Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исходные данные

Год	№ предприятия	Объем производства, тыс. шт.
1987	1	16,79
1988	2	17,40
1989	3	17,55
1990	4	14,73
1991	5	15,19
1992	6	15,48
1993	7	15,44
1994	8	16,03
1995	9	15,95
1996	10	15,64
1997	11	15,95
1998	12	15,64
1999	13	15,68
2000	14	16,03
2001	15	16,03
2002	16	16,94
2003	17	16,79
2004	18	16,03
2005	19	16,56
2006	20	16,64
2007	21	16,79
2008	22	17,40
2009	23	17,55
2010	24	14,73
2011	25	15,19
Итого	Х



Решение

1. Проведем группировку предприятий по объему выпускаемой продукции.

Число групп определим по формуле Стерджесса:

,

Где - число единиц совокупности.

.

Принимаем 6 групп.

Величину интервала найдем по формуле:

,

Где , - максимальное и минимальное значения признака соответственно.

тыс. шт.

Группировка предприятий по объему выпускаемой продукции представлена в таблице 1.

Таблица 1

Группировка предприятий по объему выпускаемой продукции

Номер группы	Группы предприятий по объему выпускаемой продукции, тыс. шт.	Число предприятий
I	14,73 - 15,20	4
II	15,20 - 15,67	4
III	15,67 - 16,14	7
IV	16,14 - 16,61	1
V	16,61 - 17,08	5
VI	17,08 - 17,55	4
-	Итого	25

2. Определим средний объем выпускаемой продукции по формуле средней арифметической взвешенной:

Где - среднее значение признака (средний объем выпускаемой продукции) в каждой группе;

- число предприятий в группе.

Найдем среднее значение признака в каждой группе, т.е. середины интервалов (таблица 2).

признак вариация медиана интервал

Таблица 2. Промежуточные расчеты для вычисления средней и показателей вариации

Группы предприятий по объему выпускаемой продукции, тыс. шт.	Число предприятий	Середина интервала		Накопленные частоты
14,73 - 15,20	4	14,965	59,86	4
15,20 - 15,67	4	15,435	61,74	8
15,67 - 16,14	7	15,905	111,335	15
16,14 - 16,61	1	16,375	16,375	16
16,61 - 17,08	5	16,845	84,225	21
17,08 - 17,55	4	17,315	69,26	25
Итого	25	-	402,795	-

тыс. шт.

3. Рассчитаем моду и медиану.

Мода - это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Величину моды определяем по формуле:

,

Где - нижнее значение признака в модальном интервале;

- величина интервала;

- частота повторения признака Х в модальном интервале:

- соответственно частоты признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.

Определим модальный интервал - это тот, в котором наблюдается наибольшая абсолютная частота. В нашей задаче это .

Мода:

тыс. шт.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Находят медиану по формуле:

,

Где - соответственно нижняя граница и величина медианного интервала;

- половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины;

- число наблюдений, накопленное до начала медианного интервала;

- число наблюдений в медианном интервале.

Рассчитаем накопленные частоты (таблица 2).

Для нахождения медианы найдем сначала медианный интервал - это тот интервал, в котором находится значение . Это интервал .

Подставляем в формулу значения:

тыс. шт.

Изобразим моду и медиану графически.

Моду находим на гистограмме распределения (рис. 1).

Медиану находим на кумуляте распределения (рис. 2).

Рис. 1. Гистограмма распределения и мода



Рис. 2. Кумулята распределения и медиана

4. Рассмотрим размах вариации, среднее линейное отклонение.

Размах вариации определяется по формуле:

;

тыс. шт.

Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:

.

Промежуточные расчеты выполнены в таблице 3.



Таблица 3. Промежуточные расчеты для вычисления средней и показателей вариации

Группы предприятий по объему выпускаемой продукции, тыс. шт.	Число предприятий	Середина интервала
14,73 - 15,20	4	14,965	1,1468	4,5872
15,20 - 15,67	4	15,435	0,6768	2,7072
15,67 - 16,14	7	15,905	0,2068	1,4476
16,14 - 16,61	1	16,375	0,2632	0,2632
16,61 - 17,08	5	16,845	0,7332	3,6660
17,08 - 17,55	4	17,315	1,2032	4,8128
Итого	25	-	-	17,484

тыс. шт.

5. Проанализируем показатели общей, межгрупповой, внутригрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий, коэффициенты соотношения, осцилляции и вариации.

Общую дисперсию рассчитываем по несгруппированным данным по формуле:

,

Где - индивидуальные значения признака по исходным данным;

- общая средняя;

- число индивидуальных значений признака.

Промежуточные расчеты выполним в таблице 4.



Таблица 4

Промежуточные расчеты для определения общей дисперсии

14,73	2	29,46	1,4384	2,0690	4,1380
15,19	2	30,38	0,9784	0,9573	1,9145
15,44	1	15,44	0,7284	0,5306	0,5306
15,48	1	15,48	0,6884	0,4739	0,4739
15,64	2	31,28	0,5284	0,2792	0,5584
15,68	1	15,68	0,4884	0,2385	0,2385
15,95	2	31,90	0,2184	0,0477	0,0954
16,03	3	48,09	0,1384	0,0192	0,0575
16,09	1	16,09	0,0784	0,0061	0,0061
16,56	1	16,56	0,3916	0,1534	0,1534
16,64	1	16,64	0,4716	0,2224	0,2224
16,79	3	50,37	0,6216	0,3864	1,1592
16,94	1	16,94	0,7716	0,5954	0,5954
17,40	2	34,80	1,2316	1,5168	3,0337
17,55	2	35,10	1,3816	1,9088	3,8176
Итого	25	404,21	-	-	16,9945

Средняя по не сгруппированным данным:

.

Общая дисперсия:

.

Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

,

Где - число групп;

- число единиц в -й группе;

- частная средняя по -й группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Промежуточные расчеты выполним в таблице 5.

Таблица 5. Промежуточные расчеты для определения общей дисперсии

14,73	2	29,46	0,23	0,0529	0,1058
15,19	2	30,38	0,23	0,0529	0,1058
По группе	4	59,84	-	-	0,2116
15,44	1	15,44	0,11	0,0121	0,0121
15,48	1	15,48	0,07	0,0049	0,0049
15,64	2	31,28	0,09	0,0081	0,0162
По группе	4	62,20	-	-	0,0332
15,68	1	15,68	0,2857	0,081633	0,081633
15,95	2	31,90	0,0157	0,000247	0,000494
16,03	3	48,09	0,0643	0,004133	0,012398
16,09	1	16,09	0,1243	0,015447	0,015447
По группе	7	111,76	-	-	0,1100
16,56	1	16,56	0	0	0
По группе	1	16,56	-	-	0
16,64	1	16,64	0,15	0,0225	0,0225
16,79	3	50,37	0	0	0
16,94	1	16,94	0,15	0,0225	0,0225
По группе	5	83,95	-	-	0,045
17,40	2	34,80	0,075	0,005625	0,01125
17,55	2	35,10	0,075	0,005625	0,01125
По группе	4		-	-	0,0225

Рассчитаем частные средние для каждой группы:

;

;

;

;

;

.

Межгрупповая дисперсия:

.

Внутригрупповые дисперсии рассчитаем по формуле:

,

Где - индивидуальные значения признака в -й группе;

Внутригрупповые дисперсии для каждой группы:

;

;

;

;

;

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:



;

.

Проверим по правилу сложения дисперсий:

;

.

Коэффициент осцилляции:

%.

Линейный коэффициент вариации:

%.

Коэффициент вариации:

%.

6. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение и эмпирический коэффициент детерминации.

Эмпирическое корреляционное отношение:

.

Коэффициент детерминации:

.

7. Определим среднюю и предельную ошибки выборки повторным способом и их пределы.

Средняя ошибка выборки для среднего значения:

,

Где - дисперсия, ;

- выборочная совокупность, .

тыс. шт.

Предельная ошибка выборки для среднего значения:

,

Где - коэффициент доверия, зависит от вероятности, с которой делается утверждение, при.

тыс. шт.

Границы генеральной средней определяются по формуле:

,

Где - выборочная средняя, .

;

.

Средняя ошибка для доли:

,

Где - выборочная доля, %.

.

Предельная ошибка для доли:

.

Границы генеральной доли определяются по формуле:

;

;

;

.

8. Определим среднюю и предельную ошибки выборки бесповторным способом и их пределы.

Средняя ошибка выборки для среднего значения:



,

Где - генеральная совокупность предприятий, .

тыс. шт.

Предельная ошибка выборки для среднего значения:

тыс. шт.

Границы генеральной средней:

;

.

Средняя ошибка для доли:

;

.

Предельная ошибка для доли:

.

Границы генеральной доли определяются по формуле:

;

;

;

.

9. Проведем собственно-случайный повторный и бесповторный отбор.

Собственно случайный отбор производится с использованием какого-либо алгоритма, реализующего принцип случайности, или на основе таблицы случайных чисел.

Так, с использованием таблицы случайных чисел собственно случайный повторный отбор 25 предприятий из 100 предприятий позволяет сформировать выборку предприятий с номерами:

89, 22, 55, 59, 3, 51, 68, 13, 16, 43, 15, 80, 87, 84, 16, 24, 46, 62, 20, 78, 543, 73, 62, 45, 59

Собственно случайный бесповторный отбор 25 предприятий из 100 предприятий позволяет сформировать выборку предприятий с номерами:

89, 22, 55, 59, 3, 51, 68, 13, 43, 15, 80, 87, 84, 16, 24, 46, 20, 78, 53, 73, 62, 45, 42, 70, 4

10. Рассмотрим показатели абсолютного прироста, темпа роста, темпа прироста, среднего темпа роста и прироста.

