Построение статистического ряда распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 12

Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одного из регионов (выборка 5% механическая бесповторная), млн. руб.:

№ предприятия п/п	Производительность труда, млн. руб./чел..	Объем производства, млн. руб.	№ предприятия п/п	Производительность труда, млн. руб./чел..	Объем производства, млн. руб.
1	1,20	35,00	16	1,50	59,60
2	1,20	38,60	17	1,40	62,60
3	1,40	61,40	18	1,40	56,60
4	1,35	46,40	19	1,45	65,00
5	1,40	65,00	20	1,45	65,00
6	1,35	51,80	21	1,60	82,00
7	1,40	58,30	22	1,35	48,70
8	1,40	44,10	23	1,35	54,20
9	1,55	75,20	24	1,35	53,00
10	1,55	69,80	25	1,40	63,80
11	1,35	46,40	26	1,40	57,80
12	1,40	55,40	27	1,40	60,20
13	1,45	67,50	28	1,50	71,30
14	1,30	43,50	29	1,45	60,00
15	1,45	62,50	30	1,25	41,30

Задача 1

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку производительность труда в расчете на 1-го работника, образовав, пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путём расчётов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Выполнение задания 1

Целью выполнения данного задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку - производительность труда в расчете на 1-го работника.

1. Построение интервального ряда распределения предприятий по производительности труда в расчете на 1-го работника

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по производительности труда в расчете на 1-го работника, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

, (1)

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г. Стерджесса:

k=1+3,322 lg n, (2)

где n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5, xmax = 1,6 млн. руб./чел., xmin = 1,2 млн. руб./чел.:

При h = 0,08, границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2 - границы интервалов ряда распределения

Номер группы	Нижняя граница, млн. руб./чел.	Верхняя граница, млн. руб./чел.
1	1,20	1,28
2	1,28	1,36
3	1,36	1,44
4	1,44	1,52
5	1,52	1,60

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов. Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Так как верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку - производительность труда в расчете на 1-го работника представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в задании 2).

Таблица 3 - Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел.	№ предприятия	Производительность труда, млн. руб./чел.	Объем производства, млн. руб.
1	2	3	4
1,20-1,28	1	1,20	35,00
	2	1,20	38,60
	30	1,25	41,30
Всего	3	3,65	114,90
1,28-1,36	4	1,35	46,40
	6	1,35	51,80
	11	1,30	46,40
	14	1,35	43,50
	22	1,35	48,70
	23	1,35	54,20
	24	1,25	53,00
Всего	7	9,30	344,00
1,36-1,44	3	1,40	61,40
	5	1,40	65,00
	7	1,40	58,30
	8	1,40	44,10
	12	1,40	55,40
	17	1,40	62,60
	18	1,40	56,60
	25	1,40	63,80
	26	1,40	57,80
	27	1,40	60,20
Всего	10	14,00	585,20
1,44-1,52	13	1,45	67,50
	15	1,45	62,50
	16	1,50	59,60
	19	1,45	65,00
	20	1,45	65,00
	28	1,50	71,30
	29	1,45	60,00
Всего	7	10,25	450,90
1,52-1,60	9	1,55	75,20
	10	1,55	69,80
	21	1,60	82,00
Всего	3	4,70	227,00
ИТОГО	30	41,90	1722,00

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по производительности труда в расчете на 1-го работника.

Таблица 4 - Распределение предприятий по производительности труда

Номер группы	Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел., х	Число предприятий, f
1	1,20-1,28	3
2	1,28-1,36	7
3	1,36-1,44	10
4	1,44-1,52	7
5	1,52-1,60	3
	Итого	30

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 5. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле:

.

