Метод сведения задачи к детерминированной в условиях риска

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях определенности

Альтернативы в задачах экономики и менеджмента сводится к различным вариантам использования ресурсов. К числу таких ресурсов можно отнести материальные, финансовые, людские и время. Время относится к особой категории ресурсов, расходом которых управлять невозможно. Однокритериальная статическая задача управленческого решения в условиях определенности - это задача с набором из независящих от времени контролируемых параметров (параметров, которыми можно управлять в интересах решающего задачу) ; набором из не зависящих от времени ограничений ; набором не зависящих от времени неконтролируемых параметров, которые определяются условием задачи , , ; с одним не зависящим от времени критерием . Формальная математическая запись однокритериальной статической задачи в условиях определенности имеет вид:

Решение такой задачи - это одна из альтернатив . Она может быть выбрана случайно (случайное решение). Если набор таких альтернатив был заранее разработан, то, выбирая наилучшую из них по значению критериальной функции, мы имеем рациональное решение. Наконец, если мы можем воспользоваться оптимальным методом, то метод и должен автоматически определить наилучшую альтернативу из числа возможных. В этом случае будет обеспечено оптимальное (максимальное или минимальное) значение критерия при заданных значениях неконтролируемых параметров.

Очевидно, что случайные решения мало кого устраивают. При разработке рациональных решений перед принятием решения (выбором альтернативы) нам необходимо провести работу по разработке набора альтернатив, удовлетворяющих ограничениям задачи. В зависимости от конкретной задачи для выполнения такой работы нам может потребоваться достаточно много усилий, например, разработать несколько альтернативных проектов. Очень часто так и приходится поступать. В то же время, в нашем случае основной интерес представляет процесс выбора, а не разработки альтернативы. Поэтому для лучшего понимания метода нам было бы удобно генерировать альтернативы автоматически, что позволяют оптимальные методы. В принципе, мы можем воспользоваться любым известным нам оптимальным методом поиска экстремума функции. Поэтому для определенности для изучения способов решения однокритериальной статической задачи управленческого решения воспользуемся методами математического программирования.

Рис. 16. Математическая классификация задач принятия решения

Задача Л.В. Канторовича (1, 2), рассматриваемая применительно к экономике и менеджменту, получила название производственной задачи или задачи распределения ресурсов. Действительно, если уравнение (1) описывает доход или прибыль от производственной деятельности, а выражения (2) описывают расход имеющихся принятых во внимание ресурсов, которые необходимы для осуществления производственной деятельности, то решение этой задачи позволяет получить оптимальную по критерию дохода или прибыли программу выпуска продукции . Полученное в этом случае максимальное значение целевой функции есть ни что иное, как максимально возможный доход или прибыль, которые можно получить в конкретной ситуации. Таким образом, для постановки этой задачи необходимо придать конкретный смысл неконтролируемым параметрам , и . Например, значения могут быть отпускными ценами соответствующих наименований продукции, значения - это коэффициенты расхода ресурса на выпуск единицы продукции соответствующего вида, а _ это наличие соответствующего ресурса.

Примечание. В задаче, решенной в процессе выполнения лабораторной работы номер 1, исходные данные были сформированы от датчика случайных чисел. Полученное решение математически является оптимальным, но оно никак не может быть интерпретировано по отношению к какой либо практической задаче. Если выбрать практическую задачу, решаемую методом линейного или математического программирования, и задать значения неконтролируемых параметров на основе реальных данных, то полученное решение имеет практический смысл.

Существует еще несколько вариантов постановки задачи, решаемой методами математического программирования. Задача о назначениях имеет следующий смысл. Пусть имеется кандидатов на должностей. Эффект от назначения кандидата на должность оценивается как . Необходимо так назначить кандидатов на должности, чтобы максимизировать общий эффект

.

Очевидно, что один кандидат может быть назначен только на одну должность. Это обстоятельство может быть формализовано в виде ограничений

, .

Поскольку кандидат может быть или назначен, или не назначен на соответствующую должность, имеет место еще одно ограничение . Решение задачи есть квадратная матрица с единичными элементами.

Транспортная задача оптимизирует перевозки между несколькими пунктами отправки и получения груза. Пусть существует пунктов отправки грузов, в каждом их которых имеется груз . Их надо доставить получателям в объеме . Здесь и номера пунктов отправления и получения груза. Затраты на перевозку груза из пункта в пункт определяются как . Необходимо составить оптимальный план перевозки так, чтобы

.



Если предположить, что все грузы должны быть перевезены, то ограничения задачи имеют вид

.

Решением задачи является матрица размерностью на элементов , каждый из которых имеет смысл объема перевозки из пункта в пункт .

Задача составления смесей внешне похожа на задачу распределения ресурсов. Смысл задачи - минимизировать затраты на изготовление смеси различных веществ, например, при изготовлении бетона, так, чтобы при этом гарантировать наличие в смеси определенных составляющих, например, цемента, в заданном количестве. Тогда выражение для целевой функции имеет вид однокритериальный задача управленческий решение

.

Выражения для ограничений приобретают вид

Здесь первое неравенство задает общий объем смеси, а выполнение остальных гарантирует наличие в ней принципиально необходимых компонентов в заданном количестве.

