Зависимость между валовым доходом и стоимостью оборотных средств. Динамика выпуска продукции

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Ситуационная (практическая) задача №1

Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств на величину валового дохода торговых предприятий. Для этого по 16 торговым предприятиям были получены данные, приведенные в таблице.

№ предприятия	Валовой доход за год, y, млн. руб.	Среднегодовая стоимость, млн. руб.	№ предприятия	Валовой доход за год, y, млн. руб.	Среднегодовая стоимость, млн. руб.
		основных фондов	оборотных средств			основных фондов	оборотных средств
1	218	108	82	9	252	144	83
2	89	18	33	10	175	105	65
3	79	17	31	11	90	88	23
4	128	40	40	12	141	76	45
5	90	46	15	13	175	94	59
6	123	92	27	14	78	38	21
7	125	106	31	15	226	103	89
8	118	114	19	16	136	65	44

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью оборотных средств. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.

2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью оборотных средств с надежностью 0,99.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия с оборотом 100 млн. руб.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия, на котором стоимость основных фондов составляет 70 млн. руб., а стоимость оборотных средств - 100 млн. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч2. Сравнить полученные результаты.

Решение:

1. Построить корреляционное поле между валовым доходом и стоимостью оборотных средств. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между этими показателями.



оборотный продукция доход трендовый

На основе анализа поля рассеяния выдвигаем гипотезу о том, что зависимость между валовым доходом и стоимостью оборотных средств описывается линейной регрессионной моделью .

2. Оценить тесноту линейной связи между валовым доходом и стоимостью оборотных средств с надежностью 0,99.

Оценим тесноту линейной связи с помощью коэффициента корреляции. Его можно рассчитать по формуле:

Для расчета заполним таблицу:

i	yi	xi2			xi2yi
1	218	82	6724	47524	17876
2	89	33	1089	7921	2937
3	79	31	961	6241	2449
4	128	40	1600	16384	5120
5	90	15	225	8100	1350
6	123	27	729	15129	3321
7	125	31	961	15625	3875
8	118	19	361	13924	2242
9	252	83	6889	63504	20916
10	175	65	4225	30625	11375
11	90	23	529	8100	2070
12	141	45	2025	19881	6345
13	175	59	3481	30625	10325
14	78	21	441	6084	1638
15	226	89	7921	51076	20114
16	136	44	1936	18496	5984
Итого	2243	707	40097	359239	117937

Тогда:

Проверим значимость коэффициента корреляции на уровне значимости 0,01. Для этого рассчитаем значения выражения

:

Находим критическое значение критерия Стьюдента по таблице критических точек:

tкр=t(1-;n-2)=t(0,99;14)=2,977.

Т.к. условие tф > tкр выполняется, то коэффициент парной корреляции статистически значим, т.е. они существенно отличается от нуля. Таким образом, линейную связь между признаками можно считать установленной.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств.

Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Для этого составляем систему нормальных уравнений и находим ее решение:



Решением этой системы являются числа: b0=46,267, b1=2,126.

Получили уравнение регрессии: .

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,95 и построить для них доверительные интервалы.

Для проверки значимости заполним расчетную таблицу:

i	Xi2	Yi
1	82	218	220,558	-2,558	6,545	1429,785
2	33	89	116,408	-27,408	751,219	125,160
3	31	79	112,157	-33,157	1099,410	173,910
4	40	128	131,287	-3,287	10,804	17,535
5	15	90	78,149	11,851	140,441	851,910
6	27	123	103,655	19,345	374,217	295,410
7	31	125	112,157	12,843	164,934	173,910
8	19	118	86,651	31,349	982,745	634,410
9	83	252	222,684	29,316	859,439	1506,410
10	65	175	184,425	-9,425	88,824	433,160
11	23	90	95,153	-5,153	26,556	448,910
12	45	141	141,914	-0,914	0,836	0,660
13	59	175	171,672	3,328	11,078	219,410
14	21	78	90,902	-12,902	166,468	537,660
15	89	226	235,437	-9,437	89,055	2008,160
16	44	136	139,789	-3,789	14,356	0,035
Сумма	707	2243	2243	0	4786,926	8856,438

Рассчитаем стандартную ошибку регрессии s:

Рассчитаем фактические значения t-критерия для каждого коэффициента:

,

,

Критическое значение t-критерия Стьюдента равно t0,995;14=2,145.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: 0

Сравнивая расчетное и критическое значения (4,704 > 2,145), делаем вывод, что коэффициент статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

Проверяем значимость коэффициента . Выдвигаем гипотезы:

H0: =0

H1: 0

Сравнивая расчетное и критическое значения (10,818 > 2,145), делаем вывод, что коэффициент также статистически значим, т.е. он не может быть равен нулю.

