Ряды распределения

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача

Имеются следующие данные о размере посевных площадей 40 фермерских хозяйств (га):

123,5	164,3	276,5	254,0	56,3	64,8	67,9	50,0
205,2	209,6	222,6	236,7	62,0	53,1	172,1	56,5
52,5	172,1	56,5	52,6	46,6	53,2	30,1	146,4
18,1	13,6	89,8	62,5	46,3	103,5	73,3	76,6
73,0	32,3	199,6	59,1	71,2	90,8	125,0	90,0

1. Построить интервальный ряд распределения.

2. Изобразить полученный ряд графически в виде полигона и гистограммы распределения.

3. Полученные результаты представить в таблице и сделать выводы.

Решение: Составим интервальный ряд распределения, образовав 5 групп с равными интервалами.

xmin = 13,6; xmax = 276,5; h = (276,5 - 13,6) : 5 = 52,6.

Получаем следующие интервалы:

1-й интервал:	13,6 - 66,2
2-й интервал:	66,2 - 118,8
3-й интервал:	118,8 - 171,4
4-й интервал:	171,4 - 224
5-й интервал:	224 - 276,6

Подсчитаем количество вариантов признака в каждом интервале. Получаем следующее распределение:



Интервал	13,6 - 66,2	66,2 - 118,8	118,8 - 171,4	171,4 - 224	224 - 276,6	Сумма
Частота, mi	18	9	4	6	3	40

Рассчитаем относительные частоты vi.

1-й интервал: 10 : 30 = 0,1;

2-й интервал: 12 : 30 = 0,167;

3-й интервал: 2 : 30 = 0,4;

4-й интервал: 3 : 30 = 0,2;

5-й интервал: 3 : 30 = 0,133.

Вычислим также накопленные частоты и относительные накопленные частоты.

F1 = 18; F2 = 18 + 9 = 27; F3 = 27 + 4 = 31; F3 = 31 + 6 = 37; F4 = 37 + 3 = 40.

Полученные результаты поместим в таблицу.

Интервал	13,6 - 66,2	66,2 - 118,8	118,8 - 171,4	171,4 - 224	224 - 276,6	Сумма
Частота, mi	18	9	4	6	3	40
vi	0,45	0,23	0,10	0,15	0,08
Fi	18	27	31	37	40
wi	0,45	0,68	0,78	0,93	1

Построим график ряда распределения в виде гистограммы.

Построим полигон частот.

Построим кумуляту, отложив по горизонтальной оси середины интервалов изменения признака x, а по вертикальной ? относительные накопленные частоты.

Полученное распределение по внешнему виду напоминает показательное распределение.

Задача

Имеются данные о посевной площади и урожайности по 4 фермерским хозяйствам области

Хозяйства области	2007 г.	2008 г.
	урожайность, ц/га	посевная площадь, га	урожайность, ц/га	валовой сбор, ц
1	14	200	15	4000
2	16	500	20	6500
3	20	300	17	6000
4	15	100	16	9000

1. Определить среднюю урожайность по хозяйствам для каждого года.

2. Как изменилась средняя урожайность в 2008 г. по сравнению с 2007 г.

3. Дать обоснование применения формул для исчисления среднего значения.

Сделать выводы.

Решение: Среднюю урожайность в 2007 году найдем по формуле средней арифметической взвешенной, поскольку нам известны величины урожайности и их веса, в качестве которых используем посевные площади. Воспользуемся формулой:

? 16,6 ц/га.

интервальный распределение урожайность

Среднюю урожайность в 2008 году найдем по формуле средней гармонической взвешенной, поскольку нам известны величины урожайности и значения валового сбора. Воспользуемся формулой:

= 16,9 ц/га.

Вывод: Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что средняя урожайность в 2008 году оказалась выше, чем в 2007 году.

Задача

В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции проведена 15% механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе:

Масса изделия, г	Число изделий, шт.	Масса изделия, г	Число изделий, шт.
до 20	1	22-23	25
20-21	20	23-24	10
21-22	40	24 и более	4

1. По данным ряда распределения определить: среднюю массу изделия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации; моду, медиану.

2. Изобразить полученный ряд графически в виде гистограммы и полигона распределения.

3. С вероятностью 0,993 определить предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия для всей партии изготовленных изделий.

4. С вероятностью 0,996 установить предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса изделий с массой веса от 22 до 24 г.

Сделать выводы.

Решение: Для вычисления средней массы изделия, дисперсии и среднего квадратического отклонения составим вспомогательную таблицу.

Масса изделия, г	Число изделий, шт.	Середина интервала, fi	xi2	xi?fi	xi2?fi
до 20	1	19,5	380,25	19,5	380,25
20-21	20	20,5	420,25	410	8405
21-22	40	21,5	462,25	860	18490
22-23	25	22,5	506,25	562,5	12656,25
23-24	10	23,5	552,25	235	5522,5
24 и более	4	24,5	600,25	98	2401
Итого:	100		2921,5	2185	47855

Среднюю массу изделия найдем по формуле

Получим = 2185 : 100 = 21,85 ? 21,9 г.

Дисперсию найдем по формуле: , где

= 2921,5 : 100 = 478,55.

= 478,55 - 21,852 = 1,128.

Вычислим среднее квадратическое отклонение = 1,06 г.

Коэффициент вариации найдем по формуле:

= 4,9%.

Определим моду. Модальный интервал - это интервал с наибольшей частотой, т.е. (21; 22). Значение моды определим по формуле:

где частота в модальном интервале, частота в интервале, предшествующем модальному, частота в интервале, следующим за модальным, нижняя граница модального интервала, h - величина модального интервала. В нашем случае: = 40, = 20, = 25, = 21, h = 1.

Получим: = 21,6 г.

Таким образом, в данной совокупности с наибольшей частотой встречаются детали с массой 21,6 г.

Определим медиану. Медианный интервал - это интервал, в котором значение накопленной частоты достигает значения, равного половине суммы частот

100 : 2 = 50.

Вычислим накопленные частоты.

F1 = 1; F2 = 1 + 20 = 21; F3 = 20 + 40 = 60 > 50.

Таким образом, медианным является интервал (21; 22). Значение медианы определим по формуле:

где частота медианного интервала, накопленная частота в интервале, предшествующем медианному, нижняя граница медианного интервала, h - величина медианного интервала. В нашем случае: = 40, = 21, = 21, h =1.

Получим: = 21,7 г.

Найдем с вероятностью 0,993 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия для всей партии изготовленных изделий.

, где значение t найдем по таблице значений функции Ф(t).

При p = 0,993 значение t = 2,7;

0,26 г.

Найдем с вероятностью 0,996 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса изделий с массой веса от 22 до 24 г.

Вычислим значение доли: = (25 + 10) : 100 = 0,35 (или 35%).

Вычислим предельную погрешность в определении доли.

, где при p = 0,996 значение t = 2,88.

= 0,13 (?13%)

Запишем пределы для доли по формуле :

Вывод: Таким образом, с вероятностью 0,993 можно утверждать, что средняя масса изделия во всей партии изготовленных изделий находится в пределах от 21,59 до 22,11 г. С вероятностью 0,996 можно утверждать, что границы удельного веса изделий с массой от 22 до 24 г. в общем объеме готовой продукции будут находиться в пределах от 22% до 48%.

Задача

Имеется следующая информация о реализации продуктов на рынке:

Продукты	Базисный период	Отчетный период
	количество, т	цена, руб.	количество, т	цена, руб.
А	52	55	50	68
Б	15	86	25	95
В	65	37	100	42

Определить:

1) Индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота и стоимости реализованных товаров (товарооборота)

2) Общие индексы: а) цен (индексы Пааше и Ласпейреса); б) физического объема товарооборота; в) стоимости реализованных товаров (товарооборота).

3) Сумму экономии (перерасхода) населения от изменения цен на эти товары:

а) фактическую сумму - на основе формулы Пааше;

б) условную сумму - на основе формулы Ласпейреса

Сделать выводы. Показать взаимосвязь между исчисленными общими индексами

Решение: Вычислим индивидуальные индексы цен для каждого продукта, разделив цены за отчетный период на цены за базисный период. Индивидуальные индексы физического объема найдем, разделив количество продуктов за отчетный период на количество за базисный период. Индивидуальные индексы товарооборота найдем, перемножив индексы цен и физического объема.