Задача о ранце предусматривает выбор из имеющегося набора предметов. Предположим, что имеется видов предметов, а ценность каждого определяется коэффициентом . Каждый вид предметов имеет, например, объем . Из общего количества предметов необходимо выбрать такой набор, чтобы максимизировать его ценность

,

при этом общий объем предметов не должен превысить некоторой величины предельного объема

.

Решение задачи позволяет оптимальным способом приблизить отобранный набор к заданному объему обеспечивая максимальную ценность выборки. Отметим, что если количество предметов какого-то вида ограничено, то это обстоятельство можно учесть, добавив в задачу ограничение вида .

2. Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях риска

В литературе по экономике и менеджменту, в частности в учебниках по разработке управленческого решения, встречаются самые разнообразные определения понятия риска. Так, например, в [7] приводится следующая формулировка: риск - принятие решений в условиях, когда возможен неблагоприятный исход; вероятность отклонения величины фактического инвестиционного дохода от величины ожидаемого, неопределенность получения убытка при страховании. В [8] можно прочитать, что в самом широком смысле риск - это опасность возникновения ущерба. Объем этого понятия включает сферы деятельности по производству продукции, товаров, услуг, выполнению социально-экономических и научно-технических проектов, по товарно-денежным и финансовым операциям. Как отмечено там же, риск характеризуется на качественном и количественном уровнях в виде затрат (либо снижения доходов), а также может иметь абсолютное (физическое, материально-вещественное) или стоимостное выражение. Риск может быть рассчитан и в относительных показателях как отношение величины возможных потерь к сумме основных и оборотных средств предприятия либо к общим затратам ресурсов, ожидаемым доходам от намечаемых действий. В [9] указывается на тесную связь понятий риска и неопределенности, связывается неопределенность с разработкой управленческого решения, а риск с его реализацией, отмечается, что неопределенность - основная причина появления рисков. Все выше изложенные соображения являются, безусловно, правильными и широко используются в экономике и менеджменте.

Следуя предложенным определениям, было бы логично объявить все не точно известные данные неопределенностями и ограничиться подсчетом возможных убытков в интегральном выражении. Тем не менее, аналитические науки, в частности исследование операций [3], разработали методы более точных расчетов результатов деятельности, связанной с различными неопределенностями. Эти методы базируются на более узком понимании терминов риск и неопределенность. Как указано в [3], принятие решения в условиях риска - это ситуация, когда действия по реализации принятого решения приводят к возможности появления одного из множества результатов, причем каждый результат имеет известную вероятность появления. Учитывая этот подход, будем использовать следующее определение: задача разработки управленческого решения в условиях риска предусматривает существование в определении критерия оптимальности и (или) в ограничениях стохастических факторов, то есть случайных величин с известными характеристиками. Иногда такие задачи называют стохастическими. В формулировке конкретной задачи случайный параметр может быть, например, один. Существуют задачи, когда таких параметров несколько, а в предельном случае все входящие в задачу параметры могут быть случайными величинами. Математически такая задача может быть записана как

где символом обозначен случайный параметр, который замещает соответствующий детерминированный коэффициент в .

Непосредственное решение задачи оптимизации со случайным значением параметра не имеет практического смысла. Действительно, найденное нами решение соответствует только одному из бесчисленного множества значений случайного параметра, которое может никогда не повториться. Поэтому полученное таким способом решение совсем не обязательно даст наилучшие результаты при повторяющихся экспериментах, так как сами значения критериальной функции начинают носить случайный характер.

Для устранения этого несоответствия разработаны специальные методы решения подобных задач. Их классификация представлена на рис. 17. В соответствии с ней имеется две основные группы таких методов: сведение стохастической задачи к детерминированной и оптимизация в среднем.

Рис. 17. Методы решения задач в условиях риска

Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной

Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной может быть использован в том случае, когда в распоряжении исследователя имеется некоторая ограниченная выборка случайного процесса, в то время как точный вид закона распределения неизвестен. Обычно так бывает, когда на практике впервые сталкиваются с необходимостью учета случайного параметра, в то время как детальное исследование статистических свойств случайного процесса еще не произведено или его даже невозможно осуществить. В этом случае можно попытаться получить решение, которое использует только имеющиеся в нашем распоряжении данные.

В основе метода лежит замена случайных параметров их неслучайными характеристиками, например, математическим ожиданием, максимальным и минимальным значением. Для отыскания решения на место случайного параметра подставляется значение его математического ожидания. Далее решается задача оптимизации тем же способом, каким она решалась в случае детерминированной задачи. Полученное решение рассматривается как основное. Дополнительно расчетом проверяются ситуации, когда случайный параметр имеет максимальное и минимальное значение. Как результат рассчитываются границы изменения критериальной функции при ранее полученном основном решении.

Алгоритмический метод решения задачи в условиях риска

Метод предусматривает существование алгоритма вычисления показателя эффективности, что собственно и реализовано, например, в виде надстройки Поиск решения. Предположим, что нам необходимо численно построить функцию распределения целевой функции. Зададимся набором вероятностей , для которых мы будем ее вычислять. Если функция распределения случайного параметра известна, то, решая обратную задачу, мы можем получить значение параметра, например , которое не будет превышено с заданным значением вероятности . Подставляя это значение на место случайного параметра и, решая задачу поиска экстремума, мы можем получить значение критериальной функции , которое не будет превышено с заданным значением вероятности и соответствующее ему решение . Выполняя эту операцию для всех значений вероятностей , получаем табулированную функцию распределения и соответствующие каждому значению варианты решений . Далее на основании анализа полученной таблицы собственно выбирается оптимальное решение , соответствующее максимуму среднего значения при М_постановке ( при симметричной функции распределения) или заданному значению вероятности при Р_постановке.

