Розробка моделі оптимальної структури виробництва продукції на підставі критерію максимізації прибутку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Одним з показників поліпшення економічної діяльності господарств є створення моделей орієнтованих на мінімізацію витрат або на максимізацію доходів від виробництва і реалізації продукції .

Протягом багаторічного періоду на кафедрі « Інформатики та математичного моделювання » вирішувалися завдання , пов'язані з оптимізацією структури виробництва . Впровадження ряду розробок у господарствах дозволили поліпшити економічний стан підприємств , за умови їх реальних ресурсних можливостей .

Метою роботи є розробка моделі оптимальної структури виробництва продукції на підставі критерію максимізації прибутку.

Для досягнення поставленої мети вирішені наступні завдання:

1 ) аналіз економічного стану галузі на підприємстві;

2 ) визначення тенденції розвитку підприємства;

3 ) побудова структури моделі та аналіз інформації ;

4 ) реалізація лінійної моделі .

На основі поставлених завдань визначена структура курсової роботи , яка складається з 3 розділів .

У першому розділі представлені моделі , що застосовуються у виробництві , їх класифікація , можливості і вплив інформації на складність моделей.

У другому розділі Оцінено економічний стан підприємства . Основна увага приділена динаміці виробництва продукції .

В останньому розділі здійснюється вибір виду моделі , виявляється її структура , аналізується вихідна інформація . У результаті побудови лінійної моделі вирішена задача оптимізації структури виробництва із застосуванням критерію максимізації прибутку.

1. Моделювання виробничих процесів

1.1 Моделі і їх класифікація

економічний господарство прибуток

Модель - це такий матеріальний чи подумки представлений об'єкт , який у процесі дослідження заміщає об'єкт - оригінал так , що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт - оригіналі.

Під моделюванням розуміється процес побудови , вивчення і застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями , як абстракція , аналогія , гіпотеза та ін .Процес моделювання обов'язково включає й побудова абстракцій , і умовиводи за аналогією , і конструювання наукових гіпотез .

В економіці широко застосовуються економіко - статистичні та економіко - математичні моделі .

Економіко - статистична модель являє кореляціонне рівняння зв'язку залежного і декількох незалежних факторів, що визначають кількісне значення залежного фактора.

Кореляційно - регресійний аналіз є одним із значущих методів побудови математичних моделей в економіці . Його мета визначити загальний вигляд математичної моделі у вигляді рівняння регресії , розрахувати статистичні оцінки невідомих параметрів, що входять в це рівняння , і перевірити статистичні гіпотези про залежність функції від її аргументів.

Одним з найбільш поширених способів моделювання тенденції часового ряду є побудова аналітичної функції, що характеризує залежність рівнів ряду від часу , або тренда.

Кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією , кількісно її можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції між рівнями вихідного часового ряду і рівнями цього ряду , зсунутими на кілька кроків в часі.

В економіко - математичної моделі параметри зазвичай даються у вигляді таблиці чисел, пов'язаних в систему функціональних рівнянь різного типу.

Економіко-математичні моделі поділяють на детерміністичні і стохастичні .

До детерміністичним відносять моделі , в яких результат повністю і однозначно визначається набором незалежних змінних. Ці моделі будують на основі правил лінійної алгебри , вони являють собою системи рівнянь , спільно розв'язуваних для отримання результатів .

Детерміністичних моделі поділяють на балансові та оптимізаційні . Балансові моделі , що виражають вимога відповідності наявності ресурсів та їх використання, як правило , характеризуються системою балансових таблиць , які зазвичай мають форму шахового балансу і можуть бути записані у вигляді квадратних матриць .

Найбільш великий клас моделей , що застосовуються на практиці , - оптимізаційні , які засновані на методах математичного програмування. Оптимізаційні моделі відрізняються від балансових тим , що метою їх побудови є не стільки опис структури економічної системи , скільки опис умов її функціонування. Дані моделі призначені для вибору найкращого варіанту з певного числа варіантів виробництва , розподілу чи споживання . Прикладом побудови таких моделей у виробництві є оптимізаційна модель структури виробництва продукції , яка спрямована на досягнення максимального прибутку при оптимальній структурі виробництва .

Оптимізаційні моделі бувають лінійні і нелінійні . Лінійні оптимізаційні моделі базуються на теорії лінійного програмування. Вони володіють простою структурою , математичний апарат для їх реалізації на комп'ютері добре розроблений , а результати моделювання легко інтерпретуються традиційними економічними термінами .

У той же час нерідко зустрічаються умови , коли залежності між обсягами видів діяльності або в цільовій функції не лінійні .

Стохастичні моделі описують випадкові процеси , що підкоряються законам теорії ймовірності . У цих моделях або вихідні дані , або шуканий результат виражаються не певними величинами , а вигляді деякої статистичної функції розподілу цих величин. Досліджуваний процес умовно розглядається як детерміністичний , і з моделлю математично оперують як з детерміністичною , але в неї входять елементи оцінки ймовірностей отримання результатів .

Економіко-математичні моделі можуть класифікуватися також за характеристикою математичних об'єктів , включених в модель , іншими словами за типом математичного апарату , використовуваного в моделі. За цією ознакою можуть бути виділені матричні моделі , моделі лінійного та нелінійного програмування , кореляційно - регресійні моделі , моделі теорії масового обслуговування , моделі мережевого планування і управління , моделі теорії ігор і т.д.

Нарешті , по типу підходу до досліджуваних соціально - економічним системам виділяють дескриптивні та нормативні моделі . При дескриптивнім ( описовому ) підході виходять моделі, призначені для опису і пояснення фактично спостережуваних явищ або для прогнозу цих явищ ; як приклад дескриптивних моделей можна привести названі раніше балансові та трендові моделі . При нормативному підході цікавляться не тим , яким чином влаштована і розвивається економічна система , а як вона повинна бути влаштована і як повинна діяти в сенсі певних критеріїв . Зокрема, всі оптимізаційні моделі відносяться до типу нормативних ; іншим прикладом можуть служити нормативні моделі рівня життя.

