Расчет статистических показателей предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Выработка ткани по цехам фабрики характеризуется следующими показателями (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Номер цеха	Базисный период	Отчетный период
	Численность рабочих, чел.	Средняя выработка за смену одним рабочим, м	Выработка ткани всего, м	Средняя выработка за смену одним рабочим, м
1	82	72	7020	78
2	110	85	10320	86
3	90	80	7728	83

Определите среднюю выработку ткани по заводу за смену одним рабочим: 1) в базисном периоде, 2) в отчетном периоде. Сравните полученные данные.

Решение.

Сравним среднюю выработку в двух периодах, приняв за базу сравнения среднюю выработку в базисном периоде:

*100% =99.7%

Ответ: средняя выработка ткани в отчетном периоде на 0,3% меньше, чем в базисном периоде.

Задание 2

Имеются следующие данные об изменении себестоимости по отдельным видам продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом и о сумме затрат в производстве в отчетном периоде (см. таблицу 2). Вычислить, насколько в среднем изменилась себестоимость по всем видам продукции.

Таблица 2.

Вид продукции	Изменение себестоимости, %	Сумма затрат в производстве в отчетном периоде, млн. руб.
1	-6	5,5
2	+5	10,1
3	-8	20,3
4	+9	15,5
5	-7	18,3

Решение .

Найдем индивидуальные индексы с/с (для каждого товара):

== 0,94 ; ==1,05; ==0,92 ;

==0,91 ; ==0,93

По определению = . Тогда =.

Здесь - с/с в отчетном периоде

- с/с в базисном периоде

Строим общий индекс с/с (объем фиксируем на уровне отчетного периода):

===-средний гармоничный индекс с/с.

==0,938 или 93,8%

Ответ: в отчетном периоде с/с уменьшилась в среднем на 6,2% по сравнению с базисным периодом.

Задание 3

Имеются следующие данные о работе 24-х заводов одной отрасли промышленности (см. таблицу 3).

Таблица 3.

№ завода	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	№ завода	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.
1	180	13	155
2	180	14	205
3	110	15	190
4	240	16	200
5	228	17	155
6	140	18	225
7	290	19	150
8	100	20	175
9	145	21	165
10	170	22	130
11	100	23	220

По данным таблицы выполнить группировку с равными интервалами заводов по среднегодовой стоимости ОПФ.

Для определения числа групп воспользоваться формулой Стерджесса. Построить вариационный интервальный ряд. Построить полигон, гистограмму, кумуляту. Найти среднее значение изучаемого признака. Найти структурные средние: моду и медиану (с помощью приближенных формул и по гистограмме и кумуляте). Вычислить показатели вариации: размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить смысл каждого показателя.

Решение.

1.Найдем максимальное и минимальное значение обьема производства продукции (из таблицы 3): х мах=290; х мин= 100;

Численность совокупности N= 24 завода.

Для определения числа групп, на которые будем делить совокупность воспользуемся формулой Стержесса:

К=1+3,322*lgN=1+3,322*lg24=5 групп.

Находим длину интервала:

h = х max - x min = 290-100 = 190 =38

Таким образом, для построения интервального вариационного ряда распределения объема производства валовой продукции необходимо разбить отрезок [100; 290] на 5 частей длиной 38 и для каждой части определить число заводов, объем производства которых попадает в соответствующий интервал (используя данные таблицы 3).

Далее заполняем таблицу 10.

№	Интервал среднегодовой стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Середина интервала, млн. руб.	Частота (число заводов)	Частость,	Накопленная частота,	Накопленная частость,
1	2	3	4	5	6	7
1	[100; 138)	119	5	0,21	5	0,21
2	[138; 176)	157	9	0,37	14	0,58
3	[176; 214)	195	5	0,21	19	0,79
4	[214; 252)	233	4	0,17	23	0,96
5	[252; 290]	271	1	0,04	24	1

Середину интервала (a ; b) находим по формуле

Частости находим по формуле : .

