Рента, потребительский кредит

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Работник через n = 20 лет собирается выйти на пенсию и получать ежегодно дополнительные поступления в сумме R = 1200 денежных единиц (д. е.). Для этого у него есть две возможности:

а) внесение некой суммы В в настоящий момент и ежегодное получение процентов с накопленной суммы через 20 лет;

б) ежегодная рента Ri в течение 20 лет, а затем ежегодное получение процентов с накопленной суммы.

Вычислить В и Ri, если годовая процентная ставка равна i = 11%.

1. Найдем сумму вклада, которая будет у работника через 20 лет и должна давать 1200 д. е. в виде 11% годовых:

Теперь найдем внесенную сумму В, которая через 20 лет превратится в D. Расчет будем вести по формуле сложных процентов, поскольку в течение 20 лет проценты со вклада сниматься не будут:

D = B (1 + i) n или

10909, 1 = В (1 + 0, 11) 20

Прологарифмируем обе части:

ln 10909, 1 = ln B - 20ln (1, 11) откуда

ln B = 9, 297 - 20*0, 1044

ln B = 7, 2102

B = 1353, 1 (д. е.)

Проверим:

1353, 1* (1, 11) 20 = 10909, 1

2. Рентой называется поток положительных платежей с постоянными промежутками между ними. Рассмотрим ежегодную ренту с постоянным ежегодным платежом Ri при годовой процентной ставке i = 0, 11. На рентные платежи начисляются сложные проценты. Наращенная сумма через 20 лет должна быть равна S = 10909, 1 д. е. (определена в п. 1). Эта величина называется наращенной суммой ренты и определяется по формуле ([1], стр. 22) :

S = Ri*s (n, i), где

Ri - рентный платеж;

s (n, i) - коэффициент наращения ренты, определяемый по формуле:

Отсюда рентный платеж равен:

Таким образом, для получения желаемого результата работник может положить в настоящее время 1353, 1 д. е. под 11% годовых (на 20 лет), либо вносить ежегодную ренту в размере 169, 92 д. е. в течение 20 лет под 11% годовых.

Задача 2

В банке взят кредит в сумме 3000 д. е. на n = 2 года под i = 11% годовых с ежемесячным погашением. Рассчитать ежемесячные взносы для следующих условий погашения:

а) равными ежемесячными выплатами;

б) погашение потребительского кредита равными выплатами;

в) погашение потребительского кредита по правилу «78».

1. Размер ежемесячной выплаты найдем по формуле равных выплат ([1], стр. 33) :

D - размер кредита;

m = 12 - число выплат в году;

n = 2 года - срок кредита;

i = 0, 11 - годовая процентная ставка за кредит;

s (nm, i/m) - коэффициент наращения ренты, поскольку в данном случае ежемесячные выплаты образуют соответствующую ренту, на которую начисляют проценты m раз в году по ставке i/m.

Величину S (2*12, 0, 11/12) = S (24, 0, 0092) найдем по формуле:

Теперь можно найти величину ежемесячного платежа:

Таким образом, чтобы погасить кредит 3000 д. е., взятый на 2 года под 11%, равными ежемесячными выплатами нужно вносить ежемесячно по 139, 82 д. е., что составит за два года 139, 82*24 = 3355, 76 (д. е.).

2. При выдаче потребительского кредита сразу на всю сумму начисляются простые проценты, которые прибавляются к сумме кредита, полученная сумма и должна быть выплачена за два года. При ежемесячных равных платежах они составят ([1], стр. 35) :

За два года общая сумма выплат составит:

152, 5*24 = 3660 (д. е.)

3. При погашении потребительского кредита по «правилу 78» (это название произошло от суммы номеров всех месяцев в году: 1+2+3+…+11+12 = 78) основной долг выплачивается равными долями, а процентные деньги в размере n*i*D уплачиваются в уменьшающемся в арифметической прогрессии размере. Практический расчет выполняют следующим образом: подсчитывается сумма номеров всех выплат по формуле: N = (1+2+3+…+m*n) = (1+m*n) *m*n/2 и процентные деньги делят на N частей. 1-й платеж равняется m*n таких частей, а каждый последующий уменьшается на одну часть. Последний платеж равняется одной части. В нашем случае m*n = 12*2 = 24 и ежемесячный платеж по погашению основного долга равняется:

Величина процентных денег:

D*i*n = 3000*0, 11*2 = 660 (д. е.)

Число частей:

Денежное содержание одной части равно 660/300 = 2, 2 (д. е.).

Первый платеж за процентные деньги равен 2, 2*24 = 52, 8 (д. е.)

Второй платеж за процентные деньги равен 52, 8 - 2, 2 = 50, 6 (д. е.) и т. д. …

Последний платеж равен 2, 2 д. е.

