Расчет основных статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по дисциплине «Статистика» для з/о



Задание 1

По данным обследования 15 фирм проведите их группировку по численности занятых, построив интервальный ряд с равными интервалами (5-6 групп). Для построенного интервала рассчитайте:

— среднюю, модальную и медианную численность занятых;

— показатели вариации, включая коэффициенты вариации.

Данные построенного интервального ряда изобразите графически и в виде гистограммы.

Численность занятых по 15 фирмам: N=45

Порядковый номер фирмы	Численность занятых, чел.
1	309+N
2	410+N
3	384+N
4	291+N
5	328+N
6	569+N
7	318+N
8	364+N
9	604+N
10	287+N
11	351+N
12	461+N
13	462+N
14	432+N
15	421+N

РЕШЕНИЕ: в таблицу подставим N = 45 и получим следующие данные:

Порядковый номер фирмы	Численность занятых чел.
1	354
2	455
3	429
4	336
5	373
6	614
7	363
8	409
9	649
10	332
11	396
12	506
13	507
14	477
15	466

Группировка - это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. Метод группировки основывается на следующих категориях - это группировочный признак, интервал группировки и число групп.

Группировочный признак - это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы.

Интервал очерчивает количественные границы групп и представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе.

Определение числа групп.

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2 lg N,

где n - число групп, N - число единиц совокупности.

Здесь получаем: n = 1 + 3,2 lg15 = 5.

Ширина интервала составит:

,

где Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности, Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Здесь имеем:

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	332	395.4
2	395.4	458.8
3	458.8	522.2
4	522.2	585.6
5	585.6	649

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

332	332 - 395.4	1
336	332 - 395.4	2
354	332 - 395.4	3
363	332 - 395.4	4
373	332 - 395.4	5
396	395.4 - 458.8	1
409	395.4 - 458.8	2
429	395.4 - 458.8	3
455	395.4 - 458.8	4
466	458.8 - 522.2	1
477	458.8 - 522.2	2
506	458.8 - 522.2	3
507	458.8 - 522.2	4
614	585.6 - 649	1
649	585.6 - 649	2

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
332 - 395.4	1,2,3,4,5	5
395.4 - 458.8	6,7,8,9	4
458.8 - 522.2	10,11,12,13	4
522.2 - 585.6	0	0
585.6 - 649	14,15	2

Построим гистограмму для полученного интервального ряда:

Таблица для расчета показателей.

Группы	xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
332 - 395.4	363.7	5	1818.5	5	422.67	35729.42	0.33
395.4 - 458.8	427.1	4	1708.4	9	84.53	1786.47	0.27
458.8 - 522.2	490.5	4	1962	13	169.07	7145.88	0.27
522.2 - 585.6	553.9	0	0	13	0	0	0
585.6 - 649	617.3	2	1234.6	15	338.13	57167.08	0.13
Итого:		15	6723.5		1014.4	101828.85	1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

.

Здесь имеем:

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

,

где x0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f2 -частота, соответствующая модальному интервалу; f1 - предмодальная частота; f3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 332, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 384.83

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина -- больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 332 - 395.4, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 435.03

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 649 - 332 = 317

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

или

ВЫВОД: Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 67.63.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).



Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 448.23 в среднем на 82.39

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

ВЫВОД: Поскольку v ? 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

ОТВЕТ:

Средняя численность занятых - 448 человек.

Мода равна 384.83. Медиана равна 435.03.

Показатели вариации:

размах вариации R = 317;

cреднее линейное отклонение d = 67.63;

дисперсия D = 6788.59;

среднее квадратическое отклонение = 82.3;

коэффициент вариации v = 18.38 %;

линейный коэффициент вариации Kd = 15.09 %.

Задание 2

Имеются данные о производстве промышленной продукции на предприятии за 1995-2000 г.г. млн. руб.

1995	1996	1997	1998	1999	2000
503+ N	369 + N	321 + N	120 + N	165 + N	129 + N

Рассчитайте и проанализируйте следующие показатели ряда динамики:

-- средний уровень ряда;

-- цепные и базисные абсолютный прирост, коэффициент роста и темпы прироста.

По итогам расчетов сделать выводы.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 45 и получим следующие данные:

1995	1996	1997	1998	1999	2000
548	414	366	165	210	174

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким способом показатели динамики называются цепными.

Важнейшим статистическим показателем динамики является абсолютный прирост, который определяется в разностном сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах измерения исходной информации.