Таблица 5 - Структура предприятий по производительности труда

№ предприятия	Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел.	Число предприятий, fj	Накопленная частота, Sj	Накопленная частость, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	1,20-1,28	3	10,00	3	10,00
2	1,28-1,36	7	23,30	10	33,33
3	1,36-1,44	10	33,40	20	66,67
4	1,44-1,52	7	23,30	27	90,00
5	1,52-1,60	3	10,00	30	100,00
	Итого	30	100,00

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по производительности труда не является равномерным: преобладают предприятия с производительностью труда от 1,36 млн. руб./чел. до 1,44 млн. руб./чел. (это 10 предприятий, доля которых составляет 33,40%); 33,30% предприятий имеют производительность труда менее 1,36 млн. руб./чел., а 66,70% - менее 1,44 млн. руб./чел.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным), что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

 (3)

где хМo - нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

fMo - частота модального интервала,

fMo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 5, модальным интервалом построенного ряда является интервал 1,36 - 1,44 млн. руб./чел., так как его частота максимальна (f3 = 10).

Расчет моды по формуле (3):

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная производительность труда характеризуется средней величиной 1,40 млн. руб./чел.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).



Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где хМе- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

fМе - частота медианного интервала,

SMе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

Медианным интервалом является интервал 1,36 - 1,44 млн. руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле (4):

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина имеют в среднем производительность труда не более 1,40 млн. руб./чел., а другая половина - не менее 1,40 млн. руб./чел.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, Vу на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( - середина j-го интервала).

Таблица 6 - Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по производительности труда млн. руб./чел.	Середина интервала,	Число предприятий, fj
1	2	3	4	5	6	7
1,20-1,28	1,24	3	3,72	-0,16	0,026	0,078
1,28-1,36	1,32	7	9,24	-0,08	0,006	0,042
1,36-1,44	1,40	10	14,00	0	0	0
1,44-1,52	1,48	7	10,36	0,08	0,006	0,042
1,52-1,60	1,56	3	4,68	0,16	0,026	0,078
Итого		30	42,00			0,24

Расчет средней арифметической взвешенной:

(5)

Расчет дисперсии:

(6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

Расчет коэффициента вариации:

(7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя производительность труда предприятий составляет 1,40 млн. руб./чел., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 0,09 млн. руб./чел. (или 6,4%), наиболее характерные значения производительности труда находятся в пределах от 1,31 млн. руб./чел. до 1,49 млн. руб./чел. (диапазон ).

Значение Vу = 6,4% не превышает 33%, следовательно, вариация производительности труда в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождений между значениями , Мо и Ме нет (=1,40 млн. руб./чел., Мо=1,40 млн. руб./чел., Ме=1,40 млн. руб./чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение производительности труда предприятий (1,4 млн. руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4. Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8)

Расхождений средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), так как распределение значений признака внутри каждой группы равномерное.

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками производительностью труда и объемом производства, используя метод аналитической группировки.

2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

3. Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак производительность труда (X), результативным - признак объем производства (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками производительности труда и объемом производства методом аналитической группировки

Применение метода аналитической группировки:

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - производительностью труда и результативным признаком Y - объемом производства. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7 - Зависимость суммы прибыли предприятий от производительности труда

№ предприятия	Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел.	Число предприятий	Сумма прибыли, млн. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие
1
2
3
4
5
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8 - Зависимость суммы прибыли предприятий от производительности труда

№ предприятия	Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел., х	Число предприятий, fj	Сумма прибыли, млн руб.
			всего	в среднем одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1	1,20 - 1,28	3	114,90	38,30
2	1,28 - 1,36	7	344,00	49,14
3	1,36 - 1,44	10	585,20	58,52
4	1,44 - 1,52	7	450,90	64,41
5	1,52 - 1,60	3	227,00	75,70
	Итого	30	1722,00	57,40

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением производительности труда от группы к группе систематически возрастает и средняя прибыль по каждому предприятию, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

, (9)

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

ряд интервальный распределение корреляционный

, (10)

