Зведення, класифікації та групування статистичних даних. Генеральна та вибіркова сукупність

До основних абсолютних і відносних показників, що характеризують варіацію, є такі: розмах варіації; середнє лінійне відхилення; дисперсія; середнє квадратичне відхилення; коефіцієнт варіації тощо.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим та найменшим значеннями ознаки:

R=xmax-xmin

Величина показника залежить тільки від крайніх значень ознаки і не враховує всіх значень, що містяться між ними.

Досконалішим є визначення варіації через інші показники, які дають змогу усунути недолік розмаху варіації.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

а) просте:



б) зважене:

Наявність абсолютних значень відхилень від середньої пояснюється так: середня арифметична має нульову властивість, згідно з якої сума відхилень від середньої індивідуальних значень ознаки зі своїми знаками дорівнює нулю; щоб мати суму всіх відхилень, відмінних від нуля, кожне з них слід брати за абсолютною величиною.

Основним недоліком середнього лінійного відхилення є те, що в ньому не враховуються знаки відхилень, тобто їх спрямованість. Тому цей показник варіації використовується рідко (аналіз складу працюючих, ритмічність виробництва, обертання коштів у зовнішній торгівлі тощо). Показниками варіації, які б усунули недоліки середнього лінійного відхилення, є дисперсія та лінійне квадратичне відхилення.

Дисперсією називають середню арифметичну квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки. В залежності від вихідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами середньої арифметичної простої або зваженої:

а) проста:

б) зважена:



Дисперсія - це один з найбільш розповсюджених в економічній практиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання зв'язків між досліджуваними факторами; розклад дисперсії на складові дозволяє оцінити вплив різних факторів, які обумовлюють варіацію ознаки.

Середнє квадратичне відхилення, як і дисперсія, виступає в якості широко використовуючого узагальнюючого показника варіації. Його обчислюють, здобувши квадратичний корінь з дисперсії:

а) просте:

б) зважене:

Смислове значення середнього квадратичного відхилення таке саме, як і лінійного відхилення: воно показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середнього значення. Перевага цього показника порівняно із середнім лінійним відхиленням полягає у відсутності умовного припущення з підсумування відхилень без врахування їх знаків, бо відхилення використовуються у квадратній степені. Крім зазначеного, перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадратичне відхилення виражається в тих же одиницях вимірювання, що і значення досліджуваної ознаки (грн., кг, га тощо). Тому цей показник називають також стандартним відхиленням.

В статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, великий інтерес має порівняння віку робочих з їх кваліфікацією, стажу роботи з розміром заробітної плати, собівартістю та прибутку і т. ін. При таких порівняннях розглянуті показники коливання ознак з різними одиницями вимірювання не можуть бути використані (наприклад, неможливо порівнювати коливання стажу роботи в роках з варіацією заробітної плати в гривнях).

Для здійснення такого роду порівнянь, а також при зіставленні ознаки у декількох сукупностях з різними середніми арифметичними використовують відносний показник варіації - коефіцієнт варіації.

Коефіцієнтом варіації називають процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної величини ознаки:

Чим більший коефіцієнт варіації, тим менш однорідна сукупність і тим менш типова середня для даної сукупності. Встановлено, що сукупність кількісно однорідна, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

Дисперсія посідає особливе місце у статичному аналізі соціально-економічних явищ і є важливим елементом статистичних методів, зокрема у дисперсному аналізі.

У структурованій сукупності, яка поділена на т груп за факторною ознакою х, загальна дисперсія у2 результативної ознаки у, може бути представлена складовими: міжгрупова дисперсія та середня з групових дисперсій сг2. Згідно з правила розкладання дисперсій має місце рівняння:



Загальна дисперсія у2 вимірює варіацію результативної ознаки в цілому за сукупністю під впливом усіх факторів, які обумовлюють цю варіацію. Загальна дисперсія для зваженої результативної ознаки у обчислюється за формулою.

Міжгрупова дисперсія у2 характеризує варіацію ознаки у за рахунок фактора х, покладеного в основу групування, і розраховується за формулою:

де уj, у - відповідно середня j-ї групи та загальна середня варіюючої ознаки; fj- чисельність одиниць (частота) j-ї групи.

Для розрахунку середньої з групових дисперсій з початку обчислюється внутрішньогрупова дисперсія, яка характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок інших факторів, не врахованих у групуванні:

де Уj - значення ознаки окремних елементів сукупності.

Для всіх груп в цілому розраховується середня з групових дисперсій, зважених на частоти відповідних груп:



Користуючись правилом розкладання дисперсій, можна за двома відомими дисперсіями знайти третю - невідому, а також мати уяву про силу впливу групувальної ознаки.



3. Вибіркове спостереження

3.1 Поняття про вибіркове спостереження. Генеральна та вибіркова сукупність

Під час завершення переходу до ринкової економіки вибірковий метод стає все актуальнішим. Зміни в характері економічних відносин, широке розповсюдження оренди та власності окремих колективів і осіб зумовлюють зміни функцій обліку та статистики, зменшення обсягу та спрощення звітності. Однак менеджмент потребує надійної оперативної інформації. Тому в економіці широко застосовують вибірковий метод. Нині немає жодної галузі статистики, де б не використовували цей метод.

Як відомо, статистичне спостереження може бути суцільним і не-суцільним. Несуцільне спостереження найбільшого розповсюдження набуло у формі вибіркового, або, як його часто називають у літературі, репрезентативного, методу.

Вибірковим називається таке спостереження, коли обстежують лише частину одиниць досліджуваної сукупності та за його результатами характеризують усю сукупність.

Вибіркове спостереження застосовують у таких випадках:

· коли фізично неможливо провести суцільне спостереження внаслідок великого обсягу одиниць сукупності (вивчення бюджетів сімей і попиту населення на різні товари, реєстрація цін на продовольчих ринках);

· якщо суцільне спостереження недоцільне (визначення строку горіння електролампи, роботи двигуна чи телевізора, дослідження міцності тканин, взуття тощо);

· коли потрібно провести обстеження швидко та з невеликими витратами коштів і праці;

· якщо потрібно уточнити результати суцільного спостереження;

· коли вибіркове спостереження забезпечує меншу ймовірність помилки.

Особливість вибіркового методу полягає в тому, що в основі відбору одиниць для обстеження покладено принцип рівних можливостей потрапляння одиниці генеральної сукупності у вибірку. Тому у вибіркову сукупність не можуть потрапити одиниці, що характеризуються тільки за однією ознакою. Це попереджує появу систематичних (тенденційних) помилок і вможливлює кількісну оцінку помилки репрезентативності.

Як було зазначено, вибіркове спостереження багато в чому переважає суцільне, проте воно має недоліки. Результати вибіркового спостереження зазвичай не збігаються з даними суцільного, а отже вибіркове спостереження не таке точне.

За допомогою вибіркового спостереження, вивчають переважно такі показники:

· середній розмір ознак одиниці сукупності (середню ціну, зарплату, продуктивність праці тощо);

· частку одиниць, що мають спільну досліджувану ознаку, тобто подібних одиниць у сукупності (осіб чоловічої та жіночої статі в населенні, підприємств різних форм власності в країні тощо)

Вибіркове спостереження дає можливість одержати узагальнюючі показники (середні, відносні), які досить правильно характеризують усю генеральну сукупність, проте його результати майже завжди відрізняються від результатів суцільного спостереження.

Сукупність одиниць, з якої провадиться вибірка, називається генеральною. Обстежувані одиниці генеральної сукупності, називають вибірковою сукупністю.

Різниця між зведеними показниками вибіркової та генеральної сукупності називається помилкою вибірки (репрезентативності).

Організовуючи вибіркове спостереження, важливо уникати виникнення систематичних помилок. Випадкових помилок вибірки уникнути неможливо, але за допомогою вибіркового методу (для двох схем формування вибірки: повторної та безповторної) можна визначити можливі їх межі з практично достатньою точністю та надійністю, а також регулювати їх розміри.

Середня будь-якої ознаки, обчислена з усіх одиниць генеральної сукупності, називається генеральною середньою. Середня всіх одиниць вибіркової сукупності називається вибірковою середньою.

Крім середньої величини як для генеральної, так і для вибіркової сукупності часто виникає потреба визначити відносний показник -- частку одиниць, які мають досліджувану ознаку. Така величина в генеральній сукупності називається генеральною часткою, а у вибірковій сукупності -- вибірковою часткою.

