Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство сельского хозяйства РФ

ФГБОУ Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева

Учетно-финансовый факультет

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

На тему: «Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты»

Выполнил:

Студент 2-го курса 22 группы

учетно- финансового факультета

Специальность: финансы и кредит

Федотова М. Е

Проверил: Коршуновва О.В

Рязань 2012г.



Содержание

Введение

Глава 1. Индивид-потребитель и его система предпочтений

Глава 2. Функции полезности

Глава 3. Теория потребительского спроса

3.1 Бюджетное множество

Глава 4. Модели потребительского спроса и предпочтений при выборе контекстных услуг с учетом функции полезности

4.1 Модель Р. Стоуна

Задачи

Заключение

Список используемой литературы



Введение

полезность бюджетный стоун потребительский

В период перехода от командно-административной к рыночной экономике резко изменились взаимоотношения предприятий с внешней средой: государством, финансовой системой, снабженческо-сбытовыми организациями, конкурентами. У предприятий возникла не только возможность, но и необходимость самостоятельно решать стоящие перед ним проблемы, определять цели своего развития.

Однако для достижения поставленных целей необходим контроль их выполнения, который означает, прежде всего, анализ хозяйственной деятельности предприятия. В маркетинговой системе, ориентированной на рынок, анализ хозяйственной деятельности начинается не с исследования производства или финансовых результатов, как в системе командно-административного типа, а с изучения сбыта на продукцию.

Причина такой замены начальной точки отсчета очевидна - в маркетинговой системе все начинается с рынка и заканчивается рынком: товар (или услуга) находит или не находит сбыт в зависимости от того, есть ли на него спрос. Итогом этого будет прибыльность или убыточность предприятия. Каждый товар должен производиться лишь тогда, когда он нужен потребителю. Поэтому данная тема является особенно актуальной в современных рыночных условиях.

Анализ спроса как составляющая анализа хозяйственной деятельности должен одновременно базироваться на концепциях глобального и локального экономического анализа. Причем необходимо обязательно учитывать действие общих и частных экономических законов. Такой подход позволит предприятию успешно функционировать в условиях рыночной экономики.

Цель написания данной курсовой работы заключается в том, чтобы исследовать потребительский спрос. В исполнении поставленной цели в курсовой работе предусматривается решение следующих важнейших задач.

Во-первых, рассмотреть теоретические основы изучения и прогнозирования спроса потребительских товаров.

Во-вторых, рассмотреть основные направления совершенствования и регулирования потребительского спроса.

Методологией написания курсовой работы явились нормативно-правовые документы государства, а также труды отечественных и зарубежных ученых по рассматриваемой проблеме, таких как Стоуна , Слуцкого.

При написании курсовой работы были применены экономико-математические методы.



Глава 1. Индивид - потребитель и его система предпочтений

Одним из основных элементов, участников экономики, финансового рынка является индивид - конкретный человек, домашнее хозяйство, рассматриваемое как целое, предприятие, банк и т.п.

Будем считать, что поведение участника финансового рынка полностью описывается следующей аксиомой.

Аксиома индивида. Каждый индивид принимает решения о покупках, обмене, взятии денег в долг и т.п. исходя исключительно из своей системы предпочтений.

Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя. Далее мы сформулируем эту аксиому в строгих математических терминах.

Но сначала изучим систему предпочтений индивида. Это понятие применимо не только к участникам финансового рынка, но и в общеэкономическом смысле, да, пожалуй, и в общечеловеческом.

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте.

Будем считать, что имеется п различных товаров, количество /-го товара обозначается хi, тогда некоторый набор товаров обозначается Х=(хi...,хn). В число товаров входят и деньги как особый специфический товар.

Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор товаров другому. Запись Х?У означает, что потребитель предпочитает набор У набору X либо же не делает между ними различий. Из-за последнего обстоятельства это отношение называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отношения: отношение равноценности (или безразличия) Х~У, если и только если Х?У и У?Х, и отношение предпочтения (или строгого предпочтения) Х<У, если и только если Х?У, и неверно, что Х~У Какими же свойствами обладают эти три отношения?

Математики называют отношение рефлексивным, если Х<Х для всякого X; симметричным, если Х<У влечет то, что и У<Х; транзитивным, если Х<У и y<Z влечет X<Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, У либо Х<У, либо У<Х.

Аксиома:

1) отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивной совершенно;

2) отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;

3) отношение предпочтения транзитивно;

4) для любого Х множество слабой предпочтительности Рx={У: Х?Y} выпукло;

5) каждый товар желателен для индивида - если Х?У, то и Х?У, а если к тому же xi <уi для некоторого i, то Х<У.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека: Рефлективность и совершенность представляются вполне понятными: рефлективность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе, а совершенность - что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров. Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается. Какой смысл имеет четвертое свойство системы предпочтений? Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, и один сахар, кофе, хлеб, хотя бы и в большем количестве). Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, очень наглядно и не сразу осознается потребителем, но если ему объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров. Об аргументах в пользу транзитивности можно прочесть во многих книгах.

Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Любое отношение, обладающее этими тремя свойствами, называется эквивалентностью. Любая эквивалентность на любом множестве разбивает его на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Итак, отношение равноценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами или множествами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров эти классы называются кривыми или поверхностями равноценности. Каждое отдельное множество или класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя - он не отдает предпочтения ни одному на этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь из классов равноценности, а именно в тот, где собраны наборы, одинаково ценные с ним. Типичная картина для двух видов товаров показана на рис.7.2

Здесь Кx, Ку - классы равноценности наборов X, У соответственно, Х<У, стрелка показывает направление предпочтения, заштриховано множество слабого предпочтения Ру. Простой обмен наборами товаров может быть чрезвычайно выгодным для обоих участников. В свое время А. Смит привел поразительный пример такого обмена: дальнозоркий и близорукий имеют каждый не те очки, и в результате обмена получают ценнейшие для себя вещи.

Похожий вариант обмена показан на рис. 7.2. Пусть первый участник имеет набор товаров А, а второй - набор товаров В. Теперь представим, что они поменялись этими наборами. Так как набор В лежит выше кривой равноценности первого участника (сплошная линия), на которой лежит прежний набор А, то набор В для него ценнее. Аналогично и для второго участника (кривая равноценности которого изображена пунктирной линией).

Теперь пусть одним из товаров являются деньги. Тогда подобный вариант обмена есть покупка товара одним из участников у другого участника и эта сделка обоюдовыгодна.

Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому набору Х из пространства товаров С какое-то число и(Х). Получается функция и: OR. Главное требование к такой функции она должна отражать отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. и(Х)?и(У), если и только если Х< У;

и(Х)=и(У), если и только если Х ~ У, значит и и(Х) < и(У), если и только если Х< У.

Такая функция и(Х) называется функцией, полезности. Работать с функцией полезности гораздо удобнее, чем с системой предпочтения.

Определена математическая эквивалентность денежных сумм в различные моменты времени при определенной процентной ставке: денежные суммы S(T) в момент Т и s(t) в момент t называются эквивалентными по ставке сравнения / Можно сказать и по--другому: определим эквивалентность на множестве пар (s,t), где s- денежная сумма, а t- момент времени, так: пары (s,t), (S,T) эквивалентны

Графически эта эквивалентность показана на рис.7.3.

На плоскости t(время) - S(деньги) проведены две кривые безразличия.

Каждая из кривых безразличия есть класс эквивалентности и задается уравнением S(Т)=s(t)(1+i)T-t.

Каждая кривая определяется точкой t=0 своего пересечения с осью, т.е. значением денежной суммы при t=0. В финансовых операциях при расчетах используют именно математическую эквивалентность на парах (время - деньги).

Следовательно, можно сказать, что сумма sв момент tбудет эквивалентна «сиюмоментной» сумме s(1+i)-t. При этом можно ограничиться рассмотрением единичной суммы и неотрицательными моментами времени. Обозначим «сиюмоментную» ценность единичной суммы в момент t через V(t). Тогда V(t)=(1+i)-t, график, этой функции изображен на рис. 7.4 кривой а.



Функцию V(t)=(1+i)-t назовем объективной функцией временной ценности денег.

Однако у конкретного индивида эквивалентность (время - деньги) не обязательно совпадает с математической. Положение вполне аналогично отношению конкретного индивида к деньгам и ценам на разные товары: в магазинах висят ценники на товары, и все это создает эквивалентность на пространстве наборов товаров вместе с деньгами - это, так сказать, всеобщая эквивалентность - аналог математической. Вместе с тем у каждого индивида свое конкретное отношение к деньгам, товарам и времени...

У конкретного индивида поэтому своя функция временной ценности денег и она может отличаться от математической. Например, у человека, который через год вступит во владение большим наследством, она может выглядеть примерно, как кривая б на рис. 7.4.

Зато у человека, у которого через два года доходы значительно уменьшатся, график временной ценности денег может выглядеть примерно, как кривая в. Вообще можно чисто условно выделить три типа функций временной ценности денег, называя их (по отношению к объективной функции временной ценности денег - кривая 0 на рис. 7.5): пессимистической, нейтральной и оптимистической - кривые соответственно I, II и III на рис. 7.5.



Теперь можно сформулировать принцип дачи и взятия денег взаймы: берут взаймы в промежутки большей ценности денег, отдают в промежутки меньшей ценности. Таким образом, индивиду А (рис. 7.6) (его функция временной ценности денег изображена кривой А) выгодно брать взаймы на промежутке (а,б) и отдавать на промежутке (с,д). Определите по графику функции временной ценности индивида Б, когда ему выгодно дать деньги взаймы (кривая Б) на рис.

Хорошо известно разное отношение людей к деньгам. Обозначим d(х)- полезность денежной суммы х для индивида. Тогда примерный график d(х) показан на рис. 7.7.

Самое важное свойство этой функции - ее вогнутость, т.е. d(z+y)?d(z)+d(у) для любых сумм z, у или, другими словами: отрезок, соединяющий две точки графика функции, лежит ниже этого графика. Можно сформулировать это свойство и так: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества. Это утверждение ниоткуда не следует, однако подтверждается всей человеческой практикой и потому его надо рассматривать как аксиому, характеризующую, поведение индивидума.

Если функция d(х) дифференцируема, то из того, что полезность денег увеличивается с ростом их количества, следует, что d'(х)>0, а сформулированная выше аксиома влечет, что d"(х)<0.

С помощью функций полезности денег можно выразить характерное отношение к ним индивида. Например, пусть график функции полезности индивида А - это кривая а на рис. 7.8, а индивида Б - кривая б на том же рисунке. Тогда можно сказать, что индивид А хотел бы и будет доволен, если его доход лежит на промежутке [р, q], при превышении такого дохода он начинает ценить деньги меньше, возможно, он переключается на другие «радости» жизни. Для индивида Б такое состояние наступает позже.



Глава 2. Функция полезности

Напомним, что потребность -- нужда в чем-либо необходимом или недостаток чего-либо необходимого для поддержания жизнедеятельности человека, развития его личности и общества в целом. Потребность характеризуется как состояние неудовлетворенности, которое можно преодолеть путем использования определенных благ (товаров и услуг). Приобретая такие товары и услуги, потребитель может добиться удовлетворения данной потребности, получить пользу или полезность от их использования.

Полезность -- удовлетворение или исполнение запросов, которое получают люди от потребления и использования благ. Полезность -- абстрактная категория, используемая в экономической науке для определения удовольствия, которое получают люди от потребления благ. Полезность того или иного блага -- главный фактор потребительского выбора. Полезность -- понятие сугубо индивидуальное, субъективное. Каждый человек понимает полезность по-своему. Некоторые товары могут быть полезны для одного человека, но бесполезны или даже вредны для другого. Например, очки полезны близорукому человеку, но бесполезны тому, у кого стопроцентное зрение.

Функция полезности -- соотношение между объемами потребляемых благ и уровнем полезности, достигаемой при этом потребителем. Математически функция полезности выглядит следующим образом:

U = f (Qx, Qy)

где f -- символ функции; U -- уровень полезности; QX, QY -- количество товаров Х и Y, потребленных за определенный период. В данную функцию можно включить любое количество переменных. Эта функция демонстрирует, что полезность, получаемая человеком, зависит только от количества потребляемых благ. Различают предельную и совокупную полезность блага.

Предельная полезность -- дополнительная полезность, получаемая потребителем от потребления дополнительной единицы блага. Каждая последующая единица блага, использованная потребителем, вносит свой вклад в удовлетворение данной потребности. Поскольку по мере потребления дополнительных единиц блага потребность покупателя будет постепенно удовлетворяться, предельная полезность каждой последующей единицы блага будет убывать. Закон убывающей предельной полезности гласит, что по мере потребления дополнительных единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы будет меньше, чем предыдущей (рисунок а). Закон убывающей предельной полезности еще называют первым законом Госсена. Общая полезность -- удовлетворение, получаемое потребителем от потребления данного количества благ за определенный промежуток времени.

