Вариационные методы решения Метода Ритца
Использование функционального анализа в задаче. Основные вариационные методы. Характеристика линейных и непрерывных функций. Разновидность самосопряженных и несимметричных операторов. Особенность квадратного трехчлена. Коэффициент метода каллокаций.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.06.2014 |
| Размер файла | 226,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вариационные методы решения Метода Ритца
Идея метода:
Заменить краевую задачу равносильной задачей на поиск экстремали функционала.
Некоторые сведения из функционального анализа:
Определение 1
Пусть - множество функций. Отображение называется функционалом.
Пример
1) M - множество интегрируемых функций на.
, (1)
- число.
2)M - множество функций дифференцируемых в т. 0
, (2)
- число.
3)M - множество непрерывно-дифференцируемых на функций
, (3)
- длина кривой -число
Определение 2
Множество функций M называется линейным (или линеалом) если
, (4)
Примеры линеалов:
1) Множество полиномов;
2) Множество непрерывных функций на , обращающихся в т. в ноль.
Определение 3
Функционал называется линейным, если он определен на линейном множестве M и
, (5)
Определение 4
Оператор определенный на множестве M называется линейным, если M -линейное множество и и выполняются условия.
1) , (6)
2) . (7)
Пусть M - множество действительных непрерывных функций на . Определим скалярное произведение.
. (8)
Откуда следует
. (9)
Пусть - линейный оператор и определено скалярное произведение.
Определение 5
Оператор L называется симметричным, или самосопряженным, если
, (10)
Определение 6
Если и , то оператор L называется положительным.
, (11)
, (12)
. (13)
Операторы - линейные операторы.
Пусть некоторая функция, удовлетворяющая граничным условиям (2.7.2), (2.7.3), тогда заменой получим задачу
, (14)
, (15)
. (16)
Это задача с однородными граничными условиями.
Оператор L в уравнении (2.7.1) или (2.7.4) не является симметричным и положительным.
Приведем его к самосопряженному виду.
Умножим (2.7.4) на:
, (20)
, (21)
т.к. => => , (22)
или , (23)
, (24)
Если ввести оператор.
, (25)
То - новое уравнение.
Покажем, что оператор L в этом уравнении самосопряженный в случае однородных граничных условий.
, (26)
где - определитель Вронского.
Т.к. граничные условия однородны, т.е.
и , (27)
то не трудно проверить, что и (самостоятельно).
, (28)
оператор симметричен (самосопряжен).
Выясним когда оператор L будет положительным.
, (29)
Т.к. ,то для положительности потребуем чтобы
, (30)
, (31)
Если и , (32)
то оператор будет положительным.
Т.о. задача (2.7.1) - (2.7.3) может быть приведена к задаче с однородными граничными условиями с самосопряженным оператором (2.7.7). При выполнении условий (2.7.8), (2.7.9) оператор будет положительным.
Теорема 1
Пусть L - симметричный положительный линейный оператор, определенный на множестве M , тогда задача
- с однородным граничным условием имеет единственное решение.
Доказательство: (от противного)
Пусть существуют два решения , т.е.
и , (33)
Тогда разность удовлетворяет задаче
, (34)
Умножим (2.7.10) скалярно на
Т.к. оператор положительный, следовательно,
, (35)
Теорема доказана.
Теорема 2
Пусть L - симметричный положительный оператор, определенный на множестве M, а - функционал, связанный с задачей ,
Тогда задачи и эквиваленты, т.е. решение одной задачи является решением другой.
Доказательство: вариационный линейный функция
Необходимость.
Пусть - решение краевой задачи, т.е. и , тогда
(36)
достигает min для тех и только для тех допустимых y, для которых , т.е. решение краевой задачи дает min функционалу .
Из (2.7.11) , следует, что этот минимум равен
Достаточность.
Пусть - функция, дающая минимум функционалу .
функций , лежащей в окрестности (т.е. достаточно близкой к ) справедливо неравенство или
, (37)
Положим и рассмотрим семейство функций , где - числовой параметр.
- допустимая и при малых выполняется (12) функция,
, (38)
Квадратный трехчлен по т.к. он не должен менять знак, следовательно, дискриминант
, (39)
,т.е. - удовлетворяет задаче.
Теорема доказана.
Т.о. краевая задача эквивалентна задаче поиска минимума функционала .
Вернемся к краевой задаче (2.7.1) - (2.7.3) и к симметричному положительному оператору (2.7.7) преобразованной задачи
, (40)
Выпишем функционал .
Шаг 1 Находим функцию , удовлетворяющую неоднородным краевым условиям (2.7.2), (2.7.3) (например линейную) и делаем замену в задаче. Приходим к системе (2.7.4) - (2.7.6) с однородными граничными условиями.
Шаг 2 Вводим функцию и приводим к задаче с положительным симметричным оператором (2.7.7)
, (41)
Шаг 3 Выписывается функционал:
, (42)
, (43)
ищется функция, - дающая его минимум.
Шаг 4 Решение задачи (2.7.1)-(2.7.3) выписывается в виде
Рассмотрим подробнее Шаг 3 - шаг определения функции, дающий
Выберем систему линейно-независимых на функции удовлетворяющих однородным граничным условиям
Будем искать решение в виде,
, (44)
Тогда , (45)
и , (46)
- есть квадратичная функция переменных . Найдем из условия экстремума,
, (47)
где , (48)
Т.е. решается СЛАУ, откуда находится коэффициенты представления решения
Уравнение (2.7.15) может быть преобразовано к виду:
, (49)
, (50)
Пример
, (51)
Шаг 1 - удовлетворяет граничным условиям
Шаг 2
, (52)
Шаг 3 Путь
и , (53)
, (54)
Ищем , (55)
Найдем как решение уравнения.
