Статистичний аналіз показників діяльності підприємства

Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

Курсова робота

Статистичний аналіз показників діяльності підприємства

ЗАВДАННЯ

1. Тема проекту (роботи): Статистичний аналіз показників діяльності підприємства

2. Термін здачі студентом закінченого проекту (роботи): 10 травня 2012р.

3. Вихідні дані до проекту (роботи): показники продуктивність праці (грн./людино-годину), фондо-озброєності (грн./людину), плинності кадрів(коефіцієнт плинності, у відсотках), рівень втрат робочого часу (у відсотках), стажу(роках)

4 Зміст розрахунково - пояснювальної записки (перелік питань, що їх належить розробити): обґрунтувати теоретичні основи використання статистичних методів при аналізі показників діяльності підприємств, визначити методологічні основи статистичного аналізу соціально-економічних явищ і процесів, провести статистичний аналіз показників діяльності підприємства.

5 Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов'язкових креслень): гістограма угрупування за ознакою продуктивності праці, полігон за ознакою продуктивності праці, гістограма групування за ознакою рівня втрат робочого часу, полігон групування за ознакою рівня втрат робочого часу, гістограма групування за ознакою стажу роботи, полігон групування за ознакою стажу роботи, кореляційне поле за рівнем втрат робочого часу.

РЕФЕРАТ

Пояснювальна записка до курсової роботи містить: с., рис., табл., джерел.

Об'єкт дослідження: підприємство та техніко-економічні показники його роботи за два роки.

Мета роботи: розрахунок основних статистичних характеристик та проведення статистичного аналізу техніко-економічних показників роботи підприємства для виявлення основних резервів підвищення ефективності його діяльності.

Методи дослідження: розрахунок та аналіз статистичних показників; встановлення та аналіз взаємозв'язків соціально-економічних явищ; методи та прийоми економіко-статистичного аналізу розвитку виробництва; математико-статистичний і економіко-статистичний аналіз результатів спостережень.

У першому розділі курсової роботи вивчаються теоретичні аспекти використання статистичних методів при аналізі показників діяльності підприємства. У другому розділі визначаються методологічні основи статистичного аналізу соціально-економічних явищ і процесів. У третьому розділу відбувається побудова розподілу продуктивності праці, рівня втрат робочого часу та стажу роботи, також визначається їх основні статистичні характеристики. Також будується економіко-математична модель для однофакторного зв'язку та багатофакторного зв'язку, проводиться перевірка якості моделі.

ВСТУП

Актуальність теми курсової роботи обумовлена значущістю інформації та аналізу статистичних показників для забезпечення управлінської діяльності підприємства. Сьогодні статистику використовують, вивчаючи життєвий рівень населення та громадську думку, оцінюючи підприємницькі та фінансові ризики, у маркетингових дослідженнях, страхуванні тощо.

Проблемним питанням в сучасних умовах залишається недосконалість нормативної бази та інформаційно-аналітичного забезпечення дослідження різних аспектів діяльності підприємств. За цих умов, розв'язання теоретико-методологічних засад і практичне здійснення статистичного оцінювання стану та розвитку підприємства є важливим та актуальним.

Метою курсової роботи є розрахунок основних статистичних характеристик та проведення статистичного аналізу техніко-економічних показників роботи підприємства для виявлення основних резервів підвищення ефективності його діяльності.

Об'єктом дослідження при виконанні роботи є підприємство та техніко-економічні показники його роботи за два роки.

Для досягнення мети роботи необхідно вирішити такі завдання:

- визначення теоретичних основ використання статистичних методів при аналізі показників діяльності підприємства;

- визначення методологічних основ статистичного аналізу соціально-економічних явищ та процесів;

- провести статистичний аналіз показників діяльності конкретного підприємства.

При написанні роботи використовуються такі методи дослідження: кореляційний аналіз, порівняльний аналіз, математичне моделювання, систематичний, описовий, якісного аналізу, графічний, аналітичний, класифіційно-аналітичний, статистичний та ін.

1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ВИКОРИСТАННЯ СТАТИСТИЧНИХ МЕТОДІВ ПРИ АНАЛІЗІ ПОКАЗНИКІВ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВ

1.1 Підготовка вихідних аналітичних даних. Засоби їх графічного представлення

Статистична методологія -- комплекс спеціальних, притаманних лише статистиці методів і прийомів дослідження, що ґрунтується на загально філософських(діалектична логіка) і загальнонаукових(порівняння, аналіз, синтез) принципах[1].

Статистика розглядає будь-яке суспільне явище у взаємозв'язку з іншими, а не ізольовано. Це дає змогу, з одного боку, визначити в сукупності елементів схожі риси і відмінності, об'єднати їх у групи, а з іншого -- узагальнити інформацію як за окремими групами(типами), так і за сукупністю в цілому.

Особливості статистичної методології пов'язані з точним вимірюванням і кількісним описуванням масових суспільних явищ, а також з використанням узагальнюючих показників для характеристики об'єктивних статистичних закономірностей.

Будь-яке статистичне дослідження складається з трьох етапів:

Ш перший етап - збирання первинного статистичного матеріалу (статистичне спостереження) реєстрацією фактів чи опитуванням респондентів;

Ш другий етап - систематизація зібраних даних та їх групування, перехід від характеристики окремих елементів до узагальнюючих показників у формі абсолютних, відносних чи середніх величин;

Ш третій етап - аналіз варіації, динаміки, взаємозв'язків[2].

Всі ці етапи об'єднуються спільною метою дослідження. На кожному з них застосовуються ті методи, які можуть дати глибоку й всебічну характеристику явищ, що вивчаються.

На першому етапі формується інформаційна база для статистичних узагальнень і характеристики об'єктивних закономірностей. Статистичні дані є найбільш точними, бо вони спираються не на окремі факти, а на їх сукупність.

Статистичне спостереження - це спланований, систематичний і науково організований збір масових даних про різноманітні суспільно-економічні явища і процеси. Збір даних проводиться не стихійно, а регулярно, що дає змогу вивчити тенденції, напрями та закономірності розвитку суспільних явищ і процесів[3].