Абсолютный прирост

цепной прирост: ?yц = yi - yi-1

базисный прирост: ?yб = yi - y1

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах. Исчисленный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения.

Темп прироста

цепной темп прироста: Tпрцi = ?yi / yi-1

базисный темп прироста: Tпpб = ?yбi / y1

Темп роста характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Темп роста

цепной темп роста: Tpцi = yi / yi-1 ;

базисный темп роста: Tpб = yбi / y1

Абсолютное значение 1% прироста

цепной: 1%цi = yi-1 / 100% ;

базисный: 1%б = yб / 100%

Темп наращения

Важным статистическим показателем динамики социально-экономических процессов является темп наращивания, который в условиях интенсификации экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала

Tн = ?yцi / y1

Цепные показатели ряда динамики.

Таблица 1.

Период	Производство промышленной продукции на предприятии	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %	Абсолютное содержание 1% прироста	Темп наращения, %
1995	548	-	-	100	5.48	0
1996	414	-134	-24.45	75.55	5.48	-24.45
1997	366	-48	-11.59	88.41	4.14	-8.76
1998	165	-201	-54.92	45.08	3.66	-36.68
1999	210	45	27.27	127.27	1.65	8.21
2000	174	-36	-17.14	82.86	2.1	-6.57

ВЫВОД: Таким образом, в 2000 г. по сравнению с 1999 г. производство промышленной продукции на предприятии уменьшилось на 36 млн. руб. или на 17.14%

Максимальный прирост наблюдается в 1999 (45 млн. руб.)

Минимальный прирост зафиксирован в 1998 (-201 млн. руб.)

Темп наращения показывает, что тенденция ряда убывающая, что свидетельствует о замедлении производства промышленной продукции на предприятии.



Базисные показатели ряда динамики. Таблица 2.

Период	Производство промышленной продукции на предприятии	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темпы роста, %
1995	548	-	-	100
1996	414	-134	-24.45	75.55
1997	366	-182	-33.21	66.79
1998	165	-383	-69.89	30.11
1999	210	-338	-61.68	38.32
2000	174	-374	-68.25	31.75

ВЫВОД: В 2000 по сравнению с 1995 производство промышленной продукции на предприятии уменьшилось на 374 млн. руб. или на 68.25%

Расчет средних характеристик рядов.

Для нахождения среднего уровня моментного ряда используют среднюю хронологическую:

ВЫВОД: Среднее значение производства промышленной продукции на предприятии за анализируемый период составило 303.2 млн. руб.

Средний темп роста вычисляется по формуле

.

Здесь имеем: .

ВЫВОД: В среднем за весь период рост анализируемого показателя составил 0.79

Средний темп прироста вычисляется по формуле

.

Здесь имеем: .

ВЫВОД: В среднем с каждым периодом производство промышленной продукции на предприятии сокращалось на 21%.

Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

Средний абсолютный прирост вычисляется по формуле

.

Здесь имеем:

ВЫВОД: С каждым периодом производство промышленной продукции на предприятии в среднем уменьшалось на 74.8 млн. руб.

Задание 3

Имеются следующие данные о продаже овощей и ценах на них.

Овощи	Периоды
	Базисный	Отчетный
	количество, т	цена 1кг, руб.	количество, т	цена 1кг, руб.
свекла	64.3 + N	22 + N	52.7 + N	24 + N
капуста	41.0 + N	18 + N	38.8 + N	21 + N
морковь	89.2 + N	13 + N	91.0 + N	7 + N



Рассчитайте и проанализируйте:

1) индивидуальные индексы цен и количеств (физического объема), товарооборота;

2) общий агрегатный индекс цен;

3) общий агрегатный индекс количеств (физического объема);

4) общий агрегатный индекс стоимости (товарооборота).

По итогам расчетов сделать выводы.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 45 и получим следующие данные:

Овощи	Периоды
	Базисный	Отчетный
	количество, т	цена 1кг, руб.	количество, т	цена 1кг, руб.
свекла	109.3	67.0	97.7	69.0
капуста	86.0	63.0	83.8	66.0
морковь	134.2	58.0	136.0	52.0

1) Сравнение цен одного товара осуществляется с помощью индивидуального индекса цен.

где Pi0- цена i-гo товара в базисном периоде, Рi1 - цена i-гo товара в отчетном периоде.

Найдем индивидуальные индексы цен овощей:

-- для свеклы:

или 103% , т.е. цена проданной свеклы в отчетном году увеличилась по сравнению с базисным на 3%.

