аналитический комбинационный равноинтервальный группировка

Таблица 1. Исходные данные

1. Структурная равноинтервальная группировку по обоим признакам.

Группировка - это распределение единиц совокупности по группам в соответствии с группировочным признаком. Назначение группировки состоит в том, что этот метод обеспечивает обобщение данных, представление их в компактном, обозримом виде.

Формула Стерджесса для определения оптимального числа групп:

n=1+3.322*lgN,

где n - число групп;

N - число единиц совокупности.

N=30

n=1+3.322*lgN = 1+3.322*lg30=6

Число групп: n=6.

Признак № 1: Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Таблица 1.1. Структурная равноинтервальная группировка по признаку 1

Вывод: На основании данной таблицы можно сделать вывод: самая многочисленная группа регионов (12 регионов из 30 или 40,00%) имеет значения от 0,03 до 0,51 млн. чел. Самая малочисленная группировка - по одному региону (3,33%) в интервалах от 1,47 до 1,95 млн.чел. и от 2,43 до 2,91 млн.чел.

Признак № 2 - число дорожно-транспортных происшествий на 100 тыс. человек населения

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Таблица 1.2. Структурная группировка по признаку 2

Вывод: наименьший удельный вес в группах от 196,6 до 242,4 дтп (один регион из 30 или 3,33%), самый большой удельный вес в группе от 105 до 150,8 дтп. (12 регионов или 40%)

2. Аналитическая группировка.

Служит для выявления аналитической зависимости между группировочными признаками.

В данном случае признаком-фактором является среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел., а признаком результатом - число дорожно-транспортных происшествий на 100 тыс. населения.

Таблица 1.3. Аналитическая таблица

Анализируя данную таблицу, можно сделать вывод: что между рассматриваемыми признаками не наблюдается ярко выраженной связи.

3. Проследить зависимость между признаками можно также на основе комбинационной группировки. Комбинационная группировка осуществляется по двум и более признакам, взятым в сочетании.

Таблица 1.4. Комбинационная таблица числа занятых в экономике и число дорожно-транспортных происшествий.

На основании полученных данных, можно сделать вывод: между рассматриваемыми признаками не наблюдается явной связи.

Задание № 2

1. На основе структурных группировок из задания 1 построить вариационные частотные и кумулятивные ряды распределения (по каждому признаку), оформить в таблицы, изобразить графически.

2. Проанализировать вариационные ряды распределения, вычислив для каждого из них:

· среднее арифметическое значение признака;

· медиану, квартили и моду;

· среднее квадратическое отклонение;

· коэффициент вариации.

3. Проверить теорему о разложении дисперсии, используя данные о аналитической группировки.

4. Изобразить корреляционное поле. Построить уравнение регрессии. Определить тесноту связи между признаками, используя дисперсионный и корреляционный анализ.

5. Сделать выводы.

Ряд распределения - это числовой ряд, который представляет собой упорядоченное распределение единиц статистической совокупности. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления.

Объем совокупности: N = 30.

Таблица 2.1. Вариационный частотный и кумулятивный ряд распределения по среднегодовой численности, занятых в экономике, млн. чел.

Гистограмма - графическое изображение интервального ряда распределения. При ее построении на оси абсцисс откладывают интервалы ряда. Над осью абсцисс строятся прямоугольники, основанием которых является интервал, а высота - соответствующая этому интервалу частота.

Кумулята - ломаная линия, изображающая ряд накопленных частот. Накопленные частоты наносятся в системе координат в виде ординат для границ интервалов; соединяя нанесенные точки отрезками прямых, получаем кумуляту. Кумуляту называют также полигоном накопленных частот.

Рис.2.1. Гистограмма вариационного ряда по среднегодовой численности занятых в экономике, млн.чел.

Рис. 2.2. Кумулята вариационного ряда по среднегодовой численности занятых в экономике, млн.чел.

Рис. 2.3. Полигон вариационного ряда по среднегодовой численности занятых в экономике, млн. чел.

Таблица 2.2. Вариационный частотный и кумулятивный ряд распределения по числу дорожно-транспортных происшествий на 100 тыс. населения

Рис. 2.4. Гистограмма вариационного ряда по числу дорожно-транспортных происшествий.

Рис. 2.5. Кумулята вариационного ряда по числу дорожно-транспортных происшествий.