У статистичній практиці багатьох країн, в тому числі і в Україні використовується дві основні форми організації спостереження -- звітність та спеціально організовані спостереження.

Звітність -- це форма спостереження, згідно з якою кожний суб'єкт діяльності регулярно подає відповідну інформацію до державних органів статистики та певних відомств у вигляді документів (звітів) спеціально затвердженої форми. Вона формується на основі первинного обліку, що забезпечує зіставлення та контроль даних та характеризується такими властивостями, як обов'язковість, систематичність, вірогідність. Звітність складається на підставі первинних даних оперативного та бухгалтерського обліку. За різними ознаками статистичну звітність поділяють на окремі види. За порядком проходження: централізована; децентралізована. За періодичністю подання: щоденну, щотижневу, щомісячну, квартальну та річну. За способом подання: поштовою, телефонною, телеграфною та електронною[4].

Спеціально організовані спостереження охоплюють сфери життя та діяльності, що не уловлюються звітністю. До них відносять: перепис, спеціальне обстеження, опитування та інше. Винятком є суцільне опитування всього населення -- референдум.

Кінцевою метою спостереження є підготовка управлінських рішень та вжиття відповідних заходів. Згідно мети визначають об'єкт та одиницю спостереження. Об'єкт спостереження - це сукупність явищ, що підлягають обстеженню. Об'єкт спостереження як сукупність складається з окремих елементів -- одиниць спостереження. Одиниця спостереження -- це первинний елемент об'єкта, що є джерелом інформації: підприємство, організація, сім'я. Точність та достовірність даних є найважливішою вимогою статистики. Помилки спостереження виявляються шляхом перевірки та контролю достовірності даних.

На другому етапі елементи сукупності класифікують та групують за певними ознаками. Впорядковану таким чином статистичну сукупність називають статистичним рядом. Залежно від способу класифікації розрізняють ряди розподілу та ряди динаміки. За допомогою групувань виокремлюються характерні властивості та різноякісні типи явищ[3].

Групування полягає в розділенні сукупності на групи по істотним для них ознаках. Головний принцип будь-якого поділу ґрунтується на двох положеннях: в один клас, групу об'єднуються елементи певною мірою подібні між собою; ступінь подібності між елементами, які належать до одного класу, значно вищий, ніж між елементами, що належать до різних класів.

Розрізняють три види групувань: структурне, типологічне, аналітичне.

Структурне групування характеризує склад якісно однорідної сукупності за певними ознаками, оскільки у межах такої сукупності значення ознак варіюються. Різновидом структурних групувань є ряди розподілу. Ряд розподілу складається з двох елементів: варіант та частот. Замість частоти може бути використана частість (частка або відсоток від загальної чисельності одиниць). Статистичні ряди розподілу є одним з найбільш важливих елементів статистики. Залежно від ознаки статистичні ряди розподілу діляться на: атрибутивні (якісні); варіаційні (кількісні). Атрибутивні ряди утворюються за якісними ознаками, якими можуть виступати посада, професія, стать, освіта тощо. Варіаційні ряди залежно від характеру варіації підрозділяються на дискретні й інтервальні. Дискретні ряди розподілу засновані на дискретних (перервних) ознаках, що мають лише цілі значення. Інтервальні ряди розподілу базуються на неперервно змінному значенні ознаки[5].

Типологічне групування -- це поділ якісно неоднорідної сукупності на класи, соціально-економічні типи, однорідні групи. Основне завдання такого групування -- ідентифікація типів.

Аналітичні групування використовують для вивчення та виявлення взаємозв'язку між ознаками. При вивченні взаємозв'язків розглядають щонайменше дві ознаки: одна з них відображає причину, друга - наслідок. Відповідно до цього розрізняють факторну й результативну ознаки. Аналітичні групування проводяться за факторною ознакою і в кожній групі визначається середня величина результативної ознаки. Якщо між ознаками є зв'язок, то середні групові систематично збільшуються (прямий зв'язок)[6].

Статистичні дані за формою зображення можуть подаватися у вигляді числових масивів, таблиць чи графіків.

Найефективнішою формою викладення результатів спостережуваних даних є статистичні таблиці. Вони є невіддільним елементом зведення та групування. Статистичну таблицю від інших табличних форм відрізняє: вона вміщує результати підрахунку емпіричних (спостережуваних) даних(статистичні показники); є підсумком зведення первинної інформації.

Статистичні таблиці на стадії збору цифрової інформації і підготовки економічного аналізу забезпечують одноманітність і впорядкованість досліджуваних показників, на стадії обробки даних є своєрідним алгоритмом розв'язання аналітичних задач і проведення розрахунків, на стадії закінчення аналізу - засобом оформлення його результатів[2].

Статистичний графік - це умовне зображення кількісних характеристик та їх співвідношень за допомогою геометричних образів (крапок, ліній, знакових систем, геометричних фігур, малюнків) або географічних картосхем. За допомогою графіків легко виявити закономірності розвитку явища, встановити існуючі взаємозв?язки[7].

Графіки широко використовуються для вивчення структури, змін у часі і розміщення у просторі. В них більш виразно проявляються порівнювані характеристики (тобто швидкість зміни різних показників) і чітко видно основні тенденції розвитку явищ. Графіки також є ефективним засобом для наукового узагальнення статистичної інформації та її популяризації.

Графіки, які використовують для зображення статистичних даних, дуже різноманітні. За загальним призначенням графіки поділяють на аналітичні, ілюстративні й інформаційні. За функціонально-цільовим призначення виділяють графіки групувань і рядів розподілу, графіки рядів динаміки, графіки взаємозв'язку і графіки порівняння. Графіки рядів розподілу і групувань поділяють на графіки за номінальною ознакою і графіки варіаційних рядів, серед останніх виділяють графіки дискретних рядів і графіки інтервальних рядів розподілу.

