Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования республики Беларусь

УО

Белорусский государственный экономический университет

Кафедра статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Теория статистики

на тему:

Корреляционно-регрессионный анализ уровней временных рядов

Студентка Е.А. Бернацкая

УЭФ, 2-й курс, ДЭС-1

Руководитель, д.э.н.

профессор М.М. Новик

МИНСК - 2013



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Уровни временного ряда и их характеристика

1.1 Основные элементы временного ряда. Приведение уровня временного ряда к сопоставимому виду

1.2 Автокорреляция уровней временного ряда

2. Моделирование тенденции временного ряда

2.1 Методы выявления основной тенденции временного ряда

2.2 Методы исключения тенденций

3. Статистические методы изучения взаимосвязей временных рядов

3.1 Специфика статистического изучения взаимосвязи временных рядов

3.2 Статистическая оценка автокорреляции в остатках

Заключение

Список использованных источников



ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.д. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода в течение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.

На практике экономист весьма часто сталкивается с тем, что исходные данные, которыми он располагает для выявления той или иной закономерности, представлены в виде временных (динамических) рядов. Такие ряды описывают изменение некоторой характеристики во времени.

Большинство явлений и процессов в экономике находятся в постоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи. Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет большую роль в экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.

В первой главе отражена общая характеристика уровней временного ряда, во второй главе описаны меты моделирования основной тенденции временного ряда, а в третьей проведены расчеты по исследованию зависимости между выбранными показателями.

Корреляционно-регрессионный анализ содержит две составляющие части: корреляционный анализ и регрессионный анализ.

Корреляционный анализ -- это количественный метод определения тесноты и направления взаимосвязи между выборочными переменными величинами. Регрессионный анализ -- это количественный метод определения вида математической функции в причинно-следственной зависимости между переменными величинами. Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х).

В качестве целей данной работы выступают:

1. Закрепление, углубление и расширение теоретических знаний по проведению корреляционно-регрессионного анализа уровней временных рядов.

2. применение теоретических знаний на практике.

Основной задачей данной работы является проведение корреляционно-регрессионного анализа, а именно:

1. обнаружение зависимости в фактическом материале и установление формы связи;

2. проверка на автокорреляцию в остатках;

3. проверка адекватности модели;

4. интерпретация полученных результатов.

Для расчетов всех критериев и коэффициентов, при проведении корреляционно-регрессионного анализа уровней временных рядов, использовались данные из статистического сборника «Сельское хозяйство Республики Беларусь 2012 год».



1. Уровни временного ряда и их характеристика

1.1Основные элементы временного ряда. Приведение уровня временного ряда к сопоставимому виду

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Временной ряд называется моментным рядом, если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.

Временной ряд называется интервальным рядом, если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.

Временной ряд называется производным рядом, если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).

Показатели временных рядов формируются под совокупным влиянием множества длительно и кратковременно действующих факторов и, в том числе, различного рода случайностей.

Временные ряды могут содержать два вида компонент - систематическую и случайную составляющие. Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.

Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:

· тренд;

· сезонность;

· цикличность.

Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.

Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.

Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.

Систематические составляющие характеризуются тем, что они могут одновременно присутствовать во временном ряду.

Случайной составляющей называется случайный шум или ошибка, которая воздействует на временной ряд нерегулярно.

К основным причинам, по которым возникает случайный шум, относят факторы резкого и внезапного действия, а также действия текущих факторов.

Катастрофическими колебаниями называется случайный шум, в основе возникновения которого лежат факторы резкого и внезапного действия.

Шум, в основе возникновения которого лежит действие текущих факторов, может быть связан также с ошибками наблюдений.

Отдельный уровень временного ряда обозначается как. Его можно представить в виде функции от основных компонент временного ряда следующим образом:

=(1.1)

где T - это трендовая компонента,

S - это сезонная компонента,

C - это циклическая компонента,

е - случайный шум.

Существует несколько основных моделей временных рядов, к которым относятся:

1. аддитивная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой слагаемые:



=+++; (1.2)

2. мультипликативная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой сомножители:

=ЧЧЧ; (1.3)

3. комбинированная модель временного ряда:

=ЧЧ+. (1.4)

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.

Несопоставимость уровней ряда динамики может быть по следующим причинам:

- Изменение единиц измерения или единиц счета. Нельзя, например, сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы цифры даны в погонных метрах, а за другие - в квадратных метрах.