Определим доверительные интервалы для коэффициентов и :

46,2672,1459,836

46,26729,281

2,1262,1450,196

2,1260,585

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:

=0,9452=0,893

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

.

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k1=1, k2=16-2=14 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,01;1;14)=8,862. Т.к. неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия с оборотом 100 млн. руб.

Точечный прогноз при =100 млн. руб.:

=46,267+2,126100=258,817 млн. руб.

Доверительные интервалы находятся по формуле

,

где

yв, yн - верхняя и нижняя граница доверительного интервала

- значение независимой переменной x, для которой определяется доверительный интервал

- квантиль распределения Стьюдента с доверительной вероятностью 1- и числом степеней свободы n-2. При =0,01 t0,995;14=2,145.

Значение sy определяется по формуле:

.

yн=258,817-2,14511,901=233,292 млн. руб.

yв=258,817+2,14511,901=284,343 млн. руб.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

Найдем по методу наименьших квадратов оценки коэффициентов линейной регрессионной модели . Оценки коэффициентов в этом случае можно найти по формуле:

A=(XTX)-1XTY

Для этого выполним следующие расчеты:

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,99 и построить для них доверительные интервалы.

Заполним вспомогательную таблицу:

i	Y	X1	X2
1	218	108	82	219,636	2,676	6054,785
2	89	18	33	91,632	6,927	2620,160
3	79	17	31	87,705	75,774	3743,910
4	128	40	40	114,356	186,165	148,535
5	90	46	15	74,247	248,168	2518,785
6	123	92	27	117,223	33,369	295,410
7	125	106	31	130,902	34,832	230,660
8	118	114	19	114,135	14,942	492,285
9	252	144	83	238,830	173,456	12502,035
10	175	105	65	188,925	193,917	1211,910
11	90	88	23	108,399	338,508	2518,785
12	141	76	45	140,433	0,322	0,660
13	175	94	59	173,261	3,023	1211,910
14	78	38	21	80,689	7,230	3867,285
15	226	103	89	229,255	10,596	7363,785
16	136	65	44	133,373	6,900	17,535
Сумма					1336,804	44798,44

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формуле:

, j=0,1,…,m,

где zjj - диагональные элементы обратной матрицы (XTX)-1, которые равны соответственно 0,401, 6,8310-5, 0,00016.

,

,

,

По таблице критических точек определяем фактическое значение t-критерия Стьюдента:

tкр=t0,995;13=3,012.

Неравенство tФ > tкр выполняется только для всех коэффициентов, поэтому все коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, т.е. они существенно отличны от нуля.

Построим доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии:

0,7181,740,364

0,7180,639

1,1811,740,194

1,1810,337

0,0761,740,052

0,0760,091

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

Найдем коэффициенты парной корреляции.

(был найден ранее)

Найдем коэффициенты частной корреляции. Частные коэффициенты корреляции в случае трех переменных находятся по формуле:



Тогда:

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

Рассчитаем скорректированный коэффициент множественной детерминации:

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на очень высокую (более 90%) детерминированность результата в модели факторами и .

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,99.

Найдем коэффициент множественной корреляции и детерминации:

R2=0,9852=0,9702, регрессия y на x1 и x2 объясняет 97,02% колебаний значений y.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

При уровне значимости =0,01 и количестве степеней свободы k1=2, k2=16-3=13 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,01;2;13)=6,701. Неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому гипотеза H0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,99 величины валового дохода для предприятия, на котором стоимость основных фондов составляет 70 млн. руб., а стоимость оборотных средств - 100 млн. руб.

Выполним точечный и интервальный прогноз объема предложения блага.

=70 млн. руб., =100 млн. руб.