Абсолютный прирост представляет собой разность двух уровней ряда:

;

,

Где , , - текущий, предыдущий и начальный уровни ряда динамики соответственно.

Например, для 1989 года:

тыс. шт.;

тыс. шт.

Темп роста представляет собой отношение двух уровней ряда, выраженное в процентах:

;

.

Например, для 1989 года:

%;

%.

Темп прироста:

;

.

Например, для 1989 года:

%;

%.

Результаты расчетов занесем в таблицу 6.

Таблица 6. Анализ динамики выпуска продукции

Год	Выпуск продукции, тыс. шт.	Абсолютный прирост, тыс. шт.	Темп роста, %	Темп прироста, %
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1	2	3	4	5	6	7	8
1987	16,79	-	-	-	100,0	-	-
1988	17,40	0,61	0,61	103,6	103,6	3,6	3,6
1989	17,55	0,15	0,76	100,9	104,5	0,9	4,5
1990	14,73	-2,82	-2,06	83,9	87,7	-16,1	-12,3
1991	15,19	0,46	-1,60	103,1	90,5	3,1	-9,5
1992	15,48	0,29	-1,31	101,9	92,2	1,9	-7,8
1993	15,44	-0,04	-1,35	99,7	92,0	-0,3	-8,0
1994	16,03	0,59	-0,76	103,8	95,5	3,8	-4,5
1995	15,95	-0,08	-0,84	99,5	95,0	-0,5	-5,0
1996	15,64	-0,31	-1,15	98,1	93,2	-1,9	-6,8
1997	15,95	0,31	-0,84	102,0	95,0	2,0	-5,0
1998	15,64	-0,31	-1,15	98,1	93,2	-1,9	-6,8
1999	15,68	0,04	-1,11	100,3	93,4	0,3	-6,6
2000	16,03	0,35	-0,76	102,2	95,5	2,2	-4,5
2001	16,09	0,06	-0,70	100,4	95,8	0,4	-4,2
2002	16,94	0,85	0,15	105,3	100,9	5,3	0,9
2003	16,79	-0,15	0,00	99,1	100,0	-0,9	0,0
2004	16,03	-0,76	-0,76	95,5	95,5	-4,5	-4,5
2005	16,56	0,53	-0,23	103,3	98,6	3,3	-1,4
2006	16,64	0,08	-0,15	100,5	99,1	0,5	-0,9
2007	16,79	0,15	0,00	100,9	100,0	0,9	0,0
2008	17,40	0,61	0,61	103,6	103,6	3,6	3,6
2009	17,55	0,15	0,76	100,9	104,5	0,9	4,5
2010	14,73	-2,82	-2,06	83,9	87,7	-16,1	-12,3
2011	15,19	0,46	-1,60	103,1	90,5	3,1	-9,5

Средний темп роста рассчитывается по формуле:

,

Где - число уровней ряда динамики.

%.

Среднегодовой темп прироста:

;



%.

11. Найдем необходимый объем выборки повторным и бесповторным способом.

Необходимый объем выборки повторным способом находят по формуле:

.

Найдем необходимый объем выборки, чтобы ошибка выборки не превышала 0,1 тыс. шт.:

,

округляем в большую сторону, предприятия.

Необходимый объем выборки бесповторным способом находят по формуле:

.

,

округляем в большую сторону, предприятия.

12. С помощью трендового анализа спрогнозируем объем производства на 2012 г.

Для выравнивания ряда динамики по прямой следует получить уравнение:



Для расчета параметров и решается система нормальных уравнений:

,

Где - число уровней ряда динамики;

- условное обозначение фактора времени порядковыми номерами;

- фактические уровни ряда динамики.

Система упрощается, если подобрать так, чтобы их сумма равнялась 0, тогда система будет иметь вид:

, откуда ; .

