Статистической исследование финансовых результатов деятельности предприятий

Размещено на http://www.allbest.ru/

За отчетный период по предприятиям одной из корпораций (выборка 15%-ная, механическая) получены следующие данные:

п'п	Объем выручки от продаж, млн. руб.	Объем прибыли от продаж, млн. руб.	п п	Объем выручки от продаж, млн. руб.	Объем прибыли от продаж, млн. руб.
1	846	660	16	1917	966
2	963	606	17	1926	906
3	1206	720	18	1944	1014
4	1413	486	19	1962	894
5	1467	480	20	2070	1080
6	1503	684	21	2106	888
7	1557	966	22	2133	972
8	1557	540	23	2169	996
9	1593	1068	24	2232	1008
10	1611	642	25	405	1344
11	1800	750	26	2484	1026
12	1809	648	27	2610	1146
13	1845	798	28	2682	1320
14	1872	744	29	1503	684
15	1908	1206	30	1845	798

Задание 1

1. По первичным данным таблицы постройте статистический ряд распределения предприятий корпорации по признаку -- объем выручки от продажи, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Найдите моду и медиану построенного интервального ряда распределения графическим и расчетным методами.

3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания;

5. Найдите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Решение:

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	405	860.4
2	860.4	1315.8
3	1315.8	1771.2
4	1771.2	2226.6
5	2226.6	2682

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал.

Сортируем ряд по возрастанию

405	405 - 860.4	1
846	405 - 860.4	2
963	860.4 - 1315.8	1
1206	860.4 - 1315.8	2
1413	1315.8 - 1771.2	1
1467	1315.8 - 1771.2	2
1503	1315.8 - 1771.2	3
1503	1315.8 - 1771.2	4
1557	1315.8 - 1771.2	5
1557	1315.8 - 1771.2	6
1593	1315.8 - 1771.2	7
1611	1315.8 - 1771.2	8
1800	1771.2 - 2226.6	1
1809	1771.2 - 2226.6	2
1845	1771.2 - 2226.6	3
1845	1771.2 - 2226.6	4
1872	1771.2 - 2226.6	5
1908	1771.2 - 2226.6	6
1917	1771.2 - 2226.6	7
1926	1771.2 - 2226.6	8
1944	1771.2 - 2226.6	9
1962	1771.2 - 2226.6	10
2070	1771.2 - 2226.6	11
2106	1771.2 - 2226.6	12
2133	1771.2 - 2226.6	13
2169	1771.2 - 2226.6	14
2232	2226.6 - 2682	1
2484	2226.6 - 2682	2
2610	2226.6 - 2682	3
2682	2226.6 - 2682	4

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
405 - 860.4	1,2	2
860.4 - 1315.8	3,4	2
1315.8 - 1771.2	5,6,7,8,9,10,11,12	8
1771.2 - 2226.6	13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26	14
2226.6 - 2682	27,28,29,30	4

Таблица для расчета показателей

Группы	xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
405 - 860.4	632.7	2	1265.4	2	2307.36	2661955.08	0.0667
860.4 - 1315.8	1088.1	2	2176.2	4	1396.56	975189.92	0.0667
1315.8 - 1771.2	1543.5	8	12348	12	1943.04	471925.56	0.27
1771.2 - 2226.6	1998.9	14	27984.6	26	2975.28	632306.51	0.47
2226.6 - 2682	2454.3	4	9817.2	30	2671.68	1784468.51	0.13
Итого		30	53591.4		11293.92	6525845.57	1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f2 -частота, соответствующая модальному интервалу; f1 - предмодальная частота; f3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 1771.2, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 1941.98

Определение моды графическим способом

Медиана

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина -- больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана.

Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Медианным является интервал 1771.2 - 2226.6, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 1868.79

Определение медианы графическим методом

Показатели вариации.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).



Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1786.38 в среднем на 466.4. Оценка среднеквадратического отклонения.

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение. Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ? 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

x
405
846
963
1206
1413
1467
1503
1503
1557
1557
1593
1611
1800
1809
1845
1845
1872
1908
1917
1926
1944
1962
2070
2106
2133
2169
2232
2484
2610
2682
52938

Найдем простую среднюю арифметическую

Она отличается от средней 1786,6, т.к. средняя взвешенная учитывает структуру совокупности (средняя ближе к максимальной частоте).