Метод Монте-Карло при решении задачи в условиях риска

Метод предусматривает существование алгоритмической и программной модели решения задачи и замену реального случайного процесса его имитацией от датчика случайных чисел. Свое название метод Монте-Карло получил по имени казино, находящегося в княжестве Монако в одноименном городе, в котором исторически было сосредоточено большое число игровых заведений. Вероятно первые разработчики этого метода на основе анализа последовательностей случайных чисел, генерируемых колесом рулетки, пытались создать методику выбора очередного числа, на которое и должна была бы быть сделана ставка. Поскольку возможностей для непосредственных экспериментов в здании казино нет, было предложено определить закон распределения чисел для конкретного стола, а далее имитировать эту последовательность в лабораторных условиях с целью отыскания необходимого алгоритма. Заметим, что поскольку казино в Монако существуют до сих пор, этот эксперимент закончился неудачей.

В соответствии с методом Монте-Карло на основании известной функции распределения случайного процесса генерируется выборка значений от датчика случайных чисел. В современной практике используется программная генерация таких чисел на основе стандартных и относительно несложных алгоритмов. Подобный подход позволяет, при необходимости, повторить генерацию выборки с заданным законом распределения или создать новую с тем же законом. Одним из недостатков программного метода является возникающая в некоторых случаях периодичность значений, борьба с которой ведется за счет настройки датчика. Тем не менее, говорить о том, что программным методом генерируется последовательность полностью случайных чисел, не приходится. Поэтому в литературе программные датчики называют обычно датчиками псевдослучайных чисел.

Для решения задачи разработки управленческого решения методом Монте-Карло также необходимо знать функцию распределения случайного параметра. Если она известна, то исследователь может отказаться от реальных данных, получение которых сопряжено с известными трудностями, и заменить их выборками значений от программного датчика. Количество таких значений может существенно превышать объемы реальных выборок, но, в случае совпадения законов распределения реальных и сгенерированных данных, точность получаемых результатов существенно возрастает. При решении задачи в Excel для вызова датчика случайных чисел необходимо включить надстройку Анализ данных, в пункте Сервис главного меню выбрать пункт Анализ данных, а в открывшемся меню Инструменты анализа пункт Генерация случайных чисел.

Основной задачей использования метода является построение функции распределения целевой функции с сохранением полученных для каждого значения решений. Далее на ее основе выбирается оптимальное решение, соответствующее вероятности (при симметричной функции распределения) при М-постановке или с заданным значением вероятности при Р-постановке, как это делалось при реализации алгоритмического метода.

Для каждого значения сгенерированного датчиком случайных чисел параметра решается оптимизационная задача и определяется значение критериальной функции и соответствующее ей решение. Далее строится гистограмма распределения критериальной функции, на основе которой принимается решение.

Примечание. Гистограмма (эмпирическая плотность распределения) строится следующим способом. Проводится разбиение оси аргументов на конечное число граничащих друг с другом промежутков . Затем подсчитывают число значений, полученных в нашем случае от датчика случайных чисел, лежащих в диапазоне . Эти числа называются групповыми частотами. Над рисуют прямоугольник высоты , где _ общее количество в нашем случае сгенерированных датчиком чисел. Возникающий ступенчатый график и есть гистограмма. Для получения эмпирической функции распределения (интегральная гистограмма распределения) строят ступенчатый график, у которого высота прямоугольника при есть сумма значений . Очевидно, что при правильной работе датчика случайных чисел при уменьшении и соответствующем увеличении эмпирическая функция распределения будет стремиться к заданной функции распределения случайного процесса [1].

Подобный способ удобен при наличии программной реализации задачи математического программирования в виде, например, самостоятельной функции. При использовании для расчетов Excel для построения гистограммы достаточно в пункте Сервис главного меню выбрать пункт Анализ данных, а в открывшемся меню Инструменты анализа пункт Гистограмма. В открывшемся меню необходимо указать диапазон значений случайных чисел, сгенерированных от датчика, и в качестве параметров вывода Интегральный процент.

При использовании надстройки Поиск решения каждый расчет требует некоторого количества ручных операций. Для уменьшения трудоемкости вычислений гистограмма распределения случайного параметра может быть построена до решения задачи оптимизации. В этом случае для расчета значений критериальной функции могут быть использованы средние значения карманов гистограммы, а соответствующие им значения критериальной функции встретятся в итоговом распределении столько раз, сколько они были в исходной гистограмме. Фактически задача в этом случае сводится к замене оцифровки оси абсцисс гистограммы распределения значениями критериальной функции при сохранении значений ординат.

3. Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности

Задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности в отличие от задачи в условиях риска возникает в том случае, когда мы не располагаем никакой статистической информацией о параметрах случайных величин, не имеем их выборок и, как следствие, не можем составить или получить выражение для функции распределения, определить моменты и т.п. Поэтому рассчитать вероятность получения определенного значения показателя эффективности оказывается невозможным, хотя он и принимает случайные значения в каждом конкретном эксперименте при его многократном повторении.

Можно выделить два случая, характеризующих вероятность получения определенного значения критериальной функции. Во-первых, эти вероятности могут не иметь физического смысла, поскольку входящие в задачу неопределенные факторы имеют не стохастическую природу. К их числу относятся стратегические неопределенности, объясняющиеся участием в задаче нескольких разумных сторон, преследующих, в частности, противоположные цели. Неопределенность в задаче возникает потому, что нам неизвестны действия, которые будут предприняты сторонами (противником), и мы должны принимать решение в отсутствие полной информации. Кроме этого, в задаче могут возникать концептуальные неопределенности, связанные с принятием особо сложных решений и вызванные нечетким представлением о собственных целях и возможностях, целях и возможностях других сторон. Во-вторых, на решение задачи могут оказывать влияние стохастические неопределенности, возникающие из-за отсутствия информации о характере влияющих процессов, но не предусматривающие разумного вмешательства. В этом случае обычно говорят о воздействии природы на решение задачи, предполагая при этом отсутствие точек излома и разрыва и наличие инерционности в характеристиках мешающих факторов.

Наиболее сложным случаем для выработки управленческого решения является ситуация, когда у нас полностью отсутствует любая (в том числе и экспертная) информация о вероятностях возможных состояний природы. В этом случае решение приходится принимать исходя из анализа платежной матрицы или матрицы рисков. Согласно максиминному критерию Вальда выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем



.

Данный критерий ориентирует на наихудшие условия и рекомендует выбирать стратегию, для которой в самом тяжелом случае выигрыш максимален. Обычно критерий Вальда называют критерием крайнего пессимизма.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации. Сущность критерия Сэвиджа - любыми путями минимизировать риск. Критерий Сэвиджа также относится к критериям крайнего пессимизма, однако в этом случае в отличие от критерия Вальда худшим считается не минимальный выигрыш, а максимальная его потеря (максимальный риск)

.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица рекомендует при выборе решения выбирать нечто среднее между крайним пессимизмом и оптимизмом

В этом выражении введенный Гурвицем некий коэффициент (мера пессимизма), выбираемый экспертным путем из интервала между 0 и 1. Очевидно, что при критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.

Математически задача разработки управленческого решения в условиях неопределенности может быть записана в виде

где - конкретная реализация неопределенного фактора. Неконтролируемые переменные принимают случайное значение и могут относиться либо к категории не стохастических (игры с противником), либо стохастических (игры с природой) случайных величин.

Основные методы решения задач в условиях неопределенности разработаны в математической теории игр [3, 10]. Предполагается, что правила игры известны всем ее участникам и обязательно выполняются. Каждый случай игры называется партией. Элементами партии являются ходы, которые могут быть личными (сознательное действие) и случайными. Каждый из игроков руководствуется совокупностью правил, однозначно определяющих выбор его ходов, называемую стратегией. Число таких стратегий может быть конечным или бесконечным. Результатом игры является выигрыш или проигрыш игроков. Например, если в игре участвуют только два игрока, преследующие прямо противоположные цели, то выигрыш одного игрока означает точно такой же проигрыш другого. Такая игра называется парной антагонистической игрой с нулевой суммой.

Игры с противником

Рассмотрим задачу разработки управленческого решения с одним неопределенным фактором , принимающим только два возможных значения при выборе противником соответственно стратегий и . Заметим, что хотя мы не знаем, какие конкретно значения на практике будут принимать неопределенные факторы, но мы можем предположить, что они примут определенные значения и вести дальнейшие рассуждения в отношении именно предполагаемых нами значений . Будем считать, что этот фактор влияет на критериальную функцию или на ограничения . Найдем два оптимальных решения и , с учетом двух возможных и предполагаемых нами стратегий противника и соответствующие выражениям

Полученные решения и представляют собой наши наилучшие действия (стратегии) и в том случае, когда мы угадали дальнейшее развитие событий. Используя уже полученные решения и , рассчитаем значения показателя эффективности при условии, что мы не угадали ответ противника:

Занесем полученные значения в так называемую платежную матрицу, где строки и представляют собой наши возможные стратегии, а столбцы и возможные стратегии противника

Стратегии



Очевидно, что аналогичная матрица может быть построена и при большем числе возможных стратегий , а также при большем числе неопределенных факторов .

Отыщем решение игры, пользуясь методами теории игр. Найдем нашу оптимальную стратегию, не зависящую от действий противника. В этом случае возникает вопрос о выборе критерия оптимальности. Например, в качестве используемой стратегии можно выбрать стратегию, которая приносит возможный максимальный выигрыш. Такая стратегия может оказаться весьма рискованной, поскольку в конкретной ситуации противник может ответить стратегией, приводящей к большему проигрышу. Более разумным представляется воспользоваться стратегией, которая минимизирует наш возможный проигрыш. Обозначим минимальный выигрыш при выборе стратегии при всех возможных стратегиях противника

.

Из всех возможных наших стратегий выберем стратегию, которая обеспечит нам наибольшее значение нашего минимального выигрыша

.