Полученные результаты поместим в таблицу.

Продукты	Базисный период	Отчетный период	ip	iq	ipq
	количество, т	цена, руб.	количество, т	цена, руб.
А	52	55	50	68	1,236	0,962	1,189
Б	15	86	25	95	1,105	1,667	1,841
В	65	37	100	42	1,135	1,538	1,746

Общий индекс цен Пааше определим по формуле:

Общий индекс цен Ласпейреса определим по формуле:

Общий индекс физического объема определим по формуле:

Общий индекс товарооборота определим по формуле:

Составим вспомогательную таблицу.



Продукты	p0q0	p0q1	p1q0	p1q1
А	2860	2750	3536	3400
Б	1290	2150	1425	2375
В	2405	3700	2730	4200
?	6555	8600	7691	9975

Получаем:

= 7691 : 6555 = 1,173 = 117,3%.

= 9975 : 8600 = 1,160 = 116%.

= 8600 : 6555 = 1,312 = 131,2%.

=9975 : 6555 = 1,522 = 152,2%.

Исчисленные индексы связаны соотношением: . Проверим это.

1,16 1,312 = 1,522.

Вычислим фактическую сумму экономии (перерасхода) населения от изменения цен на эти товары на основе формулы Пааше.

= 7691 - 6555 = 1136 тыс. р.

Вычислим условную сумму экономии на основе формулы Ласпейреса.

 = 9975 - 8600 = 1375 тыс. р.

Вывод: Стоимость товарооборота в отчетном периоде возросла по сравнению с базисным на 52,2%, при этом количество реализованных продуктов возросло на 31,2%, а цены на продукты возросли в целом на 16%.

Задача

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены увеличились на 50,0%, физический объем продаж возрос на 25,0% или на 80,0 тыс. руб. Определить:

1. абсолютное (абсолютный прирост) и относительное (индекс) изменение объема товарооборота в фактических ценах;

2. дополнительные расходы населения от повышения цен.

Решение: По условию задачи общий индекс цен составил 1,5 (+50%), а общий индекс физического объема - 1,25 (+25%).

Вычислим общий индекс товарооборота.

= 1,5 · 1,25 = 1,875 = 187,5%.

Общий прирост товарооборота вычислим по формуле:

, где - прирост товарооборота за счет изменения физического объема продаж.

= 320 тыс. р.

Вычислим дополнительные расходы населения от повышения цен, отняв от общего прироста товарооборота его прирост за счет изменения объема продаж.

= 320 - 80 = 240 тыс. р.

Задача

Товарооборот	2005	2006	2007	2008
В прежних границах	560,0	620,0	-	-
В новых границах	-	810,0	950,0	1100,0

1. Произвести смыкание рядов динамики;

2. Произвести анализ погодовой динамики объема товарооборота и выравнивание ряда динамики;

3. Изобразить интенсивность развития товарооборота графически

4. Сделать выводы.

Решение: Вычислим индекс изменения товарооборота, разделив уровень 2006 года в новых границах на уровень 2006 года в старых границах.

Ipq = 810 : 620 = 1,306.

Найдем значения товарооборота в прежних границах в 2007 и 2008 годах, разделив соответствующие значения товарооборота в новых границах на индекс.

2007 год: 950 1,306 = 727,4.

2008 год: 1100 1,306 = 842,3.

Найдем значение товарооборота в новых границах в 2005 году, умножив соответствующее значения товарооборота в старых границах на индекс.

2005 год: 560 · 1,306 = 731,4.

Полученные данные поместим в таблицу:

Товарооборот	2005	2006	2007	2008
В прежних границах	560,0	620,0	727,4	842,3
В новых границах	731,4	810,0	950,0	1100,0

Произведем анализ погодовой динамики объема товарооборота и выравнивание ряда динамики.

Рассчитаем цепные темпы роста товарооборота, разделив уровни текущего года на уровни предыдущего года. Полученные результаты поместим в таблицу.