где yi - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

№ предприятия п/п	Объем производства, млн. руб.
1	2	3	4	5
1	35,00	-22,40	501,76	1225,00
2	38,60	-18,80	353,44	1489,96
3	61,40	4,00	16,00	3769,96
4	46,40	-11,00	121,00	2152,96
5	65,00	7,60	57,76	4225,00
6	51,80	-5,60	31,36	2683,24
7	58,30	0,90	0,81	3398,89
8	44,10	-13,30	176,89	1944,81
9	75,20	17,80	316,84	5655,04
10	69,80	12,40	153,76	4872,04
11	46,40	-11,00	121,00	2152,96
12	55,40	-2,00	4,00	3069,16
13	67,50	10,10	102,01	4556,25
14	43,50	-13,90	193,21	1892,25
15	62,50	5,10	26,01	3906,25
16	59,60	2,20	4,84	3552,16
17	62,60	5,20	27,04	3918,76
18	56,60	-0,80	0,64	3203,56
19	65,00	7,60	57,76	4225,00
20	65,00	7,60	57,76	4225,00
21	82,00	24,60	605,16	6724,00
22	48,70	-8,70	75,69	2371,69
23	54,20	-3,20	10,24	2937,64
24	53,00	-4,40	19,36	2809,00
25	63,80	6,40	40,96	4070,44
26	57,80	0,40	0,16	3340,84
27	60,20	2,80	7,84	3624,04
28	71,30	13,90	193,21	5083,69
29	60,00	2,60	6,76	3600,00
30	41,30	-16,10	259,21	1705,69
Итого	1722,00	1664,60	3542,48	102385,28

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где - средняя из квадратов значений результативного признака,

- квадрат средней величины значений результативного признака.

Тогда,

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле:

, (13)

где - групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13. При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
1,20 - 1,28	3	38,30	-19,10	1094,43
1,28 - 1,36	7	49,14	-8,26	477,60
1,36 - 1,44	10	58,52	1,12	12,54
1,44 - 1,52	7	64,41	7,01	344,00
1,52 - 1,60	3	75,70	18,30	1004,67
Итого	30			2933,24

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 83%

Вывод. 83% вариации объема производства предприятий обусловлено вариацией производительности труда, а 17% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

 (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14 - Шкала Чэддока

	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между производительностью труда и объемом производства предприятий является весьма тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле:

,

где n - число единиц выборочной совокупности,

m - количество групп,

- межгрупповая дисперсия,

- дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

- средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где - общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия Fрасч сравнивается с табличным Fтабл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k1=m-1, k2=n-m. Величина Fтабл для значений , k1, k2 определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k1, k2. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если FрасчFтабл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если FрасчFтабл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k1=3,4,5; k2=24 - 35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =83%, полученной при =118,08, =97,80:

Fрасч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (,5, 25)
30	5	4	25	2,60

Вывод: поскольку FрасчFтабл, то величина коэффициента детерминации =83% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между производительностью труда и объемом производства предприятий правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности предприятий.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1) ошибку выборки средней производительности труда предприятий и границы, в которых будет находиться средняя производительность труда для генеральной совокупности предприятий региона.

2) Ошибку выборки доли предприятий региона с уровнем производительности труда 1,52 и более млн. руб., в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного задания является определение для генеральной совокупности предприятий региона границ, в которых будут находиться величина средней производительности труда предприятий и доля предприятий с уровнем производительности труда не менее 1,52 млн. руб.

1. Определение ошибки выборки для средней производительности труда предприятий и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину е, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле:

, (15)

где - общая дисперсия выборочных значений признаков,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n - число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

где - выборочная средняя,

- генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0,954; Р= 0,997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой:

(17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию, выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 5% механическая бесповторная, следовательно, генеральная совокупность включает 600 предприятий (). Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,683	1	30	600	1,40	0,008

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

1,40-0,021,40+0,02,

1,38 млн. руб./чел. 1,42 млн. руб./чел.

Вывод. На основании проведенного выборочного исследования предприятий региона с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средняя производительность труда находится в пределах от 1,38 млн. руб./чел. до 1,42 млн. руб./чел.

2. Определение ошибки выборки доли предприятий региона с уровнем производительности труда 1,52 и более млн. руб./чел. а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

где m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n - общее число единиц в совокупности.

Для собственно - случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:

, (19)

где w - доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) - доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n- число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение производительности труда предприятий величины 1,52 млн. руб./чел.

Число предприятий с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=3

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,0450,155

или

4,5%15,5%

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности, доля предприятий с производительностью труда 1,52 млн. руб./чел. и выше будет находиться в пределах от 4,5% до 15,5%.