-- для капусты:

или 105%, т.е. цена проданной капусты в отчетном году увеличилась по сравнению с базисным годом на 5 %.

-- для моркови:

или 90%, т.е. цена проданной моркови в отчетном году уменьшилась по сравнению с базисныи годом на 10%.

Найдем индивидуальный индекс физического объема реализации с помощью формулы:

где qi0- количество i-гo товара в базисном периоде, qi1 - количество i-гo товара в отчетном периоде.

Найдем индивидуальные индексы количеств:

-- для свеклы:

или 89%, т.е. количество тонн проданной свеклы в отчетном году уменьшилось по сравнению с базисным на 11%;



-- для капусты:

или 97%, т.е. количество тонн проданной капусты в отчетном году уменьшилось по сравнению с базисным на 3%;

-- для моркови:

или 101 %, т.е. количество тонн проданной моркови в отчетном году увеличилось по сравнению с базисным на 1%;

Аналогично, найдем индивидуальные индексы товарооборота:

-- для свеклы:

-- для капусты:

-- для моркови:

Вывод: товарооборот в отчетном году по сравнению с базисным годом: для свеклы - уменьшился на 8%; для капусты - увеличился на 2 %; для моркови - уменьшился на 9%.

Индивидуальные индексы объемных и качественных показателей, взаимосвязаны между собой так же индексы: произведение индекса физического объема товарооборота на индекс цен, дает индекс товарооборота:



Проверка: для свеклы - 1,03 * 0,89 = 0,92;

для капусты - 1,05 * 0,97 = 1,02;

для моркови - 0,90 *1,01 = 0,91.

2) Найдем общий агрегатный индекс цен (метод Пааше)

.

?Zp = ?q1 * p1 - ?q1 * p0

?Zp = 19311.1 - 19681.8 = -370.7

Вывод: За счет изменения цен сводный товарооборот снизился на 1.88% или на 370.7 руб.

3) Найдем общий агрегатный индекс количеств (физического объема) для овощей. Общий агрегатный индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

?Zq = ?q1 * p0 - ?q0 * p0

?Zq = 19681.8 - 20524.7 = -842.9

Вывод: За счет изменения объема проданной продукции, товарооборот снизился на 4.11% или на 842.9 руб.

4) Найдем общий агрегатный индекс товарооборота:

?Z = ?q1 * p1 - ?q0 * p0

?Z = 19311.1 - 20524.7 = -1213.6

Вывод: За счет всех факторов общий товарооборот снизился на 5.91% или на 1213.6 руб.

Покажем взаимосвязь индексов Ipq = Iq * Ip = 0.96 * 0.98 = 0.94.

ОТВЕТ:

Индивидуальные индексы цен: для свеклы: для капусты: для моркови: Индивидуальные индексы количеств: для свеклы: для капусты: для моркови: Индивидуальные индексы товарооборота: для свеклы: для капусты: для моркови:

За счет изменения цен сводный товарооборот снизился на 1.88% или на 370.7 руб. За счет изменения объема проданной продукции, товарооборот снизился на 4.11% или на 842.9 руб. За счет всех факторов общий товарооборот снизился на 5.91% или на 1213.6 руб.

Задание 4

Численность работников предприятия, начавшего свою деятельность с 10 мая по списку составляла: 10-21 мая -- 220 человек; 22-25 мая -- 210 человек; 26-31 мая -- 205 человек. Среднесписочная численность работников составляла , чел.:

июнь -- 210;

3 квартал -- 225;

октябрь -- 245;

ноябрь -- 240;

декабрь -- 242.

Определите среднюю численность работников предприятия за: май; 2 квартал; I полугодие; 4 квартал; II полугодие; год.

РЕШЕНИЕ: Занесем данные из условия в следующую таблицу:

Численность работников предприятия
май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
10 - 21	220		III квартал
22 - 25	210
26 - 31	205
Средне- списочная численность	212	210	225	245	240	242

Определим среднюю численность работников за май:

человек.

Определим среднюю численность работников за 2 квартал (май и июнь, т.к. в апреле предприятие еще не действовало):

человек.

Определим среднюю численность работников за I полугодие (май и июнь, т.к. в январе-апреле предприятие еще не действовало):

человек.

Определим среднюю численность работников за IV квартал (октябрь, ноябрь, декабрь):

человек.

