Размещено на http://www.allbest.ru/

Математический инструментарий статистического исследования зависимостей. Основные типы зависимостей между количественными переменными. Типовые задачи практики

Методы статистического исследования зависимостей составляют содержание отдельных частей многомерного статистического анализа, который можно определить как раздел математической статистики, посвященный построению оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистических данных типа , нацеленных в первую очередь на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака (X, У) и предназначенных для получения научных и практических выводов.

При этом среди p+m компонент исследуемого многомерного признака (X, Y) могут быть: количественные, т. е. скалярно измеряющие в определенной шкале степень проявления изучаемого свойства объекта (денежный доход и сбережения семьи, объем валовой продукции, численность работников на предприятии и т. п.); порядковые (или ординальные), т. е. позволяющие упорядочивать анализируемые объекты по степени проявления в них изучаемого свойства (уровень жилищных условий семьи, квалификационный разряд рабочего, уровень образования работника и т. п.); классификационные (или номинальные), т. е. позволяющие разбивать обследованную совокупность объектов на не поддающиеся упорядочиванию однородные (по анализируемому свойству) классы (профессия работника, мотив миграции семьи, отрасль промышленности и т. п.). Разделы многомерного статистического анализа, составляющие математический аппарат статистического исследования зависимостей, формировались и развивались с учетом специфики анализируемых моделей, обусловленной природой изучаемых переменных.

Математические методы и модели, используемые в задачах стохастического анализа и прогнозирования в бизнесе, могут относиться к самым различным разделам математики: к регрессионному анализу, анализу временных рядов, формированию и оцениванию экспертных мнений, имитационному моделированию, системам одновременных уравнений, дискриминантному анализу, аппарату логических решающих функций, дисперсионному или ковариационному анализу, анализу ранговых корреляций и таблиц сопряженности и т. д. Однако все они объединены тем, что представляют собой различные подходы к решению центральной проблемы многомерного статистического анализа и эконометрики - проблемы статистического исследования зависимостей, которая, как раз, и является базовой проблемой статистического анализа и прогнозирования в бизнесе.

Некоторые типовые задачи практики

Накопленный опыт практического использования аппарата статистического исследования зависимостей позволяет выделить те типы основных прикладных направлений исследований, в которых этот аппарат работает особенно часто и плодотворно. Если попытаться расщепить общую проблему оптимального управления сложной системой (т. е. центральную проблему кибернетики) на основные составляющие (рис. 1), то в качестве этих составляющих как раз и фигурируют именно те направления прикладных исследований, в разработке которых существенную роль играет математический аппарат статистического исследования зависимостей.

Рис. 1. Основные направления практического использования аппарата статистического исследования зависимостей и центральная проблема кибернетики

Естественность предложенного здесь расщепления общей проблемы оптимального управления сложной системой легко пояснить практически на любом примере принятия управленческого решения. Остановимся, скажем, на примере принятия управленческого решения руководителем производственного или учрежденческого подразделения при зачислении в штат нового сотрудника. Основываясь на знании необходимой информационной базы (в данном случае это целевые установки и возможности подразделения и основные сведения о принимаемом сотруднике), лицо, принимающее решение (ЛПР), должно последовательно проанализировать и решить следующие задачи:

а) определить нормативные требования к деятельности сотрудников, т. е. пронормировать их труд;

б) спрогнозировать возможности сотрудника и, сопоставив их с основными целевыми установками подразделения, спланировать его деятельность, включив ее в план общего фронта работ, выполняемых подразделением;

в) при прогнозировании потенциальных возможностей нового сотрудника (а в ряде случаев -- и при последующей оценке эффективности его деятельности) весьма существенным оказывается умение оценить ряд таких не поддающихся непосредственному измерению его качеств, как инициативность, творческая активность, дисциплинированность, трудолюбие, обязательность, «контактность» с другими членами коллектива и т. п;

г) в некоторых (особенно не производственных) областях деятельности человека оценка эффективности его работы (без которой невозможно оптимальное управление) сводится к весьма трудной задаче построения агрегированного показателя (латентного, т. е. скрытого, непосредственно не измеряемого) ее качества;

д) и наконец, опираясь на решение задач а)-г) и на возможность регулирования параметров (в данном случае стимулирующего и «штрафного» характера), от которых в определенной мере и в соответствии с некоторой, как правило, статистической закономерностью зависит уровень эффективности работы сотрудника, ЛПР осуществляет такую «настройку» значений этих параметров, которая обеспечивает, по возможности, оптимальный режим функционирования всей системы, т. е. вверенного ему подразделения .

Остановимся кратко на роли методов статистического исследования зависимостей в разработке каждого из упомянутых направлений.

