Кривые предложения и спроса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание на самостоятельную работу

1. Кривые предложения и спроса представлены квадратичными функциями (параболами): кривая спрос парабола

, ,

где P цена; Q количество товара; as, bs, cs, ad, bd, cd параметры, определенные эмпирически (индекс s относится к кривой предложения, индекс d к кривой спроса). Функции определены в области Q [1, 4] (для построения кривых область определения функций условно расширить до Q [4, 4]).

а) построить кривые предложения и спроса аналитическим способом, определив координаты вершин парабол и точку их пересечения с вертикальной осью ОР;

б) найти аналитическим способом точку пересечения кривых, определив тем самым равновесную цену и количество товара.

2. Пользуясь понятием производной, рассчитать точечную эластичность спроса и предложения от цены в равновесной точке для условий задачи 1.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного результата.

1. Кривые предложения и спроса представлены квадратичными функциями (параболами):

, (2.1)

, (2.2)

где P цена; Q количество товара; as = 4; bs = 4; cs = 80; ad = 12; bd = 4; cd = 240 параметры, определенные эмпирически (индекс s относится к кривой предложения, индекс d к кривой спроса).

Функции определены в области Q [1, 4], однако для построения кривых область определения функций необходимо условно расширить до Q [4, 4].

Необходимо:

построить кривые предложения и спроса;

найти равновесную цену и количество товара;

рассчитать точечную эластичность спроса и предложения от цены в равновесной точке.

дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

1.1 Построение функций предложения и спроса

Так как обе функции квадратичные вида

y = аx2 + bx + с, (2.3)

где а, b, с постоянные величины, то их графики представляют собой параболы с вершиной, находящейся в точке с координатами максимума или минимума.

Найдем координаты этих точек. Для функции предложения (2.1) имеем параболу

. (2.4)

Координаты стационарной точки (точки возможного экстремума) находим из условия равенства нулю первой производной:

. (2.5)

Отсюда абсцисса стационарной точки:

= 0,5. (2.6)

Подставив найденное значение в уравнения (2.1) и (2.4), находим ординату стационарной точки:

=80 1 = 79. (2.7)

Так как вторая производная функции (2.4) в стационарной точке М0(,) больше нуля:

, (2.8)

то в этой точке будет минимум (имеет место “ускорение” функции, т. е. “скорость” ее роста в окрестности стационарной точке увеличивается, пройдя через нулевое значение).

Итак, мы получили координаты вершины (минимума) параболы, часть которой, отвечающая условию Q [1, 4], описывает функцию предложения: М0(=0,5;=79).

Для построения кривой предложения необходимо иметь по крайней мере три точки. Вторую точку находим из условия равенства нулю (условно) абсциссы Q. Подставив Q = 0 в выражения (1) и (4), получаем:

= 80. (2.9)

откуда получаем координаты второй точки параболы М1(Q = 0; Р = 80).

Координаты третьей точки М2 находим из условия симметричности параболы относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Абсцисса этой точки будет определяться по формуле

= 1, (2.10)

а ордината равна ординате точки М1, т. е. М2(Q = 1; Р = 80).

Эти три точки М0, М1 и М2 полностью задают форму и расположение кривой предложения на графике. Но поскольку эти три точки расположены слишком близко друг к другу, для большей точности найдем координаты еще одной точки, отвечающей другой границе области определения функции предложения Q = 4. Подставив в уравнение (2.4), получаем

= 160. (2.11)

Тем самым находим координаты четвертой точки М3(Q = 4; Р = 160).

На рис. 2.1 показана кривая предложения, построенная по этим четырем точкам.

Рис. 2.1 Кривая предложения

Аналогично строим функцию спроса. Для функции спроса (2.2) имеем параболу

. (2.12)

Координаты стационарной точки (точки возможного экстремума) находим из условия равенства нулю первой производной:

. (2.13)

Отсюда абсцисса стационарной точки:

? 0,27. (2.14)

Подставив найденное значение в уравнения (2.2) и (2.12), находим ординату стационарной точки:

=240 + 0,33 ? 240,33. (2.15)

Так как вторая производная функции (2.12) в стационарной точке М0(,) больше нуля:

, (2.16)

то в этой точке будет максимум (имеет место отрицательное “ускорение” функции, т. е. “скорость” ее роста в окрестности стационарной точке уменьшается, пройдя через нулевое значение).

Итак, мы получили координаты вершины (максимума) параболы, часть которой, отвечающая условию Q [1, 4], описывает функцию спроса: М0(?0,27; ? 240,33).

Для построения кривой спроса также необходимо иметь по крайней мере три точки. Вторую точку находим из условия равенства нулю (условно) абсциссы Q. Подставив Q = 0 в выражения (2.2) и (2.12), получаем:

= 240. (2.17)

откуда получаем координаты второй точки параболы М1(Q = 0; Р = 240).

Координаты третьей точки М2 находим из условия симметричности параболы относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Абсцисса этой точки будет определяться по формуле

? 0,33, (2.18)

а ордината равна ординате точки М1, т. е. М2(Q ? 0,33; Р = 240).