- Изменение методологии учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие - с убранной, то такие уровни будут несопоставимы.

- Отсутствие периодизация динамики: научный подход к изучению рядов динамики заключается в выделении однородных этапов развития рядов динамики.

- Отсутствие у интервалов или моментов, по которым определены уровни, одинакового экономического смысла.

- Отсутствие наличия равных интервалов, по которым даны уровни: нельзя сравнивать квартальную продукцию с годовой.

- Отсутствие равенства круга охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое.

- Изменение территориальных границ областей, районов и т.д.

Для того чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Смыкание рядов динамики.

Изучим смыкание рядов динамики напримере условных данных:

До 2007 года в производственное объединение входили два предприятия. В 2007 г в него влилось еще одно предприятие. Показать изменение товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг., используя следующие данные:

Таблица 1.1

Выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

Год	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Выпуск товарной продукции, млн. руб.	320	328	336	340
Выпуск товарной продукции, млн. руб.				432	358	302

Уровни имеющихся двух рядов несопоставимы, так как исчислены в разных территориальных границах. Чтобы уровни обоих рядов были сопоставимы, пересчитаем данные 2004-2006 гг. для новых территориальных границ. Для этого на основе данных об объёме товарной продукции за 2007 год в старых и новых территориальных границах находим соотношение между ними.

Умножая на полученный коэффициент данные за 2004-2006 гг., приводим их таким образом в сопоставимый вид с последующими уровнями

Применив этот способ, получим ряд динамики, характеризующий объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.:

Таблица 1.2

Объём товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

Год	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Выпуск товарной продукции, млн. руб.	406,4	416,6	426,7	432,0	458,0	502,3

По полученным данным видно, как изменяется выпуск товарной продукции по объединению за 2004-2009 гг.

Приведение рядов динамики к одному основанию.

Проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, территориальных и административных районов или же социально-экономических явлений. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, т.е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения (за 1 или 100%), а все остальные уровни выражаются в форме коэффициентов или процентов по отношению к нему.

Рассмотрим приведение рядов динамики одному основанию на примере:

Имеются данные о производстве чугуна в Беларуси и России за 2005 - 2011 гг.

Таблица 1.3

Производство чугунного литья за 2005-2011 гг., тысяч тонн.

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Беларусь	270	301	346	366	276	303	359
Россия	49175	52362	51515	48275	44021	48000	48000

Приведём абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения уровней каждого ряда с уровнем 2002 года.

Беларусь:

=

= 132,9%

Россия:

=

= 97,6%

Получаем следующие данные, в % к уровню 2005 г.:

Таблица 1.4

Производство чугуна за 2005-2011 гг.

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Беларусь	100,0	111,4	128,1	135,5	102,2	112,2	132,9
Россия	100,0	106,4	104,7	98,1	89,5	97,6	97,6

В относительных величинах, выраженных в базисных темпах роста по каждой стране, несопоставимость уровней рядов нивелируется, и характер развития явлений выступает наглядно.

Таким образом, основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений рада или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

1.2 Автокорреляция уровней временного ряда

Для начала следует дать определение термину автокорреляция. Наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического ряда в статистической литературе называют автокорреляцией.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить следующие:

· Ошибки спецификации. Отсутствие учета в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости, обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

· Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

· Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на эту продукцию снизится и т.д.

· Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подинтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции .

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня рада зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Сдвинутые на несколько шагов во времени уровни временного ряда можно увидеть в таблице 1.5:

Таблица 1.5

Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда урожайности зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь за 2001-2012 гг.

№	Год	Урожайность зерновых и зернобобовых культур, центнеров с одного гектара (y)
1	2001	19.9	-
2	2002	24.7	19.9
3	2003	24.2	24.7
4	2004	29.6	24.2
5	2005	28.1	29.6
6	2006	24.9	28.1
7	2007	28.5	24.9
8	2008	35.2	28.5
9	2009	33.3	35.2
10	2010	27.7	33.3
11	2011	32.2	27.7
12	2012	34.4	2.2

Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид:

(1.1)

В качестве переменной х мы рассмотрим ряд,…,; в качестве переменной у - ряд,…. Тогда приведенная выше формула примет вид:

=, (1.2)

где; (1.3)

=. (1.4)

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t - 1, т. е. при лаге 1.

