ, переместиться из точки М в близкую точку так, чтобы при этом увеличились обе ее координаты. Если М -- внутренняя точка, то это бесспорно возможно. Если же М -- граничная тонка, то такое возможно не всегда (рис. 9). Из точек М1, М2, М3 это сделать можно, но уже из точек вертикального отрезка АВ можно переместиться, увеличивая лишь координату V (координата U при этом остается неизменной). Перемещая точку горизонтального отрезкаPQ вправо, мы увеличиваем координату U (при этом координата V сохраняет свое значение). Что же касается дуги BQ, то перемещение вдоль нее способно увеличить лишь одну из координат при одновременном уменьшении другой.

Тем самым, точки множества Щ можно разбить на три класса:

· в первый класс относятся точки, которые, оставаясь во множестве и, можно сдвинуть так, чтобы одновременно увеличились обе координаты (в этот класс попадают все внутренние точки множества Щ и часть его граничных точек),

· второй класс образуют точки, перемещением которых по множеству Щ можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй (вертикальный отрезок АВ и горизонтальный отрезок PQ на границе множества Щ),

· в третий класс попадут точки, перемещение которых по множеству Щ способно лишь уменьшить либо одну из координат, либо обе (дуга BQ границыдЩ) (рис. 10).

Множество точек третьего класса называется множеством Парето, или границей Парето данного множества Щ (выделено на рис. 10).

Метод идеальной точки

Пусть на плоскости (х, у) задано множество щ (рис. 11) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции

U = Ф(х, у) и V = ш(х, у)

Рассмотрим следующую задачу.

Во множестве щ найти точку (х*, у*), в которой

Обычно это записывается так

Ф(х, у) > max и ш(х, у) > max

Сразу же отметим, что в общем случае поставленная задача решения не имеет. В самом деле, нарисуем на плоскости (U, V) все точки, координаты которых вычисляются по формулам

U = Ф(х, у) и V = ш(х, у),

Из рис. 12 видно, что наибольшее значение U - Umax -- и наибольше значение V - Vmax -- достигаются в разных точках, а точка с координатами

Тем самым, в исходной постановке задача, вообще говоря, неразрешима -- удовлетворить обоим требованиями одновременно невозможно. И, следовательно, нужно искать какое-то компромиссное решение.

Опишем один из путей, использующий множество Парето.

Сначала на плоскости (U, V) задается целевая точка, в качеств координат которой часто выбирается сочетание наилучших значений обоих критериев U и V.

В данном случае это точка (Umax , Vmax).

Вследствие того, что обычно такая точка при заданных ограничениях не реализуется, ее называют точкой утопии.

Затем строится множество Парето и на нем ищется точка, ближайшая к точке утопии -- идеальная точка (рис. 13).

Оптимальность по Парето в биматричной игре

Обратившись к игре «Дилемма узников», покажем, как практически отыскиваются оптимальные по Парето ситуации.

Напомним, что соответствующие платежные матрицы в этой игре имели следующий вид

Тем самым, на единичном квадрате

(рис. 14) возможных значений вероятностей р и q заданы две функции

Точки с координатами (U, V), вычисленными по приведенным формулам, на плоскости (U, V) заполняют четырехугольник с вершинами К(-1, -1), L(-9, 0),М(-6, -6) и N(0, -9) (рис. 15). Граница Парето этого множества -- ломаная NKL.

Каждый из игроков заинтересован в наибольшем значении своего среднего выигрыша

Нетрудно заметить, что в данном случае

Umax = 0 и Vmax = 0.

Тем самым, точкой утопии в этой задаче является начальная точка О (0, 0). Ближайшая к ней точка множества Парето -- К (-1, -1) (рис. 16).

Идеальная точка К (-1, -1) -- точка с наибольшими выигрышами для каждого из игроков -- оказывается лучше, чем равновесная точка М(-6, -6), и ей соответствуют чистые стратегии обоих игроков

p = 1, q = 1.

Размещено на Allbest.ru