Задача 4.

Имеются следующие данные по двум предприятиям за два периода:

№ предприятия п/п	Объем производства, млн. руб.	Среднесписочная численность работников, чел.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
1	16800	18200	120	108
2	9800	10200	80	80

По данным таблицы необходимо определить следующее:

1. Уровни и динамику производительности труда по каждому предприятию.

Результаты расчетов представить в таблице.

По двум предприятиям вместе:

- индексы производительности труда (переменного, постоянного (фиксированного) состава, структурных сдвигов).

- абсолютное изменение средней производительности труда за счет отдельных факторов.

- Сделать выводы.

Выполнение задания 4

Целью данного задания является изучение относительного и абсолютного изменения производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, на двух предприятиях.

1. Расчет уровня и динамики производительности труда по каждому предприятию

Производительность труда вычисляется делением объема производства на среднесписочную численность работников по формуле:

, (21)

где q- объем производства;

Т - среднесписочная численность работников.

Индивидуальные индексы производительности труда рассчитываются по формуле:

(22)

Результаты расчетов по каждому предприятию представлены в таблице:

№ предприятия п/п	Объем производства, млн. руб.	Среднесписочная численность работников, чел/	Производительность труда, млн. руб./чел.	Индекс производитиельности труда, %
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
	q0	q1	T0	T1	w0	w1	iw
1	16800	18200	120	108	140	168,5	120,40
2	9800	10200	80	80	122,5	127,5	104,10
Итого	26600	28400	200	188	262,5	296	113,00

Для того чтобы оценить изменение производительности труда по двум предприятиям, рассчитаем среднюю производительность труда по формуле:

(23)

В базисном периоде:

ед./чел.

В отчетном периоде:

ед./чел.

В отчетном периоде при производительности базисного периода:

ед./чел.

2. Расчет общих индексов производительности труда (переменного, постоянного (фиксированного) состава, структурных сдвигов)

Для определения относительного изменения среднего по двум предприятиям (совокупности в целом) уровня производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом рассчитывают индексы производительности труда переменного, постоянного состава, структурных сдвигов.

а) Переменного состава:

Таким образом, в среднем по двум предприятиям производительность труда выросла в отчетном периоде по сравнению с базисным на 13,6%.

б) Постоянного состава:

Таким образом, в среднем по двум предприятиям производительность труда на уровне отчетного периода возросла на 13,9 %.

в) Структурных сдвигов:

Индексы производительности труда переменного, постоянного состава, индекс структурных сдвигов образуют систему взаимосвязанных индексов:

(24)

т.е. индекс переменного состава равен произведению индекса фиксированного состава и индекса структурных сдвигов (мультипликативная связь).

Расчет взаимосвязи индексов по формуле (23):

Таблица 11 - Расчетная таблица

Предприятие № п/п	Объем производства, млн. руб.	Среднесписочная численность работников, чел.	Индекс производительности труда, %	Производительность труда, млн. руб./чел.,w	Структура предприятий по объему производства, %
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период		Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
	q0	q1	T0	T1		w0=q0 /T0	w1=q1 /T1
1	2	3	4	5	6=8/7*100	7=2/4	8=3/5	10	11
1	16800,00	18200,00	120,00	108,00	120,40	140,00	168,50	63,20	64,10
2	9800,00	10200,00	80,00	80,00	104,10	122,50	127,50	36,80	35,90
Итого	26600,00	28400,00	200,00	188,00	113,00	133,00	151,10	100,00	100,00

3. Абсолютное изменение средней производительности труда за счет отдельных факторов:

в целом:

ед./чел.

в том числе под влиянием изменения ее уровня на каждом предприятии:

ед./чел.

за счет структурных сдвигов:

ед./чел.

Вывод. производительность труда на первом предприятии увеличилась на 20,4%, а на втором предприятии - на 4,1%.

Средняя производительность по двум предприятиям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 18,10 ед./чел., а за счет изменения в структуре производства средняя производительность труда сократилась на 0,4 ед./чел.

Размещено на Allbest.ru

...