Математические методы и модели в финансах

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Математические методы и модели в финансах

К.А. Джафаров

1. Методология инвестиционно-финансовых расчетов

1.1 Фактор времени в финансовых расчетах

В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важную роль играет фактор времени. "Золотое" правило бизнеса гласит: сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра. Согласно этому правилу сегодняшние поступления ценнее будущих.

Из этого правила следует:

- необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций;

- некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций требует применения специальных количественных методов его оценки.

Методами учета фактора времени в финансовых операциях являются методы наращения и дисконтирования, в основу которых положена техника процентных вычислений. С помощью этих методов осуществляется приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому моменту времени в настоящем или будущем.

1.2 Процент. Декурсивные и антисипативные проценты

Слово "процент" - латинское "pro centum", означает "на сотню". С математической точки зрения 1% от a означает сотую долю числа a (например, 5% от a - это 0,05a).

С экономической точки зрения "процент" - плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженная в сотых долях от исходной суммы.

Существуют два способа вычисления процентов: антисипативный (предварительный) и декурсивный (последующий).

Если процентный платеж начисляется в начале каждого расчетного периода - это антисипативное начисление процентов. Декурсивное начисление процентного платежа производится, если процентный платеж начисляется и добавляется к капиталу в конце каждого расчетного периода.

Декурсивное начисление - наиболее распространенное. Антисипативный способ выгоден при условии высокой инфляции.

1.3 Виды процентных ставок

Получение кредита - распространенная финансовая операция. С количественной стороны она характеризуется временными параметрами и денежными величинами:

- дата выдачи ссуды;

Т - ее срок или период;

- дата погашения ссуды;

- величина выданной ссуды;

- плата за ссуду, процент, процентный доход, абсолютное приращение начального капитала :

где - полная стоимость кредита или наращенная сумма;

- ставка процента, отношение процента к начальной сумме, эффективность вложения:

.

Замечание: - мы будем выражать в абсолютных единицах или процентах. В последнем случае абсолютное значение i умножается на 100%.

Пример.

а) Кредит выдан на срок Т = 1 год в сумме S(0) = 1 млн. руб. с условием возврата S(1) = 2 млн. руб. Найдем эффективность вложения i(0,1):

, т.е. i(0,1) = 100%.

б) Кредит выдан на сумму S(0) = 3 млн. руб. на срок Т = 1 год под ставку i(0,1) = 50%. Через год наращенная сумма составит S(1) = S(0)(1+i(0,1)) = 4,5 млн. руб.

Основная единица времени (например, год) называется базовой. Временной интервал, в конце (а иногда - в начале) которого начисляются проценты за этот интервал, называется конверсионным периодом или периодом начисления. Если длина конверсионного периода совпадает с базовой единицей времени, то соответствующая процентная ставка называется эффективной.

1.4 Ставка наращения и учетная ставка. Наращение по простым и сложным процентам

Рассмотрим сначала простых процентов.

Пусть базовая единица времени равна одному календарному году . Пусть t0 = 0. Предположим, что вкладчик открывает в банке счет до востребования на 1000 руб. при ставке 90% годовых. Проценты простые, т.е. деньги можно снимать в любое время, а проценты на проценты не начисляются. Тогда через 6 месяцев вкладчик может снять руб., через год - 1900 руб., через 16 месяцев - 2200 руб.

Поэтому, если S(0) зачисляется на вклад под простые проценты по ставке i в год, то плата банка вкладчику составит . Таким образом, наращенная сумма вклада за t лет составит: . Последняя формула носит название формулы наращения по простым процентам, а - называется коэффициентом наращения простых процентов (обычно обозначается через А(t)).

Простые проценты применяют в следующих случаях:

а) при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;

б) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода;

в) при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т.д.

Пример. Пусть 3000 руб. выданы в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца.

Пусть S(k) - наращенное значение долга в конце k-го месяца. Так как S(0)=3000, i=0,1, то , k=1, 2, 3, 4, 5, 6.