Всі описані вище види моделей застосовуються для опису структури виробництва продукції . Динаміка виробництва продукції може бути описана за допомогою трендової моделі . Трендові моделі дозволяють прогнозувати багатолітній розвиток галузі , зважаючи на невизначеність ряду показників , широке використання отримали стохастичні моделі .

Найбільш розробленими для моделювання виробництва продукції є лінійні моделі , за допомогою яких можливий вибір найкращого варіанта з множини. Крім того , даний вид моделі легко можна обробити на комп'ютері при використанні програм , розроблених на основі симплекс - методу .

1.2 Моделювання виробничих показників

Оптимізаційна задача - це економіко - математична задача , яка полягає в знаходженні оптимального (максимального або мінімального ) значення цільової функції . Причому значення змінних повинні належати деякій області допустимих значень.

У самому загальному вигляді завдання математично записується так

U = f ( x ) > max ; XW, ( 1.1)

X = ( x1 , x2 ... x n ).

де W - область допустимих значень змінних x1 , x2 , .... x n , f ( x ) - цільова функція .

Для того щоб вирішити завдання оптимізації , досить знайти її оптимальне рішення , тобто вказати таке X0 W, при якому f(x0) f(x) для будь-якого XW.

У разі пошуку мінімуму f(x0) ? f(x) при будь-якому XW [1.1].

В результаті рішення оптимізаційної задачі відшукується такий варіант , який при заданих умовах забезпечує досягнення екстремального значення обраного показника, що відображає реалізацію поставленої мети. Цей показник називають критерієм оптимальності . Математичний критерій оптимальності формується у вигляді деякої цільової функції .

При оптимізації складних динамічних систем , використовуються багатокритеріальні задачі , тобто вибір такого варіанту , який був би відносно однаково ефективним для ряду найбільш бажаних критеріїв . На практиці рідко зустрічаються задачі , коли необхідно одночасно розглядати більше 3 - 4 критеріїв . Для вирішення планово - економічних завдань звичайно досить 2 - 3 критеріїв .За допомогою моделювання економічну проблему вибору найкращого варіанту вдається звести до більш-менш відповідної математичної задачі пошуку оптимуму .

Математична модель оптимізаційної задачі включає в себе такі основні елементи:

1 ) змінні , або керовані параметри процесу - набір невідомих величин , чисельні значення яких визначаються в ході рішення і дають досить конкретні та деталізовані вказівки щодо раціональної організації процесу;

2 ) обмеження завдання , що представляють собою символічний запис обов'язкових умов організації даного процесу . Як правило , обмеження мають вигляд лінійних нерівностей або рівнянь . Економічний сенс обмежень різноманітний і залежить від змісту завдань.

3 ) завдання з обсягу виробництва;

4 ) обмеження на обсяг використовуваних ресурсів.

Обмежень першого і другого типів в задачі може бути безліч: по кожному виду матеріалів , палива , енергії , обладнання , чисельності працівників , фінансового ресурсу , потужності підприємств і т.д.

При вирішенні економіко - математичних задач з планування та організації виробництва методами лінійного програмування звичайно виходять з припущення , що всі параметри економіко - математичної моделі (ресурси , техніко-економічні коефіцієнти і коефіцієнти цільової функції ) є детермінованими , заздалегідь відомими величинами. Це допущення в багатьох випадках виявляється недостатньо суворим , так як деякі з параметрів завдання можуть носити імовірнісний ( стохастичний ) характер.

У моделях , що описують структуру виробництва продукції , в якості детермінованих величин приймаються обсяги виробничих ресурсів господарства , а також інші техніко-економічні коефіцієнти . Оцінка детермінованих і стохастичних величин проводиться за допомогою статистичних методів , найбільш точним з яких є автокореляційний аналіз , що визначає кореляційний залежність між послідовними рівнями часового ряду .

Таким чином , при розробці оптимізаційної моделі, яка описує структуру виробництва продукції , використовуються детерміновані та стохастичні величини. В результаті проведеної оцінки цих величин може бути побудована модель з усередненими даними або модель на основі тенденцій розвитку виробництва або стохастична з безліччю варіантів .

Оптимізаційні задачі з лінійною залежністю між змінними нехай :

b i кількість ресурсу виду i ( i = 1 , 2 , ... , m ) ;

а i,j норма витрати i - того ресурсу на одиницю j - того виду продукції;

x j кількість продукції виду j ( j = 1 , 2 , ... , n ) ;

c j прибуток ( дохід) від одиниці цієї продукції ( в задачах на мінімум собівартість продукції).

Тоді ОЗ лінійного програмування ( ЛП) в загальному вигляді може бути сформульована і записана наступним чином:

Знайти змінні xj ( j = 1 , 2 , ... , n ) , при яких цільова функція

була б максимальною (мінімальною ) , не порушуючи таких обмежень:

 (1.3)

Всі три випадки можна привести до так званої канонічної форми , ввівши додаткові змінні:

(1.4)

де k кількість додаткових змінних , і умова позитивності шуканих змінних: xj ? 0 .

У результаті рішення задачі знаходиться якийсь план (програма) роботи деякого підприємства . Звідси і з'явилося слово програмування . Слово лінійне вказує на лінійний характер залежності як в цільової функції , так і в системі обмежень. Слід ще раз підкреслити , що завдання обов'язково носить екстремальний характер , тобто полягає у знаходженні максимуму або мінімуму ( екстремуму ) цільової функції .

1.3 Симплексний метод вирішення ОЗЛП

Симплексний метод це обчислювальна процедура , заснована на принципі послідовного поліпшення рішень при переході від однієї базисної точки (базисного рішення) до іншої. При цьому значення цільової функції поліпшується.

Базисним рішенням є одне з допустимих рішень, які знаходяться у вершинах області допустимих значень. Перевіряючи на оптимальність вершину за вершиною , приходять до шуканого оптимуму. На цьому принципі заснований симплекс - метод .

Симплекс це опуклий багатогранник в n - вимірному просторі з n 1 вершинами , що не лежать в одній гіперплощини ( гіперплощина ділить простір на два півпростору ) .