Поняття, що стосуються вибіркового спостереження та перенесення результатів вибірки на генеральну сукупність, позначають такими символами:

-- кількість одиниць генеральної сукупності;

-- кількість одиниць генеральної сукупності з однаковою ознакою;

-- кількість одиниць вибіркової сукупності;

-- кількість одиниць вибіркової сукупності з однаковою ознакою;

-- генеральна середня сукупності;

-- вибіркова середня;

-- генеральна частка;

-- вибіркова частка;

-- дисперсія;

-- середнє квадратичне відхилення;

-- середня помилка вибірки для середньої величини;

-- середня помилка для частки;

-- коефіцієнт довіри;

-- гранична похибка вибірки для середньої величини;

-- гранична похибка для частки.

Типова задача. За даними суцільного спостереження в магазинах мікрорайону міста, 2000 продавців, із яких 1600 мають спеціальну освіту, нараховано заробітну плату в розмірі 600 тис. грн. Через тиждень проведено 10-процентне вибіркове обстеження 200 продавців, яким нараховано 60,6 тис. грн.. заробітної плати. У результаті вибіркового обстеження виявилося, що з 200 обстежених продавців 164 мають спеціальну освіту. За даними попереднього обстеження відомо, що середнє квадратичне відхилення становить 30 грн. Визначити середню заробітну плату та мастку продавців зі спеціальною освітою в генеральній і вибірковій сукупностях.

Запишемо умову задачі за допомогою символів:= 2000;= 1600;= 200;= 164; ФЗП = 600000 грн. (фонд заробітної плати продавців мікрорайону); Фзп = 60600 грн. (фонд заробітної плати повторно обстежених продавців). Потрібно визначити ,,,. Середню заробітну плату продавців у генеральній і вибірковій сукупностях визначають діленням фонду заробітної плати на чисельність продавців:

Помилка вибірки (репрезентативності) дорівнює різниці між вибірковою та генеральною середніми.

Частку продавців зі спеціальною освітою в загальній чисельності продавців визначають за формулою відносної величини структури. У нашому прикладі генеральна частка

вибіркова



Отже, частки продавців зі спеціальною освітою в генеральній сукупності становить 80%, а у вибірковій -- 82%. Помилка вибірки для части становить

3.2 Середня помилка вибірки

Помилки вибірки залежать насамперед від обсягу вибірки. Чим більше взято одиниць для вибірки, тим менша помилка. Якщо довести чисельність вибірки до чисельності одиниць генеральної сукупності , то дані вибіркової сукупності дорівнюватимуть даним генеральної сукупності.

Помилки вибірки, крім того, залежать і від варіації, коливання ознаки в сукупності. Чим більша варіація, тим більша помилка, і навпаки. Наприклад, якби всі 2000 продавців одержали зарплату 300 грн., то помилки не було б, бо середня заробітна плата у вибірковій сукупності була б такою самою, як і в генеральній. На практиці цього не буває, бо зазвичай є відхилення.

Щоб оцінити, наскільки зведені показники вибіркової сукупності відрізняються від генеральної, потрібно обчислити не просто помилку вибірки, а середню помилку вибірки.

Чому середню? Перш за все тому, що з будь-якої сукупності можна провести не одну, а багато вибірок, і їх зведені результати зазвичай не збігаються, хоча й близькі.



Таблиця 1

Розподіл студентів факультету за успішністю

Оцінка	Чисельність студентів	Сума одержаних балів
	Генеральна сукупність	Вибіркова сукупність	Генеральна сукупність	Вибіркова сукупність
x	N	n1	n2	xN	xn1	xn2
2	50	8	6	100	16	12
3	750	185	136	2250	555	408
4	1000	170	210	4000	680	840
5	200	37	48	1000	185	240
Усього	2000	400	400	7350	1436	1500

Обчислимо середню успішність студентів у генеральній і вибірковій сукупностях (середній бал). Середня успішність студентів у генеральній сукупності

а середня успішність у першій і другій вибіркових сукупностях -- відповідно

Зазвичай після кожної вибірки її помилка набуває різних значень:

Обчислимо тепер частку студентів у генеральній і вибірковій сукупностях, які навчаються на "4" та "5":



Як бачимо, помилки вибірки для частки також різні:

Оскільки помилки вибірки -- змінні величини, що можуть набувати різних значень залежно від чисельності вибірки та варіації ознак, остільки виникає потреба в обчисленні середньої помилки вибірки.