Задание 2

Методом аналитической группировки установите наличие и характер связи между признаками объем выручки от продажи и выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами по факторному признаку.

Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Оцените статистическую значимость показателя силы связи. Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

Данные группируются по признаку-фактору. Затем по каждой группе рассчитывается среднее значение. Задача состоит в том, чтобы увидеть, есть связь между признаками или нет; прямая связь или обратная; линейная или нелинейная.

Тогда ширина интервала составит:

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал.

Сортируем ряд по возрастанию

480	480 - 652.8	1
486	480 - 652.8	2
540	480 - 652.8	3
606	480 - 652.8	4
642	480 - 652.8	5
648	480 - 652.8	6
660	652.8 - 825.6	1
684	652.8 - 825.6	2
684	652.8 - 825.6	3
720	652.8 - 825.6	4
744	652.8 - 825.6	5
750	652.8 - 825.6	6
798	652.8 - 825.6	7
798	652.8 - 825.6	8
888	825.6 - 998.4	1
894	825.6 - 998.4	2
906	825.6 - 998.4	3
966	825.6 - 998.4	4
966	825.6 - 998.4	5
972	825.6 - 998.4	6
996	825.6 - 998.4	7
1008	998.4 - 1171.2	1
1014	998.4 - 1171.2	2
1026	998.4 - 1171.2	3
1068	998.4 - 1171.2	4
1080	998.4 - 1171.2	5
1146	998.4 - 1171.2	6
1206	1171.2 - 1344	1
1320	1171.2 - 1344	2
1344	1171.2 - 1344	3

Аналитическая группировка

Группы	№	Кол-во, nj	?X	Xcp = ?Xj / nj	?Y	Ycp = ?Yj / nj
480 - 652.8	1,2,3,4,5,6	6	3402	567	8820	1470
652.8 - 825.6	7,8,9,10,11,12,13,14	8	5838	729.75	12420	1552.5
825.6 - 998.4	15,16,17,18,19,20,21	7	6588	941.14	13770	1967.14
998.4 - 1171.2	22,23,24,25,26,27	6	6342	1057	12933	2155.5
1171.2 - 1344	28,29,30	3	3870	1290	4995	1665
Итого		30	26040		52938

По аналитической группировке измеряют связь при помощи эмпирического корреляционного отношения. Оно основано на правиле разложения дисперсии: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

1. Находим средние значения каждой группы.



Общее средние значение для всей совокупности:

2. Дисперсия внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучением). Эта дисперсия называется остаточной:

Расчет для группы: 480 - 652.8 (1,2,3,4,5,6)

yj	(yj - yср)2	Результат
1467	(1467 - 1470)2	9
1413	(1413 - 1470)2	3249
1557	(1557 - 1470)2	7569
963	(963 - 1470)2	257049
1611	(1611 - 1470)2	19881
1809	(1809 - 1470)2	114921
Итого		402678

Определим групповую (частную) дисперсию для 1-ой группы:

Расчет для группы: 652.8 - 825.6 (7,8,9,10,11,12,13,14)

yj	(yj - yср)2	Результат
846	(846 - 1552.5)2	499142.25
1503	(1503 - 1552.5)2	2450.25
1503	(1503 - 1552.5)2	2450.25
1206	(1206 - 1552.5)2	120062.25
1872	(1872 - 1552.5)2	102080.25
1800	(1800 - 1552.5)2	61256.25
1845	(1845 - 1552.5)2	85556.25
1845	(1845 - 1552.5)2	85556.25
Итого		958554

Определим групповую (частную) дисперсию для 2-ой группы:

Расчет для группы: 825.6 - 998.4 (15,16,17,18,19,20,21)

yj	(yj - yср)2	Результат
2106	(2106 - 1967.14)2	19281.31
1962	(1962 - 1967.14)2	26.45
1926	(1926 - 1967.14)2	1692.73
1557	(1557 - 1967.14)2	168217.16
1917	(1917 - 1967.14)2	2514.31
2133	(2133 - 1967.14)2	27508.59
2169	(2169 - 1967.14)2	40746.31
Итого		259986.86

Определим групповую (частную) дисперсию для 3-ой группы:



