Уравнение линейной регрессии методом наименьших квадратов
Линейная регрессия как используемая в статистике регрессионная модель зависимости одной переменной у от другой или нескольких других переменных х с линейной функцией зависимости. Использование матричных методов. Вычисление коэффициента корреляции.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.02.2015 |
| Размер файла | 143,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Составить уравнение линейной регрессии , используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
Составить уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
Вычислить коэффициент корреляции и оценить полученное уравнение регрессии. линейный регрессия матричный
Найти оценки параметров .
Найти параметры нормального распределения для статистик и .
Найти доверительные интервалы для и на основании оценок и при уровне значимости б = 0,05.
Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество выбранного уравнения регрессии.
Имеются данные по объёму продаж Х (тыс. шт.) и цене единицы товара Y (руб.):
|
X |
12,2 |
18,6 |
29,2 |
15,7 |
25,4 |
35,2 |
14,7 |
11,7 |
12,0 |
15 |
|
|
Y |
29,2 |
30,5 |
29,7 |
31,3 |
30,8 |
29,9 |
27,8 |
27,0 |
28,0 |
30,2 |
Решение:
1. Составим уравнение линейной регрессии, используя метод наименьших квадратов (МНК).
;
Уравнение регрессии , коэффициенты и определим из системы уравнений (14) по формулам (16):
Уравнение регрессии имеет вид или , т.е. уравнение прямой, проходящей через точку . Так как = 0,08 > 0, то наблюдается рост y относительно x.
Коэффициент ковариации переменных x и y равен
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент линейной корреляции т.е. корреляционная зависимость «очень слабая», но близка к функциональной линейной зависимости.
2. Составим уравнение линейной регрессии , используя матричный метод.
Введем матрицы
Исходная матрица определяется по формуле
Произведем операции над матрицами в порядке их расположения:
;
, т.е. матрица невырожденная и имеет обратную матрицу.
=
=
*=- т.е. и Таким образом, результаты вычислений совпадаю.
3. Найдём значения оценки параметров a, b и .
Для их определения составим табл. 2.
Таблица 2
|
12,2 |
18,6 |
29,2 |
15,7 |
25,4 |
35,2 |
14,7 |
11,7 |
12,0 |
15 |
||
|
29,2 |
30,5 |
29,7 |
31,3 |
30,8 |
29,9 |
27,8 |
27,0 |
28,0 |
30,2 |
||
|
-6,77 |
-0,37 |
10,23 |
-3,27 |
6,43 |
16,23 |
-4,27 |
-7,77 |
-6,97 |
-3,97 |
||
|
-0,24 |
1,06 |
0,26 |
1,86 |
1,36 |
0,46 |
-1,64 |
-2,44 |
-1,44 |
0,76 |
||
|
28,90 |
29,41 |
30,26 |
29,18 |
29,95 |
30,74 |
29,10 |
28,86 |
28,88 |
29,12 |
||
|
0,30 |
1,09 |
-0,56 |
2,11 |
0,85 |
-0,84 |
-1,30 |
-1,82 |
-0,82 |
1,05 |
||
|
-0,54 |
-0,03 |
0,82 |
-0,26 |
0,51 |
1,30 |
-0,34 |
-0,58 |
-0,56 |
-0,32 |
Так как известны а также уравнение прогноза то на основании этих данных вычислим значения следующих величин:
;
;
4. Найдём параметры нормального распределения для статистик и .
Решение. Из формул имеем
~
~= ;
5. Найдём доверительные интервалы для a и b на основании оценок и при уровне значимости .
Так как вероятность доверия равна по распределению Стьюдента (см. приложения).
Из формулы доверительный интервал для b определяется из неравенства или
Тогда
Аналогично доверительный интервал для параметра a определяется из формулы а доверительный интервал - из неравенства или
;
;
;
6. Вычислим коэффициент детерминации.
Проверим справедливость формулы
Из табл. 2 найдем необходимые данные:
Справедливо равенство TSS = ESS + RSS, то есть 18,06 = 14,21 + 3,85.
Из формулы определим коэффициент детерминации:
Следовательно, качество подгонки очень низкое, т.е. выбранное уравнение регрессии не очень хорошо аппроксимирует значение , полученное на основе наблюдений, приведенных в таблице 1.
Задание 2
Составить уравнение множественной линейной регрессии y = a + b1x1 + b2x2 + е в матричной форме, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных.
Найти оценки параметров а, b1, b2, бІ.
Найти коэффициент детерминации и оценить уравнение регрессивной связи.
Оценить статистическую зависимость между переменными.
Имеются данные концерна, в котором изучается зависимость прибыли Y (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника Х1 (ед.) и индекса цен на продукцию Х2 (%):
|
№ п/п |
Y |
Х1 |
Х2 |
|
|
1 |
5,0 |
40 |
105 |
|
|
2 |
4,5 |
45 |
110 |
|
|
3 |
6,0 |
42 |
108 |
|
|
4 |
8,0 |
50 |
112 |
|
|
5 |
7,5 |
48 |
106 |
Решение:
1. Составим уравнение регрессии, используя МНК и найдём числовые характеристики переменных.
Уравнение регрессии ищем в виде уравнения
где
- матрица-столбец (значения результирующего показателя) - трансформированная матрица-столбец (значения результирующего показателя) - тыс. рублей;
- параметры;
-матрица объясняющих переменных
- трансформированная матрица объясняющих переменных.
Исходная матрица определяется по формуле
Произведем последовательно операции над матрицами:
*=
, т.е. матрица невырожденная и имеет обратную матрицу.
;
*=
*=, то есть
Таким образом, уравнение регрессии имеет вид
2. Найдём оценки параметров и .
Вектор оценок и есть
Вектор прогнозных значений:
Вектор остатков регрессий:
Найдем исправленную несмещенную оценку дисперсии:
3. Найдём коэффициент детерминации.
где
TSS = ESS + RSS; то есть 31=10+21
,
т.к. близок к единице, то качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям очень хорошее.
4. Оценить статистическую зависимость между переменными.
Вычислим ковариационную матрицу
где
Найдем соответствующие величины:
Итак, ковариационная матрица имеет вид
Корреляционная матрица имеет вид
где
Вычислим коэффициенты корреляции между случайными величинами, которые измеряют степень тесноты линейной статистической связи между случайными величинами:
Итак, корреляционная матрица имеет вид
Вывод: действительно, между переменными и , а также между и y и и y существует довольно сильная линейная зависимость.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сущность и применение метода наименьших квадратов для однофакторной линейной регрессии. Нахождение коэффициента эластичности для указанной модели в заданной точке X и его экономический анализ. Прогноз убыточности на основании линейной регрессии.
контрольная работа [47,3 K], добавлен 15.06.2009Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация регрессии. Определение остаточной суммы квадратов. Выполнение предпосылок МНК. Расчет коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
контрольная работа [317,0 K], добавлен 11.05.2009Парная линейная регрессия. Полный регрессионный анализ. Коэффициент корреляции и теснота линейной связи. Стандартная ошибка регрессии. Значимость уравнения регрессии. Расположение доверительных интервалов. Расчет параметров множественной регрессии.
контрольная работа [932,7 K], добавлен 09.06.2012Изучение понятий общей эконометрики. Сущность классической и обобщенной моделей линейной регрессии. Анализ методов наименьших квадратов, временных рядов и системы одновременных уравнений. Многомерная регрессия: мультиколлинеарность, фиктивные переменные.
книга [26,6 M], добавлен 19.05.2010Основы линейного регрессионного анализа. Особенности использования функции Кобба-Дугласа. Применение множественной линейной регрессии. Сущность метода наименьших квадратов. Пути избегания ложной корреляции. Проверка значимости коэффициентов регрессии.