Основною формою графічного образу розподілу за номінальною ознакою є площинні фігури, в основу яких покладено принцип пропорційності площ фігур. Найпростішим їх видом є одностовпчикові чи однострічні діаграми. Для зображення комбінаційного розподілу за двома номінальними ознаками використовують серійні багатостовпчикові чи багатострічкові діаграми (див. рис.1.1).

Секторні діаграми являють собою графічні зображення на площині круга. Круг ділять на стільки секторів, скільки різновидів має номінальна ознака. Площі секторів, розміри яких залежать від величини центральних кутів, пропорційні часткам відповідних різновидів номінальної ознаки. Секторні діаграми, як правило будують на основі часток, виражених у відсотках. Кожний сектор діаграми, що зображує один з різновидів ознаки, виділяють штрихами або кольорами (див. рис. 1.2).



Рисунок 1.2 - Секторна діаграма виробництва електроенергії за видом сировини у 2011 році

На третьому етапі статистичного дослідження проходить аналіз варіації, динаміки, взаємозв'язків. Варіацію можна визначити як кількісна відмінність значень однієї і тієї ж ознаки в окремих одиниць сукупності. Термін «варіація» має латинське походження - variatio, що означає відмінність, зміну, коливається. Вивчення варіації в статистичній практиці дозволяє встановити залежність між зміною, яка відбувається в досліджуваній ознаці, і тими чинниками, які викликають дану зміну. Для виміру варіації ознаки використовують як абсолютні, так і відносні показники. До абсолютних показників варіації відносять: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсію[3].

1.2 Використання середніх величин та характеристик варіації при аналізі економічних показників

У статистиці середня величина є найбільш розповсюдженою формою узагальнюючого показника, оскільки він дає кількісну характеристику масових соціально-економічних явищ та процесів[1].

Середня величина - узагальнююча міра ознаки, що варіює, у статистичній сукупності. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. У ній взаємно компенсуються індивідуальні відмінності елементів та узагальнюються типові риси.

Взаємозв'язок індивідуальних значень ознаки та середньої -- це діалектична єдність загального і окремого. Замінюючи множину індивідуальних значень, середня не змінює визначальної властивості сукупності -- загального обсягу явища.

За допомогою середніх величин вирішуються наступні завдання статистичного дослідження:

Ш характеристика досягнутого рівня розвитку явища або процесу; порівняння показників, обчислених по різних сукупностях;

Ш характеристика розвитку (варіації) явища у часі та просторі;

Ш вивчення взаємозв`язку між показниками[9].

При визначенні середньої величини необхідно дотримуватись двох головних вимог: по-перше, сукупність повинна бути якісно однорідною; по-друге, достатньо велика кількість одиниць у сукупності, тобто наявність масових даних. Бажано, щоб при визначенні середньої величини враховувалися значення показника по усіх одиницях сукупності.

Середні величини поділяються на загальні та групові. Загальна середня величина характеризує сукупність в цілому, а групова - окрему групу одиниць. Якщо сукупність складається з якісно різнорідних груп, загальна середня величина не буде типовою характеристикою сукупності, тому обов`язково необхідно визначати групові середні величини[2].

Чисельник логічної формули середньої являє собою обсяг значень (визначальну властивість) ознаки, що варіює, а знаменник -- обсяг сукупності. У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої, зокрема: середня арифметична; середня гармонічна; середня геометрична; середня квадратична і т. д.

Залежно від характеру первинної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Позначається середня символом (риска над символом означає осереднення індивідуальних значень) і вимірюється в тих самих одиницях, що й ознака. Оскільки для більшості соціально-економічних явищ характерна адитивність обсягів (виробництво цукру, витрати палива тощо), то найпоширенішою є арифметична середня, яка обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності[10].

За формулою простої арифметичної обчислюються середні у динамічному ряду. Моментні показники замінюються середніми як півсума значень на початок і кінець періоду. В цьому випадку використовується середня хронологічна. Якщо моментів більш ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то в чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число інтервалів, яке на одиницю менше від числа значень ознаки.

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки (варіанти) можуть повторюватись. У такому разі їх можна об'єднати в групи, а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант на відповідні їм частоти. Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а число елементів сукупності з однаковими варіантами -- вагами. Значення ознаки осереднюються за формулою середньої арифметичної зваженої.

У структурованій сукупності при розрахунку середньої зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні , кожна з яких має відповідну вагу у вигляді групових частот f_j. Обчислену так середню на відміну від групових називають загальною.

Середня арифметична має певні властивості:

Ш алгебраїчна сума відхилень всіх варіант ознаки від середньої дорівнює нулю (тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від'ємні відхилення окремих варіант);

Ш сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини;

Ш якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одну й ту саму величину А або в А раз, то й середня зміниться аналогічно;

Ш значення середньої залежить не від абсолютних значень ваг, а від пропорцій між ними. Тобто якщо частоту кожної з груп зменшити або збільшити в одну й ту ж кількість раз, то середня при цьому не зміниться[9].

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів варіації, локалізації, концентрації.

Варіаційний розмах R -- це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки. Він характеризує діапазон варіації, наприклад родючості ґрунтів у регіоні, продуктивності праці в галузях промисловості тощо. Безперечною перевагою варіаційного розмаху як міри варіації є простота його обчислення й тлумачення. Проте, коли частоти крайніх варіант надто малі, варіаційний розмах неадекватно характеризує варіацію. У таких випадках використовують квартильні або децильні розмахи.

Узагальнюючою характеристикою варіації є середнє відхилення: лінійне, квадратичне(стандартне), дисперсія (середній квадрат відхилень). На підставі первинних, незгрупованих даних наведені характеристики обчислюють за принципом незваженої середньої[9].

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення є безпосередніми мірами варіації. Це іменовані числа, за змістом вони ідентичні, проте завдяки математичним властивостям . Очевидний взаємозв'язок середнього квадратичного відхилення та дисперсії: .