Накопленный опыт практического использования аппарата статистического исследования зависимостей позволяет выделить те типы основных прикладных направлений исследований, в которых этот аппарат работает особенно часто и плодотворно.

Остановимся кратко на роли методов статистического исследования зависимостей в разработке каждого из следующих направлений.

I. Нормирование

Общая схема формирования нормативов с использованием методов статистического исследования зависимостей может быть представлена следующим образом. Нормативный показатель играет в моделях типа

з = f (x) + е (2.1)

роль результирующей (объясняемой) переменной у, а факторы, участвующие в расчете нормативного показателя, - роль объясняющих переменных x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p). Предполагается, что привлечение для расчета норматива у полной системы определяющих его факторов, т.е. такой системы, с помощью которой возможно детерминированное (однозначное) определение величины у, либо принципиально невозможно, либо нецелесообразно из-за чрезмерного усложнения расчетных формул. Поэтому анализируется связь между у и (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)) вида

y = f x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p); и) + е, (2.2)

где е - остаточная компонента, обуславливающая возможную погрешность в определении норматива y по известным значениям факторов X = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^T, а f (X; и) - функция их некоторого известного параметрического семейства F = { f (X; и)}, и Ђ A, однако численное значение входящего в ее уравнение параметра и неизвестно. Для подбора «подходящего» значения и проводится контрольный эксперимент (наблюдение), в результате которого исследователь получает исходные статистические данные.

Далее на основании этих данных проводится необходимый статистический анализ модели 2.2 с целью получения оценки и неизвестного параметра и анализа точности полученной расчетной формулы Y_cp (X) = f (X; и), в которой величина условной (экспериментальной) средней Y_cp (X) интерпретируется как средний нормативный показатель при значениях определяющих факторов, равных Х.

Данный подход использовался, в частности, при разработке методик численности служащих (по различным их функциям) на промышленном предприятии.

II. Прогноз, планирование, диагностика

Определим в качестве результирующей переменной у интересующий нас прогнозируемый (планируемый, диагностируемый) показатель, а в качестве объясняющих переменных x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p) -- сопутствующие факторы, значения которых содержат основную информацию о величине этого показателя. Наличие остаточной случайной компоненты е, как и прежде, отражает тот факт, что переменные x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p) содержат не всю информацию об у, и обусловливает неизбежность погрешности в определении прогнозируемого (планируемого, диагностируемого) показателя по известным значениям объясняющих факторов x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p). Исходные статистические данные вида (2.2) исследователь получает, регистрируя одновременно значения у и (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)) на анализируемых объектах в прошлом (в базовом периоде) или на других объектах, но однородных с анализируемыми.

III. Оценка труднодоступных для непосредственного наблюдения и измерения параметров системы

Восстановление возраста археологической находки по ряду косвенных признаков; прочности бетона с помощью косвенных (неразрушающих) методов контроля;денежных сбережений семьи по ее доходу (в среднедушевом исчислении) -- во всех этих ситуациях исследователь вынужден иметь дело с показателями, труднодоступными для непосредственного измерения. Очевидно, для того чтобы иметь принципиальную возможность статистически выявить связь, существующую между труднодоступным показателей у и косвенно связанными с ним, но легко поддающимися наблюдению и измерению признаками x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p), исследователю необходимо располагать исходными статистическими данными, которые получают с помощью специально организованного контрольного эксперимента или наблюдения. После того как эта связь выявлена (и оценена степень ее точности), она используется для косвенного определения значений труднодоступных показателей лишь по значениям объясняющих переменных x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p).

IV. Оценка эффективности функционировании (или качества) анализируемой системы

Пытаясь оценить (в целом) эффективность деятельности отдельного специалиста, подразделения или предприятия, проранжировать страны по некоторому интегральному качеству, мы каждый раз по существу решаем одну и ту же задачу: отправляясь в своем анализе от набора частных показателей x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p), каждый из которых может быть измерен и характеризует какую-нибудь одну частную сторону понятия «эффективность», мы их как бы взвешиваем и выходим на некоторый скалярный агрегированный показатель эффективности у. Этот показатель -- латентный (скрытый), так как он принципиально не поддается непосредственному измерению. Но он с некоторой точностью восстанавливается по значениям частных показателей эффективности x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p). Это значит, что между латентным агрегированный показателем у и набором частных критериев эффективности x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p) существует статистическая связь типа (2.2).

V. Оптимальное регулирование параметров функционирования анализируемой системы, ситуационный анализ

статистический зависимость кибернетика

Рассмотрим пример. При анализе производительности мартеновских печей на одном из заводов исследовалась, в частности, зависимость между производительностью в тонно/часах и процентным содержанием углерода в металле по расплавлении ванны (пробу брали через час после первого скачивания шлака). Очевидно, величины производительности (y_i) и процентного содержания углерода (x_i) подвержены некоторому неконтролируемому разбросу, обусловленному влиянием множества не поддающихся строгому учету и контролю факторов.