Простые проценты бывают обычными, когда срок кредита составляет Т = 360 дней, и точными, если Т = 365 или 366 дней. Следовательно, наращенная сумма в произвольный момент составит

,

где T = 360, 365 или 366.

Рассмотрим случай, когда простой процент за кредит или другое инвестиционное вложение выплачивается в момент заключения договора сроком на один год, т.е. "вперед". Введем определение годовой учетной ставки.

Определение. Годовой учетной ставкой "вперед" называется отношение процентного дохода за год к наращенной сумме и обозначается через d:

, где .

Из определения очевидно следует теорема.

Теорема. Годовая учетная ставка d для простых процентов "вперед" связана с годовой ставкой i соотношением:

.

Упражнение. Докажите теорему самостоятельно.

Теперь рассмотрим сложные проценты.

Пусть банк выплачивает по сберегательному счету проценты по ставке i в год, причем эта ставка действует два года. Пусть в t0 = 0 вкладчик открывает счет с начальным капиталом S(0), который можно пополнить или закрыть в любое время. Если он закроет через год, то получит сумму: . Пусть он положит эту сумму еще на один год. В конце второго года он получит

,

если же не будет переоформлять свой вклад, то через два года он получит , т.е. на меньше.

Этот пример показывает необходимость введения понятия сложных процентов, когда исходная сумма увеличивается с каждым периодом начисления (а для простых процентов исходная сумма всегда равна S(0), т.е постоянна). Поэтому наращение по сложным процентам происходит плавно. Присоединение процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов.

Обобщая пример мы получим формулу наращения сложных процентов:

, n = 1, 2,…

Величина - называется коэффициентом наращения сложных процентов (обозначается через А(0, n)).

Пример. Пусть S(0) = 250 руб. вложены на четыре года под сложные проценты при ставке 100% годовых. Тогда наращенная сумма за это время составит

= 4000 руб.

1.5 Номинальная и эффективная ставки процентов

Определение. Годовая ставка называется номинальной, если соответствующая процентная ставка за один период начисления лет составляет , m = 1, 2, 3,…Если Т - срок инвестиции в годах, то

.

здесь mT - число периодов начисления за Т лет.

Пример. 10000 руб. инвестированы на два года по ставке 120% годовых. Найдем наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно. Воспользуемся приведенной выше формулой. Здесь руб., Т = 2, %

а) m = 1, руб.;

б) m = 2, 65536 руб.;

в) m = 4, 81573,07 руб.;

г) m = 12, 98497,33 руб.

С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут. Для сравнения реального относительного дохода за один год при начислении процентов один и m раз введем понятие эффективной ставки процента.

Определение. Эффективная годовая ставка для номинальной находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

Замечание. По определению

Из (*) следует, что эффективная ставка эквивалентна в финансовом смысле ставке , применяемой m раз в году.

Пример. Пусть банк начисляет сложные проценты по номинальной ставке 120%. Тогда при ежедневной капитализации процентов эффективная ставка составит:

, т.е. 231,6%,

а при ежемесячной капитализации

, т.е 213,8%.

1.6 Дисконтирование по простым и сложным процентам

Определение. Величина S(t0) называется современным, приведенным или текущим значением будущей суммы S(t0+Т) в настоящий момент t0, которая при инвестировании в начальный момент t0 по ставке i(t0) процента даст через время Т требуемое наращенное значение S(t0+Т), при этом она может быть выражена следующим образом

, в случае, если - простая ставка процента, и

, в случае, если - сложная ставка процента.

Операция вычисления современной стоимости будущей суммы денег называется математическим дисконтированием, величина дисконтным множителем, разность дисконтом суммы S(t0+T) и обозначается через D.

Пример. Кредит выдан на 6 месяцев под 80% годовых с условием вернуть 3000 руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

Предположим, что T = 360 дней, следовательно 6 месяцев = 180 дней. Тогда

руб. Дисконт составит D=857 руб.

Определение. Величина - называется эффективной ставкой дисконта, где d - годовая учетная ставка.

При заданных S(Т) , 0 и сложной годовой процентной ставке i мы получим следующую формулу дисконтирования:

,

а при годовой номинальной ставке :

1.7 Сложная годовая учетная ставка

Определение. Если годовая учетная ставка d эквивалентна годовой ставке i сложных процентов, то d будем называть сложной годовой учетной ставкой.

Из равенства следует, что . Теперь, используя равенства , мы получим: при сложной учетной ставке, где 0<t<T.

Аналогично получается

при простой учетной ставке.

Следовательно, дисконтный множитель выглядит так:

здесь время до платежа.

1.8 Номинальная и эффективная ставки дисконта

Определение. Пусть дисконтирование производится m раз в год. Тогда соответствующая годовая сложная учетная ставка называется номинальной, если в начале каждого периода начисления осуществляется дисконтирование по ставке .

При этом формула дисконтирования выглядит так:

.

Определение. Эффективная сложная годовая учетная ставка для номинального находится из условия равенства двух соответствующих дисконтных множителей за год:

.

1.9 Непрерывное наращение и дисконтирование. Сила роста

Многие производственные и экономические процессы непрерывны по своей природе и, соответственно, финансовая модель такая же.

Пусть m - периоды начисления, m = 1, 2, 3, … Обозначим через длину периода начисления; - годовая ставка. Тогда

, m=1, 2, …, 0<h1.

Обозначим - номинальную процентную ставку за один период начисления длиной h лет, обозначим .

Коэффициент наращения А(h) за любой период (t, t+h) длиной , на интервале (0, Т) представим в виде

Поскольку h мало, то различие между простыми и сложными процентами мало. Так как А(0)=1, то приращение одной денежной единицы за малое время h будет . Отсюда , т.е. .

При и номинальная ставка монотонно убывает, оставаясь положительной. Поэтому у существует положительное предельное значение, которое обозначается через :

.

Определение. Предел номинальной ставки при называется силой роста или интенсивностью наращения за один год при непрерывном начислении процентов. Величину можно назвать также номинальной годовой ставкой при непрерывном начислении процентов.

Приведем несколько теорем, которые связывают эффективные и номинальные ставки процентов. Отметим, что вопрос эквивалентности различных ставок будет рассмотрен позже.

Теорема. Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением .

(Доказательство: )

Теорема. Эффективная годовая ставка d дисконтирования и номинальная годовая ставка связаны соотношением:.

Пример. Найти наращенное за 5 лет значение S(0)=106 руб., если оно реинвестируется по постоянной ставке % при 1) m=1, 2) m=2, 3) непрерывно.

руб.;

руб.;

руб..

Теорема. При постоянной эффективной годовой ставке i и номинальной годовой ставке коэффициент наращения зависит лишь от длины интервала наращения измеренной в годах, и составляет

.

Коэффициент дисконтирования за лет равен

.

Замечание. Отметим, что как при непрерывном, так и при дискретном начислении сложных процентов справедливо:

.

Пример. Сумма 2000 руб. положена в банк под схему непрерывного начисления процентов с постоянной интенсивностью роста =10% за год. Найдем наращенную в конце года t сумму S(t) при t=1, 2, 3, 5 и 10.

Здесь S(t) =2000е0,1t. Подставляя вместо t последовательно значения t=1, 2, 3, 5 и 10, находим

S(1) = 2210,34; S(2) = 2442,80; S(3) = 2699,71;

S(5) = 3297,44; S(10) = 5436,56.

Заметим, что если функцию задать на интервале , то при >0 она совпадает с А(), а при <0 - с v() (см. рис):

.

При этом - интенсивность наращения за базовую единицу времени.

Пусть А(t, t+h) коэффициент наращения на интервале (t, t+h), и А(t, t) =1, тогда . Здесь - мгновенное значение в момент t годовой номинальной процентной ставки, которое зависит не только от длины h интервала наращения, но и от момента t его начала. Поэтому коэффициент наращения А(t, t+h) также зависит не только от h, но и от t. Пусть существует

,

где - мгновенное значение интенсивности роста за базовую единицу времени (обычно один год) в момент t.

.

Справедлива следующая фундаментальная теорема.

Теорема. Пусть и А(t, t) - непрерывные функции времени при и что в этом интервале выполняется принцип стабильности рынка (см.ниже Замечание). Тогда при

.

Следствие. Если v(t1, t2) - коэффициент дисконтирования одной денежной единицы с момента t2 на момент t1, то

.

Замечание. (Принцип стабильности рынка).

Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов.

1.10 Учет инфляции

Инфляция - это процесс падения реальной покупательной способности денег и общего повышения цен внутри страны, который происходит в результате переполнения каналов обращения избыточной денежной массой при отсутствии адекватного увеличения товарной массы. Её необходимо учитывать при проведении среднесрочных и особенно долгосрочных финансовых операций.

Рассмотрим потребительскую корзину из наименований и примем, что товар или услуга входит в корзину в количестве соответствующих единиц, а цена на эту единицу в момент составляет рублей за единицу товара , . Тогда стоимость корзины в момент будет

.

Определение. Индексом инфляции за время от до называется безразмерная величина

,

а темпом инфляции за этот период называется

.

H показывает во сколько раз, а h - на сколько (после умножения на 100) процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Теорема. Если t0<t1<…<tn, то индекс инфляции на интервале равен произведению индексов инфляции на каждом из составляющих подынтервалов :

.

Отсюда видно, что инфляционный рост некоторой суммы S при годовом уровне инфляции h - то же самое, что наращение суммы S по сложной годовой ставке процентов h. Такие же рассуждения применяются, если вместо года берётся любой другой временной интервал (квартал, месяц, день и т.д.).

Пример. Цены каждый месяц растут на 2%. Требуется определить, выгодно ли предложение банка вложить средства под 25% годовых.

Со своей стороны банк надеется на то, что Вы будете рассчитывать годовой уровень инфляции как .

Между тем, если уровень инфляции составляет 2% в месяц, следовательно, за месяц цены возрастут в (1+0,02)=1,02 раза, а за год - в 1,0212 = 1,268 раза. Значит годовой уровень инфляции достигает (1,268-1)100 = 26,8%. После такого расчета процентная ставка 25% годовых теряет свою инвестиционную привлекательность и может рассматриваться лишь в плане минимизации потерь от инфляции.

Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфляции. Если известен годовой уровень инфляции h, то за период в n лет (при том, что и - целое число лет, - оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции составит следующую величину:

.

В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции hm за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий m таких интервалов, индекс инфляции будет равен

.

Если в обычном случае первоначальная сумма S(t0) при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S(t0+T), то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму Sh, что требует уже иной процентной ставки. Назовем её ставкой процента, учитывающей инфляцию.

Пусть ih - ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;

dh - учетная ставка, учитывающая инфляцию;

jh - номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;

fh - номинальная сложная учетная ставка, учитывающая инфляцию.

Зададим годовой уровень инфляции h и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда для наращенной суммы S(t0+T), превращающейся в условиях инфляции в сумму Sh, используем формулу:

.

Для данной суммы можно записать ещё одно соотношение:

,

а затем составить уравнение эквивалентности:

,

из которого следует, что

.

Мы получили, таким образом, известную формулу И. Фишера, в которой сумма (h+ih) является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

Пример. Пусть реальная ставка доходности равна 25%, а темп инфляции - 15%. Найти компенсированную ставку процента. . Иногда при проведении анализа хозяйственной деятельности предприятия для подсчета процентной ставки ih к величине реальной ставки доходности просто прибавляют величину темпа инфляции. Очевидно, что при этом предприятие несет значительные финансовые потери. Ведь когда счет идет на десятки миллионов, каждый процентный пункт - это сотни тысяч рублей.

Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период.

Для простых процентных ставок получаем

.

В то же время должно выполняться равенство:

.

Составим уравнение эквивалентности:

,

из которого получаем

.

Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквивалентности будет иметь вид:

;

.

Для случая сложных процентов используем формулу

;

.

Отсюда

.

Если начисление процентов происходит m раз в году, тогда используем формулу

.

Отсюда

.

Таким же образом получаем две формулы для случая сложных учетных ставок:

;

.

Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода. Эти формулы можно преобразовать и получить зависимость i от ih или любую другую. Например, можно получить формулу, позволяющую определить реальную доходность финансовой операции, когда задан уровень инфляции и простая ставка процента, учитывающая инфляцию:

.

Аналогичная формула для случая сложных процентов:

.

Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение (1+h)n, получим формулу

,

отражающую несколько очевидных соображений:

если ich = h (доходность вложений и уровень инфляции равны), то ic=0, то есть весь доход поглощается инфляцией;

если ich<h (доходность вложений ниже уровня инфляции), то ic<0, то есть операция приносит убыток;

если ich>h (доходность вложений выше уровня инфляции), то ic>0, то есть происходит реальный прирост вложенного капитала.

В реальных условиях зачастую разные аналитические агентства опубликовывают различные прогнозные значения темпа инфляции на один и тот же период. Тогда необходимо оценить вероятности этих прогнозов и рассчитывать реальные значения доходов как математическое ожидание дискретной случайной величины - предполагаемого дохода.

Пример. Вклад в сумме 2000 рублей помещен в банковский депозит с первого января с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке i = 6% в месяц. Требуется найти ожидаемый реальный доход вкладчика за год, если в печати опубликованы прогнозы трех организаций о месячном темпе инфляции, согласно которым темп будет постоянным и равен соответственно 0,03; 0,05 и 0,01 для k = 1,2,3. Вкладчик оценивает вероятности этих прогнозов: р1 = 0,3, р2 = 0,5, р3 = 0,2.

Найдем номинальный коэффициент наращения за 12 месяцев Агод = (1+0,06)12=2,01. Инфляция уменьшает реальные значения этих коэффициентов в раз, т.е.

при ;

при ;

при .

Реальный коэффициент наращения за год составляет

,

т.е. , , , следовательно, доход составит рублей, т.е. J(1)=2000(1,41-1)=820, J(2)=2000(1,12-1)=240, J(3)=2000(1,78-1)=1560. Отсюда получаем, что ожидаемый реальный доход вкладчика составит рублей.

Чтобы снизить воздействие инфляции на финансовые результаты деятельности предприятия, необходимо своевременно контролировать уровень рентабельности, закладываемый в продажную цену изделия. Как известно, общая формула рентабельности продаж, рассчитываемой по затратам, имеет следующий вид:

,

где r - рентабельность продаж, в %;

Р - прибыль от реализации продукции (работ, услуг), тыс. руб.;

С - затраты на производство продукции (работ, услуг), тыс. руб.

Чтобы оценить величину рентабельности, закладываемую в цену изделия, необходимо исходную формулу преобразовать. Выручка-нетто от реализации продукции может быть разложена по элементам стоимости:

N=С+P или N=M+U+A+P,

где М - затраты сырья, материалов, покупных изделий и полуфабрикатов;

U - расходы на оплату труда с отчислениями на социальные нужды;

А - амортизация основных средств;

Р - прибыль от реализации

Величина чистого притока денежных средств от реализации (NЧ) на предприятие меньше выручки-нетто от реализации (т.е. за минусом налога на добавленную стоимость, акцизов и аналогичных обязательных платежей) на величину налога на прибыль:

NЧ= M+U+A+(1-?)P

где ? - ставка налога на прибыль.

Предположим, что материальные затраты и расходы на оплату труда растут в течение производственного цикла одинаковыми темпами. Рост этих элементов за период отражается коэффициентом:

,

где h- темп прироста затрат из-за инфляции за месяц;

t - число месяцев в производственном цикле.

Чистый приток денежных средств от реализации должен позволять оплачивать затраты на производство и реализацию в прежних масштабах (в случае простого воспроизводства), поэтому

Или

откуда следует, что

.

Окончательный вид ограничения для рентабельности продаж, рассчитываемой по затратам:

или или

.

Таким образом, для сохранения простого воспроизводства в условиях инфляции необходимо закладывать в продажные цены на продукцию уровень рентабельности, соответствующий полученному ограничению.

1.11 Эквивалентность процентных ставок

Формулы эквивалентности процентных ставок получаются путем приравнивания двух коэффициентов наращения или дисконтирования. Многие формулы так или иначе встречались нам ранее.

1) Эквивалентность простых процентных ставок

Найдем соотношение между простой ставкой наращения i и простой учетной ставкой d.

.

Если T - срок ссуды в годах, то

.

Если срок ссуды измеряется в днях, тогда подставляя вместо , где K=360, 365, получим необходимые соотношения.

2) Эквивалентность простых и сложных ставок

Пусть i простая ставка наращения и d простая учетная ставка, сложная ставка наращения и номинальная ставка. Приведем теперь соотношения.

А. Эквивалентность и i:

,

которые получаются из равенства: .

Б. Эквивалентность и :

В. Эквивалентность d и :

Г. Эквивалентность d и :



3) Эквивалентность сложных ставок

Приведем соотношения эквивалентности для ставок , и

где - сложная учетная ставка.

4) Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок

Пусть - сила роста.

А. Эквивалентность и : Из равенства следует, что

Б. Эквивалентность и :

.

В. Эквивалентность и : Из равенства следует, что

.

Г. Эквивалентность двух номинальных ставок и



Пример. Определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

По условию , а нужно найти эквивалентное значение .

Так как , то %.

2. Потоки платежей и финансовые ренты

2.1 Потоки платежей и их классификация

Проведение любой финансовой операции порождает движение денежных средств: возникновение отдельных платежей или множества выплат и поступлений, распределенных во времени. В процессе количественного анализа финансовых операций удобно абстрагировать от их конкретного экономического содержания и определить порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF0, CF1,…, CFn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике используется термин поток платежей или денежный поток. Отдельный элемент такого числового ряда CFt (cash flow) представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходовании на конкретном временном отрезке.

Характеристиками потока платежей являются:

AVn - будущая стоимость потока за n периодов.

РVn - современная стоимость потока за n периодов.

CFt - величина потока платежей в периоде t.

2.2 Аннуитет. Ренты и виды рент

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t0, а заканчивается в момент tn, а выплата суммы Yk происходит в момент tk, k=0, 1,…, n, причем .

Определение. Если все выплаты Yk одного знака и происходят через одинаковые интервалы времени , k=1, 2,…, n, то такая последовательность платежей называется финансовой рентой или аннуитетом.

Примерами рент могут служить, например, квартирная плата, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту и т.д. Yk - называется членом ренты. Если Yk=Y, то рента называется постоянной, в противном случае переменной. Величина называется периодом ренты или периодом выплат (т.е. календарная длина постоянного интервала между двумя последовательными выплатами), n - календарный срок ренты. Выплата ренты может производится один раз или l раз за год, начисление процентов - один раз или m раз за год. В этом случае ренты называются дискретными (l, m) - кратными рентами, причем мы рассмотрим только случай l=m. Если выплаты и начисление процентов производятся очень часто (например, еженедельно), то в этом случае ренты называются непрерывными. Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной, а если в начале периода, то пренумерандо или авансированный. С точки зрения срока ренты делятся на безусловные, когда заранее оговариваются даты первой и последней выплаты, и условные, когда дата первой и/или последней выплат зависит от того, произойдет некоторое событие. Пример условной ренты - пенсия. Если - то рента называется бессрочной (или вечной). Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае - общей.