Вибірка може бути повторною та безповторною.

Повторною називається вибірка, коли одиниці, що вже один раз потрапили у вибірку, повертають у генеральну сукупність, і вони можуть знову бути у вибірці кілька разів. Наприклад, усі громадяни формально можуть одержати путівку в санаторій, а отримують часто одні й ті самі. Те саме можна сказати про відвідування магазину, театру, обмін валют, поїздки за кордон тощо.

Безповторною називається вибірка, коли один раз відібрані одиниці для обстеження не повертають знову в генеральну сукупність, і вони не беруть участі в подальших відборах (наприклад, розіграш лотереї, народження людини, її смерть тощо).

У разі безповторної вибірки помилки репрезентативності менші, ніж у разі повторної.

Для визначення середньої помилки вибірки для середньої та частки в разі повторної вибірки користуються такими формулами:



у разі без повторної

У математичній статистиці доведено, що значення середньої помилки вибірки визначають за допомогою залежності

за умови, що відома генеральна дисперсія. Але в разі проведення вибіркового обстеження ці показники зазвичай невідомі. Тому на практиці використовують дисперсію вибіркової сукупності. При цьому виходять із того, що в разі застосування принципу випадкового відбору дисперсія достатньо великого обсягу вибірки практично збігається з дисперсією генеральної сукупності. У математичній статистиці доведено таке співвідношення між дисперсіями в генеральній і вибірковій сукупностях:

Згідно з ним дисперсія у вибірковій сукупності менша, ніж дисперсія в генеральній, в разів. Зі збільшеннямвідношення наближається до одиниці, а -- до Якщо замінити генеральну дисперсію вибірковою , то

Для показника середньої величини дисперсії кількісної ознаки у вибірці визначають за такими залежностями:



де-- частота.

Середня помилка вибірки показує, наскільки в середньому вибіркова середня величина (частка) відрізняється від генеральної. її обчислюють для того, щоб перенести результати вибірки на генеральну сукупність за допомогою формул

Продемонструємо обчислення середньої помилки вибірки та перенесемо результати на генеральну сукупність.

Нехай =303 грн; =2000; =200; =30 грн; = 82

Обчислимо середню помилку вибірки для середньої зарплати за формулою повторної вибірки:

і безповторної:

Отже, середня заробітна плата у вибірковій сукупності відрізняється від генеральної на 2,12 грн. в разі повторної вибірки та на 2,01 грн. -- у разі безповторної.

Перенесемо результати вибіркового спостереження на генеральну сукупність: . У разі повторної вибірки , а в разі без повторної .

Отже, середня заробітна плата продавця в генеральній сукупності лежить у межах від 300,88 до 305,12 грн. в разі повторної вибірки та в межах від 300,99 до 305,01 грн. -- у разі безповторної.

Обчислимо середню помилку вибірки для частки продавців зі спеціальною освітою за формулою повторної вибірки:

і безповторної:

Отже, під час визначення частки продавців зі спеціальною освітою допущено помилку 2,7% у разі повторної вибірки та 2,6% -- у разі безповторної.

Перенесемо результати вибіркового спостереження на генеральну сукупність: . У разі повторної вибірки , а в разі безповторної --

Отже, частка продавців зі спеціальною освітою в генеральній сукупності лежить у межах від 79,3 до 84,7% у разі повторної вибірки, та в межах від 79,4 до 84,6% -- у разі безповторної.

Математична статистика гарантує такі висновки щодо середньої заробітної плати та частки продавців зі спеціальною освітою лише з імовірністю 0,683 (див. підрозд. 9.3). Якщо дослідника влаштовує така ймовірність, обчислення завершують, а не то визначають так звану граничну помилку вибірки, що залежить від коефіцієнта довіри, кожному значенню якого відповідає конкретний показник імовірності.



3.3 Гранична помилка вибірки. Визначення потрібної чисельності вибірки

На практиці зазвичай недостатньо обчислити лише середню помилку вибірки, бо фактична помилка більша чи менша за середню.