Другими словами, последовательность пар чисел (x_i, y_i), i = 1, 2, . . . , 130, представляет в данном случае результаты 130 независимых наблюдений двумерной случайной величины (о, з). Здесь просматривается вполне определенная закономерность зависимости условного среднего значения производительности y_cp (x) = E (з | о = x) от величины процентного содержания углерода х. Поэтому, мы можем дать рекомендации технологу по оптимальному (с точки зрения максимизации производительности) управлению процессом выплавки: поддерживать процентное содержание углерода в пределах 0,6-1,0 %.

Основные типы зависимостей между количественными переменными.

Зависимость между неслучайными переменными. В этом случае результирующий показатель у детерминировано (однозначно) восстанавливается по значениям неслучайных объясняющих переменных Х = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^Т, т. е. значения у зависят только от соответствующих значений Х и полностью ими определяются. Это - обычная схема чисто функциональной зависимости между неслучайными переменными, когда у является некоторой функцией от рпеременных Х (т. е. y = f (X)), что является вырожденным случаем зависимостей вида 2.2, когда остаточная случайная компонента е равна нулю (с вероятностью единица).

Регрессионная зависимость случайного результирующего показателя з от неслучайных объясняющих переменных Х. Природа такой связи может носить двойственный характера) регистрация результирующего показателя з неизбежно связана с некоторыми ошибками измерения е, в то время как предикторные (объясняющие) переменные Х = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^Т измеряются без ошибокб) значения результирующего показателя з зависят не только от соответствующих значений Х, но и еще от ряда неконтролируемых факторов, поэтому при каждом фиксированном значении Х' соответствующие значения результирующего показателя з (Х') = (з | X = X') неизбежно подвержены некоторому случайному разбросу.

В этом случае объясняющие переменные Х играют роль неслучайного параметра, от которого зависит закон распределения вероятностей (в частности, среднее значение и дисперсия) исследуемого результирующего показателя з. Удобной математической моделью такого рода является разложение вида

з (Х) = f (X) + е (X). (2.4)

Корреляционно-регрессионная зависимость между случайными векторами з - результирующим показателем и о - объясняющей переменной. Зависимости такого типа вообще характерны для описания хода технологических процессов, реальные значения параметров которых о = (о⁽¹⁾, о⁽²⁾, . . . , о^(р))^Т, равно как и характеризующие их результирующие показатели з = (з⁽¹⁾, з²⁾, . . . , з^(m))^Т, как правило, флюктуируют случайным (но взаимосвязанным) образом около установленных номиналов.

Зависимости структурного типа, или зависимости по схеме конфлюэнтного анализа. Конфлюэнтный анализ предоставляет совокупность методов математико-статистической обработки данных, относящихся к анализу априори постулируемых функциональных связей между количественными (случайными или неслучайными) переменными Y = (y⁽¹⁾, y⁽²⁾, . . . ,y^(m))^T и X = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^T в условиях, когда наблюдаются не сами переменные, а случайные величины

_, k = 1, 2, . . . , p; (2.5)

где и - случайные ошибки измерений соответственно переменных х^(k) и y⁽ⁱ⁾ в i-м наблюдении, a n - общее число наблюдений.

Подведем краткие итоги проделанной работы:

1. Аппарат статистического исследования зависимостей - составная часть многомерного статистического анализа - нацелен на решение основной проблемы естествознания: как на основании частных результатов статистического наблюдения за анализируемыми событиями или показателями выявить и описать существующие между ними стохастические взаимосвязи.

2. Центральным математическим объектом в процессе статистического исследования зависимостей является функция f(X).

3. К основным типовым задачам практики следует отнести задачи: 1) нормирования; 2) прогноза, планирования и диагностики; 3) оценки труднодоступных (для непосредственного наблюдения и измерения) характеристик исследуемой системы; 4) оценки эффективности функционирования (или качества) анализируемой системы; 5) регулирования параметров функционирования анализируемой системы.

4. По своей природе исследуемые зависимости могут быть разделены на: 1) детерминированные, когда исследуется функциональная зависимость между неслучайными переменными; 2) регрессионные, когда исследуется зависимость случайного результирующего показателя от неслучайных объясняющих переменных -- параметров системы; 3) корреляционные, когда исследуется зависимость между случайными переменными, причем объясняющие переменные могут быть измерены без искажений; 4) конфлюэнтные, когда исследуется функциональная зависимость между случайными или неслучайными переменными в ситуации, когда те и другие могут быть измерены только с некоторой случайной ошибкой.

Список литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Эконометрика. / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru