Обработка экспериментальных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(технический университет)» (СПбГТИ(ТУ))

КАФЕДРА Инноватики и информационных технологий

УГС 220701

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ Менеджмент высоких технологий

ДИСЦИПЛИНА Организационно-экономическое моделирование

Курсовая работа

Обработка экспериментальных данных

Выполнила студентка 5 курса, группы 6993 Жердева М.В.

Принял доцент кафедры прикладной математики, к.т.н. Урванцев В.Г.

Санкт-Петербург

2014

ТЕМА 1. Проверка статистических гипотез

1.1 Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции регрессии

Статистическая гипотеза - это гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой гипотезой (H0) называют выдвинутую гипотезу.

Конкурирующей (альтернативной)(H1) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.

Так как проверку производят методами статистики, ее называют статистической. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать ? , ее называют уровень значимости. Наиболее уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением называют значения критерия, вычисленного по выборкам. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение принадлежит критической области - гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение принадлежит области допустимых значений - гипотезу принимают.

Правило принятия решения для проверки статистических гипотез - это модель расчета значений выборочных статистических показателей, на основании которых принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Процедура проверки гипотезы следующая: необходимо сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы; определить уровень значимости; найти наблюдаемое значение, используя формулу стандартизированного критерия; по таблице выяснить критическое значение в соответствии с уровнем значимости и размером выборки, если это необходимо; сравнить критическое значение с наблюдаемым, тем самым использовать правило принятия решения.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента, который вычисляется посредством частного F-критерия Фишера.

1.2 Построение квадратичной модели функции регрессии

По данным КР №2 построим квадратичную модель функции регрессии:

y(x)=ax2+bx+c

Задание:

Имеются результаты серии экспериментальных измерений (таблица 1)., причем считается, что величины х измерены точно, а у содержат случайные ошибки измерений. Предполагается, что ошибки измерений - независимые нормально распределенные случайные величины с одинаковыми нулевыми дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями.

Таблица 1 - Исходные данные

№	Среднегодовая стоимость ОПФ, 103 руб. xi	Товарная продукция, 103 руб. yi
1	389	292
2	407	280
3	420	293
4	465	390
5	501	415
6	524	425

Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при использовании метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции -- параболы второго порядка:

y = b0 + b1 x + b11 x2

В этом случае

и система нормальных уравнений имеет вид:

I	Xi	Yi	Xi2	Xi3	Xi4	ХiYi	Хi2Yi
1	389	292	151321	58863869	22898045041	113588	44185732
2	407	280	165649	67419143	27439591201	113960	46381720
3	420	293	176400	74088000	31116960000	123060	51685200
4	465	390	216225	100544625	46753250625	181350	84327750
5	501	415	251001	125751501	63001502001	207915	104165415
6	524	425	274576	143877824	75391979776	222700	116694800
Суммы	2706	2095	1235172	570544962	266601328644	962573	447440617

Найдём коэффициенты a, b и c уравнения квадратичной регрессии из системы уравнений

Решим эту систему методом Крамера.



Итак, искомое уравнение квадратичной регрессии имеет вид:

y = -0,0017x2 + 2,7528x - 542,38



1.3 Проверка гипотезы о виде функции регрессии

По данным и результатам КР №2, используя результат п 1.2, сравнивая линейную и квадратичную модели проверить гипотезу о виде функции регрессии. Применить критерии Стьюдента и Фишера. При расчетах уровень значимости выбрать самостоятельно.

x*1000	y*1000	yЮ*1000
389	292	271
407	280	296
420	293	314
465	390	370
501	415	410
524	425	433

Сумма квадратов отклонений:

= 1.628 * 109

Оценка дисперсии отдельного измерения:

у = v407*106 = 20.2 * 103

Распределение Фишера:

Из таблицы распределения Фишера по уровню значимости, например, а=0,1 и числам степеней свободы k1 и k2 найдем критическое значение статистики Fa, Fa=10,13. Так как F<Fa, то гипотеза о допустимости упрощенной модели функции регрессии принимается. Следовательно, можно использовать функцию линейной регрессии.

ТЕМА 2. Интерполирование

2.1 Интерполирование функций

регрессия квадратичный интерполирование линейный

При разработке математического обеспечения САПР часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f(x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

На отрезке [a, b] заданы n + 1 точки x0, x1, ..., xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn. Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что F(x0) = y0, F(x1) = y1, ..., F(xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F(x) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) для i = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F(x) обычно используется для вычисления значений исходной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функцииf(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x0, xn], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.

В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F(x), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

В простейшем случае предполагается, что зависимость y = f(x) на каждом интервале (xi, xi+1) является линейной. Тогда для каждого участка (xi, xi+1) в качестве интерполяционной формулы y = F(x) используется уравнение прямой, проходящей через точки Mi(xi, yi) и Mi+1(xi+1, yi+1), которое имеет вид

(1).

