Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Статические модели макроэкономики

1.1 Статический межотраслевой баланс

1.1.1 Баланс в натуральном выражении

Имеется n отраслей производства. Согласно статистическим данным известно, сколько продукции каждой отрасли используется в других отраслях в качестве исходных материалов или комплектующих, а также, сколько этой продукции остается для конечного использования. Все эти данные записываются в виде таблицы, в которой:

- каждая строка таблицы соответствует одной из отраслей, выступающей как производитель определенного вида продукции. Для простоты предполагается, что каждая отрасль производит только один вид продукции. Поскольку в реальной жизни такая ситуация встречается довольно редко, поэтому при составлении баланса осуществляют переход от хозяйственных отраслей к так называемым чистым отраслям. Эта операция называется «очищением отраслей»;

- первые n столбцов таблицы соответствуют тем же отраслям, которые теперь уже выступают в роли потребителей продукции других отраслей, используемой для организации своего производства (промежуточное потребление);

- в предпоследнем столбце таблицы содержится информация о той части продукции отрасли, которая осталась для конечного использования (информацию этого столбца в балансе часто расшифровывают и приводят не только общий объем потребления, но и данные по видам потребителей: домашние хозяйства, государственные учреждения, накопление, экспорт и т.д.);

- в последнем столбце таблицы записывается общий объем всей произведенной отраслью продукции (валовой объем), равный сумме промежуточного и конечного потребления.

Обозначим через П матрицу промежуточного потребления, состоящую из первых n столбцов нашей таблицы, Y - столбец конечного использования, X - столбец валового выпуска. Тогда:

X_i - валовой выпуск в i-й отрасли;

Y_i - объем конечного потребления в i-й отрасли;

П_ij - объем продукции i-й отрасли, использованной в j-й отрасли.

Таблица 1.1.1

	Потребители (промежуточное потребление)	Конечный спрос	Валовый объем
	1	…	j	…	n
Производители	1	П11	…	П1j	…	П1n	Y1	X1
	…	…	…	…	…	…	…	…
	i	Пi1	…	Пij	…	Пin	Yi	Xi
	…	…	…	…	…	…	…	…
	n	Пn1	…	Пnj	…	Пnn	Yn	Xn

Базисным в теории межотраслевого баланса является следующее предположение: величина

A_i,j = П_i,j / X_j , (1.1.1)

равная объему продукции i-й отрасли, который используется в j-й отрасли для производства единицы продукции, не зависит от объема производства X_j, а обусловлен технологическими особенностями. Другими словами, промежуточное потребление П_j в j-й отрасли линейно зависит от валового выпуска X_j в этой отрасли:

П_j = AX_j. (1.1.2)

При этом матрица А называется матрицей прямых производственных затрат.

Используя операции над матрицами и введенные обозначения, можно записать основное балансовое равенство, состоящее в том, что валовой объем равен сумме промежуточного и конечного потребления:

X = AX + Y, или Y = X _ AX = (E-A)X. (1.1.3)

Полученное равенство позволяет решать задачи планирования следующего характера: известно, что в следующем году структура конечного спроса Y изменится. Предполагая, что технологии производства останутся прежними (т.е. матрица А не изменится), необходимо найти план валового выпуска по отраслям.

С точки зрения алгебры эта задача решается просто, если известно, что у матрицы (E-A) существует обратная: B=(E-A)^-1 (вопрос о том, когда существует эта матрица, будет обсужден позже). В этом случае решение поставленной задачи находится по формуле:

X = (E-A)^-1 Y = BY. (1.1.4)

Матрица B называется матрицей полных затрат. Ее элементы B_i,j показывают, какое потребуется изменение объема валового выпуска продукции в i-й отрасли, обеспечения увеличения конечного спроса j-й отрасли на единицу. баланс матрица продуктивность стоимостной

Матрицей полных производственных затрат называют матрицу B = B - E. Из (4) получаем

BY = BY-Y = X-Y = AX.

Таким образом, элементы B_i,j матрицы B показывают, какие необходимы затраты продукции i-й отрасли для обеспечения единичного конечного спроса в j-й отрасли.

Из тождества (E-A²)B = (E+A) (E-A) (E-A)^-1=(E+A) получаем равенство

B = E+A + A²B = E + A + A²(E-A)^-1,

Откуда

B = B - E = A + A²B = A + A²(E-A)^-1. (1.1.5)

Матрица A²(E-A)^-1 называется матрицей косвенных производственных затрат. Таким образом, согласно (1.1.5), полные производственные затраты равны сумме прямых и косвенных затрат.

Заметим, что до сих пор нам было безразлично, в каких единицах измерения измерялись объемы продукции в каждой отрасли. Во всем вышеизложенном можно предполагать, что в каждой отрасли существует своя единица измерения, возможно, никак не связанная с другими отраслями. Поэтому баланс, записанный в таблице 1.1.1, называют балансом в натуральной форме.