Общая полезность обычно увеличивается по мере потребления все большего количества благ, но, как правило, со все меньшей скоростью. Если дальнейшее потребление блага приносит вред (предельная полезность отрицательна), го общая полезность снижается (рисунок б).

Закон убывающей предельной полезности лежит в основе определения спроса и объясняет, почему кривая спроса является нисходящей. Чем большим запасом блага обладает потребитель, тем меньшую ценность для него имеет каждая следующая дополнительная его единица. Если каждая последующая единица блага обладает все меньшей и меньшей предельной полезностью, то потребитель станет покупать дополнительные единицы блага лишь при условии падения их цены. В теории полезности существуют два направления: кардиналистское и ординалистское. Исторически и методологически кардиналистская теория потребительского поведения предшествовала ординалистской.



Глава 3. Теория потребительского спроса

В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи:

В случае набора из двух товаров:

Геометрически решение этой задачи - это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.



Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

Решение этой системы является решением задачи потребительского выбора.

Решение задачи потребительского выбора называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен и дохода . Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса - это набор n функций, каждая из которых зависит от аргумента:

Эти функции называются функциями спроса соответствующих товаров.

Пример. Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них и и дохода I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид .

Решение. Продифференцируем функцию полезности:

Подставим полученные выражения в (1) и получим систему уравнений:

В данном случае расход на каждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.

Пример. Пусть функция полезности для первого товара , второго ,

цена первого товара , цена второго . Доход . Какое количество товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?

Решение. Найдем производные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:

Этот набор товаров является оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.

3.1 Бюджетное множество

Пусть - вектор цен на набор из n продуктов ; I - доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов . Множество наборов товаров стоимостью не более I при данных ценах называется бюджетным множеством B. При этом множество наборов стоимостью I называется границей G бюджетного множества B. Т.о. множество B ограничено границей G и естественными ограничениями .

Бюджетное множество описывается системой неравенств:

.

Рис. 1

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B (рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат , ограниченный осями координат и прямой .



Глава 4. Модели потребительского спроса и предпочтений при выборе комплексных услуг с учетом функции полезности

Ключевым вопросом, решаемым в системе маркетинга при формировании комплексных услуг, является выявление потребительских предпочтений с учетом функции полезности.

Взгляды на комплексную услугу тех, кто ее покупает, и тех, кто ее предлагает, могут быть совершенно различными. Клиент покупает не продукт, он покупает его потребительские свойства. В этой связи характерно высказывание одного из ведущих маркетологов С. Вильямса: «Покупатель не покупает сверла диаметром в четверть дюйма, он покупает дырки диаметром в четверть дюйма». Точно так же клиент не покупает билет на круиз, он покупает отдых, впечатления, знания или то и другое вместе и в различных сочетаниях. Поэтому важно выявить его потребности, те качества услуги (или их часть), которым определенная группа потребителей -- сегмент рынка -- отдает предпочтение, которые наиболее полно соответствуют потребительским предпочтениям.

Походы к потребительской оценке у разных групп потребителей (клиентов) могут быть различными. Для одних важна только одна характеристика (доминанта), для других -- группа характеристик, для третьих -- иерархический набор, четвертые имеют идеальное представление о товаре или услуге и смотрят, насколько предлагаемый товар отличается от этого представления.

Рассмотрим в общем виде задачу потребительского выбора услуги. Пусть потребитель располагает доходом I, который полностью расходуется им на приобретение услуг, причем их цены считаются заданными. Учитывая текущие структуру цен, объем дохода I и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенное количество услуг. Математическая модель его поведения в этой ситуации называется моделью потребительского выбора (ПВ) [1].

Для упрощения, рассмотрим модель ПВ с двумя видами комплексных услуг, что удобно интерпретировать графически, сохраняя при этом принципиальные свойства общей модели. Итак, потребительский набор как вектор (х1, х2) состоит из двух благ (х1 -- количество единиц первой услуги, х2 -- количество единиц второй услуги).

Выбор каждого потребителя характеризуется отношением предпочтения: про каждые два набора он может сказать, что либо один из них более желателен, либо они для него равноценны (отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор А = (а1, а2) предпочтительнее набора В = (b1, b2), а набор В предпочтительнее набора С = (с1, с2), то набор А предпочтительнее набора С.