, (56)
Т.о. решение
(коэффициент совпал с коэффициентом метода каллокаций).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные черты, задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного метода. Методы корреляционного и регрессионного анализа. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла, Спирмена, Фехнера. Определение тесноты взаимосвязи между показателями.
контрольная работа [558,5 K], добавлен 08.04.2013Особенности расчета интенсивных, экстенсивных показателей заболеваний. Применение коэффициента достоверности различий при изучении изменения показателей функций внешнего дыхания у больных. Вычисление стандартизированных показателей заболеваемости.
контрольная работа [52,5 K], добавлен 18.08.2009Средняя численность населения и расчет коэффициентов рождаемости и смертности. Определение остаточной стоимости основных фондов. Валовой национальный доход. Предмет исследования статистической науки. Вариационные ряды распределения и их сущность.
контрольная работа [22,2 K], добавлен 07.05.2009Цель выборочного наблюдения и формирование выборки. Особенности организации различных видов выборочного наблюдения. Ошибки выборочного отбора и методы их расчета. Применение выборочного метода для анализа предприятий топливно-энергетического комплекса.
курсовая работа [71,7 K], добавлен 06.10.2014Сущность, классификация логистических издержек. Методы анализа и пути снижения уровня логистических затрат. Краткая характеристика и структура предприятия ИП Щербинин Р.В. Основные поставщики товаров магазина "Всё для сна". Особенности метода АВС-анализа.
курсовая работа [330,4 K], добавлен 25.12.2014Определение понятия "риск" его характеристика и описание. Виды рисков и их особенности. Разновидность и особенность финансирования рисков. Основные методы финансирования рисков. Особенности методов финансирования рисков. Методы смягчения риска.
контрольная работа [33,7 K], добавлен 12.01.2009Понятие метода и методики экономического анализа. Метод экономического анализа как способ познания экономического субъекта. Использование всей совокупности методов, приемов и способов - одно из проявлений системного подхода в экономическом анализе.
контрольная работа [45,0 K], добавлен 03.11.2008Особенности применения метода математического моделирования в экономике. Роль экономических наблюдений и измерений в моделировании экономики. Необходимость создания целостной концепции развития аудита. Методы, предмет и виды экономического анализа.
курсовая работа [29,1 K], добавлен 17.11.2010Методы размножения выборок: концепция максимального правдоподобия, рандомизация. Сущность и принципы метода бутстреп, условия и возможности его использования. Математические основы исследуемого метода. Составление сметы затрат на выполнение работы.
дипломная работа [593,0 K], добавлен 07.05.2015Исследование индексного метода анализа цен: понятие, сущность и классификация, основные показатели статистики цен, индексный метод анализа цен на примере предприятия МП ГУКС, осуществляющее свою деятельность на строительном рынке города Благовещенска.
курсовая работа [293,7 K], добавлен 22.05.2008Формализованные методы финансового анализа. Традиционные и классические методы экономической статистики. Экономико–математические методы анализа. Математическо-статистические методы изучения связей. Финансовые вычисления и теория принятия решения.
курсовая работа [196,0 K], добавлен 05.05.2009Классификация оборотных средств, система показателей их эффективности. Методы и приёмы проведения анализа формирования оборотных средств. Применение интегрального метода и метода цепных подстановок в расчете и оценке использования оборотных средств.
курсовая работа [283,8 K], добавлен 12.08.2011Определение понятия метода в экономическом анализе, обозначение его основных характеристик. Выявление отличий метода от методики экономического анализа. Составление классификации методов. Описание неформальных (логистических) приемов, факторного анализа.
курсовая работа [292,2 K], добавлен 12.01.2016Критерии выбора программной реализации метода функционально-стоимостного анализа: сложность модели, организационное влияние, интеграция систем. Характеристика использования электронных таблиц, хранилища данных, специального программного обеспечения.
реферат [146,5 K], добавлен 25.11.2010Теоретические основы, предмет и методы экономической теории. Анализ предмета и метода экономики. Эффективное использование редких ресурсов и их ограниченность. Макроэкономический и микроэкономический анализ. Методы математического моделирования.
реферат [23,8 K], добавлен 17.11.2008Классификации методов экономического анализа, их неформальные и формализованные виды. Характеристика метода средних величин. Применение средней геометрической. Метод группировки данных, агрегатный индекс. Определение индекса цен, формы их построения.
эссе [81,7 K], добавлен 25.10.2011Возможности и проблемы формирования региональных социально-экономических систем. Описание системного, систематического, балансового, картографического, экономико-географического и математического метода проведения анализа размещения и развития региона.
контрольная работа [17,6 K], добавлен 28.11.2010Определение термина "статистика" и история ее возникновения. Взаимосвязь статистики с другими науками. Виды статистических исследований. Предназначение корреляционно-регрессионного анализа и выборочного метода. Методика анализа сезонных колебаний.
реферат [33,1 K], добавлен 10.01.2015Коэффициент корреляции, его значение и основные характеристики. Связь между двумя переменными. Динамика уровней ряда. Исследование временного ряда. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и последующих порядков.
курсовая работа [295,7 K], добавлен 06.05.2015Методы анализа детерминированных моделей. Построение моделей факторного анализа. Методы анализа стохастических моделей. Методы оптимизации в экономическом анализе. Методы комплексного анализа. Рейтинговая оценка финансового состояния.
курсовая работа [47,9 K], добавлен 12.05.2008