1.1.2 Баланс в стоимостной форме

В каждой отрасли кроме сырья и исходных материалов для организации производства расходуются и другие ресурсы: изнашивается оборудование, оплачивается труд работников, делаются налоговые отчисления. Все эти и некоторые другие расходы (к которым относят и прибыль, и полученные субсидии (со знаком минус)) образуют добавленную стоимость, которая обычно выражается в общих для всех отраслей денежных единицах (ДЕ).

Причину отнесения прибыли к расходам можно прокомментировать следующим образом. По известной формуле

Прибыль = Доходы - Расходы

получаем, что

Доходы = Расходы + Прибыль.

Следовательно, наше предположение о том, что прибыль входит одним из слагаемых в расходы не нарушает основного баланса.

Таблица 1.1.2

	Потребители (промежуточное потребление)	Конечный спрос	Валовый объем
	1	…	j	…	n
Производители	1	П11=A11X1	…	П1j=A1jXj	…	П1n=A1nXn	Y1	X1
	…	…	…	…	…	…	…	…
	i	Пi1=Ai1X1	…	Пij=AijXj	…	Пin=AinXn	Yi	Xi
	…	…	…	…	…	…	…	…
	n	Пn1=An1X1	…	Пnj=AnjXj	…	Пnn=AnnXn	Yn	Xn
Добав. стоим.	L1=l1X1	…	Lj=ljXj	…	Ln=lnXn	L= Lj

Добавленная стоимость компенсируется производителям путем ее оплаты потребителями стоимости продукции по определенным ценам. Поскольку здесь имеется ввиду только конечный спрос, суммарную добавленную стоимость L записывают не в последний столбец (в который записывалась сумма по всем предыдущим строкам), а в столбец конечного спроса.

Зная величину L_j добавленной стоимости в j-й отрасли, определим l_j = L_j / X_j - добавленную стоимость единицы продукции (l_j измеряется в денежных единицах за единицу продукции j-й отрасли).

Обозначим через p_i стоимость продукции в i-й отрасли. Умножив данные в i-й строке на соответствующую стоимость p_i, получим баланс в стоимостной форме (все данные в этой таблице выражаются в общей для всех отраслей денежной форме):

Таблица 1.1.3

	Потребители (промежуточное потребление)	Конечный спрос	Валовый объем
	1	…	j	…	n
Производители	1	p1A11X1	…	p1A1jXj	…	p1A1nXn	p1Y1	p1X1
	…	…	…	…	…	…	…	…
	i	piAi1X1	…	piAijXj	…	piAinXn	piYi	piXi
	…	…	…	…	…	…	…	…
	n	pnAn1X1	…	pnAnjXj	…	pnAnnXn	pnYn	pnXn
Добав. стоим.	L1=l1X1	…	Lj=ljXj	…	Ln=lnXn	L= Lj

Оказывается, если добавленная стоимость во всех отраслях известна, то величины p_i определяются однозначно (исходя из требования о равенстве доходов и расходов всех отраслей).

Действительно, сумма доходов i-й отрасли, полученных от промежуточного и конечного использования ее продукции, равна p_iX_i . Расходы этой же отрасли можно вычислить, найдя сумму по i-му столбцу таблицы 1.1.3. Приравняем найденные величины (напомним, что прибыль учитывается в числе расходов в составе добавленной стоимости). Получим:

+ l_iX_i = p_iX_i , или + l_i = p_i для всех i=1,…,n.

В матричном виде эти равенства можно записать в виде:

A^Tp + l = p. (1.1.6)

Если вектор l считается известным, вектор стоимостей p можно найти по формуле:

p = (E-A^T)^-1 l. (1.1.7)

Матрица (E-A^T) получается из матрицы (E-A) транспонированием, поэтому обратные матрицы для них существуют одновременно и если

В = (E-A)^-1, то (E-A^T)^-1 = В^T.

Из формулы (1.1.6) получим, что

l = p - A^Tp, откуда l^T = p^T - p^TA,

следовательно,

L= L_j = l_jX_j = l^T X= (p^T - p^TA)X = p^T (X - A X) = p^TY= p_iY_i .

Таким образом, совокупная добавленная стоимость равна совокупному конечному спросу в стоимостной форме. Для таблицы 1.1.3 это означает, что L является не только суммой всех чисел в строке добавленной стоимости, но и суммой всех чисел в столбце конечного спроса.

Формально баланс в стоимостной форме отличается от баланса в натуральном выражении только тем, что в первом случае все данные в балансе выражаются в одних и тех же единицах измерения, тогда как во втором случае в каждой строке баланса может быть своя единица измерения количества продукции. Поэтому над данными баланса в стоимостной форме мы можем совершать те же операции, что и над данными баланса в натуральной форме.

Пусть

X_i^* = p_iX_i - валовый выпуск в i-й отрасли в стоимостной форме;

Y_i^* = p_iY_i - объем конечного потребления в i-й отрасли в стоимостной форме;

П_i,j^* = p_iП_i,j - объем продукции i-й отрасли, использованной в j-й отрасли, в стоимостной форме.

Тогда элементы матрицы прямых производственных затрат в стоимостной форме будут вычисляться по формуле:

A_i,j^* = П_i,j^* / X_j^* = p_iП_i,j/ p_jX_j = p_iA_i,j/ p_j. (1.1.8)

Определим l_j^*= L_j / X_j^* = l_j / p_j - добавленную стоимость единицы (в стоимостном смысле) продукции j-й отрасли.

Аналогично формуле (1.1.6) получаем:

+ l_i^*X_i^* = X_i^* , или + l_i^* = 1 для всех i=1,…,n.

В частности, если предположить, что во всех отраслях есть дополнительные расходы, т.е. все l_j^*>0, то получаем, что

0 < 1 для всех i =1,…,n. (1.1.9)

Рассмотренная модель межотраслевого баланса носит название модели Леонтьева.

1.2 Продуктивность матрицы МОБ

Рассмотрим вопрос, который не был изучен в предыдущем параграфе, касающийся существования матрицы (E-A)^-1.

Определение. Если все элементы матрицы A (вектора В) неотрицательны, то матрицу A (вектор В) будем называть неотрицательной (-ым) и обозначать этот факт так: A0 (В0). Вектор В назовем положительным, если все его координаты положительны.

Заметим, что в модели межотраслевого баланса матрица A прямых производственных затрат по своему экономическому смыслу может быть только неотрицательной.

Определение. Неотрицательную матрицу A назовем продуктивной, если для любого неотрицательного вектора Y найдется неотрицательный вектор X, для которого справедливо равенство X - AX = Y.

Для модели межотраслевого баланса с матрицей A прямых производственных затрат это означает, что любой неотрицательный конечный спрос может быть удовлетворен (т.е. для него найдется соответствующий план валового выпуска).

Следующая теорема показывает, что продуктивность матрицы А непосредственно связана с обратимостью матрицы (Е-А).

Теорема 1.2.1 (критерий продуктивности). Матрица A0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А) обратима, причем обратная матрица В=(E-A)^-1 неотрицательна.

Доказательство. 1) Пусть существует матрица В=(E-A)^-1 0. Тогда для каждого Y 0 вектор Х=ВY - неотрицателен как произведение неотрицательных матриц и является искомым решением уравнения X - AX = Y. Это и означает продуктивность матрицы А.

2) Пусть матрица А продуктивна. Обозначим через Y_k вектор, все координаты которого равны нулю, за исключением k-й, равной единице. Поскольку для всех k вектор Y_k неотрицателен, то по определению продуктивности найдется вектор X_k0, такой что (E-A) X_k = Y_k. Пусть матрица В такова, что для всех k ее k-м столбцом является вектор X_k. Тогда по правилам умножения матриц произведение (E-A)B будет матрицей, составленной из вектор-столбцов Y_k, т.е. единичной матрицей. Таким образом, матрица B является обратной к матрице (E-A), причем все ее столбцы неотрицательны.

Теорема доказана.

Следствие. Если матрица А продуктивна, то система неравенств

Х-АХ 0 имеет только неотрицательные решения.

Следующая теорема играет важную роль в математической экономике. В частности, она оказывается полезной и при исследовании продуктивности матриц.

Теорема 1.2.2 (Фробениус, Перрон). Пусть A - произвольная неотрицательная матрица. Тогда существует собственное значение _A матрицы A, такое что для всех собственных значений матрицы A выполняется неравенство || _A. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор x_A 0 матрицы А, соответствующий значению _A.

Замечание. Известно, что набор собственных значений у матриц A и A^T одинаков, к тому же условие A 0 равносильно условию A^T 0. Следовательно, _AT = _A. Соответствующий вектор x_AT обозначим через l_A.

Определение. Число _A называется числом Фробениуса матрицы A (и матрицы A^T). Векторы x_A и l_A называются, соответственно, правым и левым вектором Фробениуса матрицы A.

Понятие числа Фробениуса позволяет кратко формулировать условие продуктивности матрицы МОБ.

Теорема 1.2.3. Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна тогда и только тогда, когда _A < 1.

Доказательство. >) Пусть матрица А продуктивна и ее правый и левый векторы Фробениуса равны, соответственно, x_A и l_A . По критерию продуктивности у системы уравнений X - AX = l_A существует неотрицательное решение X₁ 0.

Тогда

0 < | l_A |² = (l_A)^T l_A = (l_A)^T (X₁ - AX₁) = (l_A)^T X₁ - (l_A)^T AX₁ =

= (l_A)^T X₁ - (A^T l_A)^T X₁ = (l_A)^T X₁ - (_A l_A)^T X₁ = (1 - _A)l_A^T X₁.

Векторы l_A и X₁ неотрицательны, поэтому l_A^T X₁ 0. Следовательно,

(1 - _A) > 0, т.е. _A < 1.

<) Если _A < 1, то для всех собственных значений матрицы А справедливо неравенство | | < 1.

Лемма [14, с.115-116]. Следующие свойства эквивалентны:

а) все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы;

б) при k> выполняется условие A^k> 0.