На множестве потребительских наборов (х1, х2) можно определить индивидуальную функцию полезности потребителя u(х1, х2), значение которой на потребительском наборе (х1, х2) соответствует его потребительской оценке по этому набору. Потребительскую оценку u(х1, х2) называют еще уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивида, если он приобретает или потребляет данный набор (х1, х2). Если набор А предпочтительнее набора В, то u (А) > u (В).

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам [2]:

рост потребления одной комплексной услуги при постоянном потреблении другой ведет к росту потребительской оценки. Если



2) предельная полезность каждой услуги уменьшается при росте объема ее потребления (данное свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности и вытекает из условия отрицательности вторых частных чистых производных):

?2u / ?х12 = u11 < 0 , ?2u / ?х22 = u22 < 0

3) предельная полезность каждой услуги увеличивается, если растет количество другой услуги (благо, количество которой не изменяется, оказывается относительно дефицитным, а каждая дополнительная единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно). Данное свойство справедливо лишь для услуг, не являющихся полностью замещаемыми в потреблении, т. е. если

?2u / ?х1?х2 = u''12 = const ;

?2u / ?х2?х1 = u''21 > 0 .

Линия, соединяющая потребительские наборы услуг (х1, х2), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида, называется линией безразличия, или линией уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линии безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей» не касаются и не пересекаются (см. рис. 1, а, б) [2].

Если линия безразличия lt3 расположена выше и правее («северо-восточнее») линии безразличия lt2, то t3 > t2. Иначе, чем «северо-восточнее» расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует. В целом свойства 1-3 означают, что линии безразличия убывают (являются нисходящими) и строго выпуклы к началу координат.

Рассмотрим фиксированную линию безразличия lt, присущую потребительскому набору (х1, х2) lt. При выполнении ряда естественных предположений (непрерывность первых частных производных u1', u2' и u2' = 0) справедливо (рис.1, в), что

?х1/?х2 = -tgf - -tga = Dх2''/Dх1'' - -u1'/u2'.

Отношение (Dх2/Dх1) показывает, на сколько должен индивид увеличить (уменьшить) потребление второй услуги, если он уменьшил (увеличил) потребление первой услуги на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Геометрически этот вывод интерпретируется таким образом: точки А (х1, х2), В (х1 + Dх1, х2 + Dх2) принадлежат одной и той же линии безразличия lt. Поэтому дробь Dх2/Dх1 принято называть нормой замены первой услуги второй на потребительском наборе (х1, х2), а производную ?х2/?х1, примерно равную предельному значению Dх2/Dх1 при Dх1 > 0, -- предельной нормой замены первой услуги второй.



Рис. 1. Графическая интерпретация потребительского спроса

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора А (х°1, х°2), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на услугу не могут превышать денежного дохода:

p1x1 + p2x2 ? I,



где p1 и p2 --рыночные цены одной единицы первой и второй услуги соответственно, I -- доход индивида, предназначенный для приобретения первой и второй услуги (величины p1, p2 и I заданы).

Формально задача потребительского выбора может иметь вид:

u(х1, х2) > max,

p1х1 + p2х2 ? I, (1)

х1 ? 0, х2 ? 0.

Как видно из (1), задача потребительского выбора является задачей нелинейного программирования. Однако, если на каком-либо потребительском наборе (х1, х2) бюджетное ограничение p1х1 + p2х2 ? I выполняется как строгое неравенство, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х°1, х°2), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т. е. p1х1 + p2х2 = I. Графически это означает, что решение (х°1, х°2) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (см. рис. 1, б), которую удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратится на один продукт: (0; I/p2) и (I/p1 ; 0).

Общая модель потребительского выбора. Рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом услуг и целевой функцией общего вида с последующим переходом к некоторым задачам, включая анализ компенсированного изменения цен [1, 2].

Пусть заданы целевая функция предпочтения потребителя u(х1, ..., хn), где хi -- количество i-го блага, вектор цен {pi } = (p1, ... , pn) и доход I. Сформулируем следующую задачу:

u(х) > max (3)

при условиях

pх ? I , х ? 0.

где х = (х1, ..., хn), р = (p1, ..., pn), рх = (p1 х1, ..., pn хn).

Считаем, что неотрицательность переменных обеспечивается свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.

Функция Лагранжа L(х, l) = u(х) + l(рх - I).

Необходимое условие экстремума состоит в равенстве нулю частных производных:

Li' = ui' + lрi = 0 для всех i (i = 1, n)

и L' = рх - I = 0.