При порівнянні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях використовуються коефіцієнти варіації V. Вони визначаються відношенням абсолютних іменованих характеристик варіації (, , R) до центра розподілу, найчастіше виражаються у процентах. Значення цих коефіцієнтів залежить від того, яка саме абсолютна характеристика варіації використовується: якщо центр розподілу поданий медіаною, то за відносну міру варіації беруть квартильний коефіцієнт варіації.

Дисперсія -- середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої. Завдяки своїм математичним властивостям, є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів(дисперсійний аналіз).

Дисперсію зручніше розраховувати за формулою відліку від умовного нуля. Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток. Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня, центром розподілу в j-й групі -- групова середня. Відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої можна подати як дві складові. Узагальнюючими характеристиками цих вiдхилень є загальна, групова та міжгрупова дисперсії. Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої. Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої. Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій. Різними є й групові середні . Мірою варіації їх навколо загальної середньої є між групова (факторна) дисперсія.

Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, а друга -- міжгрупову варіацію. Взаємозв'язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації[10].

1.3 Статистичні методи вимірювання взаємозв'язків та їх роль у прогнозуванні економічних показників

Усі явища навколишнього світу взаємозв'язані й взаємозумовлені. При цьому будь-яке явище може бути наслідком дії певної множини причин і водночас -- причиною інших явищ. Визначальна мета вимірювання взаємозв'язків -- виявити і дати кількісну характеристику причинних зв'язків. Вивчаючи закономірності зв'язку, причини та умови об'єднують в одне поняття «фактор». Відповідно ознаки, які характеризують фактори, називаються факторними, а ті, що характеризують наслідки, -- результативними.

Розрізняють два типи зв'язків: функціональні та стохастичні.

Функціональнму зв'язку кожному значенню фактора х відповідає одне або кілька чітко визначених значень у.

Стохастичні зв'язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв'язку «х у» кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром - середньою, то такий зв'язок називається кореляційним.

Кореляційною залежністю між двома змінними величинами називається така функціональна залежність, яка існує між значеннями однієї з них та груповими середніми іншої. Кореляційний зв'язок виявляється не у кожному окремому випадку, а тільки при досить великому числі випадків. Важливою характеристикою кореляційного зв'язку є лінія регресії.

Лінія регресії у на х - залежність, яка зв'язує середні значення ознаки у із значеннями ознаки х. Вона може мати різні зображення: табличне; аналітичне; графічне. Графіки мають ілюстративне значення. На табличному та аналітичному зображенні засновано дві головні моделі кореляційного зв'язку - аналітичних угрупувань та регресійна. Етапи їх побудови однакові: теоретичне обгрунтування моделі; оцінка лінії регресії; вимір тісноти зв'язку між ознаками, визначення ролі чинника х в зміні ознаки у; перевірка істотності зв'язку (доказ невипадкового характеру виявлених закономірностей)[11].

Метод порівняння паралельних рядів полягає в отримані у результаті групування і лічильної обробки матеріали статистичного спостереження рангованими паралельними рядами за факторною ознакою. Паралельно записуються значення результативної ознаки. Це дає можливість, порівнюючи їх, простежити співвідношення, виявити існування зв'язку і його напрямок.

Метод аналітичних угрупувань полягає в тому, що всі елементи сукупності групують за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють

середні значення результативної ознаки у, тобто лінія регресії оцінюється лише в окремих крапках. На 1-му етапі аналізу вибирають факторну ознаку та визначають число груп й межі інтервалів. На 2-му етапі проводиться оцінка лінії регресії. В моделі аналітичного групування - це емпірична лінія регресії. 3-й етап - вимір щільності зв'язку - базується на правилі складання дисперсій. У методі аналітичних групувань - це відхилення індивідуальних значень у від групових середніх та відхилення групових середніх від загальної середньої. 4-й етап - перевірка істотності зв'язку. Перевірка істотності кореляційного зв'язку ґрунтується на порівнянні фактичного значення з критичним, яке є максимально можливим значенням кореляційного відношення, яке може виникнути випадково за відсутності кореляційного зв'язку. Якщо фактичне значення більше критичного, то зв'язок між ознаками не випадковий (істотний).

В регресійному аналізі оцінюється теоретична лінія регресії. Важливою характеристикою кореляційного зв'язку є лінія регресії -- емпірична в моделі аналітичного групування і теоретична в моделі регресійного аналізу. На відміну від емпіричної, теоретична лінія регресії неперервна. Оцінка теоретичної лінії регресії здійснюється не в окремих точках, а в кожній точці інтервалу зміни факторної ознаки.

На першому етапі при невеликому обсязі сукупності доцільно будувати кореляційне поле, яке дозволяє зробити висновок відносно форми лінії регресії. Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того щоб відобразити характерні особливості зв'язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора х результат у змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією.

На другому етапі визначають параметри рівняння регресії методом найменших квадратів, основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень від теоретичних.

На третєму етапі відбувається визначення тісноти зв'язку, воно також основано на правилі складані дисперсії.

На четвертому етапі проводять перевірку істотності зв'язку у регресивному аналізі здійснюють за допомогою тих же що і в аналітичних групуваннях. Значущість зв'язку можна перевірити за допомогою таблиць критичних значень коефіцієнта детермінації. Якщо фактичне значення перевищує критичне, це свідчить про істотність зв'язку між факторною та результативною ознаками[12].

Важливою характеристикою регресійної моделі є коефіцієнт еластичності(ефект впливу фактора х на результат у). Він показує, на скільки процентів у середньому змінюється результат у зі зміною фактора х на 1%.

Економічні явища залежать від великої кількості факторів. Тому на практиці часто використовують рівняння множинної регресії, коли на величину результативної ознаки впливають два і більш фактори.

Найважливішими умовами побудови багатофакторної моделі зв'язку є достатня кількість одиниць у сукупності ( як мінімум у 8 разів більше, ніж число факторів) та відсутність мультиколінеарності факторів (близького до функціонального зв'язку між ними). На практиці використовуються два види рівнянь множинної регресії: лінійне (адитивне): нелінійне (мультиплікативне).