Дослідника цікавить частіше не середня помилка вибірки, а її межі в разі перенесення результатів вибіркової сукупності на генеральну. Ці межі можна визначити, обчисливши граничну помилку вибірки, котра залежить від того, з якого ймовірністюпотрібно гарантувати помилку вибірки.

Граничну помилку вибірки обчислюють за формулою

Де -- коефіцієнт кратності помилки (довіри); -- середня помилка вибірки.

Межі помилок визначають на основі теореми Чебишева і Ляпунова, яка визначає ймовірність того, що гранична помилка репрезентативності не перевищує -кратну середню помилку . Показник кратності помилкизалежить від імовірності, з якою можна гарантувати певні розміри граничної помилки вибірки. Згідно з цією теоремою середня величина та частка генеральної сукупності в 683 випадках із 1000 збігаються із середньою величиною чи часткою вибіркової сукупності.

За таких умов гранична помилка вибірки дорівнює середній помилці, а коефіцієнт довіри = 1. Щоб підвищити ймовірність, потрібно розширити межі відхилень.

Наприклад, якщо подвоїти середню помилку репрезентативності ( = 2), то ймовірність збігу вибіркової та генеральної середньої чи частки підвищиться до 0,954 (95,4%), а якщо потроїти, то до 0,997. Щоб визначити коефіцієнт імовірностідля різних значень , користуються спеціальною табл. 2. Найуживаніші в обчисленнях коефіцієнти = 1( = 0,683), 2 (0,954), 3 (0,997), 4 (0,999).

Для обчислення граничних помилок повторної та безповторної вибірки застосовують відповідно такі формули: для середньої

для частки --

Таблиця 2

Значення ймовірності залежно від коефіцієнта довіри

Коефіцієнт
довіри t	імовірності K	довіри t	імовірності K	довіри t	імовірності K
1,0	0,683	1,7	0,911	2,4	0,984
1,1	0,728	1,8	0,928	2,5	0,988
1,2	0,770	1,9	0.943	2,6	0,991
1,3	0,806	2,0	0,954	2,7	0,993
1,4	0,839	2,1	0.964	2,8	0,995
1,5	0,886	2,2	0,972	2,9	0,996
1,6	0,890	2,3	0,979	3,0	0,997

Типова задача 1. Обчислити з імовірністю 0,954 граничну помилку вибірки та визначити межі середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності (табл. 3).

Таблиця 3

Основні показники для обчислення граничної помилки вибірки для середньої заробітної плати продавця в генеральній сукупності

Показники	Значення
Чисельність продавців у генеральній сукупності N	2000
Чисельність продавців у вибірковій сукупності л	200
Середня заробітна плата у вибірковій сукупності х, грн.	303
Середнє квадратичне відхилення (попередні обстеження) а, грн.	30
Коефіцієнт довіри t для ймовірності 0,954	2

Для цих даних середня помилка вибірки =2,01 грн. З імовірністю 0,954 визначимо граничну помилку вибіркової середньої: =2-2,01=4 грн. Тому середня зарплата в генеральній сукупності лежить у таких межах: = (303±4) грн.

Отже, з імовірністю 0,954 можна твердити, що середня заробітна плата продавця в генеральній сукупності коливається в межах від 299 до 307 гри.

Так само можна обчислити граничну помилку вибірки для частки. Визначення потрібної чисельності вибірки. Це дуже важливо, бо надмірна чисельність вибірки зумовлює великий обсяг робіт, а мала -- велику помилку репрезентативності.

Визначаючи потрібну чисельність вибірки, потрібно враховувати такі показники:

· показник варіації досліджуваної ознаки (дисперсію);

· граничну помилки вибірки;

· імовірність, з якою гарантовано результати вибірки.

Потрібну кількість вибірки можна визначити з формули граничної помилки вибірки, виконавши відповідні математичні перетворення. Так, піднісши обидві частини формули до квадрата, отримаємо , звідки .

Виконавши подібні перетворення з іншими різновидами граничної помилки вибірки, одержимо такі формули для визначення потрібної чисельності вибірки (відповідно повторної та безповторної): для середньої



для частки --

Тому якщо навіть приблизна дисперсія невідома, відповідні формули мають вигляд

Щоб визначити потрібну чисельність вибірки, слід знати дисперсію. Проте її можна обчислити, лише провівши вибіркове спостереження. Отже, для того, щоб визначити потрібну чисельність вибірки п, потрібно мати дані про неї.

Для визначення дисперсії можна запропонувати таке:

· користуватися даними попереднього дослідження, якщо його було проведено;

· провести пробну вибірку;

· визначити дисперсію через гаданий розмах варіації, розділивши його на 5: (деякі автори пропонують );

· якщо невідома вибіркова частка , то брати , звідки випливає , тоді

Визначимо потрібну чисельність вибірки па такому прикладі.

Типова задача 2. У мікрорайоні працює 2000 продавців. Скільки потрібно відібрати продавців для обстеження , щоб з імовірністю 0,954 стверджувати, що помилка вибірки в разі визначення середньої заробітної плати не перевищить 4 грн, якщо середнє квадратичне відхилення становить 30 грн?

Запишемо умову задачі формально: = 2000; =2; =4 грн; =30 грн.

У разі повторної вибірки для обстеження потрібно відібрати

у разі безповторної -

3.4 Основні види вибірки та їх застосування в статистиці

За способом відбору одиниць для обслідування розрізняють такі різновиди вибіркового спостереження:

· власне випадкова вибірка (повторна та безповторна);

· механічна;

· типова (районована);

· серійна (гніздова);

· комбінована;

· моментне спостереження.

Власне випадкова вибірка. За такого способу відбору всі одиниці генеральної сукупності мають однакову можливість потрапити в досліджувану групу. Відбір одиниць проводять жеребкуванням.

Приклад власне випадкової безповторної вибірки -- тираж виграшів грошово-речової лотереї: усі номери випущених лотерейних білетів кладуть в урну; ретельно перемішують і витягують із неї один за одним наперед задану кількість виграшних номерів.

Якщо, наприклад, потрібно визначити вік 1000 студентів, то на картки однакового розміру записують фактичний вік, кладуть картки в урну; витягнувши з неї одну картку, записують номер і знову кладуть картку в урну, ретельно перемішують картки, знову виймають одну й так до заданої чисельності вибірки. Це приклад повторної вибірки.

Механічна вибірка. Це різновид власне випадкової вибірки, коли всі одиниці генеральної сукупності розміщують у певному порядку:

· за алфавітом;

· часом реалізації (виробництва);

· розміщенням у просторі та ін.

Потім залежно від обсягу вибірки відбирають для дослідження кожну 2, 3, 4, 10-ту і т. д. одиницю.

Механічну вибірку широко застосовують для контролю якості продукції, відбору підприємств певної галузі для дослідження, під час бюджетних обстежень сімей.

Типова (районована) вибірка. Досліджувану генеральну сукупність розбивають на однорідні групи, райони чи зони. Потім із кожної групи випадково відбирають певну кількість одиниць пропорційно частці цієї групи в загальній сукупності.

Наприклад, відбираючи сім'ї для бюджетного обстеження, їх групують за видами економічної діяльності, а потім -- за галузями промисловості, виробничими напрямками тощо.

Така процедура забезпечує потрапляння у вибірку представників усіх виділених типових груп, і вибірка стає більш достовірною.

Серійна (гніздова) вибірка. На практиці іноді замість відбору окремих одиниць відбирають цілі групи (гнізда), і вже в кожній групі спостерігають усі без винятку одиниці. Групи (гнізда) відбирають методом власне випадкової безповторної вибірки чи за допомогою механічного відбору.

Наприклад, з інкасаторської сумки випадково відбирають 10 пачок грошей по 100 купюр (це гнізда), а потім перевіряють кожну купюру на зношеність або автентичність.

Мала вибірка. Це несуцільне статистичне обстеження, коли вибіркову сукупність утворено з порівняно невеликої кількості одиниць генеральної сукупності. Обсяг малої вибірки зазвичай не перевищує 30 одиниць і може сягати 4-5 одиниць.

Помилки малої вибірки визначають за формулами, що відрізняються від формул для вибіркового спостереження з порівняно великим обсягом вибірки . Середню помилку малої вибірки обчислюють за формулою

де -- дисперсія малої вибірки.