=26,107+0,48570+1,721100=232,168 млн. руб.

=0,62

=232,1683,0127,985=232,16824,054

=208,114 млн. руб., =256,221 млн. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч2. Сравнить полученные результаты.

Проверим наличие или отсутствие мультиколлинеарности для множественной регрессионной модели.

а) Если составить матрицу парных коэффициентов между объясняющими переменными, то получится следующая матрица:

Так как , то коэффициент корреляции между объясняющими переменными незначимо отличается от 0. Таким образом, можно предположить, что в данном случае нет мультиколлинеарности.

б) Рассчитаем определитель матрицы r:

Рассчитываем фактическое значение статистики 2:

Табличное значение статистики 2 при k=1 и =0,01 равно: . Неравенство выполняется, поэтому окончательно делаем вывод об отсутствии мультиколлинеарности.

2. Ситуационная (практическая) задача №2

Динамика выпуска продукции за 1994-2008 гг. представлена в таблице.

Год	Выпуск, ед	Год	Выпуск, ед	Год	Выпуск, ед
1994	16	1999	35	2004	36
1995	21	2000	33	2005	31
1996	18	2001	26	2006	38
1997	20	2002	24	2007	36
1998	21	2003	31	2008	33

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,95.

4. Дать точечный и интервальный прогноз выпуска продукции на 2009 г. с надежностью 0,95.

Решение:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

Для проверки гипотезы о наличии тренда воспользуемся критерием серий. Вычислим выборочную медиану исходных данных:

Ме (yt) = 31 ед.

Вместо исходных элементов временного ряда Х(t) сформируем последовательность знаков:

+, если yt > Me, ?, если yt < Me.

Полученные результаты для временного ряда оформим в виде таблицы:

год	yt
1994	16	-
1995	21	-
1996	18	-
1997	20	-
1998	21	-
1999	35	+
2000	33	+
2001	26	-
2002	24	-
2003	31	-
2004	36	+
2005	31	-
2006	38	+
2007	36	+
2008	33	+

Вычислим характеристики данной последовательности: количество серий - н, длину максимальной серии - ф: н =6, ф = 5.

Проверим удовлетворяют ли эти значения неравенствам:

н (15) > 0,5(15 + 2 - 1,65) = 5,41

ф (15) < 1,43ln(15 + 1) = 3,96

Поскольку одно из неравенств не выполняется, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

Оценим автокорреляцию, используя следующую формулу:

,

где

В результате расчетов для от 1 до 4 получаем следующие значение автокорреляции:

1	0,640
2	0,369
3	0,190
4	0,192

Значения коэффициентов автокорреляции позволяют сделать вывод об отсутствии сезонности.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,95.

Найдем оценку уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов. Составим расчетную таблицу:

год	t	yt	ytt	t2
1994	1	16	16	1
1995	2	21	42	4
1996	3	18	54	9
1997	4	20	80	16
1998	5	21	105	25
1999	6	35	210	36
2000	7	33	231	49
2001	8	26	208	64
2002	9	24	216	81
2003	10	31	310	100
2004	11	36	396	121
2005	12	31	372	144
2006	13	38	494	169
2007	14	36	504	196
2008	15	33	495	225
Итого	120	419	3733	1240

Тогда:

Решением этой системы являются числа: a0=17,048 и a1=1,361.

Следовательно, уравнение тренда будет иметь вид: .

Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого заполним таблицу:

год
1994	16	18,408	5,800	142,404	49
1995	21	19,769	1,515	48,071	36
1996	18	21,130	9,795	98,671	25
1997	20	22,490	6,202	62,938	16
1998	21	23,851	8,129	48,071	9
1999	35	25,212	95,807	49,938	4
2000	33	26,573	41,311	25,671	1
2001	26	27,933	3,738	3,738	0
2002	24	29,294	28,027	15,471	1
2003	31	30,655	0,119	9,404	4
2004	36	32,015	15,876	65,071	9
2005	31	33,376	5,646	9,404	16
2006	38	34,737	10,648	101,338	25
2007	36	36,098	0,010	65,071	36
2008	33	37,458	19,877	25,671	49
Итого	419	419	252,501	770,933	280

Тогда:

При уровне значимости =0,05 и количестве степеней свободы k1=1, k2=15-2=13 определяем, что критическое значение F-статистики Фишера будет равно Fкр(0,05;1;13)=4,667. Неравенство Fф > Fкр выполняется, поэтому уравнение тренда статистически значимо и адекватно описывает исходные данные.

4. Дать точечный и интервальный прогноз выпуска продукции на 2009 г. с надежностью 0,95.

С помощью уравнения тренда рассчитаем точечный и интервальный прогноз выпуска продукции на 2009 г.

Точечный прогноз находим по уравнению тренда при t=16:

=17,048+1,36116=38,82 ед.

Интервальный прогноз:

=38,822,162,395=38,825,173

=33,646 ед., =43,992 ед.

Тестовые задания

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. Ошибка в i-м наблюдении - это:

a) разница между значением объясняющей переменной в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной;

b) разница между значением переменной Y в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной, полученным по выборочной линии регрессии;

c) разница между значением переменной Y в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной, полученным по истинной линии регрессии;

d) разница между прогнозным значением зависимой переменной, полученным по выборочной линии регрессии и значением объясняющей переменной в этом наблюдении.

Ответ: d.

2. Анализ тесноты и направления связей двух признаков осуществляется на основе:

a) парного коэффициента корреляции;

b) коэффициента детерминации;

c) множественного коэффициента корреляции;

d) нормированного коэффициента детерминации.

Ответ: d.

3. По результатам наблюдений получено следующее регрессионное уравнение

Y* = 0.75 + 0.350 X1 + 2X2 - 0.128 X3,

где

Y - цена квартиры в тыс. дол., X1 - общая площадь в кв. м., X2 - первый или последний этаж (1-нет, 0-да), X3 - расстояние от Центра, км.

Как изменится цена на квартиру, если общая площадь увеличится на 1 кв. м.

при прочих равных условиях:

a) уменьшится на 350 долл.;

b) в среднем увеличится на 350 долл.;

c) уменьшится на 128 долл.;

d) в среднем увеличится на 2 тыс. долл.

Ответ: b.

4. Фиктивные переменные могут принимать значения:

a) 1 и 0;

b) 2;

c) -1 и 1;

d) любые значения.

Ответ: d.

5. Скорректированный коэффициент детерминации

a) всегда растет с увеличением количества объясняющих переменных;

b) не меняется с увеличением количества объясняющих переменных;

c) всегда уменьшается с увеличением количества объясняющих переменных;

d) может уменьшиться с увеличением количества объясняющих переменных.

Ответ: d.

6. Какой из перечисленных методов не может быть применен для обнаружения гетероскедастичности?

a) Тест Голфелда-Квандта;

b) Тест ранговой корреляции Спирмена;

c) Метод рядов;

d) Тест Дарбина-Уотсона.

Ответ: d.

7. К каким последствиям приводит наличие автокорреляции остатков:

a) МНК-оценки коэффициентов не будут состоятельными;

b) МНК-оценки коэффициентов не будут несмещенными;.

c) МНК-оценки коэффициентов не будут эффективными;

d) МНК-оценки коэффициентов становятся нелинейными.

Ответ: c.

8. Аддитивная модель:

a) представляет собой сумму компонент временного ряда;

b) представляет собой произведение компонент временного ряда;

c) представляет собой сумму и произведение соответствующих компонент;

d) представляет собой частное компонент временного ряда.

Ответ: a.

9. По месячным данным за два года построена трендовая модель, описывающая динамику курса акций некоторой компании: y* = 89,5 - 39/ t . Каков прогноз курса акций рассматриваемой компании на февраль будущего года?

a) 91;

b) 11,5;

c) 70;

d) 88.

Ответ: d.

10. Какой метод применяется для оценивания параметров сверхидентифицированного уравнения?

a) МНК;

b) КМНК;

c) ДМНК;

d) ОМНК.

Ответ: c.

Библиографический список

1. Бородич С.А. Эконометрика. - Мн.: Новое знание, 2001.

2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике. - М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2000.

4. Методическое руководство по организации самостоятельной работы студентов заочной формы обучения. - Новосибирск, 2011.

Размещено на Allbest.ru

...