Нетрудно проверить, что если матрица А неотрицательна и при k> выполняется условие A^k> 0, то ряд E+A+A²+…+A^k+… сходится к неотрицательной матрице B.

Поскольку суммой ряда E+A+A²+…+A^k+… является матрица B = (E - A)^-1, то у матрицы E - A существует обратная матрица, являющаяся неотрицательной. Согласно критерия продуктивности, это доказывает продуктивность матрицы А.

Теорема доказана.

Доказанная теорема сводит проверку продуктивности матрицы к нахождению ее числа Фробениуса, т.е. наибольшего по модулю собственного значения. Если матрица А имеет большие размеры, то эта задача может оказаться не очень легкой (собственно, как и нахождение обратной матрицы для E-A). Следующая теорема дает достаточные условия продуктивности, которые позволяют сильно упростить такую проверку.

Теорема 1.2.4. Если в модели Леонтьева с матрицей А можно удовлетворить некоторый строго положительный спрос Y₀ > 0, то A - продуктивная матрица.

Доказательство. По условию теоремы существует вектор X₀ 0, такой что X₀ - AX₀ = Y₀ > 0. Аналогично доказательству предыдущей теоремы, для левого вектора Фробениуса l_A получаем:

(l_A)^T Y₀ = (l_A)^T (X₀ - AX₀) = (1 - ?_A)(l_A)^T X₀.

Поскольку l_A 0, X₀ 0 и Y > 0, то (l_A)^T Y₀ > 0, (l_A)^T X₀ 0.

В результате получаем, что (1 - ?_A)>0, или ?_A < 1, что и доказывает продуктивность матрицы A.

Теорема доказана.

Существует еще один способ оценить величину числа Фробениуса неотрицательной матрицы.

Теорема 1.2.5. Пусть A 0, r_i = - сумма i-й строки, с_j = - сумма j-го столбца. Тогда

r_i ?_A? r_i ,(1.2.1)

с_j ?_A? с_j . (1.2.2)

Доказательство. Выберем правый вектор Фробениуса x_A для матрицы А так, чтобы выполнялось равенство = 1. Тогда

_A = _A = = = = ,

откуда, в силу = 1, немедленно получаем (1.2.2). Для получения (1.2.1) аналогичным образом надо использовать левый вектор Фробениуса.

Следствие. Если у положительной матрицы сумма по каждому столбцу меньше единицы, то эта матрица - продуктивная.

Таким образом, матрица прямых производственных затрат МОБ, рассчитанная для баланса в стоимостной форме, является продуктивной (см. условие 1.1.9).

1.3 Цены в модели МОБ. Учет непроизводственной сферы и сферы услуг

В предыдущих пунктах мы рассмотрели модель баланса с математической точки зрения. Теперь подойдем к этой модели с точки зрения экономистов и убедимся, что в этой модели находят свое отражение основные экономические понятия. Далее покажем, что межотраслевой баланс позволяет естественным образом учесть особенности функционирования отраслей непроизводственной сферы и сферы услуг.

1.3.1 Понятие чистой продукции

Конечной продукцией назовем суммарную стоимость конечного потребления всех отраслей баланса .

Условно чистая продукция - это сумма добавленных стоимостей по всем отраслям баланса .

Как мы уже выяснили ранее, одно из уравнений баланса выражает равенство между условно-чистой продукцией и конечной продукцией:

== L.(1.3.1)

Разность между условно-чистой продукцией и затратами на амортизацию называют чистой продукцией.

Таким же названием логично обозначать и разность между конечной продукцией и затратами на возмещение основных фондов.

Первая величина носит название произведенной чистой продукцией, вторая - используемой чистой продукцией.

Основные составляющие произведенной чистой продукции:

- заработная плата;

- прибыль;

- косвенный налог (налог с оборота, НДС).

Основные компоненты используемой чистой продукции:

- потребление (личное и общественное);

- капитальные вложения;

- прирост запасов;

- экспортно-импортное сальдо.

1.3.2 Учет непроизводственной сферы в МОБ

В структуре баланса могут находиться отрасли, которые формально не передают результаты своей деятельности в виде продукции другим отраслям. Примером могут служить здравоохранение, образование, управление, услуги которых можно целиком отнести к сфере конечного (личного и общественного) потребления. Объединим эти отрасли под общим название «непроизводственная сфера».

Основной проблемой учета такой отрасли в структуре баланса является тот факт, что здесь понятия «производственное потребление» и «конечное потребление» имеют специфический смысл, связанный с тем, что продукция этой отрасли чаще всего имеет нематериальный характер и напрямую не участвует в межотраслевых потоках.

Добавим к n производственным отраслям n+1-ю (непроизводственную). Поскольку эта отрасль является только потребителем, в таблице баланса будет n строк и n+1 столбец.

Баланс будем записывать в стоимостной форме.

Кроме этого, поскольку в непроизводственной сфере отсутствует понятие валового выпуска, обозначим через W_n+1 суммарные затраты на эту отрасль.