Рис. 2.6. Полигон вариационного ряда по числу дорожно-транспортных происшествий.

Признак № 1: Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Таблица 2.3. Вычисление среднего арифметического значения признака, среднего квадратического отклонения для вариационного ряда среднегодовой численности, занятых в экономике

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x₀ - начало модального интервала; h - величина интервала; f₂ -частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ - предмодальная частота; f₃ - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 0.03, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 0.39

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 0.03 - 0.51, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 0.69

Квартили.

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃; остальные 25% превосходят Q₃.

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 0.33 Q₂ совпадает с медианой, Q₂ = 0.69

Остальные 25% превосходят значение 1.19.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 0.85 в среднем на 0.65

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70%, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Признак № 2 - число дорожно-транспортных происшествий на 100 тыс. населения

Таблица 2.4. Вычисление среднего арифметического значения признака для вариационного ряда распределения числа дорожно-транспортных происшествий на 100 тыс. населения

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x₀ - начало модального интервала; h - величина интервала; f₂ -частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ - предмодальная частота; f₃ - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 105, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 145.71

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 105 - 150.8, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 146.98

Квартили.

Квартили - это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃; остальные 25% превосходят Q₃.

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 118.36

Q₂ совпадает с медианой, Q₂ = 146.98

Остальные 25% превосходят значение 177.86.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 147.75 в среднем на 38.65

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ? 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

3.По аналитической группировке измеряют связь при помощи эмпирического корреляционного отношения. Оно основано на правиле разложения дисперсии: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

1. Находим средние значения каждой группы.

Общее средние значение для всей совокупности:

2. Дисперсия внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучением). Эта дисперсия называется остаточной:

Расчет для группы: 0.03 - 0.51 (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

Таблица 2.5 Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 1-ой группы:

Расчет для группы: 0.51 - 1 (13,14,15,16,17,18,19,20)

Таблица 2.6. Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 2-ой группы:

Расчет для группы: 1 - 1.48 (21,22,23,24,25,26)

Таблица 2.7. Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 3-ой группы:

Расчет для группы: 1.48 - 1.97 (27,28)

Таблица 2.8. Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 4-ой группы:

Расчет для группы: 1.97 - 2.45 (29)

Таблица 2.9. Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 5-ой группы:

Расчет для группы: 2.45 - 2.93 (30)

Таблица 2.10. Расчетная таблица

Определим групповую (частную) дисперсию для 6-ой группы:

3. Внутригрупповые дисперсии объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:

Средняя из частных дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора, она называется факторной

д² = ((158.94-154.31)²*12 + (154.33-154.31)²*8 + (143.53-154.31)²*6 + (161.9-154.31)²*2 + (127.8-154.31)²*1 + (174.7-154.31)²*1 + ...)/30 = 72.93

Определяем общую дисперсию по всей совокупности, используя правило сложения дисперсий:

у² = 1555.23 + 72.93 = 1628.17

Проверка:

Проверим этот вывод путем расчета общей дисперсии обычным способом:

Таблица 2.11. Расчетная таблица

Рис. 2.7 Поле корреляции и уравнение линейной регрессии

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

Таблица 2.12.Расчетная таблица для нахождения параметров регрессии

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -2.38 x + 156.32

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -2.38 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -2.38.

Коэффициент a = 156.32 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

Задание № 3

1.Используя результаты расчетов, выполненных в задании 2 курсовой работы по признаку 1, и полагая, что эти данные получены при помощи собственно-случайного 40% бесповторного отбора, определить:

а) пределы, за которые с доверительной вероятностью 0,954 не выйдет значение признака, рассчитанное по генеральной совокупности;

б) как нужно изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку средней величины на 50%.

2. Используя результаты расчетов, выполненных в задании № 2 курсовой работы по признаку 2 и полагая, что эти данные получены при помощи повторного отбора, определить:

а) пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли предприятий, у которых индивидуальные значения признака превышают моду (уровень доверительной вероятности установите по своему усмотрению);

б) как изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку доли на 30%.

Границы доверительного интервала признак-фактора могут быть определены:

, то есть

или

б) Чтобы снизить предельную ошибку средней величины на 50% (в 2 раза) необходимо, чтобы предельная ошибка выборки (?) уменьшилась в два раза, поэтому необходимая численность выборки составит: