Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА

Кафедра «Экономика и менеджмент»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Методы моделирования и прогнозирования в экономике»

на тему: «Методы прогнозирования на основе анализа временных рядов»

Выполнила: ст. гр. БЭЗП-31

Фазлетдинова Л. Р.

Проверила: доцент, к.э.н. Ризванова М.А.

Уфа - 2015

Содержание

Введение

1. Методы прогнозирования на основе анализа временных рядов

2. Мультивариантный анализ временных рядов

3. Автокорреляционный анализ

4. Экспоненциальное сглаживание (EXPO)

5. Метод прогноза Бокса и Дженкинса

Заключение

Литература

Введение

Эконометрические модели начали использоваться для экономического прогнозирования в 60-е?годы ХХ?в. С этого времени структура экономики развитых стран и методы эконометрического анализа претерпели кардинальные изменения. В то же время проблема прогнозирования будущего состояния экономики остается нерешенной, что требует усовершенствования эконометрических моделей. Специалисты сосредоточены на исследованиях, связанных с коинтеграцией (метод определения долговременной взаимосвязи в группе переменных динамичных рядов); на прогнозировании и оценке параметров, меняющихся во времени. В частности, разработка американским экономистом Р.?Инглом проблемы коинтеграции меняет подход экономистов-практиков к изучению временных рядов.

Временные ряды - последовательность наблюдений за экономическими изменениями за одинаковые временные интервалы.

Анализ временных рядов - основной инструмент экономической науки и одна из самых плодотворных сфер анализа для экономистов. Временные ряды необходимы для анализа эволюции во времени экономических и социальных связей между переменными (например, эконометрическая модель поведения совокупной безработицы, которая базируется на временных рядах, может дать ценную информацию об ее эволюции во времени, хотя не дает сведений о структуре или продолжительности безработицы). Большая часть использующихся данных имеет вид временных рядов, массив которых постоянно расширяется.

Одним из известнейших исследователей в этой области является К.?Грэнджер.

1. Методы прогнозирования на основе анализа временных рядов

В статистике, обработке сигналов и многих других областях под временным рядом понимаются последовательно измеренные через некоторые (зачастую равные) промежутки времени данные. Анализ временных рядов объединяет методы изучения временных рядов, как пытающиеся понять природу точек данных (откуда они взялись? что их породило?), так и пытающиеся построить прогноз. Прогнозирование временных рядов заключается в построении модели для предсказания будущих событий основываясь на известных событий прошлого, предсказания будущих данных до того как они будут измерены. Типичный пример -- предсказание цены открытия биржи основываясь на предыдущей её деятельности.

Понятие анализ временных рядов используется для того, чтобы отделить эту задачу от в первую очередь от более простых задач анализа данных (когда нет естественного порядка поступления наблюдений) и, во-вторых, от анализа пространственных данных, в котором наблюдения зачастую связаны с географическим положением. Модель временного ряда в общем смысле отражает идею, что близкие во времени наблюдения будут теснее связаны, чем удалённые. Кроме того, модели временных рядов зачастую используют однонаправленный порядок по времени в том смысле, что значения в ряду выражаются в некотором виде через прошлые значения, а не через последующие[8;51].

Методы анализа временных рядов зачастую делят на два класса: анализ в частотной области и анализ во временной области. Первый основывается на спектральном анализе и с недавних пор вейвлетном анализе, и может рассматриваться в качестве не использующих модели методов анализа, хорошо подходящих для исследований на этапе разведки. Методы анализа во временной области также имеют безмодельное подмножество, состоящее из кросс-корреляционного анализа и автокорреляционного анализа.

2. Мультивариантный анализ временных рядов

Одной из главных задач в теории временных рядов является вычисление прогнозных значений исследуемого временного ряда. В настоящее время существует множество различных методов прогнозирования временных рядов, но ни один из них нельзя называть универсальным или лучшим. Причиной этого является уникальность исследуемых процессов, а именно скрытая зависимость элементов временного ряда между собой. Большинство эконометрических методов анализа и прогнозирования временных рядов базируется на заранее принятых гипотезах о классе функциональных зависимостей, среди которых ведется поиск наилучшей. Это обстоятельство не позволяет утверждать однозначно, что построенная эконометрическая зависимость является действительно наиболее эффективной. Указанный недостаток полностью отсутствует при анализе многомерных временных рядов при помощи метода главных компонент. Численные эксперименты подтверждают, что если ряды имеют похожую структуру, то прогноз, основанный на рассматриваемом методе, является более точным и имеет меньшие показатели средней квадратической ошибки по сравнению с применением одномерного метода главных компонент к рядам по отдельности.

Пусть наблюдается система из временных рядов равной длины

,

где . Параметр есть длина ряда. На этапе сингулярного разложения траекторной матрицы данного ряда при анализе многомерного временного ряда с помощью метода главных компонент [1] получаем - ортонормированную систему собственных векторов - матрицы вторых моментов полученной многомерной выборки, соответствующих собственным числам матрицы , взятым в порядке убывания .

Введем следующие обозначения:

пусть , где , и

Рассмотрим следующую систему уравнений:

(1)

Так как , то система, вообще говоря, несовместна, хотя и существует широкий класс функций, для которых она разрешима. Расширим понятие решения системы (1).

Обобщенным решением системы назовем решение системы

(2)

Очевидно, система уравнений (2) разрешима, если матрица имеет ранг . экономический мультивариантный экспоненциальный

Пусть есть решение системы уравнений (2). Тогда продолжением ряда объявляется число

(3)

Из общей теории решения линейных систем следует, что общее решение (2) может быть записано в виде:

где - обобщенная обратная матрица к матрице , а - произвольный вектор. Очевидно, обобщенное продолжение будет единственно, если . Следующая теорема дает критерий единственности обобщенного продолжения функции дискретного аргумента.

Теорема. Условие

(4)

является необходимым и достаточным для единственности обобщенного продолжения ряда [2].

Условие может быть записано в следующем виде:

(5)

Матрица , входящая в равенство (5), есть не что иное, как матрица Грамма системы векторов . Если эта система векторов линейно независима, то , и обратима в обычном смысле. В этом случае равенство (5) тривиальным образом выполняется. Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма. Для однозначного продолжения функции достаточно, чтобы система векторов была линейно независима.

Заметим, что в качестве сомножителя в правой части системы (1) вместо первых компоненты последнего столбца матрицы данных исходного ряда могут быть взяты соответствующие компоненты матрицы данных продолженного ряда. Это обстоятельство позволяет после вычисления по формуле (3) продолжить вычисление по этой же формуле следующих элементов ряда [1;39].

3. Автокорреляционный анализ

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между последовательностями величин одного ряда, взятыми со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Наличие автокорреляции случайных ошибок регрессионной модели приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (то есть создается искусственное улучшение качества модели относительно ее действительного уровня точности).

Автокорреляционная функция - это функция, описывающая зависимость коэффициентов автокорреляции от лага.

Где - количество наблюдений;

- значение i-го признака одного события;

- значение i-го признака другого события;

- средние значения и соответственно.

Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью коррелограммы. Коррелограмма показывает коэффициенты автокорреляции для последовательности лагов из определенного диапазона. На коррелограмме обычно отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные (а, следовательно, высоко значимые) автокорреляции.

Для временного ряда, содержащего тренд, с ростом значения лага коррелограмма не стремится к нулю. Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Данный факт позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности[3;61].

Другой метод исследования периодичности состоит в исследовании частной автокорреляционной функции (ЧАКФ), представляющей собой углубление понятия обычной автокорреляционной функции. Частная автокорреляционная функция показывает корреляцию между двумя случайными переменными за вычетом влияния всех внутренних значений автокорреляции. В частной автокорреляционной функции устраняется зависимость между наблюдениями внутри лага (промежуточными наблюдениями). Частная автокорреляция на данном лаге аналогична обычной автокорреляции, за исключением того, что при вычислении из неё исключается влияние автокорреляций с меньшими лагами.

На лаге 1 (когда нет промежуточных элементов внутри лага), частная автокорреляция равна обычной автокорреляции. На практике, частная автокорреляция даёт более «чистую» картину периодических зависимостей. Если значение ЧАКФ близко к 1 при первом лаге, то велика вероятность того, что существует проблема единичных корней.

Вид автокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции зависит от длины рассматриваемого временного ряда. Если ряд достаточно длинный, формы автокорреляционных функций оказываются более чётко выраженными, модель ряда и параметры модели определяются достаточно чётко. Если же ряд короткий, то коррелограммы теряют свою чёткость, а идентификация становится более сложной, поскольку снижается точность вычислений автокорреляционной и частной автокорреляционной функций[7;65].

Можно построить две основные параметрические модели стационарных временных рядов, процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего. Данные модели предполагают различные виды связи между текущим значением временного ряда и предшествующими ему по времени значениями членов ряда.

4. Экспоненциальное сглаживание (EXPO)

Экспоненциальное сглаживание - это очень популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Броуном и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

Gardner (1985), предложил "единую" классификацию методов экспоненциального сглаживания. Превосходное введение в эти методы можно найти в книгах Makridakis, Wheelwright, and McGee (1983), Makridakis and Wheelwright (1989), Montgomery, Johnson, and Gardiner (1990).

Простое экспоненциальное сглаживание

Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид: X_t = b + _t, где b - константа и (эпсилон) - случайная ошибка. Константа b относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения b состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно. Точная формула простого экспоненциального сглаживания имеет следующий вид:

S_t = *X_t + (1-)*S_t-1

Когда эта формула применяется рекурсивно, то каждое новое сглаженное значение (которое является также прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного ряда. Очевидно, результат сглаживания зависит от параметра (альфа). Если равно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Если равно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения между 0, 1 дают промежуточные результаты[9;94].

Эмпирические исследования Makridakis и др. (1982; Makridakis, 1983) показали, что весьма часто простое экспоненциальное сглаживание дает достаточно точный прогноз.

Самый прямой способ оценки прогноза, полученного на основе определенного значения - построить график наблюдаемых значений и прогнозов на один шаг вперед. Этот график включает в себя также остатки (отложенные на правой оси Y). Из графика ясно видно, на каких участках прогноз лучше или хуже.

Такая визуальная проверка точности прогноза часто дает наилучшие результаты. Имеются также другие меры ошибки, которые можно использовать для определения оптимального параметра (см. Makridakis, Wheelwright, and McGee, 1983):

5. Метод прогноза Бокса и Дженкинса

Общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом (1976) включает как параметры авторегрессии, так и параметры скользящего среднего. Именно, имеется три типа параметров модели: параметры авто регрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q). В обозначениях Бокса и Дженкинса модель записывается как АРПСС (p, d, q). Например, модель (0, 1, 2) содержит 0 (нуль) параметров авто регрессии (p) и 2 параметра скользящего среднего (q), которые вычисляются для ряда после взятия разности с лагом 1.

Как отмечено ранее, для модели АРПСС необходимо, чтобы ряд был стационарным, это означает, что его среднее постоянно, а выборочные дисперсия и автокорреляция не меняются во времени. Поэтому обычно необходимо брать разности ряда до тех пор, пока он не станет стационарным (часто также применяют логарифмическое преобразование для стабилизации дисперсии). Число разностей, которые были взяты, чтобы достичь стационарности, определяются параметром d (см. предыдущий раздел). Для того чтобы определить необходимый порядок разности, нужно исследовать график ряда и автокоррелограмму. Сильные изменения уровня (сильные скачки вверх или вниз) обычно требуют взятия несезонной разности первого порядка (лаг=1). Сильные изменения наклона требуют взятия разности второго порядка. Сезонная составляющая требует взятия соответствующей сезонной разности. Если имеется медленное убывание выборочных коэффициентов автокорреляции в зависимости от лага, обычно берут разность первого порядка. Однако следует помнить, что для некоторых временных рядов нужно брать разности небольшого порядка или вовсе не брать их. Заметим, что чрезмерное количество взятых разностей приводит к менее стабильным оценкам коэффициентов[6;71].

На этом этапе вы также должны решить, как много параметров авто регрессии (p) и скользящего среднего (q) должно присутствовать в эффективной и экономной модели процесса. (Экономность модели означает, что в ней имеется наименьшее число параметров и наибольшее число степеней свободы среди всех моделей, которые подгоняются к данным). На практике очень редко бывает, что число параметров p или q больше 2.

Следующий, после идентификации, шаг (Оценивание) состоит в оценивании параметров модели (для чего используются процедуры минимизации функции потерь, см. ниже; более подробная информация о процедурах минимизации дана в разделе Нелинейное оценивание). Полученные оценки параметров используются на последнем этапе (Прогноз) для того, чтобы вычислить новые значения ряда и построить доверительный интервал для прогноза. Процесс оценивания проводится по преобразованным данным (подвергнутым применению разностного оператора). До построения прогноза нужно выполнить обратную операцию (интегрировать данные). Таким образом, прогноз методологии будет сравниваться с соответствующими исходными данными. На интегрирование данных указывает буква П в общем названии модели (АРПСС = Авто регрессионное Проинтегрированное Скользящее Среднее).

Дополнительно модели АРПСС могут содержать константу, интерпретация которой зависит от подгоняемой модели. Именно, если (1) в модели нет параметров авто регрессии, то константа есть среднее значение ряда, если (2) параметры авто регрессии имеются, то константа представляет собой свободный член. Если бралась разность ряда, то константа представляет собой среднее или свободный член преобразованного ряда. Например, если бралась первая разность (разность первого порядка), а параметров авто регрессии в модели нет, то константа представляет собой среднее значение преобразованного ряда и, следовательно, коэффициент наклона линейного тренда исходного.

Заключение

Для временных рядов главный интерес представляет описание или моделирование их структуры. Цель таких исследований, как правило, шире моделирования, хотя некоторую информацию можно получить и непосредственно из модели, делая выводы о выполнении тех или иных экономических законов (скажем, закона паритета покупательной способности) и проверяя различные гипотезы. Построенная модель может использоваться для экстраполяции или прогнозирования временного ряда, и тогда качество прогноза может служить полезным критерием при выборе среди нескольких моделей. Построение хороших моделей ряда необходимо и для других приложений, таких, как корректировка сезонных эффектов и сглаживание. Наконец, построенные модели могут использоваться для статистического моделирования длинных рядов наблюдений при исследовании больших систем, для которых временной ряд рассматривается как входная информация.

Прогнозирование временных рядов предполагает, что данные, полученные в прошлом, помогают объяснить значения в будущем. Важно понимать, что в ряде случаев мы имеем дело с деталями, не отраженными в накопленных данных. Например, появится новый конкурент, который может неблагоприятно повлиять на будущие доходы или быстрые изменения в составе рабочей силы, которые могут повлиять на показатели уровня безработицы. В подобных ситуациях прогнозирование временных рядов не может быть единственным подходом. Зачастую различные подходы к прогнозированию объединяют, чтобы обеспечить наиболее точные прогнозы.

Литература

1. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. - Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005.

2. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. -- 3-е изд., испр. и доп. - М.: УРСС, 2006.

3. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. - М.: Логос, 2004.

4. Крыштановский А.О. Методы анализа временных рядов // Мониторинг общественного мнения: экономические и социальные перемены. 2000. № 2 (46). С. 44-51. [Статья]

5. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. -- 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007.

6. Орлов А.И. Экoнометрика - М.: Экзамен, 2009. С.576.

7.. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. -- 2-е изд., испр.. -- М.: Физматлит, 2001.

8. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделирование систем: Учеб. для вузов -- 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001.

9. Тихoмиров Н.П. Дoрохина Е.Ю. Экoнометрика. Учебник Для ВУЗов -М.: Экзамен. 2009. С.512.

10. «Эконометрика» под ред. Елисеевой И.М., М.: Финансы и статистика, 2001.

Размещено на Allbest.ru