Назовем нижней ценой игры (наш гарантированный выигрыш при любой стратегии противника).

Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической игре, то противник заинтересован уменьшить наш выигрыш, и будет выбирать соответствующие стратегии. Вполне естественно предположить, что противник владеет методами оптимизации и теории игр и в свою очередь проводит аналогичные вычисления. Тогда полученная им платежная матрица будет иметь другие числовые значения, но ее смысл в отношении выбираемых стратегий не изменится. Поэтому мы можем анализировать возможные стратегии противника исходя из имеющейся у нас нашей платежной матрицы. Очевидно, что все это справедливо только в том случае, когда мы рассмотрели все возможные стратегии противника.

Примечание. Если противник не будет пользоваться оптимальными методами, то это просто приведет к его дополнительному проигрышу.

Найдем наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника

.

Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой наш выигрыш минимален

.

Назовем выигрыш верхней ценой игры. Очевидно, что если по каким-то причинам противник не воспользовался своей оптимальной стратегией, то наш выигрыш только возрастет. Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их значение называют чистой ценой игры

.

Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются чистыми, а их совокупность дает оптимальное решение. Используя оптимальное решение, мы получаем минимальный гарантированный выигрыш независимо от поведения противника. Пара чистых стратегий и дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий им элемент является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация называется седловой точкой, а соответствующая ей игра - игрой с седловой точкой.

Если седловая точка в платежной матрице отсутствует, то существует несколько наших чистых стратегий и стратегий противника, позволяющих получить цену игры. Выбор нами одной из стратегий наталкивается на естественное противодействие противника, желающего минимизировать свой проигрыш и выбирающего ответную стратегию с учетом информации о нашем выборе. Это обстоятельство приводит к тому, что мы вынуждены хранить свой выбор в тайне и, кроме этого, чередовать свои стратегии при многократном повторении игры по случайному закону. Если так не делать, то противник привыкнет к тому, что мы играем одинаково, и с учетом этого будет строить свою игру. Смешанной стратегией называется применение стратегий , ,..., с вероятностями , ,…,, причем

. (8)

Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы

,

или в виде вектора . Смешанные стратегии противника запишем аналогично, обозначая соответствующие вероятности буквой :

,

,

или . Найдем оптимальную стратегию , обеспечивающую нам средний выигрыш не меньший, чем цена игры (). Математическое ожидание нашего выигрыша при реализации противником стратегии

.

Если - цена игры, то при условии имеем набор ограничений

.

Учитывая (8), будем искать набор , обеспечивающий максимальную цену игры , для чего сделаем замену переменных . Запишем итоговые выражения для целевой функции и ограничений задачи оптимизации выбора стратегий

и решим задачу линейного программирования. Элементы нашей оптимальной смешанной стратегии определяются подстановкой . Оптимальная смешанная стратегия противника определяется аналогично:

а задача линейного программирования формулируется в виде

Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения будет последовательность наших стратегий, реализуемых по случайному закону с заданными вероятностями их появления.

Игры с природой

Отличительной особенностью игр с природой является то обстоятельство, что природа рассматривается как некоторая незаинтересованная инстанция, поведение которой неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента враждебности и сознательного противодействия достижению наших целей. Как и в случае игр с противником, нам должна быть известна платежная матрица, соответствующая нашему выигрышу при различных своих стратегиях и состояниях (стратегиях) природы. Если в случае игры с противником предполагать определенные вероятности появления его стратегий не представлялось возможным, то в рассматриваемой ситуации нам полезно дополнительно располагать информацией о вероятностях появления возможных состояний природы, заданной, например, в виде смешанных стратегий



,

.

Задача заключается в выборе в конкретных условиях наиболее выгодной собственной стратегии, а отбрасывать «невыгодные» с точки зрения природы стратегии нельзя. Исходя из этого в теории статистических решений [3] вводится понятие риска

,

где наш риск при использовании стратегии в ответ на состояние природы , а - максимально возможный наш выигрыш при состоянии природы . Если нам известны вероятности возможных состояний природы , то было бы логичным в качестве своей стратегии принять одну из наших возможных стратегий , максимизирующую наш средний выигрыш

.

Отметим, что указанная стратегия одновременно минимизирует средний риск.

Примечание. В случае игры с природой количество наших возможных стратегий может отличаться от количества возможных стратегий природы .

При выборе оптимальной стратегии одну из существенных трудностей представляет определение конкретного набора вероятностей . Если нет никаких гипотез о вероятности появления определенного состояния природы, то используется принцип недостаточного основания Лапласа, когда вероятности назначаются равными друг другу

.

Если у нас существуют некоторые предположения о вероятностях появления определенных событий, то мы можем их расставить в порядке убывания их правдоподобности (ранжировать) и поставить им в соответствие некоторый ряд чисел, определенный, в том числе, и экспертным путем. Отметим, что в любом случае справедливо утверждение

.