Например,. Это значит ,что 21% заводов имеют среднегодовую стоимость основных производственных фондов в пределах от 176 млн.руб. до 214 млн.руб.

Накопленная частота показывает число заводов ,у которых среднегодовая стоимость основных производственных фондов не превосходит заданного максимального значения среднегодовую стоимость в рассматриваемом интервале. Например, накопленная частота для интервала [176; 214) получается суммированием (накапливанием) частот всех предшествующих интервалов, включая данных :

=5+9+5 =19

Значит, что 19 заводов имеют объём производства не более 214 млн. руб.

Накопленная частость показывает долю заводов в общем объёме, у которых объём производства продукции не превосходит заданного максимального значения. Например:

=0,21+0,37+0,21=0,79

Это значит, что 79% заводов имеют объём производства не более 214 млн. руб.

2.Строим полигон, гистограмму и кумуляту.

План построения полигона:

Ё В прямоугольной системе координат строим точки () ,

где - варианты для дискретного ряда ( или середины интервалов для интервального ряда)

- соответствующая частота

Ё Последовательно соединяем точки отрезками прямой.

Ё Из первой и последней точек опустим перпендикуляры на ось Ox

На оси Ox отмечаем интервалы среднегодовую стоимость основных производственных фондов. На каждом интервале как на основании строим прямоугольник, высота которого равна соответствующей частоте.

Построение кумулятора . Нас оси Ox откладываем верхние границы интервалов , а на оси Oy - соответствующие накопленные (кумуляторные) частоты. Полученные точки соединяем отрезками.

3.Найдем моду и медиану.

Мода - это значение признака ,которое чаще всего встречается в вариационном ряду.

Для нахождения моды по интервальному вариационному ряду сначала необходимо найти модальный интервал( интервал с самой большой частотой) , а затем воспользоваться приближенной формулой:

где, - нижняя граница модального интервала,

h - длина модального интервала,

- частота модального интервала,

- частота интервала предшествующего модальному,

- частота интервала следующего за модальным.

В нашей задаче наибольшее число предприятий ( 9 заводов) имеют среднегодовую стоимость за отчетный год в интервале [138;176) . Следовательно ,этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Тогда

138+38 *=157 млн.руб.

План моды по гистограмме

Ё Выбираем самый высокий прямоугольник - он является модальным (имеет наибольшую частоту).

Ё Верхнюю правую вершину модального прямоугольника соединяем с верхней правой вершиной предшествующего прямоугольника.

Ё Верхнюю левую вершину модального прямоугольника соединяем с верхней левой вершиной последующего прямоугольника .

Ё Находим точку пересечения построенных отрезков. Опускаем из нее перпендикуляр на ось Ox. Основание перпендикуляра и есть мода.

Медиана - это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного (упорядоченного) ряда.

В случаи интервального вариационного ряда медиану определяют в такой последовательности:

Ё Находят номер медианы:

=.

Так, по данным номер медианы равен 24/2=12

Ё Находим медианный интервал - это интервал той группы, в которую попал серединный элемент ранжированного вариационного ряда ( элемент с номером ) : определяем , что 12-й завод находится в интервале [100;138) - это медианный интервал.

Ё Медиану находят по следующей формуле

Где - нижняя граница медианного интервала

h - длина медианного интервала

- частота медианного интервала

- накопленная частота интервала предшествующего медианному,

Таким образом, 138+38*=167,5 млн.руб.

Это значит, что на 12 заводах среднегодовая стоимость основных производственных фондов за отчетный год не превосходит 167,5 млн.руб., и на 12 заводах среднегодовая стоимость основных производственных фондов за отчетный год составляет не менее 167,5 млн.руб.

План построения медианы по кумуляте:

Ё На сои накопленных частот находим =12 и через найденную точку проводим прямую параллельную оси Ox до пересечения с кумулятой.

Ё Из точки пересечения с кумулятой опускаем перпендикуляр на ось Ox . Основание перпендикуляра и есть медиана.

4.Находим среднее значение среднегодовой стоимости основных производственных фондов.

174

Размах вариации : R==290-100=190

Дисперсия - это средняя арифметическая из квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения:

где - частоты, - конкретное значение признака, - среднее значение.

D=1815

Среднее квадратическое отклонение : 43 млн.руб.

В среднем среднегодовая стоимость основных производственных фондов в отчетном году отклоняется от среднего значения на 43 млн.руб., то есть среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем находится в пределах [178-43;178+43] или [134;222].

Коэффициент вариации дает относительную оценку оценку колеблемости наблюдаемых значений признака около его среднего значения :

=*100%24%

В среднем среднегодовая стоимость основных производственных фондов за отчетный год отклоняется от среднего значения на 24%.

Задание 4

Имеются следующие данные о выпуске продукции прядильного производства за 5 лет (см. таблицу 4).

Таблица 4.

Год	1	2	3	4	5
Пряжа, тонн	500	512	520	540	548

Рассчитать все показатели динамики (базисный год - первый год): средний уровень ряда, абсолютные изменения (цепные и базисные), коэффициенты динамики и темпы роста (цепные и базисные), средний темп роста, темпы прироста (цепные и базисные), средний абсолютный прирост (сокращение).

Решение:

Находим средний уровень ряда

Таким образом, средний ежегодный выпуск составил 524 тонн пряжи.

Обозначим: медиана вариация сезонность отклонение

- базисный уровень (значение показателя в первый год);

- значение показателя рассматриваемого периода;

- предыдущее значение показателя.

Рассмотрим основные статистические показатели динамического ряда (см. таблицу12).

Таблица 12.

Год, t	1	2	3	4	5
, т.	500	512	520	540	548
Д, т.	-	12	8	20	8
, т.	-	12	20	40	48
	-	1,024	1,016	1,038	1,015
,%	-	102,4	101,6	103,8	101,5
, %	-	+2,4	+1,6	+3,8	+1,5
	-	1,024	1,04	1,08	1,096
, %	-	102,4	104	108	109,6
, %	-	+2,4	+4	+8	+9,6
Абсолютное значение 1% прироста, Ь	-	5,0	5,0	5,26	5,0

Абсолютные изменения:

Ё цепное абсолютное изменение: Д, где;

Ё базисное абсолютное изменение: Д.

Средний абсолютный прирост - это средняя арифметическая простая из отдельных цепных приростов:

= 12+8+20+8 = 12 т

Среднее ежегодное увеличение выпуска пряжи равно 12 тоннам.

Коэффициенты (индексы) динамики:

· цепной коэффициент (индекс) динамики: ;

· базисный коэффициент (индекс) динамики: .

Темпы роста:

Ё цепной темп роста: ;

Ё базисный темп роста: .

Средний коэффициент роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных коэффициентов роста. Тогда средний темп роста находим по следующей формуле:

= *100% =102,4%.

Темпы прироста:

Ё цепной темп прироста:

Ё базисный темп прироста:

Задание 5

По данным, приведённым в таблице 5, рассчитать:

а) частную групповую дисперсию выработки деталей;

б) внутригрупповую дисперсию;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию выработки рабочих этой бригады;

д) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделать выводы.

Таблица 5.

Тарифный ряд	Число рабочих	Дневная выработка деталей одним рабочим, шт.
3	2	104, 124
4	4	124, 124, 144, 164
5	5	144, 164, 174, 184, 204

Решение.

а) Частная групповая дисперсия отражает вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности:

=.

Для расчёта групповых дисперсий вычислим средние значения по каждой группе:

==114;

==139;

==174.

Тогда:

== =100

== 275

==400

б) Определим среднюю из групповых дисперсий:

== =300

в) Межгрупповая дисперсия отражает вариацию между группами за счёт признака-фактора, положенного в основу группировки:

=

Рассчитаем общую среднюю величину признака:

= = = 150,36

= ==541,3

г) Общая дисперсия отражает вариацию признака за счёт всех факторов, действующих в данной совокупности:

=+=541,3=300=841,3

д) Эмпирический коэффициент детерминации показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака , положенного в основу группировки:

= = = 0,64

Таким образом, дисперсия дневной выработки деталей на 64% обусловлена разрядом рабочих, и на 36% - другими факторами.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает, насколько тесно связаны исследуемое явление и группировочный признак:

з= ==0,8

то есть между дневной выработкой деталей и разрядом рабочих существует тесная связь (так как значение эмпирического корреляционного отношения близко к единице).

Задание 6

Данные об объеме выполненных работ (по кварталам) приведены в таблице 14.

Таблица 14. Динамика объема выполненных работ

Год	1	2
Квартал	I	II	II	IV	I	II	III	IV
Объем выполненных работ,млн. руб	11,3	12,2	17,5	14,4	13,8	15,6	20,2	17,4

1. Изобразите динамический ряд графически.

2. Найдите уравнение линейного тренда.

3. Изобразите график линии тренда.

4. Определите средние квартальные индексы сезонности, сопоставляя фактические уровни динамического ряда с теоретическими (найденными по уравнению тренда).

5. Скорректируйте теоретические уровни с помощью индексов сезонности. Постройте график математической модели динамического ряда с учетом сезонности.

6.Сделайте прогноз на 3-й год с помощью уравнения тренда с учетом сезонности.

Решение. В процессе решения задачи будем заполнять таблицу 15.

Таблица 15.

Год	Квартал	t	Объем выполнен-ных работ,млн. руб.	Теорети-ческие уровни	Индекс сезонности, %	Средний индекс сезонности, %	Теорети-ческие уровни сезон-ности
1	2	3	4	5	6	7	8
1	I	1	11,3	12,12	93,26	90,43	10,96
	II	2	12,2	13,03	93,66	93,64	12,20
	III	3	17,5	13,94	125,58	120,26	16,76
	IV	4	14,4	14,85	97,00	95,57	14,19
2	I	5	13,8	15,75	87,59	90,43	14,25
	II	6	15,6	16,66	93,61	93,64	15,60
	III	7	20,2	17,57	114,95	120,26	21,13
	IV	8	17,4	18,48	94,14	95,57	17,66
Прогноз
3	I	9	-	19,39	-	90,43	17,54
	II	10	-	20,30	-	93,64	19,01
	III	11	-	21,21	-	120,26	25,51
	IV	12	-	22,12	-	95,57	21,14

1. На рисунке 4 изображена динамика производства мороженого и проведена линия тренда. Уравнение тренда находим методом наименьших квадратов:

.

2. Найдем теоретические уровни динамического ряда (см. столбец 5 в таблице 15):

;

;



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. Динамика объема выполненных работ, млн. руб.

3. Находим индексы сезонности (см. столбец 6 в таблице 15) по формуле:

;

;

;

.

4. Находим средние квартальные индексы сезонности (см. столбец 7 в таблице 15):

;

;

;

.

5. Строим сезонную волну (см. рис.5). Наблюдается сезонное увеличение объема выполненных работ в III квартале.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. График сезонной волны

6. Находим теоретические уровни с учетом сезонности (см. столбец 8 в таблице 15) по следующей формуле

:

;

;

;

.

Далее сделаем прогноз на 3-й год с помощью уравнения тренда с учетом сезонности:

;

;

;

.

7. Построим график математической модели динамического ряда с учетом сезонности (см. рис.6).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6. График математической модели динамического ряда с учетом сезонности

Задание 7

Для изучения товарооборота по выделенной товарной группе планируется провести выборочное обследование торговых предприятий региона. Сколько предприятий розничной торговли необходимо обследовать, если по данным предшествующего обследования известно, что коэффициент вариации товарооборота по данной группе товаров составляет 40, а предельная относительная ошибка выборки с вероятностью 0,954 не должна превысить 5%.

Решение. Для определения необходимого объема выборки воспользуемся следующей формулой:

Здесь t = 2 - коэффициент доверия, который соответствует вероятности 0,954 (находится по таблицам значений интеграла вероятностей.

Ответ: 256 предприятий.

Размещено на Allbest.ru

...