2.3 Наращенная сумма и современная стоимость потока платежей

Пусть - базовая единица времени и срок ренты составляет n этих единиц, где n - любое целое число, n1. Пусть каждый член ренты равен Y руб., а ставка сложного процента за базовую единицу времени равна i (эффективная ставка). Ренту постнумерандо обозначим через R0, пренумерандо через R1. Пусть t0 = 0. Временной интервал [0, n) разобьем на n подынтервалов: [0, 1), [1, 2),…, [n-1, n). Представим себе, что в интервале [k-1, k) выплата постнумерандо происходит в момент k-, а выплата пренумерандо в интервале [k, k+1) - в момент k+, k = 1, 2, …, n-1. Пусть S0(t) - суммарная стоимость всех выплат ренты R0, приведенная к моменту t, а S1(t) - аналогичная величина для ренты R1, . Для удобства обозначим современную стоимость - РV, наращенную сумму - AV, т.е. РV(R0)=S0(0), АV(R0)=S0(n), РV(R1)=S1(0), АV(R1)=S1(n).

Приведя все выплаты к моменту 0, получим

,

,

,

.

так как .

Для стоимости рент с единичными выплатами Y = 1 в международной финансовой практике применяются специальные обозначения. Современную стоимость в момент 0 рент постнумерандо и пренумерандо обозначают (соответственно):

Наращенную стоимость в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают (соответственно):



Пример. Кредит в сумме 5 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i = 1, 3, 5% в месяц. Найдем сумму ежемесячного взноса Y(i) при платеже а) постнумерандо, б) пренумерандо.

а) Для взносов постнумерандо Y1(i) находится из уравнения

Здесь значения найдены из таблицы значений (см. приложения, таблица 4).

б) Для взносов пренумерандо Y0(i) находится из уравнения :

,

Здесь найдены из соотношения .

Найдем современную стоимость бессрочной ренты:

(так как )

.

Таким образом, современная стоимость даже не ограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало чего стоят сегодня. При большой инфляции обесценивание далеких денег происходит особенно быстро.

Пример. Пусть ежегодно выплачивается бессрочная рента с Y=106 руб. Найти современную стоимость этой ренты постнумерандо и пренумерандо при годовой ставке i= 5, 10, 100%.

Здесь , , . Так как , то , , . Теперь вычислим и :

млн. руб., =10 млн. руб.,

млн. руб., млн. руб.,

млн. руб., млн. руб.

2.4 Отсроченные, m-кратные и непрерывные ренты

Отсроченная (отложенная) рента. Существует обобщение базовых рент, когда первая из выплат происходит в момент h+ для пренумерандо и h+1-, h>0 - для постнумерандо.

Определение. Такой поток платежей называется отсроченной на h единиц времени рентой, а его современная стоимость в момент 0 обозначается через для выплат пренумерандо, и через - для выплат постнумерандо, n=1, 2,…, h>0. При h=0 отсроченная рента совпадает с базовой.

.

Пример. Клиент желает приобрести в банке ренту с ежемесячной выплатой ему, а в случае его смерти - жене или детям 1000 руб. в последний рабочий день каждого месяца в течение четырех лет. При постоянной ставке i=0,5; 1 и 2% в месяц нужно оценить себестоимость для банка этой ренты на момент продажи для случаев начала выплаты: а) немедленной; б) отсроченной на 1,5 года; в) отсроченной на 3 года.

Для решения нужно вычислить значения величин для указанных i и h используя таблицу значений .

Получим:

h	i
	0,005	0,01	0,02
0	42,5803	37,9740	30,6731
18	25,4179	21,5757	15,6811
36	9,7093	7,8665	5,1843

m-кратные ренты. Пусть базовая единица времени равна одному году, при эффективной годовой ставке i производится m выплат по руб. каждая, проценты начисляются также m раз, m = 1, 2,… . За n лет общее число выплат - nm, а общая сумма выплат при i = 0 составит n руб.

Для ренты постнумерандо выплаты производятся и проценты начисляются в моменты:

а для пренумерандо - в моменты:



а) Для m-кратных рент постнумерандо коэффициент дисконтирования определяется так:, а коэффициент наращения - .

б) Для m-кратных рент пренумерандо коэффицент дисконтирования определяется так:, а коэффициент наращения - .

Непрерывные ренты. При непрерывной выплате различие между рентами постнумерандо и пренумерандо исчезает. Современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно с постоянной интенсивностью единица, т.е. одна денежная единица за одну единицу времени, при непрерывном начислении процентов с постоянной интенсивностью , обозначим :

или .

Пусть h - любое неотрицательное число, не обязательно целое; а - современная стоимость отсроченной на h единиц времени ренты, выплачиваемой непрерывно с интенсивностью единица на интервале (h , h +n). Тогда

, следовательно.

Аналогично:

= или .

Легко убедиться в том, что для вечной ренты при >0 имеет место .

2.5 Переменные потоки платежей

Встречаются случаи, когда члены потоков платежей изменяются во времени, что может быть связано либо обстоятельствами объективного порядка, либо случайными факторами. Примером таких потоков являются переменные ренты.

Рассмотрим несколько видов переменных рент.

Рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени

Предположим, что изменения происходят согласно арифметической прогрессии. Например, если выплачивается годовая рента постнумерандо, размеры членов ренты образуют последовательность:

Величина t-го члена ренты

Определим наращенную сумму и современную стоимость ренты. Современная стоимость:



Умножим на (1 + i) и вычтем из обеих сторон:

где an,i - современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1.

Наращенная сумма:

Как влияет на S1(0) абсолютный прирост платежей:

А0 - современная стоимость потока при нулевом приросте (А0 = Yani).

Аналогично

Для рент пренумерандо получим

В частном случае, когда прирост равен величине первого платежа, т.е. Y = a

(m,1) - кратная переменная рента с постоянным абсолютным приростом.

Здесь последовательность выплат:

Отдельный член этого ряда определяется как:

t = 1,2,…,mn.

При начислении процентов 1 раз в году для ренты постнумерандо находим:



и

Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Пусть размеры платежей изменяются в геометрической прогрессии. Поток таких платежей: Y, Yq, Yq2,…,Yqn-1, где q - знаменатель прогрессии или темп роста. Для рент постнумерандо ряд дисконтных платежей составляет:

Сумма .

Пусть q = 1+k, где k - темп прироста платежей. Тогда

Наращенная сумма ренты

Для рент пренумерандо получим:

,

(m, 1) - кратная рента с постоянными относительными изменениями членов.

Пусть платежи производятся m раз в год постнумерандо, а проценты начисляются раз в год по ставке i. Последовательность платежей - это геометрическая прогрессия: Y, Yq, …, Yqn-1, где q - темп роста за период. Тогда

Для современной величины такой ренты:

Непрерывные переменные потоки платежей

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Yt = f(t), то общая сумма поступлений за время n равна

Наращенная сумма находится как:

.

Современная стоимость такого потока

.

Здесь необходимо определить конкретный вид функции f(t). Выделяют два вида: линейная и экспоненциальная.

Наращенная сумма:

1) Yt = Y0 + at, где Y0 - начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в которую измеряется срок ренты.

Современная стоимость:

где an? - коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

2) Экспоненциальный рост платежей.

Функция потока платежей

Yt = Yeqt,

Где

q - непрерывный темп прироста платежей.

Современная величина:

инвестиционный финансовый дисконтирование рента

Нетрудно найти зависимость непрерывных и дискретных темпов прироста процентных ставок:

Размещено на Allbest.ru

...