Величина ежемесячных выплат составит

Задача 3

рента платеж кредит

Рассматривается инвестиционный проект, требующий первоначальных вложений Inv = 8000 д. е. и приносящий в течение n = 6 лет ежегодный доход в размере R = 3000 д. е. Годовая процентная ставка i = 0, 11. Рассчитать следующие характеристики проекта:

а) приведенный чистый доход NPV;

б) доходность проекта d;

в) срок окупаемости t;

г) внутреннюю доходность проекта q.

1. Приведенный чистый доход NPV (Net Present Value) - это алгебраическая сумма всех платежей, дисконтированных к моменту 0 по действующей ставке процента i. Он вычисляется по формуле:

Если поток доходов представить как конечную (выплата дохода в конце года) годовую ренту, то приведенный чистый доход можно определить по другой формуле ([1], стр. 44) :

NPV = Inv + Rk*a (n, i),

где a (n, i) - коэффициент приведения ренты, который возьмем по таблице ([1], прил. 3, стр. 255) :

а (6, 11) = 4, 2305

NPV = -8000 + 3000*4, 2305 = 4691, 5 (д. е.)

2. Доходность (или рентабельность) проекта определим по формуле ([1], стр. 44) :

, здесь

знак (-) перед Inv говорит о том, что инвестиции, которые обычно (в отличие от дохода) берутся со знаком минус, в этой формуле будут положительной величиной.

d = (4691, 5/8000) *100% = 58, 64%

3. Срок окупаемости проекта можно найти, решив неравенство ([1], стр. 45) :

Следовательно, в мае 4-го года баланс будет положительным.

4. Внутренней доходностью проекта называется такое наименьшее положительное число q, при котором алгебраическая сумма всех платежей, дисконтированных к моменту 0 по ставке q, равна нулю. Иными словами: Inv + R*a (n, q) = 0.

Найдем a (6, q) = (-Inv) /R = - (-8000) /3000 = 2, 667

По таблице коэффициентов приведения ренты ([1], прил. 3, стр. 232) подберем q = 29, 5%. Это и есть внутренняя доходность проекта.

Задача 4

Определить, что выгоднее: арендовать оборудование на n = 10 лет или его купить, если норма амортизации h = 4%, годовая процентная ставка i = 11%, а цена оборудования P = 40000 д. е. и ежегодная арендная плата R = 4500 д. е.

По истечении 10 лет остаточная стоимость оборудования составит ([1], стр. 49) :

S = P* (1 - n*h) = 40000* (1 - 10* 0, 04) =

= 24000 (д. е.)

Современная величина арендных платежей равна R*a (n, i),

где a (n, i) - коэффициент приведения ренты, который возьмем по таблице ([1], прил. 3, стр. 255) : а (10, 11) = 5, 8892, следовательно

R*a (n, i) = 4500*5, 8892= 26501, 4 (д. е.)

Современная величина потерь, связанных с покупкой, равна ([1], стр. 50) :

Поскольку современная величина арендных платежей меньше, чем современная величина потерь, связанных с покупкой, то выгоднее покупать оборудование, чем брать его в аренду.

Задача 5

Определить состав, риск и доходность d портфеля минимального риска из двух ценных бумаг X и Y, имеющих доходности d1 = 2%, d2 = 8%,

1 = 1, 2; 2 = 2, 8 соответственно, при коэффициенте корреляции rxy, равном: а) 1; б) 0; в) -1.

Портфелем называется набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка.

Доходность портфеля определяется по формуле:

р - стоимость портфеля сегодня;

p' - стоимость портфеля через год.

Для портфеля, состоящего из двух видов бумаг Х и Y, доходность определится по формуле:

dp = x*dx + y*dy,

где dx, dy - доходности бумаг Х и Y;

x, y - доли бумаг Х и Y в портфеле.

Так как портфенль состоит только из двух бумаг, то x + y = 1, и, задаваясь долями одного вида бумаг, можно получить долю другого и значит доходность портфеля.

Если бумаги Х и Y не коррелированы, т. е. их стоимость не зависит друг от друга (rxy = 0), то риск портфеля можно определить по формуле ([1], стр. 153) :

Если имеется полная прямая корреляционная зависимость (rxy = 1), то риск портфеля определяется по формуле ([1], стр. 154) :

При полной обратной корреляции (rxy = -1), риск портфеля определяется по формуле ([1], стр. 155) :

Расчет доходности и рисков портфеля при различных долях бумаг приведен в таблице 1.

Таблица 1

Расчет доходности и рисков портфеля бумаг Х и Y

Как видно из табл. 1, при коэффициенте корреляции rxy = 0 минимальный риск портфеля р = 1, 103 будет при долях бумаг х = 0, 84 и у = 0, 16, при коэффициенте корреляции rxy = 1 минимальный риск портфеля р = 1, 20 будет при долях бумаг х = 1 и у = 0, т. е. портфель целиком состоит из бумаг Х, при коэффициенте корреляции rxy = -1 минимальный риск портфеля р = 0 будет при долях бумаг х = 0, 70 и у = 0, 30.

Литература

В. И. Малыхин. Финансовая математика. - М., ЮНИТИ, 1999.

Размещено на Allbest.ru