Статистические распределения и их характеристики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации

2. Статистические распределения и их характеристики

3. Показатели вариации (колеблемости) признака

4. Сложение дисперсий

5. Неравенство Чебышеба

6. Теорема Ляпунова

7. Корреляционная связь

8. Ряды динамики

9. Индекс

1. Группировка статистических данных и ее роль в анализе информации

Равный интервал, величина интервала

,

m - число групп

Формула Стерджесса (величина интервала)

,

n - число наблюдений

Абсолютные, относительные, средние величины

Относительные величины

Относительные величины (ОВ) динамики характеризуют изменение явления во времени. (Коэффициент роста)

Темп роста - с переменной базой

,

y_n - уровень явления за период (например, выпуск продукции по кварталам года)

y_k - постоянная база сравнения

ОВ планового задания -

ОВ выполнения плана -

ОВ динамики -

ОВ структуры характеризуют долю отдельных частей в общем объеме совокупности (удельный вес) -

ОВ координации отражают отношение численности двух частей единого целого, т. \е. показывают, сколько единиц одной группы приходится в среднем на одну, на 10 или на 100 единиц другой изучаемой совокупности.

ОВ координации -

ОВ наглядности (сравнения) отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям (например, сравнивается годовая производительность труда по 2-м предприятиям)

ОВ сравнения -

Степенные средние общего типового расчета.

Средняя степенная простая:

,

- индивидуальное значение признака, по которому рассчитывается средняя, n - объем совокупности (число единиц)

Средняя степенная взвешенная

,

f_i - частота повторения индивидуального признака (=n)

Таблица 1

Значение k	Наименование средней	Формула средней
		Простая	Средняя
-1	Гармоническая		,
0	Геометрическая
1	Арифметическая		,
2	Квадратическая

_гарм. < _геом < _арифм < _{квадрат}, x=w/f

Гармоническая простая - когда небольшая совокупность и индивидуальные значения не повторяются. Используется, если исчисляем среднюю из обратных величин.

Средняя квадратическая - для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признаков

Средняя геометрическая простая - для вычисления среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики, если промежутки, к которым относятся коэффициенты роста, одинаковы.

2. Статистические распределения и их характеристики

Мода - значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности

,

нижняя граница модального интервала (интервал с наибольшей частотой),

- величина интервала,

- частота в модальном интервале.

Медиана - значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

- положение медианы

,

- нижняя граница медианного интервала,

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

- частота медианного интервала.

,

,

, (от 1/10 до 9/10)

3. Показатели вариации (колеблемости) признака

Среднее линейное отклонение - на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

- для несгруппированных данных (первичного ряда):

- для вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение

- для несгруппированных данных:

Дисперсия

- для несгруппированных данных:

- для вариационного ряда:

Коэффициент вариации (используется для характеристики однородности совокупности по исследуемому признаку)

- до 17% - совокупность совершенно однородна, 17%-33% - достаточно однородна, >33% - неоднородна.

4. Сложение дисперсий

Величина общей дисперсии () характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц данной совокупности

,

- общая средняя арифметическая для всей совокупности

Межгрупповая дисперсия () отражает систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки

,

- средняя в каждой группе,

- число единиц в каждой группе

Средняя внутригрупповая дисперсия () характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки.

,

- дисперсия по отдельной группе

Корреляционное отношение

, >0,5

- связь между групповым фактором и результирующим признаком - тесная, <0,5 - связь слабая

Показатель асимметрии

, - центральный момент третьего порядка

Средняя квадратическая ошибка:

,

n - число наблюдений

Если , асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если , асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.

- правосторонняя асимметрия, - левосторонняя асимметрия.

Показатель эксцесса (островершинности)

, - центральный момент четвертого порядка

>0 - высоковершинное, < 0 - низковершинное (= -2 - предел)

Средняя квадратическая ошибка:

n - число наблюдений

Кривые распределения

Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения.

Плотность распределения (расчет теоретических частот)

, - нормированное отклонение

, - определяется по таблице (приложение 1)

Критерий согласия К. Пирсона (для проверки близости теоретического и эмпирического распределений, для проверки соответствия эмпирического распределения закону нормального распределения)

f - эмпирические частоты в интервале,

f' - теоретические частоты в интервале

Критерий согласия Романовского

,

m - число групп,

m-3 - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения

Если к<3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения

Критерий Колмогорова

,

D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами,

n - сумма эмпирических частот

Распределение Пуассона (теоретические частоты)

,

n - общее число независимых испытаний,

л - среднее число появления редкого события в n одинаковых независимых испытаниях,

m - частота данного события, е=2,71828

Выборочное наблюдение

N - объем генеральной совокупности

n - объем выборочной совокупности (число единиц, попавших в выборку)

- генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)

- выборочная средняя

р - генеральная доля (доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности)

w - выборочная доля

- генеральная дисперсия

- выборочная дисперсия

- среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности

S - среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.

5. Неравенство Чебышеба

При неограниченном числе наблюдений, независящих друг от друга из генеральной совокупности с вероятностью сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет сколь угодно малой величиной .

6. Теорема Ляпунова

Дает количественную оценку ошибки. При неограниченном объеме из генеральной совокупности с Р расхождения выборочной и генеральной средней равна интегралу Лапласа

,

нормированная функция Лапласа (интеграл Лапласа)

Р - гарантированная вероятность

t - коэффициент доверия, зависящий от Р

Таблица 2

Р	0,683	0,954	0,997
t	1	2	3

- предельная ошибка выборки

, - стандартная среднеквадратическая ошибка

, - предельная (максимально возможная) ошибка средней, t - коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки

, - предельная (максимально возможная) ошибка доли

Средняя ошибка (n>30) при случайной повторной выборке:

,

При случайной бесповторной выборке:

,

Таблица 3. Формулы ошибок простой случайной выборки

	Способ отбора единиц
	повторный	бесповторный
Средняя ошибка м: Для средней
Для доли
Предельная ошибка Д: Для средней
Для доли

Доверительные интервалы для генеральной средней -

Доверительные интервалы для генеральной доли -

Доверительная вероятность - функция от t, вероятность находится по приложению

Таблица 4. Формулы для определения численности простой и случайной выборки

	Способ отбора единиц
	повторный	бесповторный
Численность выборки (n): Для средней
Для доли*
*В случае, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25 (если w=0,5, то w(1-w)=0,25).

Применяется в тех случаях, когда из генеральной совокупности можно выделить однокачественные группы единиц (или однородные), затем из каждой группы случайно отобрать определенное число единиц в выборку.

Стандартная среднеквадратическая ошибка:

Повторный отбор -

, - средняя из внутригрупповых

Бесповторный отбор -

Отбор единиц при типичной выборке из каждой типичной группы:

1. Равное число единиц , - число единиц, отобранных из i-ой типичной группы, n - общий объем, R - число групп

2. Пропорциональный отбор , - доля i-ой группы в общем объеме генеральной совокупности

3. Отбор единиц с учетом вариации случайного признака

Вместо случайного отбора единиц совокупности осуществляется отбор групп (серий, гнезд). Внутри отобранных серий производится сплошное наблюдение.

Средняя стандартная ошибка:

Повторный отбор - , , m - число отобранных серий, - средний уровень признака в серии, - средний уровень признака для всей выборочной совокупности

Бесповторный отбор - , M - общее число серий

Выборки, при которых наблюдением охватывается небольшое число единиц (n<30)

Средняя ошибка малой выборки

,

Вероятность того, что генеральная средняя находится в определенных границах, определяется по формуле , - значение функции Стьюдента (приложение 4)

7. Корреляционная связь

Для оценки однородности совокупности - коэффициент вариации по факторным признакам

,

совокупность однородна, если ? 33%

Линейный коэффициент корреляции

Несгруппированные данные

Сгруппированные данные

Оценка существенности линейного коэффициента корреляции при большом объеме выборки , .

Если это отношение больше значения t-критерия Стьюдента (приложение 6, k=n-2, вероятность - 1-б)

при недостаточно большом объеме выборки ,

Корреляционное отношение

, ,

,

,

Таблица 5

Признаки	А(да)	(нет)	Итого
В (да)	a	b	a+b
(нет)	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	n
A,b,c,d - частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков, n - общая сумма частот

Коэффициент ассоциации

Коэффициент контингенции

Уравнение регрессии:

Линейная

Гиперболичская

Параболическая

Показательная

Для проверки возможности использования линейной функции определяется разность , если она <0,1 то можно применить линейную функцию.

,

m - число групп.

Если < F-критерия, то можно. (Значение F-критерия определяется по таблице (приложение 5) б=0,05, число степеней свободы числителя (k₁ = m-2) и знаменателя (k₂ =n-m))

Достоверность уравнения корреляционной зависимости , - средняя квадратическая ошибка, y - фактические значения результативного признака, - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению регрессии, l - число параметров в уравнении регрессии.

Если это отношение не превышает 10-15%, то уравнение хорошо отображает изучаемую взаимосвязь.

8. Ряды динамики

Таблица 6. Показатели динамики

Показатель	Метод расчета
	С переменной базой (цепные)	С постоянной базой (базисные)
Абсолютный прирост (показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
Коэффициент роста (показывает, во сколько раз уровень текущего периода больше (меньше) базисного)
Темп роста, % (это коэффициент роста, выраженный в %, показывает, сколько процентов уровень текущего периода составляет по отношению к уровню базисного периоа)
Темп прироста, % (показывает, на сколько % уровень текущего периода больше (меньше) уровня базисного периода)
Абсолютное значение 1% прироста (показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем - одним процентом прироста)

Таблица 7. Средние показатели динамики

Показатель	Метод расчета
Средний уровень ряда - Для интервального ряда
- Для моментального ряда с равными интервалами
- Для моментального ряда с неравными интервалами
Средний абсолютный прирост	или
Средний коэффициент рост	или
Средний темп роста, %
Средний темп прироста, %	или
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста

Пусть =0, тогда если количество уровней в ряду динамики нечетное, то временные даты (t) будут (-2, -1, 0, 1, 2). Если четное, то (-5, -3, -1, 1, 3, 5)

9. Индекс

Индекс - относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом.

Индивидуальный индекс физического объема выпуска продукции

Индивидуальный индекс цен

статистический дисперсия корреляционный индекс

Индивидуальный индекс затрат на выпуск продукции

Индивидуальный индекс стоимости продукции

Агрегатный индекс физического объема продукции (Относительное изменение физического объема продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным)

- характеризует абсолютное изменение физического объема в относительном выражении без влияния ценового фактора.

Средний взвешенный арифметический индекс физического объема продукции

,

i_q - индивидуальный индекс по каждому виду продукции

Средний взвешенный гармонический индекс физического объема продукции

Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен по совокупности различных видов продукции)

- абсолютное изменение всей стоимости продукции за счет изменения цен

Агрегатный индекс цен (характеризует среднее изменение цен на потребительские товары)

Агрегатный индекс затрат на выпуск всей продукции

Двухфакторный индекс

Связь:

Индекс планового задания

Индекс степени выполнения плана

Связь:

Изменение себестоимости продукта А по фирме , средняя себестоимость -

Индекс влияния структурных сдвигов в объеме продукции

,

d₀ - удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска продукта А

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции -, за счет изменения цен на продукцию -

Абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов: , за счет изменения физического объема продукции - , за счет среднего изменения себестоимости единицы продукции - .

Выработка:

W = Q/T,

W - выработка,

Q - физический объем реализованной продукции/услуг,

T - затраты живого труда (среднесписочная численность работников/рабочих)

Трудоемкость (показатель, обратный выработке) - t = 1/W = T/Q Трудоемкость характеризует величину затрат рабочего времени на единицу произведенной продукции.

Индекс динамики выработки переменного состава, определяющий отношение выработки отчетного периода к выработке базисного периода - I_w = W₁/W₀

Этот индекс характеризует изменение производительности труда под влиянием всех факторов, а именно: НТП, человеческого фактора (квалификация и т.п.) и др.

Индекс динамики трудоемкости

I_t = t₁/t₀

Индекс динамики трудоёмкости характеризует изменение трудоёмкости в отчетном периоде по сравнению с базисным, и его величина зависит от изменения трудоёмкости производимой продукции и от изменения объемов производства этой продукции.

I_Q = I_W * I_T

система связанных индексов, которая позволяет определить влияние интенсивных и экстенсивных факторов на изменение объема продукции, услуг.

Среднегодовая стоимость основных фондов в базисном и отчетном годах

,

- введенные в эксплуатацию фонды в течение года,

- число месяцев эксплуатации фондов в данном году,

- фонды, выбывшие из эксплуатации в течение года,

- число месяцев, оставшихся до конца года после выбытия фондов из эксплуатации.

Фондоотдача -.

Фондоёмкость - показатель, обратный фондоотдаче, за базисный и отчетный годы по формуле

Индекс динамики фондоотдачи

I_Vп.с.= =

Этот индекс характеризует изменение фондоотдачи под влиянием всех факторов, включая НТП (новая техника, технология), человеческий фактор, структурный фактор, который на уровне АО может выражаться в изменении состава основных фондов в отчетном по сравнению с базисным годом.

Влияние интенсивного (качественного) и экстенсивного (количественного) факторов на абсолютное изменение физического объема продукции/услуг. Под экстенсивным фактором обычно понимают абсолютное изменение основных фондов. Под интенсивным - абсолютное изменение показателя фондоотдачи.

Влияние экстенсивного фактора:

Влияние интенсивного фактора:

Влияние обоих факторов:

Показатели фондовооруженности рабочих

,

- среднесписочная численность рабочих.

Индекс динамики фондовооруженности:



Коэффициент износа основных фондов на конец отчетного года

Размещено на Allbest.ru

...