Определим среднюю численность работников за II полугодие (июль-декабрь):

человека.

Определим среднюю численность работников за год (май - декабрь):

человек.

ОТВЕТ: средняя численность работников предприятия: за май - 212 человек; за 2 квартал - 219 человек; за I полугодие - 219 человек; за 4 квартал - 242 человек; за II полугодие - 234 человек; за год - 226 человек.

Задание 5.

Имеются следующие данные по основным фондам предприятия за 2010 год, тыс. руб.:

Основные фонды по полной балансовой стоимости на начало года	1120 + N
Коэффициент износа на начало года, %	53 + N
В течение года введено новых основных фондов	40 + N
Выбыло основных фондов (полная балансовая стоимость)	70 + N
Остаточная стоимость выбывших основных фондов	15 + N
Сумма начисленного износа основных фондов за год	104 + N
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	1076 + N
Объем произведенной продукции	1036 + N

Постройте баланс основных фондов и определите:

1) наличие основных фондов на конец года по полной и остаточной стоимости;

2) коэффициенты обновления и выбытия основных фондов;

3) коэффициенты износа и годности основных фондов на начало и конец года;

4) показатели, характеризующие использование основных фондов.

РЕШЕНИЕ:

Подставим N = 45 и получим:

Основные фонды по полной балансовой стоимости на начало года	1165 тыс. руб.
Коэффициент износа на начало года, %	98 %
В течение года введено новых основных фондов	85 тыс. руб.
Выбыло основных фондов (полная балансовая стоимость)	115 тыс. руб.
Остаточная стоимость выбывших основных фондов	60 тыс. руб.
Сумма начисленного износа основных фондов за год	149 тыс. руб.
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	1121 тыс. руб.
Объем произведенной продукции	1081 тыс. руб.

1) Считаем полную стоимость на конец года

§ 1. Наличие на начало года по полной стоимости 1165

§ 2. Поступило в отчетном году 85

§ 3. Выбыло в отчетном году по полной стоимости 115

Наличие на конец года по полной стоимости: 1165 + 85 - 115 = 1135 тыс. руб.

Считаем остаточную стоимость на конец года

§ 1. Остаточная стоимость фондов на начало года 1165

§ 2. Поступление основных фондов 85

§ 3. Выбытие по остаточной стоимости 115

§ 4. Амортизация 149

Наличие на конец года по остаточной стоимости: 1165 + 85 - 115 -149 = 986 тыс. руб.

2) Коэффициент обновления, выбытия:

§ К поступления (обновления) = ОФ введенные / ОФ на конец года = 85 / 1135 = 0,075.

§ К выбытия = ОФ выбывшие / ОФ на начало год = 115 / 1165 = 0,1.

3) Коэффициенты годности и износа

§ К годности н.г. = стоимость ОФ за вычетом износа / полная стоимость ОФ = (1165-1165*98%) / 1165 = 23,30/1165 = 0,02 или 2% .

§ К годности к.г. = -100,7 / 1135 = - 0,089 или - 8,9%.

§ К износа н.г. = сумма износа / полная стоимость основных фондов = (1165-23,3) / 1165 = 0,98 или 98 %.

§ К износа к.г. = (1135-(-100,7)) / 1135 = 1,089 или 108,9 %.

4) Показатели, характеризующие использование основных фондов.

§ фондоотдача = выпуск продукции / ср.год. полн. стоимость ОФ = 1081/1121 = 0,96 выпуск продукции на 1 тыс. руб.

§ фондоемкость = ср.год. полн. стоимость ОФ / выпуск продукции = 1021/1081 = 1,03 доля стоимости основных фондов, приходящихся на каждую тыс. рублей выпускаемой продукции.

Баланс основных фондов

Виды ОФ в группир. по различным признакам	Наличие на начало года	В течение года	Наличие на конец года
		ввод в действие ОФ	прочие поступления	выбытие по ветхости и износу	прочие выбытия
	1	2	3	4	5	6 = 1+2+3-4-5
ОФ	1165	85	-	149	115	986

Баланс по первоначальной стоимости за вычетом износа

Виды ОФ в группир. по различным признакам	Наличие на начало года	В течение года	Наличие на конец года
		ввод в действие ОФ	прочие поступления	выбытие по ветхости и износу	прочие выбытия
	1	2	3	4	5	6 = 1+2+3-4-5
ОФ	23,30	85	-	149	60	-100,7

Задание 6

Имеются следующие данные о цене продаж товаров (руб.) по месяцам года. С целью выявления тренда, проведите аналитическое выравнивание указанного параметра рынка по прямой, представив уравнение трендовой модели.