Пусть A - матрица технологических затрат (n x n), D_ij = p_iA_ijX_j - межотраслевые потоки продукции в стоимостной форме (n x n).

Известны объемы M_i продукции i-й отрасли (в натуральном исчислении), используемой в непроизводственной сфере. Обозначим через n_i = M_i/W_n+1. Тогда N_i = p_in_iW_n+1 - количество продукции i-й отрасли, потребляемой n+1-й (непроизводственой) отраслью в денежном выражении. Известна также добавленная стоимость непроизводственной сферы L_n+1.

Таблица 1.3.1

	Потребители (промежуточное потребление)	Конечный спрос	Валовый объем
	1	…	j	…	N	n+1
Производители	1	D11	…	D1j	…	D1n	N1	p1Y1	p1X1
	…	…	…	…	…	…		…	…
	i	Di1	…	Dij	…	Din	Ni	piYi	piXi
	…	…	…	…	…	…		…	…
	n	Dn1	…	Dnj	…	Dnn	Nn	pnYn	pnXn
Доб. стоим	L1		Li		Ln	Ln+1	L
	p1X1		piXi		pnXn	Wn+1

Потребуем, чтобы в случае учета непроизводственной сферы также выполнялось уравнение баланса.

+ L_j = p_j X_j, j=1,…,n; + L_n+1 = W_n+1,

+ l_jX_j = p_j X_j, j=1,…,n; + l_n+1W_n+1 = W_n+1,

+ l_j = p_j, j=1,…,n; + l_n+1 = 1.(1.3.2)

Поскольку первая часть уравнений (1.3.2) совпадает с уравнениями для баланса без учета непроизводственной сферы, то выполняется условие (1.3.1): =.

Добавим к обеим частям равенства L_n+1:

+ L_n+1= + W_n+1=+ L_n+1.(1.3.3)

Таким образом, по аналогии с обычным балансом, величина W_n+1 в формуле (1.3.3) играет роль конечного потребления p_n+1Y_n+1 для n+1-й отрасли в денежном выражении.

Второе уравнение в формуле (1.3.2) позволяет (по такой же аналогии с обычным балансом) ввести обозначение p_n+1=1.

1.3.3 Цены производителей

Один из вариантов учета непроизводственной сферы заключается в том, что эта отрасль рассматривается наравне с остальными (производственными). Поскольку производственные отрасли не используют ее продукцию, компенсировать затраты должны потребители в рамках конечного потребления. Таким образом, первый вариант предполагает платность всех услуг непроизводственной сферы.

Если же услуги непроизводственной отрасли предполагается сделать бесплатными для конечных потребителей, то средства на ее функционирование должны быть собраны введением налогов.

Существует две основные формы налога:

o прямой налог - вычет из зарплаты и прибыли, взимаемый пропорционально величине дохода;

o косвенный налог - вычет, пропорциональный объему деятельности в стоимостном выражении (одна из форм - налог на добавленную стоимость).

Основным отличием между этими видами налогов является то, что косвенный налог является одной из составляющих добавленной стоимости и тем самым непосредственно влияет на цену продукции. Увеличение косвенного налога увеличивает добавленную стоимость и увеличивает цены. Прямой налог не изменяет величину добавленной стоимости, а лишь уменьшает величину прибыли предприятия и (или) доходы работников.

Рассмотрим влияние налогов на цены межотраслевого баланса.

Определение. Цены продукции p, учитывающие косвенные налоги, назовем ценами производителей.

Поскольку введение косвенных налогов влияет на цены продукции, то в уравнении + L_n+1 = W_n+1 величины N_i, зависящие от p_i, будут изменяться. Следовательно, для поддержания баланса требуется из величин L_n+1 и W_n+1 выбрать постоянную (независимую) и зависимую (вычисляемую из уравнения). В одном варианте считаем заданной добавленную стоимость в непроизводственной сфере, а совокупные затраты отрасли вычисляются (и зависят от косвенных налогов).

Второй вариант - задаются совокупные затраты отрасли, а величина добавленной стоимости рассчитывается.

Для определенности рассмотрим второй вариант, в котором W_n+1 задано, а L_n+1 вычисляется по формуле L_n+1= l_n+1W_n+1, (l_n+1 - переменная величина).

Пусть DN - совокупная величина прямого налога, ? - вектор косвенных налогов (для каждой из отраслей на единицу продукции в стоимостной форме).

Равенство совокупных доходов и расходов отраслей запишется в виде уравнения

,

.(1.3.4)

Для нахождения вектора цен p (с учетом косвенного налога) нужно учесть систему ограничений (1.3.2):

(1.3.5)

где l - добавленная стоимость на единицу продукции до введения косвенного налога, ? - косвенный налог с единицы продукции (в итоге l +? - добавленная стоимость на единицу продукции после введения косвенного налога).

Величины DN и v подбираются так, чтобы выполнялось равенство

,(1.3.6)

т.е. собранные налоги должны покрывать все расходы на непроизводственную сферу.