Расчет для группы: 998.4 - 1171.2 (22,23,24,25,26,27)

yj	(yj - yср)2	Результат
2232	(2232 - 2155.5)2	5852.25
1944	(1944 - 2155.5)2	44732.25
2484	(2484 - 2155.5)2	107912.25
1593	(1593 - 2155.5)2	316406.25
2070	(2070 - 2155.5)2	7310.25
2610	(2610 - 2155.5)2	206570.25
Итого		688783.5

Определим групповую (частную) дисперсию для 4-ой группы:

Расчет для группы: 1171.2 - 1344 (28,29,30)

yj	(yj - yср)2	Результат
1908	(1908 - 1665)2	59049
2682	(2682 - 1665)2	1034289
405	(405 - 1665)2	1587600
Итого		2680938

Определим групповую (частную) дисперсию для 5-ой группы:

3. Внутригрупповые дисперсии объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:



Средняя из частных дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора, она называется факторной

?2 = ((1470-1764.6)2*6 + (1552.5-1764.6)2*8 + (1967.14-1764.6)2*7 + (2155.5-1764.6)2*6 + (1665-1764.6)2*3)/30 = 70478.96

Определяем общую дисперсию по всей совокупности, используя правило сложения дисперсий:

?2 = 166364.68 + 70478.96 = 236843.64

Проверим этот вывод путем расчета общей дисперсии обычным способом:

yi	(yi - yср)2	Результат
1467	(1467 - 1764.6)2	88565.76
1413	(1413 - 1764.6)2	123622.56
1557	(1557 - 1764.6)2	43097.76
963	(963 - 1764.6)2	642562.56
1611	(1611 - 1764.6)2	23592.96
1809	(1809 - 1764.6)2	1971.36
846	(846 - 1764.6)2	843825.96
1503	(1503 - 1764.6)2	68434.56
1503	(1503 - 1764.6)2	68434.56
1206	(1206 - 1764.6)2	312033.96
1872	(1872 - 1764.6)2	11534.76
1800	(1800 - 1764.6)2	1253.16
1845	(1845 - 1764.6)2	6464.16
1845	(1845 - 1764.6)2	6464.16
2106	(2106 - 1764.6)2	116553.96
1962	(1962 - 1764.6)2	38966.76
1926	(1926 - 1764.6)2	26049.96
1557	(1557 - 1764.6)2	43097.76
1917	(1917 - 1764.6)2	23225.76
2133	(2133 - 1764.6)2	135718.56
2169	(2169 - 1764.6)2	163539.36
2232	(2232 - 1764.6)2	218462.76
1944	(1944 - 1764.6)2	32184.36
2484	(2484 - 1764.6)2	517536.36
1593	(1593 - 1764.6)2	29446.56
2070	(2070 - 1764.6)2	93269.16
2610	(2610 - 1764.6)2	714701.16
1908	(1908 - 1764.6)2	20563.56
2682	(2682 - 1764.6)2	841622.76
405	(405 - 1764.6)2	1848512.16
Итого		7105309.2

Эмпирическое корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. Это отношение факторной дисперсии к общей дисперсии:

Определяем эмпирическое корреляционное отношение:



Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < ? < 0.3: слабая;

0.3 < ? < 0.5: умеренная;

0.5 < ? < 0.7: заметная;

0.7 < ? < 0.9: высокая;

0.9 < ? < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X заметна

Для того чтобы при уровне значимости ? проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции (эмпирическое корреляционное отношение) нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ? 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит -- нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости ?=0.05 и степенями свободы k=28 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;?/2) = (28;0.025) = 2.048

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

Коэффициент детерминации.

Определим коэффициент детерминации:

Таким образом, на 29.76% вариация обусловлена различиями между признаками, а на 70.24% - другими факторами.

Другими словами связь между прибылью и выручкой не значительная.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0.954 определите:

1. ошибку выборки объема выручки от продаж и границы, в которых будет находиться объем выручки от продаж для генеральной совокупности предприятий:

2. ошибку выборки доли объема выручки от продаж 1765 млн. руб. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

Доверительный интервал для генерального среднего.

или

где d - процент выборки.

В этом случае 2Ф(tkp) = ?