Игры с природой с экспериментами

Рассмотренные выше игры с природой предусматривали необходимость принятия нами решения в условиях неопределенности на основе имеющихся у нас данных, используемых в процессе вычислений. Такие данные принято называть априорными. В некоторых случаях при решении задач с природными неопределенностями появляется возможность проведения различных экспериментов, позволяющих получить дополнительную информацию и тем самым снизить степень неопределенности в отношении действительного состояния природы. Очевидно, что проведение экспериментов связано с затратой ресурсов. Возникают естественные вопросы: стоит ли проводить эксперимент, сколько должно быть экспериментов, в каком порядке надо проводить эксперименты. Некоторые ответы на эти вопросы дает теория игр с экспериментами.

Назовем единичным такой эксперимент, объем и порядок которого заранее определены и не могут быть изменены в процессе его проведения. Отметим, что собственно методику эксперимента должен разрабатывать специалист в предметной области, а мы можем только делать вывод о целесообразности его проведения на основании имеющейся априорной информации. Единичный эксперимент не обязательно состоит только из одного испытания. В процессе его проведения может быть получена целая выборка значений, однако принципиальным является то обстоятельство, что объем выборки конечен и известен заранее.

Возможен и другой способ организации эксперимента. В процессе проведения эксперимента после каждого испытания мы можем принимать решение, прекратить ли дальнейшие испытания и выбрать ли какую либо стратегию из числа возможных или продолжить испытания с целью увеличения объема информации. Такие эксперименты называют последовательными. Максимальное допустимое количество выборок в процессе проведения последовательного эксперимента тоже может быть известно заранее (в этом случае говорят об усеченном последовательном эксперименте), или быть неограниченным (неограниченный последовательный эксперимент).

Будем считать, что в нашем распоряжении имеется набор стратегий , которые он может использовать в ответ на одну из возможных стратегий природы , появляющуюся с вероятностью при условии

.



Известна также платежная матрица . Для снижения неопределенности относительно действительного состояния природы мы можем провести эксперимент, стоимость которого известна и равна . Пусть в результате проведения эксперимента состояние природы станет известно точно. Необходимо сделать вывод о целесообразности проведения эксперимента.

Наш средний выигрыш при использовании стратегии может быть определен как

. (9)

В качестве оптимальной стратегии может быть выбрана стратегия , максимизирующая наш средний выигрыш

.

Предположим теперь, что в результате проведения эксперимента удалось точно установить стратегию природы . Очевидно, что в этом случае мы должны выбирать стратегию, обеспечивающую наш максимальный выигрыш

. (10)

Оценим теперь средний возможный выигрыш после проведения эксперимента



где _ стоимость проведения эксперимента. Отсюда появляется условие целесообразности проведения эксперимента

или

.

Преобразовывая неравенство, имеем

. (11)

Выражение в круглых скобках есть ничто иное как риск

.

Тогда правая часть неравенства есть минимальный средний риск, откуда вытекает условие целесообразности проведения эксперимента: затраты на эксперимент должны быть меньше минимального среднего риска, иначе от эксперимента следует воздержаться и в качестве оптимальной следует выбрать стратегию максимизирующую средний выигрыш или минимизирующую средний риск.

Рассмотрим случай, когда с помощью эксперимента не удается точно определить состояние природы, но возможно получить одно из несовместимых событий , связанных определенными вероятностями с состояниями (стратегиями) природы. Обозначим условную вероятность появления исхода эксперимента при условии стратегии природы символом . Поскольку образуют полную систему событий, справедливо

.

Будем считать, что все значения известны, а также известна стоимость проведения эксперимента . Нас по прежнему будет интересовать вопрос: целесообразно ли проведение эксперимента и если да, то какую стратегию необходимо выбрать при том или ином исходе эксперимента. Предположим, что в результате эксперимента был получен результат . Определим апостериорные вероятности стратегий природы по теореме Байеса [6]

.

Далее для каждой стратегии рассчитаем величину условного среднего выигрыша при условии результата эксперимента

.



Очевидно, что оптимальной будет стратегия , обеспечивающая максимум условного среднего выигрыша при конкретном исходе эксперимента

.

Вероятность появления условного выигрыша совпадает с вероятностью появления события . Обозначим ее символом . Тогда

.

Величина выигрыша с использованием эксперимента

.

С другой стороны наш выигрыш без проведения эксперимента определяется выражением

.

Отсюда вытекает условие целесообразности проведения эксперимента



Если проведение эксперимента признано целесообразным, то необходимо разработать систему так называемых решающих правил, смысл которой сводится к следующему: какую стратегию необходимо выбрать, если эксперимент дал результат ?

4. Многокритериальные задачи

Многокритериальная задача разработки управленческого решения возникает в том случае, когда результат ее решения должен удовлетворять нескольким противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения оценивается совокупностью неких локальных критериев , которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности . Тогда говорят, что локальные критерии образуют вектор критериев , а коэффициенты вектора важности вектор . Для решения многокритериальной задачи необходимо найти такое значение вектора управления , которое обеспечит оптимальное значение вектора критериев

В методике решении многокритериальных задач дополнительным важным вопросом оказывается выбор принципа оптимальности. Обычно он строится на основе различных способов компромисса между составляющими вектора критериев.

Примечание. Под компромиссом понимается соглашение между противоположными, различными мнениями, направлениями и т.д., достигнутое путем взаимных уступок.