Систему условий (1.3.4) - (1.3.6) можно рассматривать как систему линейных уравнений (n+3 уравнения) относительно переменных p, v, DN, l_n+1 (2n+2 переменные). Поскольку обычно n>2, уравнений получается меньше, чем переменных. Следовательно, можно говорить о возможности различных политик налогообложения. Можно выбирать оптимальную налоговую политику, для чего необходимо задать критерий оптимальности (целевую функцию) и, возможно, дополнительные ограничения-неравенства. Если целевая функция окажется линейной, получается задача линейного программирования, которая решается стандартным способом.

1.3.4 Торговые и транспортные услуги

Одним из базовых предположений теории межотраслевого баланса является то, что каждая из производственных отраслей покрывает свои дополнительные расходы по организации производства (добавленную стоимость) за счет продажи своей продукции, оставшейся для конечного потребления (после того, как часть продукции потребляется в ходе промежуточного потребления другими отраслями). Однако, существуют отрасли, которые не могут, производя свою продукцию, откладывать ее на склад для последующего потребления. Такая продукция, производимая только в момент ее потребления, обычно называется услугами. Эта ситуация типична, например, для транспортных и торговых предприятий, для предприятий, обеспечивающих связь и т.п.

Рассмотрим баланс трех отраслей, из которых первая и вторая отрасли - производственные, а третья занимается оказанием услуг. Продукция третьей отрасли может выражаться услугами торговли и (или) транспортировки.

В отличие от непроизводственных отраслей сфера услуг может оперировать точными цифрами, говорящими о том, на какую сумму оказаны услуги каждой из отраслей. Поэтому для такого баланса можно составить матрицу прямых производственных затрат и, зная величину добавленной стоимости на единицу продукции в каждой отрасли, найти вектор цен производителей (в том числе - и для отрасли услуг).

Существенным отличием третьей отрасли от первых двух является то, что ее продукцию нельзя разделить на две части, одна из которых идет на внутреннее потребление отраслей 1 и 2, а вторая - на конечное потребление.

Пусть задана матрица прямых производственных затрат А. Тогда, зная величину добавленной стоимости на единицу продукции в каждой из отраслей, можно вычислить вектор факторных стоимостей (цен производителей).

Предположим, что нам задан конечный спрос в производственных отраслях Y₁, Y₂ (который, в свою очередь, порождает некоторый спрос на продукцию третьей отрасли).

Пусть цена услуги третьей отрасли для j-го вида продукции (в расчете на единицу продукции) не зависит от объема продукции и равна

и_j p_j, j=1, 2. (1.3.7)

Величина и_j не зависит от объема продукции, поэтому потребитель, приобретающий продукцию j-го вида в объеме Y_j, должен заплатить за услуги третьей отрасли и_j p_jY_j.

Конечный спрос на продукцию третьей отрасли в стоимостном выражении составит

p₃Y₃ = и₁ p₁Y₁ + и₂ p₂Y₂.(1.3.8)

Предполагаем также, что спрос на услуги третьей отрасли возникает только при приобретении потребителями продукции других отраслей. Тогда по аналогии с равенством (1.3.8) выполняются и равенства (в ценах производителей)

p₃П_3j = и₁ p₁П_1j + и₂ p₂ П_2j, j=1, 2, 3.(1.3.9)

Зная конечный спрос, запишем баланс в ценах производителей.

Таблица 1.3.2

	1	2	3	Конечный спрос	Валовый объем
1	p1П11	p1П 12	p1П 13	p1Y1	p1X1
2	p2П 21	p2П 22	p2П 23	p2Y2	p2X2
3	p3П 31	p3П 32	p3П 33	p3Y3	p3X3
Добав. стоим.	L1	L2	L3	L
	p1X1	p2X2	p3X3

Величина p₃Y₃, записанная в столбце конечного потребления для третьей отрасли не имеет отдельного смысла без остального баланса. Ведь торговые и транспортные услуги поставляются потребителям только вместе с продукцией.

Для решения указанной проблемы используют процедуру, называемую отнесением торгово-транспортных издержек на счет производителя, и понятие цены потребителя.

В первых двух строках баланса вместо величин p_jY_j в столбце конечного потребления запишем p_jY_j + и_j p_jY_j,= (1+и_j) p_j Y_j = p'_jY_j.

Величина p'_j = (1+и_j)p_j называется ценой потребителя для продукции j-го вида.

Складывая равенства (1.3.7) - (1.3.8), получаем, что

p₃X₃ = и₁ p₁X₁ + и₂ p₂ X₂.

Будем считать, что в балансе в ценах потребителей конечное потребление (Y'₃) и собственные внутренние затраты третьей отрасли (П'₃₃) равны нулю). Тогда будет выполнено уравнение баланса затрат третьей отрасли

D'₃₁+D'₃₂+D'₃₃ + Y₃= и₁ p₁X₁ + и₂ p₂X₂ + 0 + 0 = p₃X₃.