Отсюда следует, что для всех i, j в точке х° локального рыночного равновесия выполняется равенство:

ui' / uj' = pi' / pj' ,

получаемое после перенесения вторых слагаемых необходимых условий в правую часть и делением i-го равенства на j-е. В точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух услуг равно отношению их рыночных цен, поэтому ui' / pi = uj' / pj.

Таким образом, получаем, что дополнительная полезность, приходящаяся на дополнительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам услуг (если это все было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние, или значение функции полезности, потребителя. Если для некоторых i, j услуг достигнуто, что ui' / pi > uj' / pj, то можно попытаться перераспределить деньги от i к j, увеличив уровень благосостояния потребителя.

Оценки потребительских предпочтений комплексных услуг могут быть использованы как для определения тех потребительских свойств, которым уделяется особое внимание при их выборе в определенном секторе рынка, так и при адаптации потребительских свойств услуг при модификации отдельных ее компонентов. Возможно также использование для оценки деловых партнеров и выбора стратегий относительно организации деловых отношений и пр.

Таким образом, приведенные модели позволяют решить задачу потребительского выбора различных комплексных услуг с учетом их полезности и ограничений на денежные расходы потребителей.

4.1 Модель Р. Стоуна

Модель Стоуна (Stone B.K.) впервые опубликованная в 1972 году в монографии «The Use of Forecasts and Smoothing in Control-Limit Models for Cash Management» в отличие от модели Миллера-Орра больше внимания уделяет управлению целевым остатком, нежели его определению. Верхний и нижний пределы остатка денежных средств на счете подлежат уточнению в зависимости от информации о денежных потоках, ожидаемых в ближайшие несколько дней. Концепция модели Стоуна представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 - График изменения остатка средств на расчетном счете (Модель Стоуна).

Также как и в модели Миллера-Орра, Cr представляет собой целевой остаток средств на счете, к которому фирма стремится, Ch и Cl - верхний и нижний пределы его колебаний. Кроме указанных, модель Стоуна имеет внешние и внутренние контрольные лимиты: Ch и Cl - внешние, Ch-x и Cl+x - внутренние. В отличие от модели Миллера-Орра, когда при достижении контрольных лимитов совершаются немедленные действия, в модели Стоуна это происходит не всегда.

Предположим, что остаток средств на счете достиг внешнего верхнего предела (точка А на рисунке 6) в момент t. Вместо автоматического перевода величины (Ch - Cr) из наличности в ценные бумаги финансовый менеджер делает прогноз на несколько предстоящих дней (предположим, пять). Если ожидаемый остаток средств в момент (t+5) останется выше внутреннего предела (Ch - х), например его размер определяется в точке В, то (В - Cr) будут обращены в ценные бумаги. Если же прогноз покажет, что в момент (t+5) величина денежного остатка будет соответствовать точке С, то фирма не будет покупать ценные бумаги. Аналогичные рассуждения верны и в отношении нижнего предела.

Таким образом, основной особенностью модели Стоуна является то, что действия фирмы в текущий момент определяются прогнозом на ближайшее будущее. Следовательно, достижение верхнего предела не вызовет немедленного перевода наличности в ценные бумаги, если в ближайшие дни ожидаются относительно высокие расходы денежных средств; тем самым минимизируется число конвертационных операций и, следовательно, снижаются расходы.

В отличие от модели Миллера-Орра модель Стоуна не указывает методов определения остатков денежных средств и контрольных пределов, но они могут быть определены с помощью модели Миллера-Орра, а х и период на который делается прогноз, - с помощью практического опыта. Существенным преимуществом данной модели является то, что ее параметры - не фиксированные величины. Эта модель может учитывать сезонные колебания, так как менеджер, делая прогноз, оценивает особенности производства в отдельные периоды.



Задачи

Для решения задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа L(x1,x2, л)= u(x1,x2)+ л (p1x1+p2x2-Q), находим её частные производные по переменным x1,x2 и л и приравниваем к нулю:

L= u+л p1=0,

L= u +л p2 =0,

L=p1x1+p2x2-Q =0.

Исключив из полученной системы неизвестную л, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1, и x2.

p1x1+p2x2=Q .

Решение (х, х) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х, х) в левую часть равенства получим, что в точке (х, х) отношение предельных полезностей u(х, х) и u(х, х) продуктов равно отношению рыночных цен p1 и p2.