Відомо, що оскільки в разі малої вибірки множник суттєвий, то дисперсію малої вибірки обчислюють з урахуванням степенів вільності. Під кількістю степенів вільності розуміють кількість варіантів, які можуть набувати довільного значення, не змінюючи середньої. У разі визначення дисперсії кількість степенів вільності дорівнює :

Граничну помилку малої вибірки визначають за формулою

При цьому значення коефіцієнта довіризалежить не тільки від заданої довірчої ймовірності, але й від чисельності вибірки .

Для окремих значень й довірчу імовірність малої вибірки визначають за таблицями Стьюдента, у яких наведено дані розподілу стандартизованих відхилень:



Значення таблиць Стьюдента характеризують імовірність того, що гранична помилка малої вибірки не перевищує -- кратну середню помилку:

Проводячи малі вибіркові обстеження, важливо мати на увазі те. що зі зменшенням обсягу вибірки збільшуються розбіжності між розподілом Стьюдента та нормальним розподілом. За мінімального обсягу вибірки ця розбіжність суттєва, що зменшує точність результатів малої вибірки.

Користуючись малою вибіркою, визначають межі генеральної середньої досліджуваної ознаки.

Середню помилку малої вибірки визначають за формулою

Для наведених у прикладі даних

Наприклад, проведено вибірку обсягом 20 одиниць. Вибірковий середній квадрат відхилення = 80. Обчислимо вибіркове середнє квадратичне відхилення малої вибірки:

У статистиці застосовують також моментний, багатоступеневий і багатофазовий види відбору. Різні форми організації відбору одиниць у вибіркову сукупність -- це подальший розвиток і видозміни простого випадкового відбору. Застосування того чи іншого виду відбору залежить від характеру об'єкта спостереження, а також бажання здешевити чи полегшити процес спостереження.

Способи поширення вибіркових даних па генеральну сукупність. Кінцева мета вибіркового спостереження -- поширення його характеристик па генеральну сукупність. Є декілька способів поширення вибіркових даних.

Якщо треба визначній обсяг ознаки в генеральній сукупності, роблять прямий розрахунок. Середній розмір ознаки, обчислений у результаті вибіркового спостереження, множать на чисельність одиниць генеральної сукупності.

Наприклад, у 3-процентній вибірці чисельністю 150 світильників шість виявилися бракованими (помилка вибірки -- один світильник). За часткою браку у вибірковій сукупності ((6/150) * 100 = 4%) можна визначити, скільки бракованих світильників у генеральній сукупності обсягом 5000: (5000 * 4)/100 = 200.

Якщо вибіркове спостереження проводять для уточнення результатів суцільного спостереження, застосовують метод коефіцієнтів.

Нехай суцільний перепис (облік) показав, що в районі у приватній власності населення налічується 3000 корів. Під час контрольної перевірки 10% дворів (вибіркового спостереження) було виявлено, що під час суцільного спостереження в цих господарствах було зафіксовано 250 корів, а під час контрольного -- 254. Отже, виявлено, що під час суцільного перепису не враховано чотири голови, що становить 1,6% (4/250). Тоді 101,6%-- поправковий коефіцієнт, застосовуючи який, можна обчислити кількість корів у приватній власності населення району: 3000 * 101,6/100 = 3048. Відбір вважають задовільним, якщо гранична помилка репрезентативності не перевищує 2-5%. Якщо помилка більша ніж 5%, вибірку вважають нерепрезентативною й повторюють відбір. Якщо й повторний відбір не дає позитивних результатів, то для підвищення репрезентативності доцільно збільшити чисельність вибіркової сукупності.

Вибіркові значення розповсюджують па генеральну сукупність з урахуванням довірчих інтервалів. Для цього відповідні узагальнювальні показники вибіркової сукупності w та х корегують на граничну помилку вибірки та

· для частки альтернативної ознаки

· для середньої величини кількісної ознаки

Методи формування вибіркової сукупності -- важливий чинник, від якого залежить репрезентативність вибірки, а методи відбору одиниць у вибірку дають змогу підвищити точність характеристики та визначити оптимальну чисельність вибіркової сукупності в маркетинговій, правовій, фінансово-банківській та іншій діяльності.

Размещено на Allbest.ru

...