Рішення задачі багатофакторного кореляційного аналізу зазвичай проводиться на ЕОМ по типових програмах. Початкові дані вводяться в ЕОМ, яка розраховує матриці парних і приватних коефіцієнтів кореляції, рівняння множинної регресії, а також показники, за допомогою яких оцінюється надійність коефіцієнтів кореляції і рівняння зв'язку.

Коефіцієнти парної кореляції характеризують тісноту зв'язку між показниками з врахуванням взаємозв'язків факторів, що впливають на результативний показник. Приватний коефіцієнт кореляції виражає тісноту зв'язку між двома ознаками при усуненні змін, викликаних впливом інших ознак. Розрахунок рівняння регресії проводиться зазвичай кроковим способом. Спочатку враховується один фактор, який робить найбільш значущий вплив на результативний показник, потім другий, третій і далі послідовно. На кожному кроці розраховуються рівняння зв'язку, множинний коефіцієнт кореляції і детермінації, критерій Фішера й інші показники, що оцінюють надійність рівняння.

Аналіз характеру взаємозв'язків та оцінювання сили впливу факторів на результат є передумовою розробки науково обґрунтованих управлінських рішень, прогнозування й регулювання складних соціально-економічних явищ і процесів[11].

Способи і прийоми економіко-статистичного аналізу можна умовно поділити на дві групи: традиційні та математичні. У число основних традиційних способів та прийомів економіко-статистичного аналізу можна включити: статистичне спостереження; зведення; угруповання; розрахунок узагальнюючих показників; вибірковий метод; аналіз рядів динаміки; індексний метод аналізу; основи кореляційного і регресійного аналізу та ін.

Методи економіко-статистичного аналізу носять універсальний характер і не залежать від галузевої приналежності підприємства, дозволяють менеджеру аналізувати стан справ на підприємстві, розробляти варіанти управлінських рішень, вибирати найбільш ефективні форми, оцінювати вплив цих рішень на результати діяльності підприємства.

Висновки до першого розділу

Статистична методологія -- комплекс спеціальних, притаманних лише статистиці методів і прийомів дослідження, що ґрунтується на загально філософських і загальнонаукових принципах, і який складається з трьох етапів: збирання статистичного матеріалу, групування зібраного статистичного матеріалу та аналіз варіації, динаміки, взаємозв'язків. Статистичні дані за формою зображення можуть подаватися у вигляді числових масивів, таблиць чи графіків.

Середня величина - узагальнююча міра ознаки, що варіює, у статистичній сукупності, дає кількісну характеристику масових соціально-економічних явищ та процесів. Показник у формі середньої характеризує рівень ознаки в розрахунку на одиницю сукупності.

За допомогою середніх величин вирішуються такі завдання статистичного дослідження: характеристика досягнутого рівня розвитку явища або процесу; порівняння показників, обчислених по різних сукупностях; характеристика розвитку (варіації) явища у часі та просторі; вивчення взаємозв`язку між показниками.

Усі явища навколишнього світу взаємозв'язані й взаємозумовлені. Розрізняють два типи зв'язків: функціональні та стохастичні. Функціональнму зв'язку кожному значенню фактора х відповідає одне або кілька чітко визначених значень у. Стохастичні зв'язки виявляються як узгодженість варіації двох чи більше ознак. У ланці зв'язку «х у» кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які утворюють так званий умовний розподіл. Якщо умовні розподіли замінюються одним параметром - середньою, то такий зв'язок називається кореляційним.

Кореляційною залежністю між двома змінними величинами називається така функціональна залежність, яка існує між значеннями однієї з них та груповими середніми іншої.

2. МЕТОДОЛОГІЧНІ ОСНОВИ СТАТИСТИЧНОГО АНАЛІЗУ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ ЯВИЩ І ПРОЦЕСІВ

2.1 Методологія статистичних групувань. Оформлення статистичного угрупування у вигляді ряду розподілу та його графічне зображення

У процесі групування необхідно вирішити яка ознака буде відповідавати меті дослідження і характеру первинної інформації. Групувальні ознаки можна поділити: за формою вираження - атрибутивні (якісні) та кількісні, за характером коливання ознаки - альтернативні та такі, що мають числові різновиди.

Атрибутивна ознака характеризує властивості, якість даного явища і не має кількісного виразу. Кількість груп при проведенні групування за атрибутивною(якісною) ознакою визначається числом різновидів цієї ознаки.

Кількісна ознака має числове вираження, вона завжди є у кожної одиниці сукупності, але в різних розмірах. При проведенні групування за кількісною ознакою питання про кількість груп і розмір інтервалів має вирішуватися одразу при проведенні групування. Питання про вибір кількості груп та величину інтервалів вирішується за допомогою принципу, згідно з яким кількість груп була не надто великою і не надто малою, і щоб до кожної групи потрапила достатня кількість одиниць сукупності.

В статистиці інтервалом називають різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в кожній групі. Якщо значення групувальної ознаки змінюються рівномірно, то виділяються рівні інтервали за формулою:

(2.1)

де Хmax, Хmin - найбільше та якнайменше значення ознаки,

m - кількість груп.

Кількість груп визначається самостійно, але, з точки зору математики, кількість груп можна обчислити за формулою американського вченого Стерджесса:

m = 1 + 2,30259 lg n, (2.2)

де n -- обсяг сукупності;

m -- число інтервалів (груп).

Визначаючи межі інтервалів, ширину h доцільно округлювати.

Надалі, шляхом добавлення величини інтервалу до мінімального значення ознаки у групі («нижньої границі»), одержують групи об'єктів за розміром аналізованої ознаки. Результати такого угрупування надаються у таблиці за формою таблиці 2.1

Таблиця 2.1 - Схема угрупування

№ групи	Межі групи	Кількість одиниць сукупності
		в абсолютному вираженні	% до підсумку
…	…	…	…
…	….	…	…
	Разом		100,0

Таким чином, на основі групування одиниць спостереження за однією ознакою та підрахунків числа одиниць в кожній групі одержують ряд розподілу, який складається з двох елементів: варіант (окремі значення ознаки, що варіює) та частот.