Полученное значение будет свидетельствовать о зависимости между последовательными уровнями временного ряда, следовательно, о наличии во временном урожайности зерновых и зернобобовых культур тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями рядаии определяется по формуле:

(1.5)

где; (1.6)

=(1.7)

Полученные результаты еще раз подтверждают вывод о том, что урожайности зерновых и зернобобовых культур содержит тенденцию. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше n/4».

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

· Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

· Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка r, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в r моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты Т и циклической (сезонной) компоненты S.

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда.

Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции второго порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом, равным двум периодам времени, т.е. имеет пилообразную структуру.

статистический автокорреляция тенденция временный ряд



2. Моделирование тенденции временного ряда

2.1 Методы выявления основной тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

*линейный тренд

; (2.1)

* гипербола

; (2.2)

* экспоненциальный тренд

(2.3)

* парабола второго и более высоких порядков

…+(2.4)

Параметры аналитического уравнения выбранного вида кривой находят, используя метод наименьших квадратов. При этом предполагается, что сумма квадратов отклонений фактических уровнейот выровненных, т.е. расположенных на искомой линии, должна быть минимальной:

(2.5)

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой (2.1), т.е. по линейной функции:

=, (2.6)

где t - условное обозначение времени;- параметры искомой прямой.

Выравнивание по прямой применяется в тех случаях, когда характер движения изучаемого явления ближе всего к прямолинейному.

Параметрынаходятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

, (2.7)

Где y - фактические уровни ряда динамики; n - число уровней ряда; t - соответствующая нумерация фактора времени.

Эта система уравнений значительно упрощается, если значения времени подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю. Тогда:

;(2.8); (2.9)

Если число уровней в ряду динамики четное, то условные обозначения времени t как в таблице 2.1

Аналитическое уравнение, полученное в результате произведенных расчетов, представляет собой математическую модель развития изучаемого явления и выражает статистическую закономерность, проявляющуюся в анализируемом ряду динамики.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения общей тенденции на примере данных об урожайности зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь за 2001-2012 гг. (см. таблицу 1.5)

Таблица 2.1

Расчет алгебраических расширений для решения системы (2.7) на примере урожайности зерновых и зернобобовых культур

Годы	Эмпирический уровень ряда (y)	Условное обозначение времени (t)		yt
1	2	3	4	5	6
2001	19,9	-11	121	-218,9	22,893
2002	24,7	-9	81	-222,3	23,923
2003	24,2	-7	49	-169,4	24,953
2004	29,6	-5	25	-148	25,983
2005	28,1	-3	9	-84,3	27,013
2006	24,9	-1	1	-24,9	28,043
2007	28,5	1	1	28,5	29,073
2008	35,2	3	9	105,6	30,103
2009	33,3	5	25	166,5	31,133
2010	27,7	7	49	193,9	32,163
2011	32,2	9	81	289,8	33,193
2012	34,4	11	121	378,4	34,223
Всего	342,7	0	572	294,9	342,7

Теперь определим параметры уравнения :

== 28.558

=== 0.515

Так как0, то происходит возрастание уровней ряда при изменении фактора времени.

Уравнение Тренда:

0.515t

Проверка правильности расчетов исходит из условия, что ?y=?. В нашем случае 342.7=342.7.

Эмпирические коэффициенты трендаиявляются лишь оценками теоретических коэффициентов, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Коэффициент тренда= 0.515 показывает среднее изменение результативного показателя с изменением периода времени t на единицу его измерения (год). В данном примере с увеличением t (времени) на 1 год, y (урожайность зерновых и зернобобовых культур) увеличится в среднем на 0,515.

Рисунок 1 - Аналитическое выравнивание урожайности зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь за 2001-2012 гг., где ряд 1 - y (урожайность), а ряд 2 - выровненные значения по фактору времени

2.2 Методы исключения тенденции

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исклю­чения тенденции можно разделить на две группы:

· методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда.

Два основных метода в данной группе -- это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;

· методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из перечисленных выше методов. Начнем с метода отклонений от тренда.

Пусть имеются два временных рядаикаждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту ?. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты Т каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от трендаипри условии, что последние не содержат тенденции.

r=, (2.9)

где- соответственно теоретические значения уравнений факторного и результативногопризнаков.