Компромисс можно отыскать только в том случае, когда возникает противоречие между локальными критериями, то есть когда при изменении решения показатели по одному критерию улучшаются, а по всем другим ухудшаются. Если изменение решения приводит к улучшению показателей по различным критериям, то имеет место ситуация согласия, которая не представляет интереса для решения задачи оптимизации. Определение области компромисса, то есть области допустимых значений решения , для которой имеют место противоречия между составляющими векторного критерия эффективности, само по себе уже представляет достаточно важную задачу, поскольку ее решение существенно уменьшает количество альтернатив. Дальнейший поиск оптимального решения заключается в выборе схемы компромисса, которая соответствует отысканию некой скалярной функции от вектора критериев , обеспечивающей

.

При решении практических задач составляющие вектора критериев должны быть приведены к единой размерности или нормализованы. Кроме этого, локальные критерии могут иметь различную степень важности, в связи с чем при выборе оптимального решения это обстоятельство также приходится принимать во внимание. В целом при выборе схемы компромисса приходится решать сложные концептуальные проблемы, что обычно приходится делать с помощью эвристических процедур.

На рис. 20 рассмотрена графическая иллюстрация метода отыскания возможного компромисса для двухкритериальной задачи. По осям координат отложены значения локальных критериев и , достигаемых при различных допустимых значениях решения . Кривая очерчивает область допустимых значений критериальных функций и и фактически определяет область согласия. Основной интерес для оптимизации представляет участок кривой , точки которой находятся в области компромисса (в точке имеется максимум по критерию , а в точке по критерию ). Решением оптимальной двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое значение вектора управления , которое обеспечивает положение решения на кривой удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему правило уступки по каждому из критериев. Так, например, точка и соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области компромисса (на кривой ) как удовлетворяющее требованию одинаковой абсолютной уступки по критериям и .

Рис. 20. Область согласия и область компромисса при решении многокритериальных задач

В литературе описано несколько распространенных способов выбора компромисса. Наиболее простым является способ скаляризации векторного критерия. В этом случае



. (12)

и задача разработки управленческого решения из многокритериальной превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов могут быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном виде. В последнем случае

.

Если скаляризация векторного критерия не представляется возможной, то можно воспользоваться методом, основанном на принципе равенства. В этом случае

,

то есть наилучшим считается такое решение, при котором достигается равенство локальных критериев. При практической реализации этот метод может оказаться неудобным, поскольку он может выводить решение из области компромисса. Вариантом этого метода является принцип квазиравенства, при реализации которого добиваются не точного равенства, а обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающих некоторой заданной величины . Тогда

, . (13)

Еще одним вариантом решения задачи оптимизации является принцип максимина. В этом случае задача оптимизации решается для каждого из локальных критериев, после чего отыскивается такое значение вектора управления в области компромисса, которое обеспечивает максимум наименьшего значения локального критерия

.

Принцип справедливой уступки предлагают компромисс, при котором суммарный абсолютный или относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного уровня повышения других критериев. Можно сказать [3], что принцип абсолютной уступки соответствует критерию

а относительной уступки критерию

Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не были бы меньше некоторых заданных величин. Вариантом этого метода является принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение обращающее в максимум главный показатель эффективности . После этого назначается некоторая уступка , которая позволяет максимизировать значение показателя . Далее снова назначается уступка и максимизируется значение показателя и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок.

В целом процедура решения многокритериальной задачи разбиваются на два этапа: собственно оптимизацию в соответствии с одним из ранее рассмотренных методов по каждому из критериев и выбор схемы компромисса между локальными критериями.

5. Динамические задачи разработки управленческого решения

Общая постановка динамической задачи разработки управленческого решения

Задача разработки управленческого решения переходит в категорию динамических в том случае, когда входящие в ее состав параметры оказываются функциями времени. Следует отметить, что в некоторых задачах время может рассматриваться как ресурс. Его специфической особенностью является то обстоятельство, что расходом времени невозможно управлять. Вместе с тем учет времени как ресурса оказывается принципиальным для целого класса задач, в основе которых лежит, например, требование минимизации времени, затрачиваемого на выполнение работы.

В других задачах время может выступать в качестве дополнительного параметра, значение которого изменяется самопроизвольно по известному закону. Динамические задачи разработки управленческого решения могут рассматриваться как в предположении непрерывности времени как аргумента, так и в предположении, что значимые параметры задачи определяются только в некоторые фиксированные моменты времени. В первом случае говорят о непрерывных динамических задачах, а во втором о дискретных. Математически при переходе от непрерывной задачи к дискретной непрерывное время заменяется неким набором дискретных отсчетов , где - номер отсчета, а - шаг дискретизации, - номер отсчета. Обычно рассматривают эквидистантные задачи, для которых . Наконец, в некоторых случаях число рассматриваемых моментов времени может быть конечным.

Формально динамическая задача разработки управленческого решения может быть описана следующим выражением:

Дискретное представление исходных параметров заставляет вводить в рассмотрение не интегральные зависимости, а суммы. Формально такая замена проводится достаточно легко, однако в этой операции имеется ряд тонких моментов, которые необходимо принимать во внимание. К их числу следует в первую очередь отнести размер выборки . Если число сравнительно велико, а шаг дискретизации оказывается относительно небольшим, процедура дискретизации параметра не оказывает существенного влияния на результат решения (рис. 21 a).