Ряд розподілу за величиною груповочної ознаки можливо представити графічно у вигляді полігону (рис. 2.1) або гістограми (рис. 2.2).

Для побудови полігону на осі абсцис відзначають крапки, відповідні величині варіантів значень ознаки, з них відновлюються перпендикуляри, довжина яких відповідає частоті цих варіантів по прийнятому масштабу на осі ординат. Вершини перпендикулярів в послідовному порядку з'єднуються відрізками прямих. Для замикання полігону крайні вершини з'єднуються з крапками на осі абсцис, віддаленими на один розподіл в прийнятому масштабі від Хmax і Хmin.

Рис. 2.1 - полігон частот

Гістограма будується так, що на осі абсцис відкладаються рівні відрізки, які в прийнятому масштабі відповідають величині інтервалів варіаційного ряду. На відрізках будують прямокутники, площі яких пропорційні частотам (або частостям) інтервалу.

Рис. 2.2 - гістограма частот

Ряд розподілу з нерівними інтервалами також зображається у вигляді гістограми, але її побудова грунтується на щільності частоти. Щільність частоти - це кількість елементів сукупності, яка доводиться на одиницю ширини інтервалу груповочної ознаки. При побудові гістограми для ряду з нерівними інтервалами необхідно по осі ординат наносити показники щільності інтервалів. Гістограма може бути перетворена в полігон розподілу, якщо середини верхніх сторін прямокутників з'єднати відрізками прямих. Дві крайні точки прямокутників замикають по осі абсцис на середини інтервалів, в яких частоти (частості) рівні нулю[13].

2.2 Розрахунок середньої та характеристик варіації. Оцінка довірчих меж для середньої.

Розрахунок середньої може відбуватися за згрупованими або незгрупованими даними. У кожному випадку застосовують відповідні розрахункові формули, які представлені у таблиці 2.2:

Таблиця 2.2 - Види середньої

Вид середньої	Формула
- середня арифметична
- середня хронологічна
- середня арифметична зважена
- середня обчислена методом «від умовного нуля»
- загальна середня
- середня гармонічна проста
- середня гармонічна зважена
- середня геометрична
- середня геометрична зважена
- мода (особливий вид середньої)
- медіана (особливий вид середньої)

Для характеристики статистичного розподілу необхідно знати також ступінь варіації елементів сукупності. Формули для розрахунку узагальнюючих характеристик варіації представлені у таблиці 2.3.

Таблиця 2.3 - Розрахунок узагальнюючих характеристик варіації

Показник	Середнє відхилення
	лінійне	квадратичне
- за незгрупованими даними
- за згрупованими даними

У таблиці 2.4 представлені формули для розрахунку відносної характеристики варіації.

Таблиця 2.4 - Розрахунок коефіцієнтів варіації

Вид коефіцієнта варіації	Формула
- лінійний
- квадратичний
- осциляції
- квартильний

У таблиці 2.5представлені формули для розрахунку дисперсії.

Таблиця 2.5 - Формули для розрахунку дисперсії

Вид дисперсії	Формула
1	2
Залежно від змісту даних
проста
зважена
Різниця квадратів
Дисперсія альтернативної ознаки
Відлік «від умовного нуля»
Загальна дисперсія
- за не згрупованими даними
- за згрупованими даними
Групова дисперсія
- за не згрупованими даними
- за згрупованими даними
Середня з групових дисперсія
Міжгрупова дисперсія
Взаємозв'язок дисперсій (правило розкладання)

Враховуючи, що аналіз показників буде проводитися за вибірковими даними, визначають поняття довірчих меж показника, у тому числі наводять відповідні формули. Так межі довірчого інтервалу для середньої визначаються на основі точкової оцінки та граничної помилки вибірки . Наприклад, для факторного показника визначення довірчих меж відбувається наступним чином:

; (2.3)

де -- стандартна (середня) помилка вибірки (необхідно надати її поняття);

t -- квантиль розподілу ймовірностей (коефіцієнт довіри, що відповідає ймовірності ).

Величину стандартної помилки можна визначити за формулою для відбору:

повторного

(2.4)

Безповторного

(2.5)

де n - обсяг вибірки,

D - частка вибіркової сукупності в генеральній[14]

2.3 Методологія побудови та аналізу моделі парної регресії

Оскільки статистичні явища пов'язані між собою, то необхідні спеціальні статистичні методи аналізу, які дозволяють вивчити форму, близькість та інші параметри статистичних взаємозв'язків. Одним з таких методів є кореляційний аналіз.

За даними курсової роботи на рівень продуктивності праці оказують вплив не тільки показники фондомісткості, стажу та інші, але й багато інших: технічний рівень виробництва, характер організації праці і т.д. У тому випадку, якщо досліджується зв'язок між одним фактором та однією ознакою, зв'язок має назву однофакторного та кореляція є парною. Якщо досліджується зв'язок між декількома факторами та однією ознакою, зв'язок має назву багатофакторного та кореляція є множинною.

На першому етапі дослідження взаємозв'язків між факторами необхідно з множини факторів, які сформовані шляхом інтуітивних міркувань, відібрати ті, які дійсно вагомі з точки зору їхнього впливу на показник. Рішення завдань такого виду здійснюється за допомогою дисперсійного аналізу - однофакторного, якщо перевіряється істотність впливу того чи іншого фактора, або багатофакторного у випадку вивчення впливу на нього комбінації факторів.

Для вивчення зв'язку між явищами та їх ознакам будують кореляційну таблицю та аналітичне угрупування.

Кореляційна таблиця - це спеціальная комбінаційна таблиця, в якій наведено групування за двома пов'язаними ознаками: факторною та результативною. Концентрація частот біля діагоналей матриці свідчить про наявність кореляційного зв'язку між ознаками.

Аналітичне угрупування дозволяє вивчити взаємозв'язок факторної та результативної ознаки. Основні етапи проведення такого угрупування:

1. Обгрунтування факторної та результативної ознаки.

