Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки україни

Хмельницький національний університет

Контрольна робота

Економіко-математичне моделювання

Виконала: Ахунова А.Д.

Викладач: Доберчак Н.И.

Задача 1

Для виробництва продукції двох видів I і II використовується три види сировини. Дано питомі витрати (матриця А), запаси сировини (матриця В) та прибуток від реалізації одиниці продукції кожного виду (матриця С).

Для даних матриць А, В, С :

1. Записати математичну модель задачі, що оптимізує план випуску продукції з точки зору отримання максимального прибутку.

2. Знайти розв'язок задачі графічним методом.

3. Знайти розв'язок задачі симплексним методом.

Варіанти завдань наведені в таблиці 1.

Таблица 1

Розв'язання

Задача 2

Розв'язати транспортну задачу, задану матрицею , де (перший стовпець таблиці) - вектор-стовпець запасів, (перший рядок таблиці) - вектор-рядок потреб, а - матриця тарифів.

	170	190	140	180	120
160	6	13	14	18	14
400	25	14	7	5	16
240	11	4	10	18	9

Розв'язання. Визначимо тип транспортної задачі. Оскільки , то транспортна задача закрита.

Початковий план перевезень складаємо методом мінімальної вартості.

	170	190	140	180	120
160	6	13	14	18	14	0
	160
400	25	14	7	5	16	19
	10 -		140	180	70 -
240	11	4	10	18	9	12
	+	190			50 -
	6	-8	-12	-14	-3

Заповнено клiтин - план опорний.

Знаходимо транспортнi витрати:

Знаходимо потенцiали i та оцiнки вiльних клiтин. Потенцiали визначаємо iз системи

Для незаповнених клiтин в оптимальному планi повинна виконуватись умова

Знаходимо оцiнки вiльних клiтин:

Пеpеставимо вантаж по контуру клiтин (3,1), (3,5), (2,5), (2,1), (3,1) i будуємо нову тpанспоpтну таблицю.

	170	190	140	180	120
160	6	13	14	18	14	0
	160
400	25	14	7	5	16	12
			140	180	80
240	11	4	10	18	9	5
	10	190			40
	6	-1	-5	-7	4

Знаходимо транспортнi витрати:

Для заповнених клiтин розраховуємо потенцiали та i їх значення заносимо у транспортну таблицю. Для незаповнених клiтин знаходимо оцiнки :

Оскiльки всi оцiнки додатнi, то план пеpевезень є оптимальним. Ваpтiсть пеpевезень становить .

Задача 3

На основі статистичних даних показника і фактора (таблиця 2) знайти оцінки параметрів економетричної моделі, якщо припустити, що стохастична залежність між фактором і показником має вигляд, наведений в цій таблиці.

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним.

Знайти точкову оцінку прогнозу.

Побудувати графіки фактичних даних та лінії регресії .

Таблиця 2.

№	Значення Х	Залежність
		1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5	7	7,5	8,5
1	Y	11,4	9,2	8,1	7,8	4,5	6,5	5,7	6	3,7	3,5	4,0	3,5	3,8	3,3	?

Розв'язання. Для визначення параметрів і перетворимо модель до лінійного вигляду: і виконаємо заміну , тоді одеримо лінійну модель виду

.

Параметри моделі знаходимо, розв'язавши систему нормальних рівнянь

Значення необхідних для подальших розрахунків сум проведемо у таблиці:

1	1	11,4	0,088	1,000	0,088	10,524	0,768	22,448
2	1,5	9,2	0,109	2,250	0,163	8,973	0,051	10,162
3	2	8,1	0,123	4,000	0,247	7,821	0,078	4,144
4	2,5	7,8	0,128	6,250	0,321	6,931	0,754	1,313
5	3	4,5	0,222	9,000	0,667	6,223	2,970	0,192
6	3,5	6,5	0,154	12,250	0,538	5,646	0,728	0,019
7	4	5,7	0,175	16,000	0,702	5,168	0,284	0,382
8	4,5	6	0,167	20,250	0,750	4,763	1,529	1,045
9	5	3,7	0,270	25,000	1,351	4,418	0,516	1,871
10	5,5	3,5	0,286	30,250	1,571	4,119	0,383	2,777
11	6	4	0,250	36,000	1,500	3,858	0,020	3,715
12	6,5	3,5	0,286	42,250	1,857	3,629	0,017	4,653
13	7	3,8	0,263	49,000	1,842	3,425	0,141	5,575
14	7,5	3,3	0,303	56,250	2,273	3,242	0,003	6,469
?	59,5	81	2,82	309,75	13,87	78,74	8,24	64,76
Пр	8,5					2,930

Розбіжність між сумами та пояснюється помилкою специфікації моделі.

