Дисперсионный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Провести корреляционно-регрессионный анализ исходных данных:

x	161	183	149	119	230	201	278	219	180	185	139	129	91	132	160
y	790	570	860	1010	520	650	570	620	730	730	690	1060	1860	840	800

x	290	160	231	316	213	138	139	180	230	180	210	290	270	210	150
y	490	800	510	450	540	820	690	580	510	740	630	480	560	550	810

Для облегчения расчетов составляется корреляционная таблица:

Таблица 1

	45	48	49	51	52	54	55	56	57	58	62	63	65	69	73	74	79	80	81	82	84	86	101	106	186
91																									1	1
119																							1			1
129																								1		1
132																					1					1
138																				1						1
139														2												2
149																						1				1
150																			1							1
160																		2								2
161																	1									1
180										1					1	1										3
183									1																	1
185															1											1
201													1													1
210							1					1														2
213						1																				1
219											1															1
230				1	1																					2
231				1																						1
270								1																		1
278									1																	1
290		1	1																							2
316	1																									1
	1	1	1	2	1	1	1	1	2	1	1	1	1	2	2	1	1	2	1	1	1	1	1	1		30

1. Графический метод и линейная регрессия

графический корреляция регрессия интервальный

Графический метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми признаками генеральной совокупности. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, откладывая по оси ординат индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного (объясняющего) признака X. Совокупность получающихся точек называется полем корреляции или корреляционным полем.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер: . В результате имеем

, (1)

где и - оценки параметров б и в, - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения для каждого конкретного -го наблюдения случайны и их значения в выборке неизвестны, то обычно считается, что - случайная величина с независимыми значениями и характеристиками , .

Оценки а и b параметров б и в проводятся по результатам выборки , с помощью метода наименьших квадратов (МНК), дающего состоятельные, эффективные и несмещенные оценки этих параметров. Формально критерий МНК можно записать так:

. (2)

Из необходимых условий этого экстремума , следует система уравнений, определяющая искомые оценки а и b:

(3)

где использованы обозначения

.

Из (3) получается, что оценки b и а равны

, . (4)

С учетом (2) далее имеем

, , , , .

Выборочное уравнение линейной регрессии в этих обозначениях имеет вид:

 . (6)

1.1 Расчет параметров уравнения линейной регрессии

С помощью данных, приведенных в таблице 1, проводятся соответствующие расчеты.

Выборочные средние:

; ;

.

Выборочные дисперсии:

,

.

Выборочные среднеквадратические отклонения:

; .

Выборочная ковариация:

.

Выборочный коэффициент корреляции:

.

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и высокими (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1<<0,3	0,3<<0,5	0,5<<0,7	0,7<<0,9	0,9<<1
слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Связь между признаками также характеризует и знак коэффициента регрессии b (или ): если , то связь между признаком Y и фактором X прямая, иначе - обратная. В нашем примере связь между Y и X высокая и обратная ().

Уравнение линейной регрессии для исходных данных имеет вид

или

Приведем график этой линейной регрессии на корреляционном поле:



Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент b = -3,46 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -3,46. Коэффициент a = 1379,33 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко к выборочным значениям. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже, если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

1.2 Коэффициент эластичности

Коэффициент линейной регрессии b нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициент эластичности и бета - коэффициент. Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения. Коэффициент эластичности находится по формуле:

,

откуда . Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1% Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Бета - коэффициент.

Бета - коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

.

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения приведет к уменьшению среднего значения Y на 0,74 среднеквадратичного отклонения .

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения линейной регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

,

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

2. Дисперсионный анализ

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной c использованием тождества

,

в котором - общая сумма квадратов отклонений, - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»); - остаточная сумма квадратов отклонений.

Степень близости связи признака и фактора к линейной связи характеризуется коэффициентом парной корреляции r_xy. Для любой формы корреляционной зависимости теснота связи определяется с помощью выборочного корреляционного отношения

.

При линейной регрессии на выборочное корреляционное отношение равно , т.к. согласно (2) и (5) .