Эти три точки М0, М1 и М2 полностью задают форму и расположение кривой спроса на графике. Но поскольку эти три точки расположены слишком близко друг к другу, для большей точности найдем координаты еще одной точки, отвечающей другой границе области определения функции спроса Q = 4. Подставив в уравнение (2.12), получаем

= 32. (2.19)

Тем самым находим координаты четвертой точки М3(Q = 4; Р = 32).

На рис. 2.2 показана кривая спроса, построенная по этим четырем точкам.

Рис. 2.2 Кривая спроса

1.2 Определение равновесной цены и спроса (предложения) аналитическим методом

Точка равновесия спроса и предложения может быть найдена аналитически путем совместного решения системы уравнений (2.1) и (2.2). Приравнивая эти две квадратичные функции, получаем уравнение второго порядка с одним неизвестным Q:

, (2.19)

где постоянные а, b, c определяются по формулам:

; ; . (2.20)

Решением квадратного уравнения (2.19) будут два корня, определяемые по формуле

, (2.21)

=4-(-12)=16;

=4-(-4)=8;

=80-240=-160.

=-3,422

=2,922

однако экономический смысл имеет только один из них, соответствующий положительному знаку перед радикалом, Qbal = 2,922. Эта величина и есть равновесный спрос (предложение).

Равновесная цена определится из уравнения (2.1) или (2.2):

= 125,84; (2.22)

= (2.23)

=(-12)*8,538084-11,688+240=125,85

На рис. 2.3 графически представлено решение уравнения (2.19).

Рис. 2.3 Пересечение кривых спроса и предложения

Как видно из рис. 2.3, только одна точка пересечения парабол находится в области определения функций спроса и предложения.

2. Определение эластичности спроса и предложения от цены

Адекватным математическим понятием, характеризующим связь между изменением цены на реализуемую продукцию и объемом продаж, является эластичность спроса от цены ED. Она определяется как отношение

ED = (Процентное изменение спроса) / (Процентное изменение цены). (2.24)

Исходя из определения (2.24), получаем рабочую формулу для расчета эластичности спроса от цены:

ED = , (2.25)

где Р и Q соответственно цена и спрос; Р и Q их абсолютные изменения. Часто располагают лишь двумя близкими значениями цены P1 и P2 и соответствующего им спроса. Тогда рассчитывают дуговую эластичность, которая, исходя из общей формулы (2.25), будет определяться как отношение

ED = , (2.26)

где Рср и Qср соответственно средние цена и спрос; Р и Q абсолютные изменения цены и спроса соответственно, рассчитываемые по простым формулам:

Рср = (P1 + P2)/2; Р = (P2 P1);

Qср = (Q1 + Q2)/2; Q = (Q2 Q1). (2.27)

Из теории дифференциального исчисления известно, что более адекватным понятием является так называемая точечная эластичность спроса от цены, определяемая по кривой спроса как

ED = , (2.28)

где скорость изменения спроса при изменении цены.

Аналогично, эластичность предложения от цены ES определяется как отношение

ES = (Процентное изменение предложения) / (Процентное изменение цены). (2.29)

В отличии от формулы (2.24), здесь вместо знака () перед отношением стоит знак (+), поскольку предложение с ростом цены увеличивается (спрос, напротив, уменьшается).

По аналогии, точечная эластичность предложения от цены определяется по кривой предложения как

ES = , (2.30)

где скорость изменения предложения при изменении цены.

Располагая функциями спроса и предложения в виде квадратичных функций (2.1) и (2.2), можно рассчитать значения эластичности ED и ES в точке равновесия.

Так как мы располагаем функциями спроса и предложения в виде зависимости P от Q, то по ним можно рассчитать производные в точке равновесия:

23,86; (2.31)

9,744. (2.32)

Обратные им производные соответственно равны:

1/23.86 = 0.0419;

1/(9.744) = 0.1026.

Подставляя в формулы (2.28) и (2.30) значения производных и равновесных Qbal = 2.186 и = 88.26, получаем:

ES (Qbal) = (88.26/2.186)*0.0419 = 1.69; (2.33)

ED (Qbal) = (88.26/2.186)*(0.1026) = 4.14. (2.34)

Итак, в точке рыночного равновесия эластичность предложения по цене составляет 1,69. Эластичность спроса по цене в точке рыночного равновесия еще выше 4,14.

3. Экономическая интерпретация результатов математического анализа функции одной переменной

Из полученных результатов можно заключить, что равновесная рыночная цена товара, определяемая соотношением спрос-предложение, устанавливается на уровне 88,26 денежных единиц, при этом равновесный спрос (предложение) составляет 2,186 единиц количества товара (услуг).

В точке равновесия рынка как спрос, так и предложение являются эластичными, так как относительному (процентному) изменению цены на 1% отвечает большее относительное изменение спроса (спрос уменьшается на 4,14%) и предложения (предложение увеличивается на 1,69%).

Это означает, что в данном случае предпринимателю не слишком выгодно увеличивать объем производства товара (услуг), поскольку покупатель будет достаточно остро реагировать на изменение цен. В то же время высокая эластичность спроса от цены означает, что имеются достаточные резервы потребительского рынка.

Для решения вопроса об увеличении производства необходим более глубокий экономический анализ, включающий изучение эластичности прибыли предпринимателя и денежных доходов потребителей.

Размещено на Allbest.ru