Після підстановки значень сум, система нормальних рівнянь набуде вигляду:

В результаті отримаємо наступні значення параметрів лінеаризованої моделі:

; .

Отже, модель має вигляд:

Графік вихідних даних та теоретичних значень результуючого показника має вигляд

Оцінимо адекватність моделі за F-критерієм Фішера:

, де

- число состережень; - число включених у регресію факторів, які чинять суттєвий вплив на показник (для парної регресії ).

За таблицею знаходимо критичне значення критерію Фішера для числа ступенві свободи , та довірчої ймовірності : .математичний випуск прибуток економетричний

Обчислимо розахункове значенння критерію:

.

Оскільки , то з ймовірністю можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує економічне явище.

Прогнозне значення результуючого показника розрахуємо, підставивши в отриману модель значення . В результаті отримаємо:

.

Задача 4

За статистичними даними побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа, яка описує залежність між об'ємом виробництва Y (результативна ознака) і кількістю спожитої праці L та виробничого капіталу K (чинники).

Методом математичної екстраполяції розрахувати прогнозне значення обсягу виробництва при заданих прогнозних значеннях витрат праці та виробничого капіталу.

Провести оцінку адекватності моделі за F - критерієм Фішера. Розрахунки провести з надійністю p=0,95. Функція Кобба-Дугласа лінійна і має вигляд:

.

	43,9	41,2	46,0	57,6	47,8	59,6	56,7	69,1	77,9	81,3	84,5	-
	5,5	6,2	6,0	7,4	5,8	8,3	6,2	9,5	7,5	9,0	10,0	13,0
	14,1	11,4	14,0	14,4	17,7	16,1	18,6	21,8	20,5	23,8	25,0	28,0

Розв'язання. Параметри моделі , , оцінимо за методом найменших квадратів.

Формула для розрахунку має вигляд

А=[X^TX]^-1[X^TY].

Отримання оцінок параметрів моделі багатофакторної лінійної регресії можливо здійснити, використовуючи матричну форму запису системи нормальних рівнянь:

Запишемо необхідні для проведення розрахунків матриці.

Матриця		вектор
1	5,5	14,1		43,9
1	6,2	11,4		41,2
1	6	14		46
1	7,4	14,4		57,6
1	5,8	17,7		47,8
1	8,3	16,1		59,6
1	6,2	18,6		56,7
1	9,5	21,8		69,1
1	7,5	20,5		77,9
1	9	23,8		81,3
1	5,5	14,1		43,9

Транспонована матриця має вигляд

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
5,5	6,2	6	7,4	5,8	8,3	6,2	9,5	7,5	9	5,5
14,1	11,4	14	14,4	17,7	16,1	18,6	21,8	20,5	23,8	14,1

Проведемо необхідні розрахунки для обчислення параметрів моделі.

Обчислимо матрицю B = [X^TX]

Матриця ХТХ
11	81,4	197,4
81,4	627,92	1515,45
197,4	1515,45	3737,52

Розрахуємо параметри вектора Y₁ = [X^TY]:

	665,6
Y1 = [XTY] =	5139,99
	12573,12

Для визначення вектора A параметрів моделі необхідно знайти матрицю B^-1, тобто матрицю, обернену матриці B; тобто для оцінки параметрів моделі треба використовувати оператор оцінювання: C=B^-1

Матриця [ХТХ]-1
2,2904	-0,2316	-0,0271
-0,2316	0,0978	-0,0274
-0,0271	-0,0274	0,0128

Тоді А=[X^TX]^-1[X^TY] = C*Y₁. Отже, підставивши необхідні дані, отримаємо:

	-6,19
A =	3,75
	2,17

Таким чином, економетрична модель має вигляд

Y = -6,19 + 3,75L + 2,17K + u.

Для обчислення прогнозу підставимо необхідні значення L та K в модель:

Y_ПР = -6,19 + 3,75 L_ПР + 2,17 K_ПР = -6,19 + 3,75 • 13,0 + 2,17 • 28,0 =103,32.