2.1 Коэффициент детерминации

Квадрат выборочного корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

В рассматриваемом случае R²=1-(-0.74)² = 0.5413, т.е. в 54.13 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами, точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 45.87 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели

3. Оценки параметров уравнения регрессии

3.1 Значимость коэффициента корреляции

Согласно нашим данным

.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=28 находим t_крит(n-m-1;б/2) = t_крит(28;0.025) = 2.048, где m = 1 - количество объясняющих переменных. Если t_набл > t_крит, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Поскольку в нашем случае t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически значим.

3.2 Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции определяется формулой

.

В нашем случае имеем

, (-0,9072; -0,.5642) .

3.3 Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

.

S²_y = 33699,64 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии); - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a и

.

S_b - стандартное отклонение случайной величины b и

.

3.4 Доверительные интервалы для зависимой переменной

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов. Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают интервальные прогнозные оценки изучаемого показателя:

, где .

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при достаточно большом числе наблюдений и x_p = 211: , (1379,33-3,46211 ± 72.48). С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при достаточно большом числе наблюдений не выйдет за пределы интервала .

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + b ± ), где

.

xi	y = 1379.33 -3.46xi	еi	ymin	ymax
161	822.83	384.09	438.74	1206.92
183	746.79	382.34	364.45	1129.13
149	864.31	385.84	478.46	1250.15
119	968	392.64	575.37	1360.64
230	584.33	385.02	199.32	969.35
201	684.57	382.33	302.24	1066.9
278	418.42	396.55	21.87	814.97
219	622.35	383.61	238.75	1005.96
180	757.16	382.47	374.69	1139.62
185	739.87	382.28	357.6	1122.15
139	898.87	387.73	511.14	1286.6
129	933.44	390	543.44	1323.43
91	1064.78	401.95	662.84	1466.73
132	923.07	389.28	533.79	1312.35
160	826.29	384.21	442.07	1210.5
290	376.94	400.74	-23.8	777.69
160	826.29	384.21	442.07	1210.5
231	580.88	385.17	195.71	966.04
316	287.07	411.51	-124.44	698.59
213	643.09	383.04	260.05	1026.13
138	902.33	387.94	514.39	1290.27
139	898.87	387.73	511.14	1286.6
180	757.16	382.47	374.69	1139.62
230	584.33	385.02	199.32	969.35
180	757.16	382.47	374.69	1139.62
210	653.46	382.81	270.65	1036.27
290	376.94	400.74	-23.8	777.69
270	446.07	394.03	52.04	840.11
210	653.46	382.81	270.65	1036.27

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при достаточно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

, (1379,3255 - 2,048*120,28; 1379,3255 + 2.048*120.28),

или (-3,4565- 2,048*0,6; -3,4565 + 2,048*0.6).

С вероятностью 95% можно утверждать, что значения параметров a и b будут лежать в найденных[ интервалах (1132,9836; 1625,6673) и (-4,6881; -2,2249), соответственно.

4. Проверка гипотез относительно уравнения линейной регрессии

4.1 F-статистика. Критерий Фишера

Проверка значимости модели линейной регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение F_табл с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше фактического значения при заданном уровне значимости, то модель считается значимой, где m - число факторов в модели.

Оценка статистической значимости линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяется фактическое значение F-критерия:

, ,

где учтено, что m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2. F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01. Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=28 и уровнем значимости 0,05 равно 4.

Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом. Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

4.2 t-статистика. Критерий Стьюдента

Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ - не равно нулю) на уровне значимости б=0.05. В случае если основная гипотеза окажется неверной, принимается альтернативная гипотеза.

Для проверки основной (нулевой) гипотезы используется t-критерий Стьюдента. Найденное по данным наблюдений значение t -критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением , определяемым по таблицам распределения Стьюдента. Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (б) и числа степеней свободы, которое в случае линейной регрессии равно n-2, где n-число наблюдений.

Если фактическое значение t -критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-б) рассматриваемый параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости б.

В нашем случае

, .

Поскольку 5.75 > 2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Далее имеем

.

Поскольку 11.47 > 2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Размещено на Allbest.ru

...