Доведено , що якщо оптимальне рішення існує , то воно обов'язково буде знайдено через кінцеве число ітерацій ( кроків) , крім випадків зациклення .

Алгоритм симплексного методу складається з ряду етапів

Перший етап . Будується вихідна ОМ . Далі вихідна матриця умов перетворюється в наведену канонічну форму , яка серед всіх інших канонічних форм виділяється тим, що:

а ) праві частини умов ( вільні члени bi ) є величинами невід'ємними ;

б) самі умови є рівностями ;

в) матриця умов містить повну одиничну підматрицю .

Якщо вільні члени негативні , то обидві частини нерівності множаться на - 1 , а знак нерівності змінюється на протилежний. Для перетворення нерівностей в рівності вводяться додаткові змінні , які зазвичай позначають обсяг недовикористаних ресурсів . У цьому їх економічний сенс .

Нарешті , якщо після додавання додаткових змінних матриця умов не містить повну одиничну підматрицю , то вводяться штучні змінні , які не мають ніякого економічного сенсу. Вони вводяться виключно для того , щоб отримати одиничну підматрицю і почати процес вирішення задачі за допомогою симплексного методу .

В оптимальному вирішенні завдання всі штучні змінні ( ШЗ) повинні бути рівними нулю. Для цього вводять ШЗ у цільову функцію завдання з великими негативними коефіцієнтами ( - М ) при вирішенні завдання на max , і з великими позитивними коефіцієнтами (+М) , коли завдання вирішується на min . У цьому випадку навіть невелике ненульове значення ШЗ буде різко зменшувати ( збільшувати ) значення цільової функції . Зазвичай М в 1000 раз має бути більше , ніж значення коефіцієнтів при основних змінних.

Другий етап . Будується вихідна симплекс - таблиця і відшукується деяке початкове базисне рішення . Безліч змінних , що утворюють одиничну підматрицю , приймається за початкове базисне рішення . Значення цих змінних рівні вільним членам . Всі інші внебазісні змінні дорівнюють нулю.

Третій етап . Перевірка базисного рішення на оптимальність здійснюється за допомогою спеціальних оцінок коефіцієнтів цільової функції. Якщо всі оцінки коефіцієнтів цільової функції негативні або дорівнюють нулю , то наявне базисне рішення оптимальне . Якщо хоча б одна оцінка коефіцієнта цільової функції більше нуля , то наявне базисне рішення не є оптимальним і повинно бути покращено .

Четвертий етап . Перехід до нового базисного рішення. Очевидно , що в оптимальний план має бути введена така змінна, яка найбільшою мірою збільшує цільову функцію. При вирішенні завдань на максимум прибутку в оптимальний план вводиться продукція , виробництво якої найбільш вигідно . Це визначається по максимальному позитивному значенню оцінки коефіцієнта цільової функції .

Стовпець симплексної таблиці з цим номером на даній ітерації називається генеральним стовпцем .

Далі , якщо хоча б один елемент генерального стовпця а ij 0 суворо позитивний, то відшукується генеральна рядок (інакше задача не має оптимального рішення).

Для відшукання генеральної рядка всі вільні члени (ресурси ) поділяються на відповідні елементи генерального шпальти ( норма витрати ресурсу на одиницю виробу). З отриманих результатів вибирається найменший . Відповідна йому рядок на даній ітерації називається генеральною . Вона відповідає ресурсу , який лімітує виробництво на даній ітерації.

Елемент симплексної таблиці , що знаходиться на перетині генеральних шпальти і рядка , називається генеральним елементом .

Потім всі елементи генерального рядка ( включаючи вільний член) діляться на генеральний елемент . В результаті цієї операції генеральний елемент стає рівним одиниці . Далі необхідно , щоб всі інші елементи генерального стовпця стали б рівні нулю , тобто генеральний стовпець повинен стати одиничним. Всі рядки (крім генерального ) перетворяться в такий спосіб. Отримані елементи нового рядка множаться на відповідний елемент генерального шпальти і отриманий добуток віднімається з елементів старої рядка.

Значення нових базисних змінних отримаємо у відповідних комірках стовпчика вільних членів .

П'ятий етап. Отримане базисне рішення перевіряється на оптимальність (див. третій етап) . Якщо воно оптимально , то обчислення припиняються. В іншому випадку необхідно знайти нове базисне рішення (четвертий етап ) і т.д.

Процес побудови математичної моделі для розв'язання задачі , зазвичай, починається з відповідей на наступні питання :

- Для визначення яких величин повинна бути побудована модель, або як ідентифікувати змінні задачі?

- Які обмеження потрібно накласти на змінні, задля виконання умов , характерних для цієї модельованої системи ?

- У чому полягає мета завдання , для досягнення якої з усіх допустимих значень змінних потрібно обрати ті, які будуть відповідати оптимальному ( найкращому) рішенню завдання ?

Після відповіді на ці питання для побудови моделі залишається тільки ідентифікувати змінні, а також надати меті та обмеженням вигляду математичних функцій цих змінних.

Належний аналіз подібних питань та коректне формулювання математичної моделі являються центральною ланкою розв'язку задач лінійної (і не тільки лінійної) оптимізації. Ефективним засобом для вирішення задач лінійної оптимізації є MS Excel. Пакет Пошук Рішення (Solver), що знаходиться у складі даного програмного продукту , дозволяє вирішувати такого роду задачі з більшою ( більш ніж 200) кількістю змінних та обмежень. Підкреслимо , що стосовно задач оптимізації виробничої програми виробництва найбільш типовими задачами лінійної оптимізації є оптимізація доходу , прибутку , собівартості , номенклатури виробничої продукції , затрат станкового часу і т.п.

1.4 Нелінійні моделі оптимізації в управлінні

Як наприклад можна розглянути формування оптимальної виробничої програми підприємства. За критерієм затрат враховується собівартість одиниці продукції , яка зменшується при збільшенні об'єму виготовленої продукції , що призводить до нелінійного критерію ефективності. Нелінійні залежності трапляються також в обмеженнях задачі при точному обліку норм витрат ресурсів на одиницю виробленої продукції.