2. Підрахунок кількості одиниць в кожній з груп, що утворені.

3. Визначення обсягу ознак, що варіюють, в границях створених груп.

4. Розрахунок середніх значень результативної ознаки.

Результати групування оформлюються у таблиці (див. табл. 2.6).

Кількість груп можна визначити за формулою Стреджесса, методом «сігм» або прийняти самостійно.

Таблиця 2.6 - Схема аналітичного угрупування

Межі угрупування по факторній ознаці, хj	Кількість одиниць сукупності,fi	Середнє значення результативної ознаки у групі j, уj
	f1	у1
	f2	у2
	::	::
Разом	fi	Х

Відомо, що якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити середню як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня

або або (2.6)

центром розподілу в j-й групі -- групова середня

 або (2.7)

де f_i - частота і-го елементу сукупності,

n_j = f_j - обсяг j-ї групи,

n - обсяг сукупності

Для перевірки істотності зв'язку можна використовувати характеристику F-критерій (критерій Фішера), який визначається за формулою:

, (2.8)

де , - відповідно факторна (міжгрупова) та залишкова дисперсія

k₁, k₂ - число ступенів свободи відповідно факторної та залишкової дисперсії

= m - 1;

= n - m (2.9)

де n, m - відповідно число одиниць сукупності та кількість груп.

(2.10)

(2.11)

Тобто

, (2.12)

де

(2.13)

(2.14)

де у_ij - значення показника у, якій відповідає і-му елементу в j-й групі

- середнє значення показника у в j-й групі

Надалі одержане розрахункове значення F порівнюється за табличним (критичним), для визначеного рівня істотності (звичайно 0,05 або 0,01) та ступенів свободи k₁ та k₂ .

Якщо F_розр ? F _табл, то вплив відповідного фактора визнається неістотним. Якщо, навпаки, F_розр ? F_табл - вплив істотний.

Сформований у результаті процедури, що описана, набір істотних факторів використовується на наступних етапах дослідження: при побудові відповідних парних моделей регресії або рівняння множинної регресії.

Надалі проведемо дослідження зв'язку між одним фактором та однією ознакою, тобто аналіз моделі парної регресії. Рівняня регресії будемо досліджувати у вигляді Y=| (де Y -- розрахунковий (теоретичний) рівень результативної ознаки).

Розрахунок коефіцієнтів рівняння можна здійснити за формулами

 (2.15)

Необхідно побудувати кореляційне поле за емпіричними (вихідними) даними та «наложити» на нього лінію регресію, що побудована за визначенним рівнянням регресії, що дозволяє зробити попередні висновки про відповідність рівняння вихідним даним.

Вплив та напрямок однофакторного зв'язку характеризує лінійний коефіцієнт кореляції, який можна визначити за формулою

(2.16)

Зауважимо, що за формулою лінійного коефіцієнту розраховуються також парні коефіцієнти кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між парами змінних, що розглядаються (без урахування їх взаємодії з іншими змінними).

Показником тісноти зв'язку між результативною та факторною ознакою є коефіцієнт детермінації (множинної кореляції)

(2.17)

де -- загальна дисперсія ознаки y;

- факторна дисперсія;

у - залишкова дисперсія

 (2.18)

(2.19)

(2.20)

де Y, у|в| - відповідно розрахункові та фактичні значення результативної ознаки.

Тобто

(2.21)

Якщо , це свідчить про лінійний зв'зок між х та у.

Для встановлення адекватності моделі можна також використовувати F-критерій Фішера

(2.22)

Тобто у випадку парної кореляції для лінійної моделі розрахункове значення F можна знайти за формулою

(2.23)

Як і в методі аналітичних групувань, надалі одержане розрахункове значення F порівнюється за табличним (критичним) для визначеного рівня істотності (звичайно 0,05 або 0,01), тобто з F_б(1, n-2)

Якщо F_розр ? F _табл, то вплив відповідного фактора визнається неістотним. Якщо, навпаки, F_розр ? F_табл - вплив істотний.

Необхідно також здійснювати оцінку статистичної значущості коефіцієнтів b₀ та b₁. Така оцінка здійснюється за допомогою t-критерію Ст'юдента. При цьому визначають розрахункові (фактичні) значення:

- для параметру b₁

(2.24)

- для параметру b₀

(2.25)

де S(b) - середньоквадратичне відхилення відповідного параметру

(2.26)

(2.27)

де S²(b) - дисперсія відповідного параметру

Розрахункові значення t-критерію Ст'юдента порівнюють з табличними, які обираються в залежності від рівня істотності та числа ступенів свободи

n -m -1 (де n - обсяг вибірки, m - кількість факторних ознак, що включено до моделі, тобто для однофакторної моделі число ступенів свободи дорівнює n-2). Критичні значення можна визначити за додатком 3 (наприклад, для одностороньої критичної області t_0,05;14=1,76). Параметр визнається істотним, якщо розрахункове значення більше табличного [15].

За відповідними розрахунками можливо також одержати прогноз довірчого інтервалу для значення y_n+1 та для його математичного очікування My_n+1.

Для значення y_n+1 границі довірчих меж визначаються за формулою

(2.28)

Для значення My_n+1 границі довірчих меж визначаються за формулою

, (2.29)

де S²- незсунена оцінка для залишкової вибіркової дисперсії

, (2.30)

2.4 Методологія множинного регресійного аналізу

Коли на величину результативної ознаки впливають два і більш фактори на практиці часто використовують рівняння множинної регресії. Одна з умов кореляційного аналізу - однорідність досліджуваної інформації. Критерієм однорідності інформації служать коефіцієнти варіації, які розраховуються по кожному факторному й результативному показнику, та який показує відносну міру відхилення окремих значень від середньоарифметичної. Після відбору факторів і оцінки початкової інформації важливим завданням є моделювання зв'язку між факторним і результативним показником. На практиці найчастіше використовують багатофакторні лінійні моделі і моделі, які приводяться до лінійного вигляду відповідними перетвореннями, тобто

(2.31)

Рішення задачі багатофакторного кореляційного аналізу передбачає визначення парних коефіцієнтів кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між парами змінних, що розглядаються (без врахування їхньої взаємодії з іншими змінними). Парні коєфіцієнти кореляції можна розрахувати за формулою лінійного коефіцієнту (див. формулу 2.16).