Обчислимо вектор залишків: U = Y - X • A

	-1,1382
	-0,5967
	-0,6944
	4,7914
	-6,1811
U =	-0,2730
	-0,7346
	-7,6491
	11,4680
	2,0805

Знаходимо дисперсію залишків (залишкову) та загальну дисперсію:

= 23,6; = 760,4 / 10 = 220,8.

Оцінимо адекватність моделі за F-критерієм Фішера:

.

За таблицею критичних значень критерію Фішера знаходимо .

Оскільки , то з ймовірністю можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує екомічне явище.

Задача 5

На основі статистичних даних показника Y і факторів X₁ та X₂ знайти оцінки параметрів регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами і показником має вигляд: .

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю р=0,95 оцінити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти точкову оцінку прогнозу.

Вар	Вид залежності	Значення показників	Прогноз
			9,3	7,6	7,7	8,9	11	10	15	12	19	21	27
1.			25	26	27	28	25	26	31	32	33	30	35
			37	42	38	45	44	48	54	59	65	54	-

Розв'язання.

Для оцінки параметрів стохастичної залежності між факторами і показником, яка має вигляд , її необхідно привести до лінійного вигляду. Для цього про логарифмуємо вираз. В результаті отримаємо:

LnY = Ln a₀ + a₁ Ln X₁ + a₂ Ln X₂.

Припустимо, що

LnY =Y₁, LnX₁ = Z₁, a LnX₂ = Z₂, Lna₀ = b₀, a₁=b₁, a₂=b_2.

Тоді функція буде мати вигляд:

Y₁ = b₀ + b₁ Z₁ + b₂Z₂.

Параметри моделі b₀, b₁, b₂ слід оцінити методом найменших квадратів. Запишемо матрицю Z та вектор Y₁.

Вихідна матриця Z та вектор Y1
	Z1 = Ln Х1	Z2 = Ln Х2	Y1= Ln Y
1	2,230	3,219	3,611
1	2,028	3,258	3,738
1	2,041	3,296	3,638
1	2,186	3,332	3,807
1	2,398	3,219	3,784
1	2,303	3,258	3,871
1	2,708	3,434	3,989
1	2,485	3,466	4,078
1	2,944	3,497	4,174
1	3,045	3,401	3,989

Транспонована матриця має вигляд:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2,230	2,028	2,041	2,186	2,398	2,303	2,708	2,485	2,944	3,045
3,219	3,258	3,296	3,332	3,219	3,258	3,434	3,466	3,497	3,401

Матриця ZТZ	Вект ZТY1	Обернена матриця до ZТZ
10,00	24,37	33,38	38,7	175,836	10,559	-60,356
24,37	60,53	81,58	94,7	10,559	1,810	-4,485
33,38	81,58	111,52	129,3	-60,356	-4,485	21,356

Вектор параметрів моделі

b₀ =-0,363

b₁ =0,186

b₂ =1,132

Зробивши зворотну заміну, отримаємо параметри вихідної моделі

a₀ =0,696

a₁ =0,186

a₂ =1,132

Отже, модель має вигляд: Y = 0,696 X₁^0,186X₂^1,132 .

Знайдемо прогнозне значення:

.

Перевіримо адекватність моделі. Теоретичні значення заносимо до таблиці і розраховуємо залишкову та загальну дисперсії:

I	X1i	X2i	Yi
1	9,3	25	37	40,23	10,4	187,9
2	7,6	26	42	40,51	2,23	75,81
3	7,7	27	38	42,38	19,2	161,5
4	8,9	28	45	45,36	0,13	32,57
5	11	25	44	41,51	6,22	44,98
6	10	26	48	42,63	28,9	7,327
7	15	31	54	56,09	4,36	10,84
8	12	32	59	55,78	10,4	68,78
9	19	33	65	62,91	4,39	204,3
10	21	30	54	57,53	12,5	10,84
11	27	35	72	71,89	0	443,9
У		50,707		98,7	1249

= 12,3; = 1249 / 11 = 113,5

Проводимо оцінку адекватності моделі за F-критерієм Фішера:

Тіснота зв'язку: R == 0,94 зв'язок щільний.

Fp = (113,58 - 12,3) / (12,3/11) = 90,25.

За таблицею критичних значень критерію Фішера знаходимо .

Оскільки , то з ймовірністю можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує екомічне явище.

Размещено на Allbest.ru

...