Методы прикладной статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Методы прикладной статистики

статистика гипотеза корреляция альтернатива

Задача 1. Шкалы в социологических измерениях.

Привести определения:

- понятие измерения в социологии;

- шкалы в социологии;

- типы шкал и характеристики их средних тенденций.

Привести примеры для каждого вида шкалы (название переменной, значение, число случаев).

По данным табл.1 составить адекватные типам шкал выборки, определить для них значения средних тенденций, в терминах шкального измерения. Рассчитать числовые значения средних тенденций.

Вариант 4	9,8,6,5,8,7,5,4,3,5	8,10,6,5,4,3	56,87,97,54,63,13,67,59,62

Решение:

Измерением (в широком смысле) в социологической науке можно назвать любое социологическое исследование, так как его задачей является отбор, изучение, представление социальных фактов, явлений, процессов, их наиболее точное описание с использованием математического аппарата.

Измерение означает, каким образом, с помощью каких средств и в какой форме социолог может получить необходимую информацию.

Шкала - некая система показателей, присваеваемых изучаемому объекту, т.е. это переменная с вариантами ответов.

Показатели в шкалах называют шкальными значениями или совокупностью шкальных значений. Совокупность шкальных значений в общем виде представляет собой определенную модель социальной реальности и образует одномерный континуум.

Континуум - это протяженность изучаемого свойства объекта с указанием его крайних значений. Термин континуум означает непрерывность. Он может быть представлен в виде непрерывной линии (оси), на которой размещены объекты измерения с указанными (приписанными) им числами.

Шкалы бывают разных видов и типов.

По своему виду они могут быть вербальными (словесными), числовыми (в баллах), графическими (изобразительными).

По своему содержанию и предназначению выделяют в основном следующие типы шкал: номинальную, порядковую (ранговую), интервальную (шкалу равных интервалов Терстоуна), шкалы для измерения установок и отношений, оценочные шкалы, метрические шкалы.

а) 9,8,6,5,8,7,5,4,3,5

Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию. 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Значение ряда 5 встречается всех больше (3 раз). Следовательно, мода равна x = 5

Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = n/2 = 10/2 = 5. Ранжированный ряд включает четное число единиц, следовательно медиана определяется как средняя из двух центральных значений: (5 + 6)/2 = 5.5

б) 8,10,6,5,4,3

Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию. 3, 4, 5, 6, 8, 10.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = n/2 = 6/2 = 3. Ранжированный ряд включает четное число единиц, следовательно медиана определяется как средняя из двух центральных значений: (5 + 6)/2 = 5.5

в) 56,87,97,54,63,13,67,59,62

Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию. 13, 54, 56, 59, 62, 63, 67, 87, 97.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1)/2 = (9+1)/2 = 5. Этому номеру соответствует значение ряда 62. Следовательно, медиана Me = 62

2. Выборочные данные, их графические представления и статистики

- по данным табл.1 для каждого типа шкал построить (полигон частот, кумуляту, гистограмму);

- проверить графическим способом значения средних тенденций, рассчитанных в первой задаче;

- рассчитать величину дисперсии для каждого вида шкалы (коэффициент вариации, коэффициент Кендэлла, выборочная дисперсия).

Решение:

а) 9,8,6,5,8,7,5,4,3,5



Таблица для расчета показателей.

x	|x - xср|	(x - xср)2
3	3	9
4	2	4
5	1	1
5	1	1
5	1	1
6	0	0
7	1	1
8	2	4
8	2	4
9	3	9
60	16	34

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.



Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1.6

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.



Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Линейный коэффициент вариации

Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

б) 8,10,6,5,4,3

Таблица для расчета показателей.

x	|x - xср|	(x - xср)2
3	3	9
4	2	4
5	1	1
6	0	0
8	2	4
10	4	16
36	12	34



(вариация умеренная).

в) 56,87,97,54,63,13,67,59,62

Таблица для расчета показателей.

x	|x - xср|	(x - xср)2
13	49	2401
54	8	64
56	6	36
59	3	9
62	0	0
63	1	1
67	5	25
87	25	625
97	35	1225
558	132	4386

(вариация умеренная).

3. Определение связи между случайными величинами

В компании работают 10 человек. В табл.2 приведены данные по стажу их работы и

месячному окладу.

Рассчитайте по этим данным

- величину оценки выборочной ковариации;

- значение выборочного коэффициента корреляции Пирсона;

- оцените по полученным значениям направление и силу связи;

- определите, насколько правомерно утверждение о том, что данная компания использует японскую модель управления, заключающуюся в предположении, что чем больше времени сотрудник проводит в данной компании, тем выше должен быть у него оклад.

Вариант 4	Сотрудник	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Стаж, лет	10	12	34	45	30	25	31	32	49	39
	Оклад, руб	1800	2400	4700	5000	2700	2300	3500	3000	4500	3400

Решение:

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

x	y	x2	y2	x * y
10	1800	100	3240000	18000
12	2400	144	5760000	28800
34	4700	1156	22090000	159800
45	5000	2025	25000000	225000
30	2700	900	7290000	81000
25	2300	625	5290000	57500
31	3500	961	12250000	108500
32	3000	1024	9000000	96000
49	4500	2401	20250000	220500
39	3400	1521	11560000	132600
307	33300	10857	121730000	1127700

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Линейное уравнение регрессии имеет вид

y = bx + a

Оценочное уравнение регрессии будет иметь вид

y = bx + a + е,

где ei - наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 307 b = 33300

307 a + 10857 b = 1127700

Домножим уравнение (1) системы на (-30.7), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-307a -9424.9 b = -1022310

307 a + 10857 b = 1127700

Получаем:

1432.1 b = 105390

Откуда b = 73.5912

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 307 b = 33300

10a + 307 * 73.5912 = 33300

10a = 10707.49

a = 1070.7492

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 73.5912, a = 1070.7492

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 73.5912 x + 1070.7492

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.

Следовательно, можно смело утверждать, что чем больше времени сотрудник работает в данной компании, тем выше у него оклад.

4. Проверка статистических гипотез. При решении этой задачи первым шагом необходимо сформулировать проверяемую гипотезу и альтернативную ей

Проверка равенства генеральных долей.

Проведено исследование по вопросам успеваемости студентов на двух факультетах. Результаты по вариантам приведены в табл.3. Можно ли утверждать, что на обоих факультетах одинаковый процент отличников?

Вариант 4	Факультет А	Длина выборки - 39 чел	Число отличников - 5 чел
	Факультет В	Длина выборки - 35 чел	Число отличников - 7 чел

Решение:

x	|x - xср|	(x - xср)2	y	|y - yср|	(y - yср)2
5	1	1	35	2	4
7	1	1	39	2	4
12	2	2	74	4	8

Простая средняя арифметическая

Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных долей:

Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:

Число степеней свободы

f = nх + nу - 2 = 2 + 2 - 2 = 2

Определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента

По таблице Стьюдента находим:

Tтабл(f;б/2) = Tтабл(2;0.025) = 4.303

По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости б = 0.05 и данному числу степеней свободы находим tкр = 4.303

Т.к. tнабл > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, генеральные доли двух выборок не равны.

Проверка равномерности генерального распределения.

Руководство университета хочет выяснить, как со временем менялась популярность гуманитарного факультета. Анализировалось количество абитуриентов, подавших заявление на этот факультет, по отношению к общему количеству абитуриентов в соответствующем году. (Данные приведены в табл.4). Если считать число абитуриентов репрезентативной выборкой из общего количества выпускников школ года, можно ли утверждать, что интерес школьников к специальностям данного факультета не изменяется с течением времени?

Вариант 4	1988 - 1992	1993 - 1997	1998 - 2002	2003 - 2007	2008 - 2012
	0,06	0,12	0,16	0,21	0,22

Решение: Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
1988 - 1992	1990	0.06	119.4	0.06	0.76	9.62	0.0779
1993 - 1997	1995	0.12	239.4	0.18	0.92	7.05	0.16
1998 - 2002	2000	0.16	320	0.34	0.43	1.13	0.21
2003 - 2007	2005	0.21	421.05	0.55	0.49	1.15	0.27
2008 - 2012	2010	0.22	442.2	0.77	1.61	11.85	0.29
Итого		0.77	1542.05		4.21	30.79	1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = Xmax - Xmin

R = 2008 - 1988 = 20 Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).



Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 2002.66 в среднем на 6.32

Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b) надо:

Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b* - a*)

Найти теоретические частоты:

n1 = nP1 = n[f(x)*(x1 - a*)] = n*1/(b* - a*)*(x1 - a*)

n2 = n3 = ... = ns-1 = n*1/(b* - a*)*(xi - xi-1)

ns = n*1/(b* - a*)*(b* - xs-1)

Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения. Найдем оценки параметров a* и b* равномерного распределения по формулам:

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

f(x) = 1/(b* - a*) = 1/(2013.62 - 1991.71) = 0.0456

Найдем теоретические частоты:

n1 = n*f(x)(x1 - a*) = 0.77 * 0.0456(1992-1991.71) = 0.0102

n5 = n*f(x)(b* - x4) = 0.77 * 0.0456(2013.62-2008) = 0.2

ns = n*f(x)(xi - xi-1)

i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i
1	0.06	0.0102	0.0498	0.00248	0.24
2	0.12	0.14	-0.0206	0.000424	0.00302
3	0.16	0.14	0.0194	0.000376	0.00268
4	0.21	0.14	0.0694	0.00482	0.0343
5	0.22	0.2	0.0226	0.000512	0.00259
Итого	0.77				0.29

Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+?).

Её границу

Kkp = ч2(k-r-1;б)

находим по таблицам распределения ч2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).

Kkp = 5.99146; Kнабл = 0.29

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу.

Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют равномерный закон.

Проверка равенства нулю генерального коэффициента корреляции.

Получена статистика оценок (по 100 балльной шкале) студентов за работу в семестре и на экзамене.

Можно ли утверждать, что существует связь между работой в семестре и оценкой, полученной на экзамене?

Данные для решения задачи приведены в табл. 5.

Вариант 4	Студент	1	2	3	4	5	6	7	8
	Оценка работы в семестре	44	84	24	73	49	69	55	88
	Оценка, полученная на экзам	29	94	61	53	61	42	45	84

Решение:

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

x	y	x2	y2	x * y
44	29	1936	841	1276
84	94	7056	8836	7896
24	61	576	3721	1464
73	53	5329	2809	3869
49	61	2401	3721	2989
69	42	4761	1764	2898
55	45	3025	2025	2475
88	84	7744	7056	7392
486	469	32828	30773	30259

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:



Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X заметна и прямая. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии.

Линейное уравнение регрессии имеет вид

y = 0.53 x + 26.13

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.53 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.53.

Коэффициент a = 26.13 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Выдвигаем гипотезы:

H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;

H1: rxy ? 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости б проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ? 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит -- нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=6 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку |tнабл| < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

Размещено на Allbest.ru

...