Товарооборот	2005	2006	2007	2008
В новых границах	731,4	810,0	950,0	1100,0
Цепные темпы роста, %	-	110,7	117,3	115,8

Рассчитаем средний темп роста.

= 1,146 = 114,6%.

Произведем выравнивание ряда динамики по уравнению прямой. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов. Составим систему уравнений.

Составим вспомогательную таблицу.

	Условный год, x	y	x2	x?y
	1	731,4	1	731,4
	2	810	4	1620
	3	950	9	2850
	4	1100	16	4400
?	10	3591,4	30	9601,4

Получим систему уравнений:

Решив ее, получим: a = 124,58, b = 586,4.

Искомое уравнение прямой имеет вид:

Изобразим интенсивность развития товарооборота графически.

Выводы: Средний темп роста товарооборота составил 114,6%, т.е. ежегодный прирост товарооборота составил +14,6%. Уравнение тренда примой данного ряда динамики имеет вид .

Задача

Результативные и факторные признаки задач (40-45) представлены в таблице.

Исследовать на основе корреляционного и регрессионного анализов зависимость одного из результативных признаков от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения (факторные признаки) по данным таблицы.

Обозначения и наименование показателей: y1 - производительность труда; y2 - рентабельность; x1 - средняя годовая стоимость основных производственных фондов; х2 - фондоотдача; х3 - трудоемкость единицы продукции.

y1	x3
9,26	0,23
9,38	0,24
12,11	0,19
10,81	0,17
9,35	0,23
9,87	0,43
8,17	0,31
9,12	0,26
5,88	0,49
6,30	0,36
6,22	0,37
5,49	0,43
6,50	0,35
6,61	0,38
4,32	0,42
7,37	0,30
7,02	0,32
8,25	0,25
8,15	0,31
8,72	0,26

Решение: Для исследования тесноты связи между указанными признаками определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

Для расчета параметров уравнения линейной регрессии составим таблицу.

№ п/п	x	y	x2	y2	x?y
1	0,23	9,26	0,0529	85,7476	2,1298
2	0,24	9,38	0,0576	87,9844	2,2512
3	0,19	12,11	0,0361	146,6521	2,3009
4	0,17	10,81	0,0289	116,8561	1,8377
5	0,23	9,35	0,0529	87,4225	2,1505
6	0,43	9,87	0,1849	97,4169	4,2441
7	0,31	8,17	0,0961	66,7489	2,5327
8	0,26	9,12	0,0676	83,1744	2,3712
9	0,49	5,88	0,2401	34,5744	2,8812
10	0,36	6,3	0,1296	39,69	2,268
11	0,37	6,22	0,1369	38,6884	2,3014
12	0,43	5,49	0,1849	30,1401	2,3607
13	0,35	6,5	0,1225	42,25	2,275
14	0,38	6,61	0,1444	43,6921	2,5118
15	0,42	4,32	0,1764	18,6624	1,8144
16	0,3	7,37	0,09	54,3169	2,211
17	0,32	7,02	0,1024	49,2804	2,2464
18	0,25	8,25	0,0625	68,0625	2,0625
19	0,31	8,15	0,0961	66,4225	2,5265
20	0,26	8,72	0,0676	76,0384	2,2672
?	6,3	158,9	2,1304	1333,821	47,5442
Среднее	0,315	7,945	0,10652	66,69105	2,37721

= -0,7777.

Можно сказать, что между рассматриваемыми признаками существует обратная тесная корреляционная связь.

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные предыдущей таблицы.

= -17,2.

= 7,945 + 17,2 0,315 = 13,4.

Уравнение регрессии имеет вид: .

Рассчитаем коэффициент детерминации: = (-0,7777)2= 0,6048 ? 60,5%.

Таким образом, вариация результата y1 (производительность труда) на 60,5% объясняется вариацией фактора x3 (трудоемкость продукции).

Полученные расчеты позволяют сделать вывод о том, что между производительностью труда и трудоемкостью единицы продукции существует обратная тесная корреляционная связь, т.е. с увеличением трудоемкости производительность труда уменьшается.

Размещено на Allbest.ru

...