Следующий метод исключения тенденций это - это метод последовательных разностей. В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод -- метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями). Пусть:

+;= a + bt (2.10)

Тогда:

=-= a + bt +(a + b(t - 1) += b + (

Коэффициент b -- константа, которая не зависит от времени.

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (2.10), однако

(2.11)

Тогда:

=-(a + b(t - 1) += b + (

(2.12)

Как показывает это соотношение, первые разности, непосредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию.

Определим вторые разности:

==-

=(2.13)

Очевидно, что вторые разности, не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Далее рассмотрим включение в модель регрессии фактора времени. В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида+относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной. Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения y_t и х_t есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

Таким образом, сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Выше мы рассмотрели методику применения, преимущества и недостатки каждого из методов.



3. Статистические методы изучения взаимосвязей временных рядов

3.1 Специфика статистического изучения взаимосвязи временных рядов

При анализе рядов динамики возникает необходимость исследования взаимосвязи между признаками. Нужно проявлять особую осторожность при использовании для этого традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа. Дело в том, что эти взаимосвязи характеризуются существенной спецификой и для адекватного исследования их имеются специальные методы, учитывающие эту специфику взаимосвязи. На предварительном этапе анализа исследуется наличие в исходных данных циклических или сезонных колебаний. Если такие компоненты имеются, то до проведения дальнейшего исследования взаимосвязи следует устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней ряда. Это необходимо поскольку наличие таких компонент приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых рядов динамики, когда оба ряда содержат циклические компоненты одинаковой периодичности. Если же сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний этих рядов различна, соответствующие показатели будут занижены.

Вследствие автокорреляции наличие синхронных колебаний (тенденций) развития уровней показателей может быть истолковано как наличие связи между ними.

Поэтому исследование рядов динамики всегда начинается с определения коэффициента автокорреляции (формула 1.1)

Рассчитанные коэффициенты автокорреляции оцениваются на вероятностную надежность с помощью критерия t -Стьюдента. Если фактическая величина критерия t больше табличного, то автокорреляция имеет место и расчет показателей тесноты связи можно осуществить по одному из специальных способов:

1) Коррелирование отклонений от трендов;

2) Коррелирование абсолютных разностей.

3.2 Статистическая оценка автокорреляции в остатках

Важной проблемой, примыкающей к рассмотренным темам, является автокорреляция в остатках. Дело в том, что последовательность остатков может рассматриваться как временной ряд. Тогда возникает возможность построения зависимости этой последовательности остатков от времени. Согласно предпосылкам адекватности применения МНК, сами остатки должны быть случайными. В моделировании рядов динамики весьма распространена ситуация. Когда остатки содержат тренд или циклические колебания. В этом случае каждое последующее значение остатков зависит от предшествующих, что и свидетельствует об автокорреляции остатков.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t.

3. модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

4. неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках - это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

DW=(3.1)

Рассмотрим определение автокорреляции в остатках на примере (см. таблицу 3.1): Имеются следующие данные об урожайности зерновых и зернобобовых культур Республики Беларусь и количество минеральных удобрений внесенных под их посевы за 2004-2011.

Таблица 3.1

Урожайность зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь и количество минеральных удобрений внесенных под их посевы за 2004 - 2011 гг.

Год	Количество минеральных удобрений внесенных под зерновые и зернобобовые культуры, ц/га	Урожайность зерновых и зернобобовых культур, ц/га
2004	1,83	29,6
2005	2,13	28,1
2006	2,59	24,9
2007	2,54	28,5
2008	2,53	35,2
2009	2,87	33,3
2010	2,93	27,7
2011	3,13	32,2
Всего	20,55	239,5

Составим уравнение регрессии:

=+х, (3.2)

Где - средние значения результативного признака, при определенном значении факторного признака;

- свободный член уравнения;

- коэффициент регрессии, показывающий увеличение в среднем урожайности зерновых и зернобобовых культур при изменении Количество минеральных удобрений внесенных под зерновые и зернобобовые культуры на единицу своего измерения.