Перерахуємо деякі найбільш вживані методи вирішення задач нелінійної оптимізації (нелінійного програмування):

- Оптимізація нелінійної функції з обмеженнями на невід'ємність значень змінних (найширше використовуваними моделями даного класу є моделі квадратичного програмування , в яких цільова функція є квадратичною функцією змінних ).

- Моделі випуклого програмування; в моделях даного класу цільова функція є зогнутою ( випуклою ),а функції - обмеження являються випуклими функціями. У даних умовах локальний максимум ( чи мінімум) функції являється також глобальним. При рішенні таких задач використовується метод множників Лагранжа , а також теорема Куна - Таккера.

- Сепарабельне програмування . В задачах даного класу цільова функція і функції - обмеження можуть бути представлені у вигляді сум окремих компонентів . Данні задачі можуть бути зведені до задач лінійного програмування .

- Дробно - нелінійне програмування . В цих задачах проводиться максимізація (мінімізація) цільової функції виду (1.5)

- Якщо функції лінійні ( задача дробно - лінійного програмування ), то задача зводиться до лінійної

- Не випукле програмування .Задачі даного типу належать до найменш вивчених і найбільш важким задачам нелінійної оптимізації . В цьому випадку цільова функція та (або) функції - обмеження не випуклі . Надійних методів розв'язку таких задач у наш час не існує . Тому ми обмежимося розглядом лише найпростіших задач нелінійної оптимізації , не потребуючих використання важких аналітичних викладок і аналізу , - задач , котрі можуть ефективно вирішуватись на базі табличного процесору Excel.

Задача нелінійної оптимізації у загальному випадку складається у знаходженні такого вектору невідомих

який обертав би до максимуму (мінімуму) функцію

(1.6)

і задовольняв би системі обмежень :

де на деякі , або на всі змінні накладається умова невід'ємності .

2. Визначення оптимального асортименту продукції

Підприємство виготовляє два види продукції П1 і П2, яка надходить в оптову продаж. Для виробництва використовуються два види сировини і. Максимально можливі запаси сировини на добу становлять 9 і 13 одиниць відповідно.

Витрата сировини на одиницю продукції наведено в таблиці 2.1.

Таблица 2.1

Сырье	Расход сырья на единицу продукции	Запас сырья, ед.
	П1	П2
	2	3	9
	3	2	13

Маркетингові дослідження показали , що добовий попит на продукцію П1 не перевищує попит на продукцію П2 більш ніж на 1 од. Крім того, відомо , що попит на продукцію П2 не перевищує 2 одиниць на добу .

Оптові ціни одиниці продукції дорівнюють для П1- 3 д.о, для П2- 4 д.о.

Яка кількість продукції кожного виду має виробляти підприємство, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним ?

Очевидно, фірмі потрібно визначити обсяги виробництва кожного виду продукції в тоннах , максимізуючи дохід у д.о. від реалізації продукції , з урахуванням обмежень на попит і витрати вихідних продуктів . Припустимо , що підприємство виготовить одиниць продукції П1 і одиниць продукції П2. Оскільки виробництво продукції обмежена наявними в розпорядженні підприємства сировиною кожного виду і попитом на дану продукцію , а також враховуючи , що кількість виготовлених виробів не може бути негативним , отримаємо таку систему обмежень :



Дохід від реалізації продукції (цільова функція) складе :

(2.2)

Таким чином, ця проста задача є максимізація цільової функції , з урахуванням вище приведених обмежень.

Введемо данні на робочий аркуш , як показано у таблиці 2.2.Значення змінних буде поміщено у комірки A10 і B10 відповідно, цільова функція - у комірку E10.

Рішення завдання в Excel.

Таблиця 2.2

У комірці A3, A4, введіть ліву частину функцій обмеження: =2*A10+3*B10 и = 3*A10+2*B10 відповідно. У комірку C10 введемо ліву частину третьої функції обмеження: = A10 - B10.

Далі , запускаємо пакет Пошук рішення (сервіс ® Пошук рішення ) і встановлюємо цільові і змінювані комірки та вводимо необхідні обмеження (таблиця 2.3)

Діалогове вікно пошуку розв'язків

Таблиця 2.3

Пошук розв'язку дає наступну відповідь :

Приклад 2. Використання потужностей обладнання

Компанія має моделей машин з різними потужностями . Установлений план на час і номенклатуру : - час праці кожної машини; продукції -го типу повинно бути видано, принаймні одиниць.

Необхідно зробити такий план роботи обладнання, щоб забезпечити мінімальні витрати виробництва, якщо відомо, продуктивність кожної - машини для виробництва - го виду продуктції і вартість одиниці часу, витраченого - ю машиною на виробництва -го виду продукції .

Іншими словами, завдання для підприємств полягає в наступному : потрібно визначити час роботи - машини з випуску - го виду продукції , що забезпечує мінімальні витрати на виробництво при дотриманні обмежень по загальному часу роботи машин і заданій кількості продукції .

За умовою задачі машини працюють заданий час , тому це обмеження можна представити в наступному вигляді :

(2.3)

Обмеження на вказану кількість продукції, має таку форму

Задача розв'язується на мінімум виробничих витрат

У цьому постановка задачі припускає, що кількість продукції, що випускається має бути, принаймні , не менше . У деяких випадках не допускається перевищення номенклатури плану; Очевидно при цьому в обмеженнях на кількість продуктів потрібно використовувати знак рівності.

Проведемо рішення завдання в Excel. Введемо дані на робочий аркуш, як показано у таблиці 2.4.

У комірки B7: E7 введемо формули для обмеження на обсяг продукції, що випускається

у діапазоні комірок F19:F21 - формули для обмежень по часу роботи машин

В ролі цільової комірки, оберемо H11 і введемо у неї формулу мінімізіруємої функції.

Дані для розв'язку прикладу 2

Таблица 2.4

За допомогою пошуку розв'язку находимо таку відповідь:

Таблиця2.5

	Операційний час Xij
Машина	1	2	3	4
1	803.92	0	0	196.07
2	625	0	375	0
3	0	1000	0	0

Шукане значення мінімальної вартості виробництва складає з 725.32 д.о.

Наступні два приклади які ми розглянемо відносяться до галузі оптимізації цілого числа.

Приклад 3. Оптимізація виробничої програми

Автомобілебудівний завод виробляє три моделі автомобілів, які виробляються у трьох послідовних цехах. Потужність цехів становить 300, 250 до 200 днів протягом десятиліття. Перший цех для складання одного автомобіля першої моделі потребує 6 людино-днів, другої моделі 4 і третьої моделі 2 людино-дні на тиждень, відповідно. У другому цеху трудомісткість дорівнює 3, 4 і 5 днів, відповідно, у третьому - по 3 людино-дні на кожну модель. Прибуток від продажу кожної моделі автомобілів, відповідно, 15, 13 і 10 тис. д.о. Потрібно побудувати модель оптимального плану і визначити оптимальну кількість моделей кожного типу , тобто такі , за яких прибуток заводу буде максимальний .

Розв'язок. Нехай - кількість виробництва автомобілів -ї -моделі протягом десяти років (). Модель може бути описано у наступній цільовій функції і системами обмежень :



Введемо дані на робочий аркуш, як показано у таблиці 2.6. Шукані значення змінних буде поміщено до комірок A10: B10, цільова функція -- у клітинці E10.У комірки A3: A5 введемо ліві частини функцій обмежень, відповідних другому, третьому і четвертому співвідношенню.

За допомогою Пошуку Роз'язку отримаємо відповідь

Дані для розв'язання завдання 3

Таблиця

Приклад 4.Розміщення проектів на підприємствах

Маємо інвестиційних можливостей (варіантів проектів), які можуть бути реалізовані на підприємствах . Ефективність реалізації кожної інвестиції по кожному з на об'єктів зазначена у таблиці 2.7.

Таблиця2.7

Інвестиційні проекти ()	Об'єкти ()
	(I)	(II)	(III)	(IV)	(V)
1	0.12	0,02	0,50	0,43	0,15
2	0.71	0,18	0,81	0.05	0,26
3	0.84	0.76	0,26	0.37	0,52
4	0,22	0.45	0,83	0,81	0,65
5	0.49	0,02	0,50	0,25	0.27

Цільовою функцією підлягаючою для оптимізації є функція :

(2.9)

де - шукані розподілення інвестицій за об'єктами.

Таким чином, за змістом значення є очікуваний результат від реалізації усіх інвестиційних проектів. Обмеженнями при цьому є такі співвідношення

(2.10)

яке означає, що на кожному об'єкті може бути реалізовано лише один проект, і

 (2.11)

Це означає, що всі проекти повинні бути реалізовані. Потрібно класифікувати проекти за об'єктами таким чином, щоб загальна ефективність всіх проектів була максимальною.

Введемо дані на робочий аркуш(таблиця 2.8).

У комірку B17 увійде формула = SUM (В12: B16) і скопіюємо цю формулу до діапазону C17: F17. Аналогічним чином, введемо формулу = SUM (В12: F12) до комірки G12 і скопіюємо її в діапазон G13: G16. Введемо у комірку цільової функції (I13) формулу = Sumproizv (B4: F8;В12: F16)

Дані для розв'язання прикладу 4

Таблиця2.8

Щоб вирішити проблему, використовуючи функцію “Пошук розв'язку” варто встановити обмеження, згідно з наступною схемою.

Таблиця2.9

Пошук розв'язку дає відповідь

(залишок на ), .

2.1 Приклади нелінійних моделей оптимізації в управлінні

У цьому підрозділі ми коротко обговоримо проблеми нелінійної оптимізації (інакше оптимізаційні задачі нелінійного програмування), математичні моделі, які містять нелінійну залежність від змінних. Джерела нелінійності у задачах цього типу, можуть включатися, зокрема, в одну з двох категорій:

· Реально існуючі і емпірично спостережувані нелінійні співвідношення, наприклад, непропорційне залежності між обсягом виробництва і витратами, між кількістю компонентів, що використовується у виробництві і деякими показниками якості готової продукції, між витратами сировини та фізичними параметрами (тиску, температури і т. д.) відповідного виробничого процесу , між виручкою і об'ємом реалізації , тощо.

Встановлені керівництвом правила поведінки або задаються за словами, або залежності, що задаються, наприклад, правила розрахунку із споживачами енергії чи інших видів послуг, правила для визначення страхування заповідника рівнів, гіпотеза про характер розподілу ймовірностей випадкової змінної в моделі, різні види договірних умов взаємодії між діловими партнерами і т. д.

Як наприклад розглянемо створення оптимальної виробничої програми компанії. За критерієм витрат враховується собівартість одиниці продукції, яка зменшується при збільшенні об'єму продукції, що випускається, що приводить до нелінійного критерію ефективності. Нелінійні залежності виникають також в обмеженнях завдання при точному обліку норм витрати ресурсів на одиницю вироблюваної продукції.

Взагалі кажучи, розв'язання нелінійних задач за складністю значно перевершує вирішення розглянутих раніше завдань лінійної оптимізації. У зв'язку з цим довгий час в практиці економічного управління моделі лінійної оптимізації успішно застосовувалися навіть за наявності нелінійності. У деяких випадках нелінійність була неістотна і нею можна було нехтувати, в інших - лінеаризація нелінійних співвідношень або застосовувалися спеціальні прийоми, наприклад будувалися, так звані, апроксимації моделі, завдяки чому досягалася потрібна адекватність. Проте, часто зустрічаються завдання, для яких нелінійність є істотною і згадані вище методи апроксимації неефективні, у зв'язку з чим, нелінійність необхідно враховувати в явному вигляді.

На відміну від задачі лінійної оптимізації (лінійного програмування), не існує одного або декількох алгоритмів, ефективних для вирішення будь-яких нелінійних задач. Якийсь алгоритм може бути ефективний при вирішенні завдань одного типу і неприйнятним для задач іншого типу. У звязку з цим розроблені алгоритми для вирішення кожного класу (типу) завдань. Слід мати на увазі, що навіть програми, орієнтовані на вирішення певного класу задач, не гарантують правильність рішення будь-яких завдань цього класу і оптимальність рішення слід перевіряти в кожному конкретному випадку.

Перерахуємо деякі найбільш вживані методи вирішення задач нелінійної оптимізації (нелінійного програмування):

Оптимізація нелінійних функцій з обмеженнями на невід'ємність , значень змінних (найбільш широко використовуваними моделями даного класу є моделі квадратичного програмування, в яких цільова функція є квадратичною функцією змінних).

Моделі опуклого програмування; в моделях даного класу цільова функція є увігнутою (або опуклою), а функції-обмеження є опуклими функціями. За даних умов локальний максимум (або мінімум) функції є також глобальним. При вирішенні таких завдань використовується метод множників Лагранжа, а також теорема Куна-Таккера.

Сепарабельного програмування. У завданнях даного класу цільова функція і функції-обмеження можуть бути представлені у вигляді сум окремих компонент. Дані завдання можуть бути зведені до задач лінійного програмування..

Дробно - нелінійне програмування. У цих завданнях максимізація (мінімізація) цільової функції виду :

(2.12)

Якщо функції лінійних (дрібно лінійного програмування), задача зводиться до лінійних.

Неопукле програмування. Завдання цього типу належать до найменш вивчених і найбільш складних задач нелінійної оптимізації. У цьому випадку цільовї функції та (або) функції - обмеження не є опуклі. Надійних методів розв'язання таких задач в даний час не існує. Ми обмежимося розглядом лише найбільш простих задач нелінійної оптимізації, що не вимагають використання складних аналітичних викладок та аналізу, - завдань, які можуть ефективно вирішуватися на базі табличного процесора Excel. Завдання нелінійної оптимізації в загальному випадку полягає у знаходженні такого вектора невідомих

який звертав би в максимум (мінімум) функцію

і повинен був задовольняти обмеження:

де на деякі або на всі змінні накладається умова невід'ємності .

2.2 Використання інформаційних технологій при вирішенні задач нелінійної оптимізації

Таблиця xcel є потужним і ефективним засобом розв'язання нелінійних задач оптимізації. В якості ілюстрації можливостей даного програмного продукту розглянемо вирішення кількох завдань, безпосередньо пов'язаних з процесом прийняття (вироблення) рішень.

Приклад 5

Розглянемо наступну задачу Підприємство володіє ресурсами двох видів сировини і робочої сили, необхідними для виробництва двох видів продукції. Витрати ресурсів на виготовлення однієї тонни кожного продукту, прибуток, одержуваний підприємством від реалізації тонни продукту, а також запаси ресурсів наведено в наступній таблиці:

Параметри

Таблиця 2.10

Ресурс	Споживання ресурсів	Ресурс заповідника
	Товар 1	Продукт 2
Сировина 1, т.	3	5	120
Сировина 2, т	4	6	150
Робота, ч	14	12	400
Прибуток одиниць. грн/т	72	103

Вартість однієї тонни кожного виду сировини визначається такими залежностями:

д. о. на сировину 1 та д . о. для сировина 2

де витрати сировини для виробництва продукції. Вартість однієї години трудовитрат визначається залежністю , де - це кількість часу, необхідного для виробництва продукції.

Питання

Скільки продукту 1 і 2 слід виробляти для того, щоб забезпечити максимальний прибуток? Який максимальний прибуток?

Розв'язок : Нехай та - обсяги випуску продукції 1 і 2 в тоннах. Тоді завдання може бути описана у вигляді наступної моделі нелінійного програмування :

Проведемо розв'язок даної задачі в Excel. На початковому етапі підготуємо форму для вирішення завдання на робочому листі наступного виду

Дані для рішення прикладу 5

Таблиця.2.11

Відведемо для шуканих значень обсягів випуску продукції осередку B8, C8 , для витрати відповідних ресурсів (включаючи трудовитрати ) - комірки B3 , B4 , B5 . У дані осередку необхідно ввести функції

= 3 * B8 +5 * C8

= 4 * B8 +6 * C8 і

= 14 * B8 +12 * C8 відповідно.

Чисельні значення обмежень по ресурсах внесемо в осередки C3 , C4 , C5. У осередок E10 введемо формулу для цільової функції

= 11 * B8 +16 * C8 +0,1 * B8 ^ 2 +0,12 * C8 ^ 2 +0,22 * B8 * C8 .

Розв'язок завдання проводиться за допомогою Пошуку рішення Excel. Змінюваними осередками будуть , очевидно , осередки B8, C8 ; цільова осередок встановлюється рівною максимальному значенню ; використовуються наступні обмеження: $ B $ 3 <= $ C $ 3 , $ B $ 4 <= $ C $ 4 , $ B $ 5 <= $ C $ 5 . Слід мати на увазі , що у зв'язку з нелінійністю даної задачі необхідно у вікні Параметри пошуку рішення відключити опцію Лінійна модель (це зауваження відноситься до вирішення всіх завдань , наведених у даному розділі ) . У результаті запуску Пошуку рішення отримаємо відповідь

і значення максимального прибутку 507.407 тис. руб.

Приклад 6

Розглянемо наступну задачу. Підприємство може випускати два види продукції . На її виготовлення потрібні ресурси трьох видів ( ) . З урахуванням шлюбу витрата ресурсів на одиницю виробленої продукції - го виду ( ) визначається виразом , а прибуток залежно від обсягів виробництва дорівнює , де - шуканий обсяг виробництва продукції - го виду; - норма витрати - го ресурсу на виробництво одиниці продукції - го виду; - коефіцієнт зміни витрати відповідного ресурсу з урахуванням випуску бракованих виробів; - прибуток від одиниці продукції - го виду; - коефіцієнт зміни прибутку , що впливає на обсяг виробництва продукції .

Потрібно знайти такі обсяги виробництва продукції , при яких прибуток максимальний.

Значення параметрів задачі наводяться у наступній таблиці .

Таблиця 2.12

Ресурс ()	Запас ресурса	Норма расхода ресурсов на продукцию вида	Коэффициент изменения норм расхода ресурсов на продукцию вида
		1	2	1	2
1	1350	15	18	0,1	0,05
2	1400	12	16	0,2	0,2
3	1580	17	14	0,1	0,15
Прибыль (ден. ед.)	100	120
Коэф. изменения прибыли	-0,08	-0,1

При заданих значеннях параметрів цільова функція має вигляд

 ,

або

.

Обмеження по ресурсах мають вигляд

або

Як видно , в даній задачі як цільова функція , так і функції - обмеження є нелінійними функціями. Потрібно знайти рішення задачі в цілих числах.

Розв'язок

Заповнимо робочий лист за аналогією з таблицею 2.13

Таблиця 2.13

У комірки B3 ? B5 введемо формули - обмеження , в осередок E8 - формулу для цільової функції . Додаткове обмеження - на цілочисельність змінних . Після запуску Пошуку рішення отримаємо відповідь

Приклад 7

Розглянемо завдання дещо іншого роду . Нехай необхідно визначити місце розташування деякого об'єкта , обслуговуючого кілька інших об'єктів (наприклад , пральня , обслуговуюча декількох великих клієнтів ; нафтопереробний завод , на який повинна надходити нафта з декількох свердловин , склад готової продукції , обслуговуючий ряд підприємств, що виробляють однотипну продукцію і т.п. ) , координати яких відомі. Мета - звести до мінімуму транспортні витрати з урахуванням нерівноцінності клієнтів (наприклад , різні обсяги замовлень ) . У зв'язку з цим виникає необхідність такого вибору координат об'єкту , щоб транспортні витрати були мінімальні.

В якості цільової функції приймаємо:



де - шукані координати обслуговуючого клієнтів об'єкта , - координати -го обслуговуємого об'єкта , - задані коефіцієнти, що характеризують , наприклад , обсяги замовлень , або питому ( в розрахунку на 1 км . ) вартість доставки з відповідних об'єктів. Відзначимо , що в даній задачі не використовуються обмеження позитивності .

Розв'язок проведемо для трьох випадків , відповідних 1 ) відсутності будь-яких обмежень на координати , 2 ) необхідності розміщення обслуговуючого об'єкта на деякій прямолінійній відрізку (наприклад , об'єкт може бути розташований лише на окремому невеликому ділянці вулиці ) , 3 ) розташуванню об'єкта в межах деякого кола заданого радіуса . Обмежимося випадком трьох обслуговуваних об'єктів .

Перший випадок. Відсутні будь-які обмеження на координати .

Розв'язок

Введемо дані на робочий лист відповідно до приводиться нижче малюнком . В якості змінюваних осередків виберемо B10 , B11 ; в якості цільової осередку - осередок E11 і введемо в неї формулу

=J6*КОРЕНЬ((B10-A6)^2+(B11-B6)^2)+K6*КОРЕНЬ((B10-D6)^2+(B11-E6)^2)+L6*КОРЕНЬ((B10-G6)^2+(B11-H6)^2).

Дані для вирішення завдання про розташування об'єкта ( без обмежень)

Таблиця 2.14

Рішення задачі за допомогою Пошуку рішення при заданих координатах точок дає оптимальне значення цільової функції становить 11,0746 .

Другий випадок . Координати належать деякому відрізку прямої лінії , що задається рівнянням

(у даному прикладі ми використовуємо значення .)

Рішення

Дані для вирішення завдання про розташування об'єкта ( без обмежень)

Таблиця 2.15

Єдина його відмінність від попереднього випадку полягає в необхідності ввести додаткові обмеження у клітинці B13; у клітинку B13 введено формулу = В9-B15 * B8 і у вікні діалогу Пошук рішень вводимо обмеження $B $ $B = $ 16.

Відповідь

оптимальне значення цільової функції складає 13.6843

Третій випадок. Координати лежать всередині деякої окружності радіуса (ми вважаємо ). Даний випадок може відповідати, наприклад, ситуації, коли необхідно розмістити об'єкт поблизу деякого населеного пункту.РішенняВведемо дані на робочий аркуш у відповідності з приведеною нижче талицею.

Таблиця2.16. Дані для розв'язання задачі про розташування об'єкта (координати об'єкта локалізовані в межах кола певного радіусу)

Цільова функція знаходиться у клітинці E11, шукані координати об'єкту будуть розміщені в клітинах B7, B8. У клітинці B12 ми вписуємо функцію

F = B7 ^ 2 + B8 ^ 2. Введемо обмеження $B$12<=$C$11, беручи до уваги той факт, що об'єкт не повинен бути розміщений за межами кола, заданного радіусу. Пошук рішення дає відповідь цільова функція .

Приклад 8

Формування оптимального портфеля цінних паперів

Потрібно сформувати портфель мінімального ризику з двох видів цінних паперів - "АРТ" з ефективністю 12 % і ризиком 21,1 і " Верма " з ефективністю 5,1 % і ризиком 8,3 за умови , що забезпечується прибутковість портфеля не менш 8,9 %. Коефіцієнт кореляції дорівнює 0,18.

Вступні зауваження . Портфель цінних паперів являє собою сукупність різних інвестиційних інструментів , зібраних воєдино для досягнення конкретної інвестиційної мети вкладника. У портфель можуть входити цінні папери тільки одного типу , наприклад акції або облігації , або різні інвестиційні цінності , такі як акції , облігації , депозитні і ощадні сертифікати , нерухомість і т.д.

Основною метою у створенні портфелю є для досягнення оптимального балансу між ризиком і доходів для інвесторів. Зниження ризику, досягнуті в тому, що можливі низьким доходом згідно з одного документа будуть компенсовані високий дохід з іншими цінних паперів.

Мінімізація ризиків досягається за рахунок включення до портфеля цінних паперів широкого спектру галузей промисловості, не зв'язаних тісно між собою, щоб уникнути синхронності циклічних коливань їх підприємницької діяльності.

