Классификация рядов динамики, правила их построения

Таблица. Число жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января

График ряда динамики числа жителей России в 2004-2009 гг. в млн.чел, на 1 января

2. Аналитические показатели изменения уровней ряда динамики

К индивидуальным показателям интенсивности изменения явления относятся:

- абсолютный прирост Дyi ;

- темп роста Ti (коэффициент роста Ki );

- темп прироста Ti' (коэффициент прироста Ki' );

- абсолютное значение одного процента прироста Ai ;

Первые три из перечисленных характеристик можно рассчитать двумя способами в зависимости от применяемой базы сравнения. База сравнения может быть постоянной или переменной. Соответственно, можно рассчитать базисные или цепные характеристики динамического ряда. Абсолютный прирост Дyi характеризует размер увеличения (уменьшения) уровня ряда по сравнению с выбранной базой:

* цепной абсолютный прирост показывает, на сколько изменилось значение данного уровня по сравнению с предыдущим, то есть приращение уровня по сравнению с предыдущим:

yцi = yi ? yi?1

* базисный абсолютный прирост показывает, насколько изменилось значение данного уровня по сравнению с исходным (начальным) уровнем:

yбi = yi ? y1

y1 - начальный уровень ряда.

Между базисными и цепными абсолютными приростами существует взаимосвязь: сумма всех цепных абсолютных приростов равна базисному приросту конечного уровня:

где yn - конечный уровень ряда.

Коэффициент роста (относительный прирост) характеризует интенсивность изменения уровней ряда (скорость изменения уровней). Он показывает, во сколько раз уровень данного периода выше или ниже базисного уровня. Этот показатель как относительная величина, выраженная в долях единицы, называется коэффициентом (индексом) роста; выраженная в процентах, называется темпом роста.

* Цепной коэффициент роста показывает, во сколько раз текущий уровень выше или ниже предыдущего:

* Базисный коэффициент роста показывает, во сколько раз текущий уровень выше или ниже начального уровня:

Между базисными и цепными темпами (коэффициентами) роста имеется зависимость: произведения последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь промежуток времени:

а частное от деления текущего базисного коэффициента роста на предыдущий базисный коэффициент роста равно текущему цепному коэффициенту роста:

Коэффициент роста всегда есть положительная величина, область его допустимых значений- (0 - + ?). Коэффициент прироста характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени.

* Цепной коэффициент прироста рассчитывается по формуле:

Цепной темп прироста равен: Tц =KЦ *100%. Он показывает, насколько процентов уровень текущего периода выше или ниже предыдущего уровня.

* Базисный коэффициент прироста равен:

а базисный темп прироста - .

Tбi? показывает, насколько процентов уровень текущего периода выше или ниже начального уровня ряда. Между коэффициентом (темпом) роста и коэффициентом (темпом) прироста существует зависимость:

Ki' =Ki ?1 или Ti' =Ti ?100%.

Абсолютное значение одного процента прироста используется для оценки значения полученного темпа прироста. Он показывает, какое абсолютное значение соответствует одному проценту прироста. Показатель считается по цепным характеристикам:

Пункты роста используется в тех случаях, когда сравнение производится с отдалением периода времени, принятого за базу. Они представляют собой разность базисных темпов роста двух смежных периодов:

Пункты роста можно суммировать, в результате получаем базовый темп прироста последнего периода:

Пример. Анализ динамики производства продукта "A" по предприятию за 2005-2008гг.

3. Компоненты временных рядов

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного, как правило, случайного воздействия.

1) Влияние эволюционного характера - это изменения, определяющие общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания.

Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития или трендом.

2) Влияние осциллятивного характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания.

Циклические колебания можно представить в виде синусоиды y =sin(t) (значение признака вначале возрастает, достигает определенного max, затем снижается, достигает своего min, вновь возрастает и т.д.).

Циклические колебания в экономических расчетах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры.

Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня. Эти изменения отчетливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.

Последней группой факторов, влияющих на ряд динамики являются факторы, вызывающие нерегулярные колебания уровней. Эти факторы подразделяются в свою очередь на:

* вызывающие спорадические изменения уровней (война, экологические катастрофы, эпидемии и т.д.),

* случайные, слабо воздействующие, второстепенные факторы вызывающие случайные разнонаправленные изменения уровней.