Умножим первые две строки баланса 1.3.2 на коэффициент (1+и_j), после чего можно говорить о записи баланса в ценах потребителей.

Таблица 1.3.3

	1	2	3	Конечный спрос	Валовый объем
1	p'1П11	P'1П12	p'1П13	p'1Y1	p'1X1
2	p'2П21	P'2П22	p'2П23	p'2Y2	p'2X2
3	и1p1X1	и2p2X2	0	0	p3X3
Добав. стоим.	L1	L2	L3	L
	p'1X1	p'2X2	p3X3

Заметим, что соблюдается баланс как по всем строкам, так и (в силу (1.3.9)) по всем столбцам.

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: торговые и транспортные расходы можно перенести на счет производителей продукции. Для этого необходимо ввести цены потребителей, равные сумме цены производителя и торговой (транспортной) надбавки и_j. При этом финансовый результат от таких цен для всех участников будет эквивалентен тому, как будто торговая (транспортная) отрасль продает свою услугу в качестве обычной продукции.

1.4 Модель МОБ конкурентно-импортного типа

Предположим, что кроме собственного производства для удовлетворения конечного спроса используется импорт и экспорт. Тогда вектор конечного спроса Y можно представить в виде:

Y = Y_вн + Y_экс - Y_имп ,

где Y_вн - внутренний конечный спрос;

Y_экс - величина экспорта;

Y_имп - величина импорта.

Тогда: AX + Y_вн - совокупный внутренний спрос;

AX + Y_вн + Y_экс - внутреннее валовое производство;

Получаем уравнение:

X + Y_имп = AX + Y_вн + Y_экс,

X = AX + Y_вн + Y_экс - Y_имп. (1.4.1)

Предположим, что импорт каждого вида продукции законодательно ограничен как определенный процент от совокупного внутреннего спроса на эту же продукцию. Тогда

Y_имп = M (AX + Y_вн), (1.4.2)

причем матрица коэффициентов М является диагональной:

M = diag{m₁,…,m_n}.

Основное уравнение баланса в этом случае можно записать так:

X = AX + Y_вн + Y_экс - M (AX + Y_вн), (1.4.3)

откуда (E - A + MA)X = (E - M) Y_вн + Y_экс,

X = (E - (E - M)A)^-1[(E - M) Y_вн + Y_экс] (1.4.4)

Формула (1.4.3) позволяет по известной величине экспортного и внутреннего конечного спроса найти объем равновесного валового выпуска X и затем по формуле (1.4.2) найти объем импорта.

1.5 Модель внешнеэкономических связей

Рассмотрим простую линейную модель обмена, которую также называют моделью международной торговли или моделью внешнеэкономических связей.

Имеется n стран, торгующих друг с другом. Будем считать, что доход _j страны с номером j складывается от продажи своих товаров либо внутри страны, либо другим странам.

Предположим, что структура рынка - устоявшаяся, т. е. доля a_ij дохода j-й страны, которая тратится на импорт продукции из i-й страны, постоянна. Нетрудно заметить, что при этом для всех j = 1,…, n выполняется равенство

a_ij = 1.(1.5.1)

Пусть A = (a_ij) - матрица, задающая правила торговли (обмена), =(_1, …,_n)^т - начальное распределение доходов между странами. Тогда после 1-го тура торговли это распределение будет иметь вид А.

Рассмотрим следующие вопросы, связанные с данной моделью.

Согласятся ли все страны торговать при таких условиях? Будем считать, что для согласия необходимо, чтобы доходы всех стран не уменьшались, т. е. выполнялось условие A.

Как ведет себя последовательность A^k, показывающая распределение доходов стран после k туров торговли?

Теорема 1.5.1. Если матрица А такова, что для всех j = 1,…, n выполняется условие а_ij = 1 и A, то = А.

Доказательство. Пусть для всех i = 1,…, n выполняется условие _i a_ijj. Если хотя бы для одного индекса выполняется строгое неравенство, то получаем: _I < a_ijj = _j a_ij = _j - противоречие.

Таким образом, в первом вопросе неравенство можно, не ограничивая общности, заменить равенством. В результате, этот вопрос переформулируется так:

1') Существует ли для заданной матрицы А0, удовлетворяющей условию (1.5.1), такое распределение доходов 0, для которого выполняется условие = А?

Заметим, что если = А, то вектор должен быть собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению = 1.

Пусть вектор е^Т = (1, …,1) - вектор, все координаты которого равны единице. Тогда е^ТА = (а_i1,…, а_in) = (1, …,1) = е^Т, или е^Т = е^ТА. Таким образом, = 1 - собственное значение матрицы А^Т с собственным вектором e. Поскольку собственные числа матриц А и А^Т всегда совпадают, следовательно, и у матрицы А есть собственный вектор х, такой что х = Ах.

Будет ли вектор х неотрицательным?

Теорема 1.5.2. Если А0 и для всех j=1,…,n выполняется условие (1.5.1), то =1 - фробениусово число матрицы А.