Показником тісноти зв'язку між результативною та факторними ознаками є коефіцієнт множинної кореляції. У випадку лінійного двохфакторного зв'язку він може бути розрахован за формулою

(2.32)

де r - лінійні (парні) коефіцієнти кореляції.

Значення цього коефіцієнту змінюється від 0 до 1. Коефіцієнт R² має назву множинного коефіцієнту детермінації та показує, яка частка варіації результативної ознаки обумовлена впливом факторів, що враховано.

Наступним етапом кореляційно регресійного аналізу є побудова рівняння множинної регресії та визначення невідомих параметрів b₀, b₁ ,b₂ ,….,b_m обраноїх функції. Наприклад, рівняння двохфакторної лінійної регресії має вигляд

 (2.33)

де Y - розрахункові значення результативної ознаки,

х_і - значення факторних ознак,

b₀, b₁ ,b₂ - параметри рівняння регресії.

Для визначення параметрів , ... необхідно скласти і вирішити систему нормальних рівнянь. При двох факторах система рівнянь набуває вигляду

(2.34)

Рівняння лінійної множинної регресії можна також одержати, використовуючи програму «Microsoft Excel - Статистические функции - ЛИНЕЙН». Функція ЛИНЕЙН повертає масив {b_m; b_m-1; ... ; b₁;b}, де m - кількість факторних ознак, що включено до моделі

Синтаксис функції ЛИНЕЙН

ЛИНЕЙН(відомі_значення_y;відомі_значення_x;конст;статистика)

Відомі_значення_y - це безліч значень y, що уже відомі для співвідношення y = b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b

Якщо масив відомі_значення y має один стовпець, то кожний стовпець масиву відомі значення x інтерпретується як окрема змінна.

Якщо масив відомі значення y має один рядок, то кожний рядок масиву відомі значення x інтерпретується як окрема змінна.

Відомі значення x - це необов'язкова множина значень x, що уже відомі для співвідношення y = b₁x₁ + b₂x₂ + ... + b

Масив відомі значення x може містити одне або декілька множин змінних. Якщо використовується тільки одна змінна, то відомі значення y і відомі значення x можуть бути масивами будь-якої форми за умови, що вони мають однакову розмірність. Якщо використовується більш однієї змінної, то відомі значення y повинні бути вектором (тобто інтервалом висотою в один рядок або шириною в один стовпець).

Якщо відомі значення x опущені, то передбачається, що це масив {1;2;3;... } такого ж розміру як і відомі значення y.

Конст - це логічне значення, що вказує, чи потрібно, щоб константа b дорівнювала 0.

Якщо конст має значення ИСТИНА або опущена, то b обчислюється звичайним способом.

Якщо конст має значення ЛОЖЬ, то b покладається рівним 0 і значення b_і підбираються так, щоб виконувалося співвідношення y = bx.

Статистика - це логічне значення, що вказує, чи потрібно повернути додаткову статистику по регресії. Якщо статистика має значення ЛОЖЬ або опущена, то функція ЛИНЕЙН повертає тільки коефіцієнти b_і і постійну b.

У цьому випадку регресійна статистика повертається за формою таблиці 2.7

Таблиця 2.7 - Регресійна статистика

bm	bm-1	.	b2	b1	b

Якщо статистика має значення ИСТИНА, то функція ЛИНЕЙН повертає додаткову регресійну статистику (див. табл. 2.8)

Таблиця 2.8 - Додаткова регресійна статистика

bm	bm-1	….	B2	b1	b
		….
R2	- стандартна помилка для оцінки у
F-критерій	df (ступені свободи)

Наступним етапом є розрахунок та перевірка статистичної значущості коефіцієнту детермінації, що відповідає визначенному теоретичному рівнянню, та значущості коефіцієнтів регресії.

Коефіцієнт детермінації, який надає оцінку загальної якості моделі, розраховується за формулою

(2.35)

де

Перевірку статистичної істотності коефіцієнту детермінації можна здійснити за допомогою критерію Фішера, розрахункове значення якого визначається за формулою

(2.36)

де n - обсяг вибірки,

m - кількість факторних ознак, що включено до моделі (кількість змінних у рівнянні)

Одержане розрахункове значення F порівнюється з табличним для визначеного рівня істотності , тобто з F_б (m; n -m -1). Якщо F_розр ? F_табл - коефіцієнт детермінації статистично значущ.

Оцінка істотності коефіцієнтів регресії здійснюється за допомогою t-критерію Ст'юдента. При цьому визначають розрахункові (фактичні) значення

(2.37)

де - оцінка стандартної помилки коефіцієнту

Розрахункові значення t-критерію Ст'юдента порівнюють з табличними, які обираються в залежності від рівня істотності та числа ступенів свободи

n-m-1. Параметр визначається істотним, якщо розрахункове значення перевищує табличне [15].

Висновки до другого розділу

Групувальні ознаки можна поділити: за формою вираження - атрибутивні(якісні) та кількісні, за характером коливання ознаки - альтернативні та такі, що мають числові різновиди. Атрибутивна ознака характеризує властивості, якість даного явища і не має кількісного виразу. Кількість груп при проведенні групування за атрибутивною(якісною) ознакою визначається числом різновидів цієї ознаки. Кількісна ознака має числове вираження, вона завжди є у кожної одиниці сукупності, але в різних розмірах. Питання про вибір кількості груп та величину інтервалів вирішується за допомогою принципу, згідно з яким кількість груп була не надто великою і не надто малою, і щоб до кожної групи потрапила достатня кількість одиниць сукупності. В статистиці інтервалом називають різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в кожній групі.

...