Таким образом, уровни ряда динамики подвержены разным воздействиям, и теоретически ряд динамики может быть представлен как функция следующих компонент:

y = f (T,R,S,Е),

где Т - тренд;

R - циклические колебания;

S - сезонные колебания;

Е - случайные колебания.

Так как каждый фактор вызывает повышение или понижение уровней, то каждую компоненту и исходный динамический ряд можно представить в векторной форме:

yr = f (Tr ,Rr ,Sr, еr) .

В зависимости от связи компонент между собой можно построить две модели ряда динамики:

– аддитивная модель: yr =Tr +Rr +Sr +еr - характеризуется тем, что характер циклических и сезонных колебаний остается постоянными,

– мультипликативная модель: yr =Tr *Rr *Sr *еr - если характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

4. Методы измерения и изучения устойчивости временного ряда

Для измерения устойчивости уровней временных рядов используют следующие показатели:

1) размах колеблемости - определяется как разница средних уровней за благоприятные и неблагоприятные по отношению к изучаемому явлению периоды времени:

R=y благопр - унеблагопр

К благоприятным периодам времени относятся все периоды с уровнями выше тренда, а к неблагоприятным - ниже тренда.

2) индекс устойчивости:

i=

3)среднее линейное отклонение:

d=

1) среднее квадратическое отклонение:

S(t)=

Уменьшение колеблемости во времени будет равнозначно устойчивости уровней.

Для характеристики устойчивости рекомендуются также следующие показатели:

1) процентный размах (PR):

PR=Wmax-Wmin

Wmax/min - max/min относительный прирост.

W=

2) Скользящая средняя (МА) оценивает величину среднего отклонения от уровня скользящих средних (хt):

МА=

xt=

3) Среднее процентное изменение (АРС) оценивает среднее значение абсолютных величин, относительных приростов и квадратов относительных приростов:

4)

АРС=

Для оценки устойчивости уровней временных рядов применяются относительные показатели колеблемости:

V(t)=

V(t)=

K=100 - V(t) - коэффициент устойчивости (в процентах или долях единиц).

Для измерения устойчивости тенденции динамики (тренда) используют

следующие показатели:

1) коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):

Кр=1-,

d - разность рангов уровней изучаемого ряда и рангов номеров периодов или моментов времени.

d = Ry - Rt

Для определения этого коэффициента величины уровней нумеруют в порядке возрастания, а при наличии одинаковых уровней им присваивается определенный ранг равный частному от деления рангов, приходящихся на число этих равных значений.

Коэффициент Спирмена может принимать значения в пределах от 0 до ±1. Если каждый уровень исследуемого периода выше, чем предыдущего, то ранги уровней ряда и номера лет совпадают - Кр=+1. Это означает полную устойчивость самого факта роста уровней ряда, то есть непрерывность роста. Чем ближе Кр к +1, тем ближе рост уровней к непрерывному, то есть выше устойчивости роста. Если Кр=0, рост совершенно неустойчив.

При отрицательных значениях чем ближе Кр к -1, тем устойчивее уменьшение изучаемого показателя.

2) индекс корреляции (ИК):

I=

Индекс корреляции показывает степень сопряженности колебаний исследуемых показателей с совокупностью факторов, изменяющих их во времени. Приближение индекса корреляции к 1 означает, большую устойчивость изменения уровней временных рядов.

Число уровней ряда у двух показателей должно быть одинаково.

Применяются также комплексные показатели устойчивости, сущность которых заключается в определении их не через уровни временных рядов, а через показатели их динамики.

1. Показатель Каякиной определяется как отношение среднего прироста линейного тренда, т.е. параметра а1 к среднему квадратическому отклонению уровней от тренда:

Кк=

Чем больше величина этого показателя, тем менее вероятно, что уровень ряда в следующем периоде будет меньше предыдущего.

2. Показатель опережения, который получают, сопоставляя темпы роста уровней ряда с темпами значения колеблемости:

К0=

Если показатель опережения > 1, то это свидетельствует о том, что уровни ряда в среднем растут быстрее колебаний или снижаются медленнее колебаний. В таком случае коэффициент колеблемости уровней будет уменьшаться, а коэффициент устойчивости уровней увеличиваться. Если показатель опережения меньше 1, то колебания растут быстрее уровней тренда и коэффициент колеблемости растет, а коэффициент устойчивости уровней уменьшается, то есть показатель опережения определяет направление динамики коэффициента устойчивости уровней.

5. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней

Важной задачей, возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях может не просматриваться из-за ощутимых колебаний.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующих:

Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g<n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называютсяактивным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде: yt-p, yt-p+1, ... , yt-1, yt, yt+1, ... , yt+p-1, yt+p, а скользящая средняя определена по формуле:

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:

1.Вычислить средний прирост на последнем активном участке yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p

2.Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

Половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:

1.Вычислить средний прирост на последнем активном участке yt-p, yt-p+1, ... , yt, ... , yt+p-1, yt+p

2. Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

При построении взвешенной скользящей средней на каждом участке сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной, т.е. уровни ряда взвешивают.

Взвешенная скользящая средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине участка сглаживания.

При сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы второго (парабола) или третьего порядка.

Сглаживание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом: для каждого участка сглаживания подбирается полином вида:

Yi= aj+ a1t

Yi= ao+ a1t + a2t2+… aptp

Параметры полинома находятся по методу наименьших квадратов.

При этом начало отсчета переносится в середину участка сглаживания, например, если длина интервалов сглаживания = 5, то индексы уровней участка сглаживания будут равны: -2, -1, 0, 1, 2.

Тогда сглаживающим значением для уровня, стоящего в середине участка сглаживания, будет значение параметра а0.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого участка сглаживания, например, если в интервал сглаживания входит 5 последующих уровней ряда и выравнивание производится по параболе, то коэффициенты параболы находят по методу наименьших квадратов, учитывая, что t = 0.

Метод наименьших квадратов в этой ситуации дает следующую систему уравнений:

Для нахождения параметра а0 используют 1 и 3 уравнение

-

34-=5*34а0-10*10а0

34-=а0(170-100)

а0=

Если длина интервала сглаживания равна 7, весовые коэффициенты следующие:

Отметим важные свойства приведенных весов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1.

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка

Пример. В приведенном примере исчислены пятизвенные (по пятилетним периодам) скользящие средние и отнесены к серединному году в соответствующем пятилетнем периоде. Так, за первые пять лет (2001-2006 гг.) по формуле средней арифметической простой исчислен среднегодовой объем производства зерна и записан в табл. 11.7 против 2003 г.(73,8+ 98,0+ 104,3+ 85,1+ 98,6): 5= 92,0 млн. т; за второй пятилетний период (2002 -- 2006 гг.) результат записан против 2004 г. (98,0 + 104,3 +85,1 + 98,6 + 107,5):5 =493,5:5 = 98,7 млн. т.

За последующие пятилетние периоды расчет производится аналогичным способом путем исключения начального года и прибавления следующего за пятилетним периодом года и деления полученной суммы на пять. При этом методе концы ряда остаются пустыми.

Какой продолжительности должны быть периоды времени? Три, пять, десять лет? Вопрос решает исследователь. В принципе, чем больше период, тем больше происходит сглаживание. Но надо учитывать длину ряда динамики; не забывать, что метод скользящей средней оставляет срезанные концы выравненного ряда; учитывать этапы развития, например, в нашей стране долгие годы социально-экономическое развитие планировалось и соответственно анализировалось по пятилеткам.

Метод аналитического выравнивания (гр.6 -- 9) основан на вычислении значений выровненного ряда по соответствующим математическим формулам. В таблице приведены вычисления по уравнению прямой линии:

Для определения параметров надо решить систему уравнений:

Необходимые величины для решения системы уравнений вычислены и приведены в таблице (см. гр.6 -- 8), подставим их в уравнение:

В результате вычислений получаем: б= 87,96; b = 1,555.

Подставим значение параметров и получим уравнение прямой:

Для каждого года подставляем значение t и получаем уровни выравненного ряда (см. гр.9):

Список литературы

1. Н.А. Сафронов. Статистика: учебник для СПО М.: Магистр, 2014

2. Статистика : учебник для бакалавров / под ред. В. С. Мхитаряна. - М. : Издательство Юрайт, 2013. - 590 с. - Серия : Бакалавр. Базовый курс.

3. В.Д. Грибов, В.П. Грузинов. Статистика: учебник для СПО М.: Кнорус, 2014

4. Центральный банк РФ http://www.cbr.ru/metall base/New dynamics.asp .

5. Министерство финансов РФ http://minfin.rinet.ru/

6. Государственный статистический комитет http://www.gks.ru/

Размещено на Allbest.ru