В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х, х), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (х, х) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Решим задачу потребительского выбора.

Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x1,x2)=xx.

Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:

p1x1+p2x2=240. p1x1+p2x2=240 . p1x1+p2x2=240 .

Подставив, вместо х1 - 6 ед., вместо х2 - 8 ед., получим: p1=10руб., p2=22.5руб.

Решение задач по методу Стоуна

Пусть U - функция полезности потребителя. Задачу потребительского выбора можно записать в виде

(*)

(Доход мы нормировали на единицу, не теряя общности). Набор товаров можно рассматривать в качестве минимальной корзины потребления. Для приобретения минимального набора необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.

(**)

Показатели степеней ai > 0 характеризуют относительную "ценность" соответствующих товаров для потребителя. Добавив к функции (*) бюджетные ограничения (**), получим задачу потребительского выбора, которую называют моделью Р. Стоуна.

Решение задачи Стоуна для случая двух товаров

Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ - U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = PxX + PyY.

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение L = U (X, Y) + l(I - PxX - PyY), (1)

где l - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате нахождения частных производных первого порядка по X, Y и l из уравнения (1) и приравнивания их к нулю.[1] Получаем систему уравнений (2)

(2)

Последнее уравнение из (2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Из них следует, что



(3)

Правые части в (3) есть ни что иное, как MUX и MUY, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.

, (4)

где l может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MUn/Pn может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем

, (5)

Решая систему уравнений (5) относительно X и Y получаем



Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, PX = 2 д.е, PY = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что PX стало равно 5 д.е., а PY снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.

Минимизация расходов потребителя: обратная задача

В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.

Теперь мы минимизируем I = PxX + PyY при ограничении U (X, Y) =Ы, где Ы - определенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая

L = ( PxX + PyY) - m [U (X, Y) - Ы]



Тогда имеем

(1)

Возьмем первые два уравнения из (1). Из них получаем

(2)

где m - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/l. Если заменить в (2) m на 1/l и возвести уравнение в степень - 1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (4).



Заключение

Итак, экономическая наука, как и любая другая имеет свою специфику, которая определяется общей спецификой наук о человеке. Все общественные науки изучают самую сложную и высокоорганизованную форму движения - социальную. На современном этапе экономические взаимоотношения между субъектами образуют экономические системы со сложной структурой, большим количеством элементов и связей между ними, которые и являются причиной почти всех особенностей экономических задач.

В данном разделе описан механизм функционирования экономической системы со стороны потребления. Неотъемлемой категорией теории потребления является понятие полезности. Существуют различные разработки методов измерения полезности. Но главным критерием применимости того или иного метода является проверка результатов исследования на практике. Уже поэтому полезность можно считать достаточно сложным компонентом данной теории - измерить его реально не представляется возможным. То же можно сказать, соответственно, и о понятии предельная полезность.

Поведение потребителя определяют, во-первых, отношения предпочтения потребителя, а, во-вторых, ограничением выступает бюджетное ограничение. Отношения предпочтения описывают кривые безразличия, тип которых зависит от вида потребляемых товаров. Бюджетное ограничение отражает бюджетная линия, зависящая от уровня дохода и уровня цен на товары. В этих условиях оптимальный план потребления определяется, исходя из максимизации общей полезности. Выражая оптимальный план потребления через зависимость от цен и дохода, получили функцию спроса отдельного домашнего хозяйства.

Кроме того, следует учитывать то, что экономические системы развиваются и усложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или применявшихся лишь для небольших прикладных задач.

При написании работы мною была изучена литература по данной теме. Были рассмотрены математические модели в экономике, повторены некоторые понятия функций нескольких переменных, необходимых для изучения оптимизационных задач. В работе приводится задача потребительского выбора, решение которой сводится к решению задач на условный экстремум. Также рассмотрен частный случай задачи потребительского выбора - модель Стоуна.



Список используемой литературы:

1. Замков О.О. и др. Математические методы в экономике 2008г.

2. Малыхин В.И. Математическое моделирование в экономике 2009г.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей 2008г.

4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов 2008г.

5. Сборник задач по микроэкономике. К «Курсу микроэкономики» Р.М. Нуреева/ Гл. ред. д.э.н., проф. Р.М. Нуреев. - М.: Норма, 2009г.

6. Онегов, В.А. Исследование операций. Задачи, методы, алгоритмы. - 2010г.

Размещено на Allbest.ru

...