Основные методы статистического анализа случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные методы статистического анализа случайных величин

Цель работы: приобрести навыки по применению статистического анализа случайных величин.

Задание:

1. Подготовка исходных данных.

2. Построение вариационного ряда.

3. Построение статистического ряда.

4. Построение группированного ряда.

5. Построение Гистограммы.

6. Построить Полигон.

7. Построить Кумуляту.

8. Построить Огиву.

9. Определение объёма выборки относительной частоты.

10. Определение относительной частоты.

11. Расчет показателей центра распределения.

12. Расчет Мода.

13. Расчет Медиана.

14. Расчет абсолютных показателей вариации.

15. Определение среднее квадратическое отклонение.

16. Корреляционный и регрессионый анализ.



1. Подготовка исходных данных

Для составления ряда случайных величин воспользуемся значениями из таблицы 1- Агрегат в резерве %, А. Значения из этой таблицы будут приняты для составления вариационного, статистического и группированного рядов.

Таблицы 1

Агрегат в резерве %,А

75	35	4	91	73	35	9.9	44	38	22
40	91.3	84.5	80	75	35	4	91	73	35
9.9	44	38	22	40	91.3	84.5	80	75	35
4	91	73	35	9.9	44	38	22	40	91.3
84.5	80	75	35	4	91	73	35	9.9	44

2. Построение вариационного ряда

Вариационный ряд - упорядоченная по величине последовательность выборочных значений наблюдаемой случайной величины ( таблица 2).

Характеристиками вариационного ряда является : максимальное значение ряда Хimax=91.3, минимальное значение ряда Ximin=4.

R(размах), вычисляемый по формуле R= Ximax-Ximin.

Для таблицы 2 значение R=91.3-4=87.3 А

Таблица 2

Вариационный ряд, А

4	4	4	4	9.9	9.9	9.9	9.9	22	22
22	35	35	35	35	35	35	35	35	38
38	38	40	40	40	44	44	44	44	73
73	73	73	75	75	75	75	80	80	80
84.5	84.5	84.5	91	91	91	91	91.3	91.3	91.3

3. Построение статистического ряда

Статистические ряды распределения являются одним из наиболее важных элементов статистики. Они представляют собой составную часть метода статистических сводок и группировок, но, по сути ни одно из статистических исследований невозможно произвести, не проделав первоначально полученную в результате статистического наблюдения информацию, в виде статистических рядов распределения.

Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группированному (варьирующему) признаку. Они характеризуют состав (структуру) изучаемого явления, позволяют судить об однородности совокупности, границах ее изменения, закономерностях развития наблюдаемого объекта (Таблица 3).

Таблица 3

Статистический ряд случайных величин, А

Агрегат в резерве %, Аi	Число повторений, ni
4	4
9.9	4
22	3
35	8
38	3
40	3
44	4
73	4
75	4
80	3
84.5	3
91	4
91.3	3



4. Построение группированного ряда

Группированный ряд - это последовательность (по возрастанию) сгруппированных в интервалы и с указанием частоты попадания значения случайной величины в некотором интервале. Ряд представлен в таблице 4.

H=Xmax-Xmin/10;

где h- ширина интервала.

Xmax- максимальное значение группированного ряда,А.

Xmin- минимальное значение группированного ряда.

H=91.3-4/10=8.73.

Далее ширина интервала прибавляется к минимальному значению.

Полученное значение увеличивается на 1 получается интервал значений, в который входит некоторое количество чисел. Максимальные и минимальные значения берутся из таблицы 3.

Таблица 4

Группированный ряд

Агрегат в резерве % m.	Частоты ni	Среднее значение xi
4-12.73	8	8.36
12.83-21.46	0	17.14
21.56-30.19	3	25.87
30.29-38.92	11	34.6
39.02-47.65	7	43.33
47.75-56.38	0	52
56.48-65.11	0	60.79
65.21-73.84	4	69.52
73.94-82.57	7	78.25
82.67-91.3	10	86.98

5. Гистограмма

Гистограмма это, способ представления статистических данных в графическом виде - в виде столбчатой диаграммы. Она отображает распределение отдельных измерений параметров изделия или процесса.

Иногда ее называют частотным распределением, так как гистограмма показывает частоту появления измеренных значений параметров объекта.

Высота каждого столбца указывает на частоту появления значений параметров в выбранном диапазоне, а количество столбцов - на число выбранных диапазонов.

Важное преимущество гистограммы заключается в том, что она позволяет наглядно представить тенденции изменения измеряемых параметров качества объекта и зрительно оценить закон их распределения. Кроме того, гистограмма дает возможность быстро определить центр, разброс и форму распределения случайной величины. Строится гистограмма как правило, для интервального изменения значений измеряемого параметра.

Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

В этой работе гистограмма (рисунок 1), построена по средним значениям группированного ряда (таблицу 4).

Рисунок 1 Гистограмма

6. Полигон

Полигон частот - один из способов графического представления плотности вероятности случайной величины. Представляет собой ломанную, отрезки которой соединяют собой точки (х1, n1), (x2,n2),…. (xi, ni), соответствующее средним значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов.

Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т е варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот.

Полигон представлен на рисунке 2, по таблице 4.

Рисунок 2 Полигон

7. Кумулята

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Данные для построение кумуляты возьмем из таблицы 5, представлена на рисунке 3.

Для того чтобы вычислить накопленную частоту нужно последовательно сложить в групповом ряде первое число повторений со вторым, затем полученное число сложить с третьим пока не будет получен нужный результат.

Таблица 5

Данные для построения кумуляты

Интервалы	Накопленная частотаn
4-12,73	8
12,83-21,46	8
21,56-30,19	11
30,29-38,92	22
39,02-47,65	29
47,75-56,38	29
56,48-65,11	29
65,21-73,84	33
73,94-82,57	40
82,67-91,3	50

Рисунок 3 Кумулята



8. Огива

Огива строится аналогично кумуляте, с той лишь разницей, что на ось абсцисс наносят накопления частоты, а на ось ординат - значение признака.

Данные для построения огивы, взять из таблицы 5, представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 Огива

9. Определение объёма выборки относительной частоты

Объём выборки - число случаев, включенных в выборочную совокупность.

Объём выборки определяется по формуле (3), как сумма чисел, входящих в интервальный ряд ( таблица 4.)

N=8+0+3+11+7+0+0+4+7+10=50;

где : n- объём выборки;

ni- частота повторений.



10. Определение относительной частоты

Относительная частота определяется по формуле (4), ее значения приведены в таблице 6. Просуммировав, каждое число относительной частоты получим значение равное 1.

W=ni/n;

где ni- частота повторений;

n-сумма частоты повторений.

Таблица 6

Расчет относительный частот

Частота повторений	Сумма n	Относительная частота W	Сумма относительной частоты
8	50	0,16	1
0		0
3		0,06
11		0,22
7		0,14
0		0
0		0
4		0,08
7		0,14
10		0,2

11. Расчет показателей центра распределения

Среднее арифметическое:

статистический ряд гистограмма выборка

X=2535/50=50,7;

где: -сумма

n-количество случайных величин.

Для расчета возьмем данные xиз таблицы 1.

Средневзвешенное значение :

X==50,7

где xi-среднее значение интервала частот;

ni-частота повторений.

12. Мода

Мода- элемент выборки ( число, интервал, среднее значение ), имеющий наибольшую частоту. В таблице 3 наибольшую частоту имеет число 24,7.

M0=

Где - нижняя ганица интервала, имеющего наибольшую частоту,

h-шаг разбиения, длинна интервала, - частота модального интервала,- частоты соответственно в предыдущем и следующим за модальных интервалах.

M0= 82,67+8,73(10-5)/2*10-5-10=35.



13. Медиана

Медианой называется элемент выборки, который делит вариационный ряд пополам, так что эти части имеют одинаковое число элементов Медиана соответствует вариант, стоящему в середине вариационного ряда.

Находим середину вариационного ряда:

Me=h=x/2;

где х-количество чисел вариационного ряда.

Вариационный ряд включает четное число единиц, следовательно медиана определяется как средняя из двух центральных значений: Me=50/2=25.

14. Расчет абсолютных показателей вариации

Таблица 7

расчет абсолютных показателей вариации

Интервалы х	Частоты ni	Среднее значение xi	Средневзвешенное значение x1	(xi-x1)^2*ni
4-12,73	8	8,36	50,7	14341,4048
12,83-21,46	0	17,14		0
21,56-30,19	3	25,87		1849,5867
30,29-38,92	11	34,6		2851,31
39,02-47,65	7	43,33		380,2183
47,75-56,38	0	52		0
56,48-65,11	0	60,79		0
65,21-73,84	4	69,52		1425,8176
73,94-82,57	7	78,25		5313,0175
82,67-91,3	10	86,98		13163,384
	50	477		39323,7389

D=39323,7389=802,5;

где - квадратная дисперсия;

n- объём выборки;

xi-среднее значение интервала х;

х1- средневзвешенное значение;

к-число интервалов;

ni-частота соответствий

15. Среднее квадратическое отклонение

у=28,3

Где D- Дисперсия.

Коэффициент вариации:

д=*100=55,8;

где у- среднее квадратическое отклонение;

Х1-среднее арифметическое.

16. Корреляционный и регрессионый анализ

Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими случайными величинами.

Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной.

Таблица 8

Кореляционная матрица

	Коэффициент пористости, m	Водонасыщенность на фронте,Sф%
Коэффициент пористости, m	1
Водонасыщенность на фронте,Sф%	0,800008816	1

Вывод: линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками, корреляция прямая, связь сильная т.к. коэффициент стремится к 1.

17. Регрессионный анализ

Рисунок 5 Точечная диаграмма зависимости коэффициента пористости от водонасыщенности

По точечной диаграмме невозможно установить характер связи между заданными последовательностями случайных величин, поэтому необходимо выполнить регрессионный анализ (рисунок 6-10).

Рисунок 6 Экспоненциальная регрессионная модель (Y=58,163; величина достоверности аппроксимации - =0,6347)

Рисунок 7 Диаграмма регрессионного анализа (линейная);

уравнение линии тренда;

Y=0,6019x+57,552;

величина достоверности аппроксимации;

=0,64.

Рисунок 8 Диаграмма регрессионного анализа (логарифмическая); уравнение линии тренда;

Y=11,576ln(x)+35,35;

величина достоверности аппроксимации;

=0,6992.

Рисунок 9 Диаграмма регрессионного анализа (полиноминальна); уравнение линии тренда;

Y=;

величина достоверности аппроксимации;

=0,7985.

Рисунок 10 Диаграмма регрессионного анализа (степенная)

уравнение линии тренда;

Y=;

величина достоверности аппроксимации;

=0,6954.

Вывод, регрессионная модель вида Y=(рисунок 9) наилучшим образом аппроксимирует связь между заданными последовательностями случайных величин.

Размещено на Allbest.ru

...