Расчеты произведем в таблице 7

Таблица 7. Аналитическое выравнивание ряда динамики

Годы	Выпуск продукции, тыс. шт.
1987	16,79	-12	144	-201,48	16,072
1988	17,40	-11	121	-191,40	16,080
1989	17,55	-10	100	-175,5	16,088
1990	14,73	-9	81	-132,57	16,096
1991	15,19	-8	64	-121,52	16,104
1992	15,48	-7	49	-108,36	16,112
1993	15,44	-6	36	-92,64	16,120
1994	16,03	-5	25	-80,15	16,128
1995	15,95	-4	16	-63,8	16,136
1996	15,64	-3	9	-46,92	16,144
1997	15,95	-2	4	-31,9	16,152
1998	15,64	-1	1	-15,64	16,160
1999	15,68	0	0	0	16,168
2000	16,03	1	1	16,03	16,176
2001	16,09	2	4	32,18	16,184
2002	16,94	3	9	50,82	16,192
2003	16,79	4	16	67,16	16,200
2004	16,03	5	25	80,15	16,208
2005	15,56	6	36	99,36	16,216
2006	16,64	7	49	116,48	16,224
2007	16,79	8	64	134,32	16,232
2008	17,40	9	81	156,60	16,240
2009	17,55	10	100	175,50	16,248
2010	14,73	11	121	162,03	16,256
2011	15,19	12	144	182,28	16,264
Итого	404,21	0	1300	11,03	404,2

Получаем:

; .

Уравнение тренда примет вид:

.

Подставляя в него значения для каждого года, найдем выравненные (теоретические) значения .

Так, для 1987 года:

тыс. шт.

Проверяем:

;

.

Выполним экстраполяцию уровней динамического ряда на 2012 год. Объем производства продукции в 2012 г. составит:

тыс. шт.

Изобразим фактические, теоретические (выравненные) и прогнозный уровни ряда на графике (рис. 3).

Рис. 3. Динамика объема производства продукции



Выводы

Средний объем выпускаемой продукции на одном предприятии по сгруппированным данным составил 16,1 тыс. шт. Большинство предприятий имеют объем выпускаемой продукции 15,8 тыс. шт. Половина предприятий выпускает менее 16 тыс. шт. продукции, а другая половина - более.

Размах вариации выпуска продукции на рассматриваемых предприятиях составляет 2,82 тыс. шт. Объем выпуска продукции отклоняется от среднего объема выпуска продукции в среднем на 0,7 тыс. шт.

Общая дисперсия выпуска продукции составляет 0,6798, межгрупповая дисперсия - 0,6629, средняя из внутригрупповых дисперсий - 0,0169. Размах вариации составляет 17,4 % от среднего значения признака, соотношение среднего линейного отклонения и среднего значения признака составляет 4,3 %, колеблемость признака составляет 1,6 %, то есть совокупность предприятий является однородной по объему выпуска продукции, а средний выпуск продукции 16,1 тыс. шт. - типичным для данной совокупности предприятий.

Зависимость объема выпуска продукции от группы предприятий слабая. На 2,5 % объем выпуска продукции зависит от принадлежности к определенной группе предприятий, а на остальные 97,5 % - от других факторов.

С вероятностью 94,5 % среднее значение объема выпуска продукции в генеральной совокупности предприятий находится в пределах от 15,979 до 13,357 тыс. шт. при повторном отборе и в пределах от 16,028 до 16,308 тыс. шт. при бесповторном отборе. С вероятностью 94,5 % рассматриваемая доля предприятий в генеральной совокупности находится в пределах от 15,9 до 36,1 % при повторном отборе и в пределах от 18,6 до 33,4 % при бесповторном отборе.

В 1988-1989, 1991-1992, 1994, 1997, 1999-2002, 2005-2009 и 2011 гг. выпуск продукции увеличивался, а в 1990, 1993, 1995-1996, 1998, 2003-2004 и 2010 гг. - уменьшался. За весь период 1987-2011 гг. выпуск продукции снизился на 1,6 тыс. шт. или на 9,5 %. Ежегодно выпуск продукции снижался в среднем на 0,42 %.

Для того, чтобы предельная ошибка выборки не превышала 0,1 тыс. шт., необходимый объем выборки при повторном отборе должен составлять 272 предприятия, а при бесповторном отборе - 104 предприятия.

Аналитическое выравнивание показало тенденцию небольшого увеличения объема выпуска продукции, которую можно описать уравнением . При сохранении существующей тенденции в 2012 г. объем выпуска продукции составит 16,272 тыс. шт.

Список литературы

1. Голышев А.В. Краткий курс по статистике: учеб.пособие. - М.: Окей-книга, 2007.

2. Статистика: учебник \ Л.П.Харченко, В.Г.Ионин, В.В.Глинский и др.; под ред. В.Г.Ионина. - 3-е изд., перераб и доп. - М.: ИНФРА-М, 2008.

3. Статистика: Учебно-методический комплекс / Под ред. В.В.Глинского, В.Г.Ионина, Л.К.Серга. - Новосибирск, 2007.

4. Теория статистики: учебник / Р.А.Шмойлова, В.Г.Минашкин, Н.А.Садовникова, Е.Б.Шувалова; под ред. Р.А.Шмойловой. - 5-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2007.

Размещено на Allbest.ur

...