Ф(tkp) = ?/2 = 0.954/2 = 0.477

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.477

tkp(?) = (0.477) = 2

(1786.38 - 159.7;1786.38 + 159.7) = (1626.68;1946.08)

С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).

Доверительный интервал для генеральной доли.

(p* - ? ; p* + ?)

В этом случае 2Ф(tkp) = ?

Ф(tkp) = ?/2 = 0.954/2 = 0.477

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.477

tkp(?) = (0.477) = 2

Группы	Доля i-ой группы fi / ?f
405 - 860.4	0.0667
860.4 - 1315.8	0.0667
1315.8 - 1771.2	0.27
1771.2 - 2226.6	0.47
2226.6 - 2682	0.13
Итого

Значение 1765 млн. руб. находится в интервале [1315.8 - 1771.2], что соответствует доле 0.27.

С вероятностью 0.954 при большем объеме выборке эта доли будут находиться в заданном интервале [0,19; 0,34].

Задание 4

Производство молока за три года составило (тыс. т):

Месяц	Годы	Месяц	Голы
	1-й	2-й	3-й		1-й	2-й	3-й
Январь	1944	1 885	1 823	Июль	3 870	3 640	3 498
Февраль	1967	1909	1 811	Август	3 537	3 351	3 233
Март	2 394	2 308	2 210	Сентябрь	2 907	2 777	2 711
Апрель	3 027	2 912	2 791	Октябрь	2 358	2 241	2 255
Май	3 502	3 375	3 241	Ноябрь	1 783	1716	1 737
Июнь	3 903	3 717	3 573	Декабрь	1 848	1 785	1810

Для анализа сезонности предложения молока по региону:

· рассчитайте индексы сезонности методом простой средней:

· постройте график сезонной волны;

· осуществите прогноз предложения молока по месяцам в 4-м году, используя индексы сезонности и исходя из того, что общий объем производства молока в 4-м году ожидается увеличить на 50 тыс. тонн по сравнению с 3-м годом.

Решение:

Индекс сезонности рассчитывается:

где yt -- средний месячный уровень показателя за три и более года,

yc -- среднемесячное за все годы значение показателя.

Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда.

Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100%. Если индекс сезонности превышает 100% -- это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда. Если индекс сезонности меньше 100% -- то сезонный фактор вызывает снижение уровней динамического ряда.

Определим наличие сезонных колебаний для динамического ряда.

Период	1	2	3		?сез	?отн,%	Iсез, %
Январь	1944	1885	1823	1884	-764.58	-28.87	71.13
Февраль	1967	1909	1811	1895.67	-752.92	-28.43	71.57
Март	2394	2308	2210	2304	-344.58	-13.01	86.99
Апрель	3027	2912	2791	2910	261.42	9.87	109.87
Май	3502	3375	3241	3372.67	724.08	27.34	127.34
Июнь	3903	3717	3573	3731	1082.42	40.87	140.87
Июль	3870	3640	3498	3669.33	1020.75	38.54	138.54
Август	3537	3351	3233	3373.67	725.08	27.38	127.38
Сентябрь	2907	2777	2711	2798.33	149.75	5.65	105.65
Октябрь	2358	2241	2255	2284.67	-363.92	-13.74	86.26
Ноябрь	1783	1716	1737	1745.33	-903.25	-34.1	65.9
Декабрь	1848	1785	1810	1814.33	-834.25	-31.5	68.5
				2648.58

статистический выручка продажа вариация

Прогнозирование

Объем производства в 3-м году: 30 693 тыс. т. За 4-й год объем должен составить 30 693+50 000 = 80 693 (или 6724,417 тыс. т ежемесячно)

Период	4	Iсез, %	Прогноз
Январь	6724,417	71,13	4783,08
Февраль	6724,417	71,57	4812,67
Март	6724,417	86,99	5849,57
Апрель	6724,417	109,87	7388,12
Май	6724,417	127,34	8562,87
Июнь	6724,417	140,87	9472,69
Июль	6724,417	138,54	9316,01
Август	6724,417	127,38	8565,56
Сентябрь	6724,417	105,65	7104,35
Октябрь	6724,417	86,26	5800,48
Ноябрь	6724,417	65,9	4431,39
Декабрь	6724,417	68,5	4606,23
			80 693

Размещено на Allbest.ru

...