реферат [101,8 K], добавлен 31.10.2009Порядок проведения проверки статистических гипотез. Проверка однородности результатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок. Расчет теоретических частот для нормального распределения. Уравнение линейной регрессии и метод наименьших квадратов.
курсовая работа [349,5 K], добавлен 09.01.2011Методика построения графика зависимости между величиной капитала и чистыми активами банков, определение уравнения регрессии зависимости чистых активов и капитала коммерческих банков. Вычисление показателей тесноты связи между изучаемыми признаками.
контрольная работа [89,5 K], добавлен 04.02.2009Изучение зависимости доли сельского населения от величины среднедушевых денежных доходов. Расчет параметров линейной функции на основании исходных данных по областям. Определение среднего коэффициента эластичности. Расчет коэффициента корреляции.
методичка [55,1 K], добавлен 02.06.2012Расчет параметров линейного уравнения множественной регрессии с перечнем факторов по данным о деятельности компаний США. Оценка силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности. Доверительный интервал прогноза.
лабораторная работа [666,9 K], добавлен 21.04.2015Эконометрическое моделирование динамики экспорта и импорта РФ: построение регрессии, дисперсионный анализ для линейной регрессии, эластичность показательной регрессии, изучение качества линейной регрессии, колеблемость признака. Доверительные интервалы.
курсовая работа [367,5 K], добавлен 21.08.2008Порядок построения линейного уравнения парной регрессии, расчет коэффициентов и оценка статической значимости параметров регрессии и корреляции. Точность прогноза. Множественная регрессия и корреляция. Системы эконометрических уравнений. Временные ряды.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 24.09.2013Проверка выполнения предпосылок МНК. Значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера. Средняя относительная ошибка аппроксимации. Гиперболические, степенные и показательные уравнения нелинейной регрессии.
контрольная работа [253,4 K], добавлен 17.03.2011Расчет корреляции между экономическими показателями. Построение линейной и не линейной множественной регрессии. Проверка на гетероскедастичность моделей с использованием теста Бреуша-Пагана. Корреляция между наблюдаемыми экономическими показателями.
курсовая работа [82,2 K], добавлен 23.03.2011Средние статистические величины и аналитическая группировка данных предприятия. Результаты расчета коэффициента Фехнера по цехам. Измерение степени тесноты связи в статистике с помощью показателя корреляции. Поля корреляции и уравнения регрессии для цеха.
практическая работа [495,9 K], добавлен 26.11.2012Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии. Графическое представление фактических и модельных значений точки прогноза, уравнений регрессии (гиперболической, степенной, показательной). Нахождение коэффициентов детерминации и эластичности.
контрольная работа [324,1 K], добавлен 13.04.2010Статистика розничного и оптового товарооборота: показательная регрессия, построение регрессии. Дисперсионный анализ для линейной регрессии, изучение ее качества. Доверительные интервалы для оцененных параметров и критерий Фишера значимости регрессии.
контрольная работа [300,4 K], добавлен 21.08.2008Составление матрицы парных коэффициентов корреляции переменных. Построение линейного уравнения регрессии, характеризирующее зависимость цены от факторов. Оценка статистической значимости параметров в регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента.
лабораторная работа [1,6 M], добавлен 13.04.2010Диаграмма рассеивания и подтверждение гипотезы о линейной зависимости, криволинейной связи по заданным статистическим данным с помощью пакета "Excel". Построение корреляционного поля, матрицы, определение параметров линейной связи. Модель Кобба-Дугласа.
контрольная работа [153,8 K], добавлен 26.06.2009Статистический метод исследования влияния нескольких независимых переменных на зависимую переменную, определение их вклада в ее вариацию. Связь между несколькими независимыми переменными. Цели регрессионного анализа. Уравнение многомерной регрессии.
презентация [122,6 K], добавлен 17.12.2012Методика оценки вероятности банкротства в модели Альтмана. Расчет индекса кредитоспособности применительно к российским условиям. Параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Оценка адекватности финансовых политик состояниям экономики.
курсовая работа [74,6 K], добавлен 08.01.2010