В результате математических преобразований получаем след. формулы:

+= (3.3)

= (3.4)

= (3.5)

Используя для расчетов параметров линейного уравнения регрессии эти формулы и расчетные данные из таблицы 3.1, я получила:

=2,568

= 29,9375

= 77,0595

Ч= 76,8795

= 6,758

= 6,594

Отсюда:27,13;=

Также эти параметры были рассчитаны в статистическом пакете СЭМП Уравнение регрессии:

1,09x

Далее приведены необходимые расчеты для вычисления критерия Дарбина-Уотсона:

Таблица 3.2

Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости урожайности от минеральных удобрений

№
1	29,124	0,476	-	0,226576	-	-
2	29,45	-1,35	0,476	1,8225	-1,826	3,334276
3	29,95	-5,05	-1,35	25,5025	-3,7	13,69
4	29,898	-1,398	-5,05	1,954404	3,652	13,337104
5	29,887	5,313	1,398	28,22797	6,711	45,037521
6	30,258	3,042	5,313	9,253764	-2,271	5,157441
7	30,3237	-2,624	3,042	6,883802	-5,6657	32,1001565
8	30,3539	1,8461	2,6237	3,408085	4,4698	19,979112
Всего	239,2446	0,2554	-1,5907	77,2796	1,3701	132,635611

По формуле (3.1) рассчитаем DW == 1.835

По таблице критических точек, при n = 8, dL = 0.76,

dU = 1.33, фактически найденное DW= 1.835не попадает в интервал, следовательно гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках подтверждается.

Теперь проверим коэффициент корреляции на статистическую зависимость по критерию Стьюдента. Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции:

= (3.6)

=0.11

Вычислим критерий существенности коэффициента корреляции:



= (3.7)

= 0.332

== 0.331

=0.05

d.f.=6

= 2,45

Исходя из расчетов сделаем вывод:

Поскольку?, то существенность связи между факторным и результативным признаками статистически отвергается. Теперь рассмотрим определение автокорреляции в остатках на примере б):

Имеются следующие данные об урожайности зерновых и зернобобовых культур Республики Беларусь и количество органических удобрений внесенных под их посевы за 2004-2011 гг. (см. таблицу 3.3)

Используя для расчетов параметров линейного уравнения регрессии эти формулы и расчетные данные из таблицы 3.3, я получила:

=32, = 29.9, = 976.75, Ч= 956.8, = 1182.5, = 1024

Отсюда:

25,868;=

Таблица 3.3

Урожайность зерновых и зернобобовых культур в Республике Беларусь и количество органических удобрений внесенных под их посевы за 2004-2011 гг.

Год	Количество органических удобрений внесенных под зерновые и зернобобовые культуры, ц/га, (x)	Урожайность зерновых и зернобобовых культур, ц/га, (y)
2004	16	29,6
2005	20	28,1
2006	21	24,9
2007	28	28,5
2008	35	35,2
2009	37	33,3
2010	43	27,7
2011	56	32,2
Всего	256	239,5

Также параметры уравнения регрессии были рассчитаны с помощью статистического пакета СЭМП (см. приложение В)

Уравнение регрессии:

0,126x

Далее произведем расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости урожайности от органических удобрений (см. таблицу 3.4)

По формуле (3.1) рассчитаем DW == 1.627

По таблице критических точек (приложение Б), при n = 8, dL = 0.76,

dU = 1.33, фактически найденное DW = 1.627не попадает в интервал, следовательно гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках подтверждается.

Таблица 3.4

Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости урожайности от органических удобрений

№
1	27,884	1,716	-	2,944656	-	-
2	32,388	-4,288	1,716	18,386944	-6,004	36,04802
3	28,514	-3,614	-4,288	13,060996	0,674	0,454276
4	29,396	-0,896	-3,614	0,802816	2,718	7,387524
5	30,278	4,922	-0,896	24,226084	5,818	33,84912
6	30,53	2,77	4,922	7,6729	-2,152	4,631104
7	31,286	-3,586	2,77	12,859396	-6,356	40,39874
8	32,924	-0,724	-3,586	0,524176	2,862	8,191044
Всего	243,2	-3,7	-2,976	80,47797	-2,44	130,9598

Теперь проверим коэффициент корреляции на статистическую зависимость по критерию Стьюдента. Рассчитаем величину линейного коэффициента корреляции:

По формуле (3.6)=0.012

Вычислим критерий существенности коэффициента корреляции:

По формуле (3.7)= 0,378

== 0.031

=0.05

d.f.=6

= 2,45

Исходя из расчетов сделаем вывод:

Поскольку?, то существенность связи между факторным и результативным признаками статистически отвергается.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе был проведён корреляционно-регрессионный ан...