Доказательство. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательное собственное значение _А0 (фробениусово число) и соответствующий ему неотрицательный собственный вектор х_А0. Выберем вектор х_А так, чтобы выполнялось равенство x_Ai = 1.

По определению собственного вектора имеем _Ах_А= А х_А. Тогда

_А=Аx_Ai =_А x_Ai = a_ijx_Aj= x_Aj a_ij= x_Aj = 1.

Следствие. Для любой неотрицательной матрицы А, удовлетворяющей условию (1.5.1), существует неотрицательный вектор П_А распределения доходов, для которого справедливо равенство П_А=АП_А. При этом искомый вектор является вектором Фробениуса матрицы А.

Замечание. Выбор вектора П_А может быть изменен введением неотрицательного множителя, следовательно, можно считать, что вектор П_А задает только пропорцию между доходами стран.

Второй из поставленных нами вопросов можно задать и так: если первоначальное распределение доходов П_о отличается от П_А, то к чему приведет в долгосрочной перспективе торговля согласно матрице А ?

Теорема 1.5.3. Пусть А0 и существует предел limА^kх_о = у_о. Тогда

Ау_о = у_о.

Доказательство. Нетрудно заметить, что если limА^kх_о = у_о, то и limА^k+1х_о = у_о = limАA^kх_о = A limА^kх_о = A у_о.

Отметим, что из х_о0 получается, что y_о0. Это согласуется с тем, что y_о - вектор Фробениуса матрицы А. Таким образом, если последовательность А^kх_о имеет предел, то этот предел является вектором Фробениуса.

Теорема 1.5.4. Пусть А0, выполняется условие (1.5.1) и limА^kх_о=у_о. Тогда х_оi = y_оi.

Доказательство. Как мы уже показывали, равенство (1.5.1) означает, что для вектора е^Т = (1, …,1) выполняется равенство е^Т = е^ТА. Поэтому

(Aх_о)_i = е^ТАх_о = е^Тх_о = х_оi, аналогично е^ТА^kх_о = е^Тх_о.

В итоге y_оi= е^Тy_о = lim е^ТА^kх_о= е^Тх_о= х_оi.

Теорема 1.5.4, во-первых, доказывает ограниченность последовательности А^kх_о при неотрицательном начальном векторе х_о. Во-вторых, она позволяет убедиться, что пределом последовательности А^kх_о может быть только вектор Фробениуса y матрицы А с правильным значением нормы: y_i = х_оi.

Таким образом, если у последовательности А^kх_о существует предел, то его нужно искать среди векторов Фробениуса матрицы А. В случае, когда собственные векторы матрицы А, соответствующие собственному числу 1 образуют одномерное подпространство, такой предел находится однозначно по теореме 1.5.4.

Вопрос о существовании предела последовательности А^kх_о является более сложным. Как известно, ограниченная последовательность может иметь несколько частичных пределов и, следовательно, расходиться.

Определение. Матрица А называется устойчивой, если для каждого x существует предел limА^kх.

Теорема 1.5.5. Матрицы А устойчива тогда и только тогда, когда существует матрица В, такая что В = limА^k.

Упражнение. Докажите теорему 1.5.5.

Для исследования устойчивости матриц воспользуемся понятием жордановой нормальной формы матрицы.

Пусть ?₁, … , ?_n - собственные значения матрицы А. Тогда (см. соответствующий раздел алгебры) найдется такая унитарная матрица Q (матрица называется унитарной, если Q^-1=Q^T), для которой справедливо равенство A = Q^TBQ,

где матриа В является блочно-диагональной: ,

каждый блок - это так называемая клетка Жордана:

, ? - одно из собственных значений матрицы А.

Нетрудно вычислить, что A^k = Q^TB^kQ, причем .

Для клеток Жордана справедливо формула (С^l_k - биномиальные коэффициенты):

Заметим, что:

1) При |?? | > 1 выполняется условие J^k_ii = ?^k +, поэтому если у матрицы А есть такое собственное значение, то конечного предела A^k не существует.

2) При | ? | = 1 предел последовательности J^k_ii = ?^k существует только в случае ? = 1. В этом случае, если размер клетки J больше единицы, то J^k_{i i+1} = k?^k-¹ = k. Следовательно, если у матрицы А единица является собственным значением, то предел последовательности А^k может существовать только тогда, когда у этой матрицы нет клеток Жордана, соответствующих единице, размера, большего чем 1.

3) При |?? | < 1 имеем ?^k-^l С^l_k 0 при k +, поэтому J^k 0.

Таким образом:

- если все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы, то ?^k 0 при k +;

- если наибольшее по модулю собственное значение равно 1, то для сходимости последовательности ?^k необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) у матрицы А нет других собственных значений, по модулю равных 1, кроме единицы;

2) все клетки Жордана матрицы А, соответствующие единице, имеют размер 1;

- наличие у матрицы А собственного значения с модулем, большим 1, делает невозможным существование предела последовательности ?^k.

Размещено на Allbest.ru

...