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
Цена	25	84	41	39	17	28	54	52	78	95	24	36

РЕШЕНИЕ:

Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1?t = ?y

a0?t + a1?t2 = ?y*t

t	y	t2	y2	t y
1	25	1	625	25
2	84	4	7056	168
3	41	9	1681	123
4	39	16	1521	156
5	17	25	289	85
6	28	36	784	168
7	54	49	2916	378
8	52	64	2704	416
9	78	81	6084	702
10	95	100	9025	950
11	24	121	576	264
12	36	144	1296	432
78	573	650	34557	3867

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a0 + 78a1 = 573

78a0 + 650a1 = 3867

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 0.997, a1 = 41.273

Уравнение тренда:

y = 0.997 t + 41.273

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 0.997 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 месяц, y изменится в среднем на 0.997.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.



По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;б/2) = (10;0.025) = 2.228

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 7

(41.27 + 1*7 - 2.228*61.64 ; 41.27 + 1*7 - 2.228*61.64)

(-13.39;109.89)

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(0.997 - 2.228*2.22; 0.997 + 2.228*2.22)

(-3.95;5.94)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(41.273 - 2.228*16.35; 41.273 + 2.228*16.35)

(4.85;77.69)

ОТВЕТ:

Уравнение тренда имеет вид: y = 0.997 t + 41.273.

Задание 7

При проверке импортируемого товара на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 500 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 70 + N г при среднеквадратическом отклонении 11 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес в генеральной совокупности.

РЕШЕНИЕ:

При N = 45 имеем средний вес изделия: = 70+45=115 г; s = 11; n =500.

Доверительный интервал для генерального среднего.

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = г

Ф(tkp) = г/2 = 0.997/2 = 0.4985

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.4985

tkp(г) = (0.4985) = 2.96

(115 - 32.56;115 + 32.56) = (82.44;147.56)

С вероятностью 0.997 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

ОТВЕТ:

средний вес в генеральной совокупности находится в пределах (82.44;147.56) с вероятностью 0,997.

Задание 8

Имеются следующие данные о квалификации и заработной плате рабочих.

Табельный номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Разряд	3	4	5	6	2	1	4	3	4	3
Заработная плата, тыс. руб.	58+N	64+N	89+N	98+N	72+N	49+N	71+N	59+N	68+N	52+N

Для характеристики связи между рассматриваемыми признаками исчислить:

1) линейное корреляционное уравнение;

2) линейный коэффициент корреляции;

3) индекс корреляции.

РЕШЕНИЕ: Подставим в таблицу N = 45 и получим следующие данные:

Табельный номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Разряд	3	4	5	6	2	1	4	3	4	3
Заработная плата, тыс. руб.	103	109	134	143	117	94	116	104	113	97

1) Используем графический метод для наглядного изображения формы связи между изучаемыми показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строим график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y (заработная плата), а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X (разряд). Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.



На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер. Линейное уравнение регрессии имеет вид

y = bx + a + е

Для оценки параметров - используем МНК (метод наименьших квадратов).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(yi - y*i)2 > min

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 35 b = 1130

35 a + 141 b = 4120

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 8.9189, a = 81.7838

Таким образом, уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 8.9189 x + 81.7838

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x * y
3	103	9	10609	309
4	109	16	11881	436
5	134	25	17956	670
6	143	36	20449	858
2	117	4	13689	234
1	94	1	8836	94
4	116	16	13456	464
3	104	9	10816	312
4	113	16	12769	452
3	97	9	9409	291
35	1130	141	129870	4120

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

; ;

Выборочные дисперсии:



;

Среднеквадратическое отклонение

;

2) Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

вариация динамика коэффициент индекс

.

Вывод: В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 8.92 x + 81.78

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 8.92 показывает среднее изменение заработной платы (в тыс. руб.) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением квалификации на 1 разряд y повышается в среднем на 8.92 тыс. руб.

Коэффициент a = 81.78 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная).

Вывод: в нашем примере связь прямая.

3) Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции

rxy = 0.82.

Вывод: полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

ОТВЕТ:

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 8.92 x + 81.78

Линейный коэффициент корреляции принимает значение rxy = 0.82.

Индекс корреляции равен коэффициенту корреляции, т.е. 0.82.

Размещено на Allbest.ru

...