Рис. 21 Дискретизация непрерывного процесса с маленьким а) и большим б) шагами

Ситуация существенно меняется в том случае, когда за время интервала дискретизации параметр успевает существенно измениться, а само число его отсчетов невелико (рис. 21 б). Если в первом случае можно говорить о приближенном дискретном представлении непрерывного параметра, то во втором речь идет о существенном искажении вида параметра, что приводит к серьезным изменениям в структуре решения и может дать существенно отличные результаты.

На настоящий момент отсутствует исчерпывающая классификация динамических задач разработки управленческого решения, поэтому далее представлена коллекция различных вариантов их постановки и методов решения.

Разработка альтернатив для принятия рациональных решений

Отметим, что на практике подавляющее большинство решений, принимаемых к разработке и реализации, относится к категории рациональных. Если используются методы теории принятия решений, то качество разработки рациональных решений в первую очередь определяется качеством разработки альтернатив.

Разработка рациональных решений также начинается с формулирования проблемы и определения цели или целей ее разрешения, на основе которой формулируется критерий или критерии и принцип компромисса. Кроме этого, определяются ограничения, который могут существенно сократить число разрабатываемых альтернатив.

Разработка альтернатив может проводиться автоматическими, автоматизированными или ручными методами. Автоматические методы предусматривают использование оптимальных методов решения задачи в случае, когда имеет место их физическая или техническая нереализуемость. Так, например, может быть автоматически сгенерировано ограниченное число вариантов решения или варианты, дающие приближенное решение. Другим вариантом использования автоматических методов может быть генерация случайного набора альтернатив, например, на основе использования датчиков случайных чисел.

Автоматизированные методы подразумевают участие в процедуре генерации альтернатив человека. Им может быть, например, эксперт или сам постановщик задачи. В этом случае можно существенно сократить количество альтернатив за счет отбраковки «заведомо плохих».

Наконец, ручные методы не предусматривают существенной автоматизации и используются в тех случаях, когда альтернативы оказываются, например, весьма сложными или не поддающимися формализации.

При использовании автоматизированного и ручного метода генерации альтернатив целесообразно первоначально попытаться определить множество допустимых значений альтернатив. Очевидно, что это множество обязательно должно удовлетворять ограничениям задачи. Тем не менее, в некоторых случаях на этапе разработки альтернатив, особенно если их очень много, можно вводить дополнительные ограничения, отбрасывающие заведомо худшие.

Найденные альтернативы должны быть подвергнуты сравнению с критерием и в качестве рационального решения должна выбираться альтернатива с наилучшим значением критериальной функции. Методы разработки альтернатив рациональных решений представлены на рис. 29.

Имеющиеся в распоряжении исследователя альтернативы не обязательно исчерпывают весь возможный список, поскольку некоторые из них могут быть еще не найдены (например, не придуман ход в шахматной партии) или они еще в принципе не существуют, но могут появиться в будущем или были когда-то в прошлом (например, вариант обмена квартиры). Оптимальные решения в таких случаях просто не существуют, поскольку никто не может гарантировать, что не будет придуман ход лучше или не появится новый вариант обмена.

Рис. 29. Методы разработки альтернатив при принятии рациональных решений

Особый интерес представляет случай, когда ищется только две альтернативы решения. Подобного рода решения называют бинарными [25] или решениями типа делать - не делать [29]. Заметим, что решение подобного рода в свое время принимал Гамлет.

Бинарные решения встречаются в практической деятельности достаточно часто по той простой причине, что третья и последующие альтернативы могут просто не отыскиваться. Действительно, если решается вопрос «быть или не быть», то вопрос «как быть» неизбежно отходит на второй план. Процедура принятия бинарных решений ничем существенным не отличается от обычной и также заключается в сравнении альтернатив по критерию.

Если альтернативы найдены, то их выбор и, соответственно, принятие решения в рациональных задачах также осуществляется вручную. Все это в конечном итоге может привести к существенным затратам труда и времени.

В остальном процедура принятия решения ничем существенным не отличается от рассмотренной ранее при использовании оптимальных методов. Если критериев несколько, то используются методы решения многокритериальных задач. Наличие случайных параметров в альтернативах может переводить рассматриваемые задачи к задачам в условия риска и неопределенности. Методы решения подобных задач сводятся к расчету функции распределения критериального параметра и определению наиболее выгодной стратегии. Если критерий является неметрическим, то выбор альтернативы осуществляется за счет формулирования бинарных отношений (лучше - хуже). Во многих случаях оказываются применимы процедуры экспертного оценивания. Наконец известны варианты, когда подобные решения принимаются случайным методом, например, подбрасывая монетку.

Наличие большего числа альтернатив по сравнению со случаем бинарного решения технически усложняет процедуру их отбора, но не вносит в нее принципиальных изменений. Так, в отличие от бинарного случая, увеличивается количество сравнений альтернатив. Если выполняется, например, процедура их попарного сравнения, то общее число сравнений определяется как число сочетаний из количества альтернатив по два и может очень быстро расти, что может привести к технической нереализуемости решения. Искусство принятия решения заключается, в частности, в точном определении числа рассматриваемых альтернатив рационального решения, сохраняющих его в категории реализуемых и обеспечивающего наилучшие из числа возможных результаты.

...