При программировании процедур линейной интерполяции следует учитывать, что процесс решения задачи интерполирования с использованием формулы (1) включают два этапа: выбор интервала (xi, xi+1), которому принадлежит значение аргумента х; собственно вычисление значения y = F(x) по формуле (1).

На практике в качестве интерполирующей функции F(x) обычно используется алгебраический многочлен

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

степени не выше n, такой, что Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y1, ..., Pn(xn) = yn. Наиболее известными методами построения интерполяционного многочлена Pn(x) являются метод Лагранжа, итерационные и разностные методы.

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена Pn(x) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x0, x1, ..., xn и соответствующих значений функции f(x0) = y0, f(x1) = y1, ..., f(xn) = yn интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

,

где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x0, xn].

Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений Pn(x) для одной функции f(x). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

где - лагранжевы коэффициенты, определяемые как

Используя исходные данные Вашего варианта из КР №2 получить значение функции Y(х) в точке «х0», соответствующей середине имеющегося интервала, используя интерполяционный многочлен 2-й, 3-й и 5-й степени. Сравнить значения Y по функциям регрессии и многочленам интерполяции.

Интерполяционный многочлен второй степени - это ломаная линия, соединяющая пары точек.

Рисунок 1 -Линейная интерполяция



Интерполяционный полином третьей степени - это кусочная функция, каждый интервал которой проходит через 1,2,3 точку, затем через 3,4,5 точки и затем через 5 и 6 точки и дополнительно определим 7-ую точку из уравнения параболической регрессии.

y = -0,0017x2 + 2,7528x - 542,38



Рисунок 2 -Квадратичная интерполяция

Расчет с помощью Mathcad:



Рисунок 3 - График многочлена Лагранжа пятой степени

значение в точке, вычисленное многочленом Лагранжа пятой степени:

значение в точке, вычисленное квадратичным многочленом Лагранжа (значение х0 приходится на участок, вычисляемое этой параболой):

Значение в точке, вычисленное линейным многочленом Лагранжа (значение х0 приходится на участок, вычисляемое этим отрезком прямой):

значение, вычисленное с помощью линии параболической регрессии:

значение, вычисленное с помощью линейной регрессии:

ТЕМА 3 Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии

3.1 Регрессионные модели, нелинейные относительно как неизвестных параметров, так и относительно включенных переменных

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

§ регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

§ регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

· полиномы разных степеней

у = а +bх + с2 + е,

у =а + bх +сх +dx3+ е,

· равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

· показательная - у = аbх е

· экспоненциальная - y=ea+bxе

· степенная -- y = axbе

Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по объясняющим переменным

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

у= а0 + а1 х + а2 х2 + е

заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

у= а0 + а1 х + а2 х2 + е

для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях - полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени.

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений: при b > 0 и с < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу

Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив на z, получим линейное уравнение регрессии y = a +bz +е оценка параметров которого может быть дана МНК.

В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида

так называемая обратная модель, являющаяся разновидностью гиперболы Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная z = 1/x и y= а + bz + е, то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно: z =1/y и z = a + bx +е.

В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно

следовательно полученная методом наименьших квадратов оценка уже не будет эффективной.

Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по параметрам

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.

Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

y = axbе

где у - спрашиваемое количество;

х - цена;

е - случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

lnу = lnа + b lnx + ln е.

Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК.

Если же модель представить в виде y = axbе, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида -- у = а+ bхc + е, ибо это уравнение не может быть преобразовано в уравнение, линейное по коэффициентам.

В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей.

В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель y = еa+bхе, ибо логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

lnу = а + b х +lnе.

Если модель внутренне не линейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y = axbе.

Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.

В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям.

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия

,

то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lnу, 1/у.

Так, в степенной функции y = axbе МНК применяется к преобразованному уравнению lnу = lnа + xlnb.

Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Вследствие этого оценки параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенными. При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln у, в эконометрике преобладают степенные зависимости - это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

При использовании линеаризуемых функций, затрагивающих преобразования зависимой переменной y, следует особенно проверять наличие предпосылок МНК, чтобы они не нарушались при преобразовании.

3.2 Нахождение линии гиперболической регрессии

Используя данные для КР№2, решить задачу нелинейной (относительно переменных «х») регрессии на примере равносторонней гиперболы .

	1	2	3	4	5	6
	389	407	420	465	501	524
	292	280	293	390	415	425

1. Составим таблицу вспомогательных величин:

1	389	292	0.00257069	0.00000661	0.75064267
2	407	280	0.002457	0.00000604	0.68796069
3	420	293	0.00238095	0.00000567	0.69761905
4	465	390	0.00215054	0.00000462	0.83870968
5	501	415	0.00199601	0.00000398	0.82834331
6	524	425	0.0019084	0.00000364	0.8110687
	2706	2095	0.01346359	0.00003057	4.6143441

Вычислим коэффициенты и уравнения гиперболической регрессии по известным формулам:

Итак, искомое уравнение регрессии имеет вид:

.

Размещено на Allbest.ru

...