Для отримання кількісних характеристик портфеля можуть бути використані наступні характеристики:

- прибутковість (ефективність) портфель цінних паперів, розрахована за формулою



де є частка інвестицій поміщених до кожного типу активів; - очікувана ставка доходу по кожному виду активів. Ризик портфеля (стандартне відхилення ставок доходу по портфелю) являє собою квадратний корінь з дисперсії портфельного доходу (дисперсію прибутковості портфеля називають його варіацією), яка визначається за формулою

де - коефіцієнт кореляції доходів між i-м і j-м активом; ризики окремих видів цінних паперів.

Завдання оптимізації полягає в тому, щоб визначити, яка частка портфеля повинна бути відведена для кожної з інвестицій так, щоб величина очікуваного доходу і рівень ризику відповідали цілям інвесторів. Цільовою функцією може бути мінімізація ризику при заданій прибутковості, або максимізація доходу при ризику не вище заданого.

Рішення. У разі всього двох видів активів формула для розрахунку ризику спрощується і набуває вигляду

Дані для розв'язання задачі про мінімізацію ризику портфеля цінних паперів

Таблица 2.17

= Корінь ((A5 * A3) ^ 2 * A3 * B3 + 2 * A5 * B5 * C5 + (B5 * B3) ^ 2)

Формулу для розрахунку введемо у комірку С6; формулу для значення прибутковості портфеля - у комірку С7 (= СУММ (12 * A3 +5,1 * B3)). Формула для минимизируемой цільової функції

=КОРЕНЬ((A5*A3)^2+2*A3*B3*A5*B5*C5+(B5*B3)^2)

- у комірку E5.

Використаємо обмеження

* Значення (комірка C6) повинно дорівнювати одиниці.

* Значення прибутковості портфеля цінних паперів

(комірка C7) має бути не менше 8,9.

відповідь

Мінімальний ризик при цьому становить

3. Оптимізація виробничо - реалізаційної діяльності

Збір та обробка вихідної інформації є досить відповідальним етапом при побудові структури виробництва. Джерелами інформації служать річні та виробничі звіти, різні нормативні довідники.

Метою обробки вихідної інформації є розробка і обгрунтування системи техніко-економічних характеристик об'єкта або процесу. Для моделі оптимізації структури виробництва продукції ці характеристики формуються у вигляді техніко-економічних коефіцієнтів aij, коефіцієнтів цільової функції cj і констант або об'ємних показників ресурсів або продуктів bi.

Основним джерелом даних для формування вихідної інформації є ретельно розроблені нормативи .

Крім нормативів , для побудови моделі оптимальної структури виробництва продукції необхідно вивчити такі показники , як:

· Види продукції, що виготовляється в цеху - пружини ;

· Види ресурсів , сировини;

· Витрата ресурсу на одиницю продукції;

· Максимальна (або мін.) Норма витрати за період ;

· Трудовитрати , г. ;

· Прибуток один . продукту , або собівартість , або оптова ціна один . прод . ;

· Види моделей машин різних потужностей ( 2-3) ;

· Час роботи машин витрачений на виготовлення єдиний. ;

· Продуктивність і-тій машини ... (або щось в цьому роді) ;

· Вартість один . часу витрачається на випуск (витрати ) ;

· Норма мін. (чи макс.) кількості випущеної продукції за період ;

· Норма часу;

· І т.і.

Використання моделі виробництва продукції на підприємстві ОАО «Мотор Січ»

Математичне моделювання процесів в області планування й організації виробництва складається з наступних послідовних етапів:- постановка економічної задачі, вибір базової математичної моделі та математичного методу рішення;- розробка розгорнутої економіко-математичної моделі у вигляді системи нерівностей і рівнянь;- створення структурної економіко-математичної моделі у розробленій системі нерівностей і рівнянь, що моделює даний економічний процес

У цій роботі ми розглянемо декілька оптимізаційних лінійних задач на прикладі виробництва 2-х видів продукції запорізької компанії «Мотор Січ», яка надходить до оптового продажу:

- Пружина;

- Нержавіюча пружина;

Використовуємо такі дані:

1 . Витрата пружинної сталі на нержавіючу пружину (П1) становить 0,5 г.;

2 . Витрата нержавіючої сталі на нержавіючу пружину (П1 ) складе 72 г.;

3 . Витрата пружинної сталі на звичайну пружину (П2 ) складає 75 г.;

4 . Витрата нержавіючої сталі на звичайну пружину (П2 ) складе 0,2 г.;

5 . Попит на нержавіючу пружину в 2 рази більше попиту на звичайну ;

6 . Максимальна норма витрати на кіл. 1000 шт. складає 75,5 кг. і

72,2 кг. відповідно;

7. Оптова ціна за шт. : ( П1) - 1грн.2062 коп. , (П2 ) - 2 грн.4630 коп.

8 . Використовуємо 2 машини : " HIT - 16 CNC " (М1 ) і " FUL - 25 " (М2) ;

9. Продуктивність машин :: (М1) - 500 шт / год , (М2) - 900 шт / год ;

10 . Трудовитрати , ч.: (П2 ) - 6 грн / год , (П2 ) - 4,95 грн / год ,

11 . Норма часу : ( П1) - 0,1460 н / ч , (П2 ) - 0,1155 н / год;

12 . Норма мінімального кількості випущеної продукції за період - 1000 од.

13 . Час витрачений на виготовлення 1 - й пружини: (П1) - 1,1 хв . , (П2 ) - 1,5 хв . ;

14 . - Запас сировини , на 1000 шт. продукціі - 75500 р. , 72200 р.;

Для побудови моделі оптимального виробництва потрібно визначити обсяги виробництва кожного виду продукції в тоннах, максимізуючих дохід у грошових одиницях від реалізації продукції, з урахуванням обмежень на витрату вихідних продуктів.

Оскільки виробництво продукції обмежена існуючою в розпорядженні підприємства кількістю сировини кожного виду і попитом на дану продукцію, а також враховуючи, що кількість виготовлених виробів не може бути від'ємним, отримаємо наступну систему обмежень :

...