Потребительские предпочтения. Кардиналистский и ординалистский подходы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потребительские предпочтения. Кардиналистский и ординалистский подходы

Экономисты создали теорию потребительского поведения, основанную на гипотезе о сравнимости полезности разных благ. Предполагается, что при заданных ценах покупатель стремится так распределить свои средства на покупку различных благ, чтобы максимизировать ожидаемое удовлетворение своих потребностей или полезность от их потребления. При этом потребитель руководствуется своими личными вкусами и предпочтениями.

Предпочтение в экономике - это выбор благ, наборов благ экономическими субъектами из доступных альтернатив с учетом их значимости для потребителя. Основным преимуществом в экономике считается возможность получения выгоды (но не обязательно денежной). При этом выгодой для фирмы, как правило, выступает прибыль, а для потребителя - полезность благ. Полезность блага - это его способность удовлетворять потребность (или потребности) потребителей.

Очевидно, чтобы максимизировать ожидаемое удовлетворение потребностей или полезность приобретаемых благ, потребитель должен быть в состоянии каким-то образом сравнивать, сопоставлять, соизмерять полезности различных благ и их наборов с учетом своих предпочтений. Известны два основных подхода к решению этой проблемы - количественный и порядковый.

Количественный поход в анализе полезности был предложен в последней трети XIX в. У. Джевонсом, К. Менгером, Л. Вальрасом одновременно и независимо друг от друга. Количественная (кардиналистская) теория полезности основана на представлении о возможности измерения полезности различных благ в гипотетических единицах- ютилах (от англ. utility - полезность). Предполагается, что потребитель может определить, что потребление единицы блага приносит ему удовлетворение в 10 ютилов, а двух благ - 18 ютилов. В рамках данного подхода возможно построить функции полезности для наборов товаров. полезность товар ограничение благо

Следует подчеркнуть, что количественные оценки полезности товара или товарного набора имеют исключительно индивидуальный, субъективный характер. Количественный подход не предполагает объективное измерение полезности того или иного товара в ютилах и не предусматривает также возможности соизмерения степени удовлетворения потребностей различными потребителями. Один и тот же продукт может представлять большую ценность для одного потребителя и никакой ценности - для другого.

Таким образом, согласно количественной теории полезности потребитель формирует свои индивидуальные предпочтения на то или иное благо в зависимости от данной им количественной оценки в ютилах полезности потребляемого им блага или набора благ.

Набор, в котором имеется только одно благо, представляется следующим образом: (), где - количество блага в наборе. Набор, состоящий из двух благ - (), где и , соответственно, количество одного и другого блага в наборе. В общем случае в наборе содержится товаров . Зависимость между количеством блага или нескольких благ в наборе (независимой или независимыми переменными) и величиной их общей полезности ( - total utility) представляют функцией общей полезности, которая в зависимости от числа благ в наборе имеет вид:

.

В функции полезности каждому возможному потребительскому набору соответствует некое численное значение, при котором более предпочитаемым наборам приписываются большие численные значения, чем менее предпочитаемым. Иными словами, набор предпочитается набору в том и только в том случае, если полезность набора больше полезности набора : на языке условных обозначений , если и только если . Единственный смысл приписывания полезности состоит в том, что с его помощью ранжируются товарные наборы.

Функция общей полезности непрерывна и дифференцируема. Это означает, что любое бесконечно малое изменение количества блага в наборе вызывает изменение общей полезности набора.

Допустим, что объемы потребления товаров постоянны. Как изменится общая полезность товарного набора при изменении объема потребления товара ? Графически эта зависимость отражена на рис. 8 а.

Длина отрезка равна полезности товарного набора при фиксированных объемах товаров в наборе и при нулевом объеме потребления товара . Функция общей полезности такого набора вначале возрастает (чем больше единиц блага в наборе, тем большую полезность он имеет), достигает своего максимума в точке S, после которой становится убывающей. Последнее означает, что после насыщения благом, каждая его дополнительная единица будет приносить потребителю меньшую общую полезность, чем предыдущая. Кривая общей полезности имеет выпуклую вверх форму: каждая последующая единица одного и того же блага увеличивает общую полезность на меньшую величину, чем предыдущая.

Размещено на http://www.allbest.ru/

В процессе непрерывного потребления полезность каждой дополнительной единицы блага, его предельная полезность, убывает. Предельная полезность ( - marginal utility) - это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на одну единицу. На рис. 8 а представлена зависимость предельной полезности блага от объема его потребления.

Представим математическую интерпретацию предельной полезности. Общая полезность набора, состоящего из одного товара, . Если в наборе количество товара изменилось на величину , то полезность набора изменилась на :

.

Отношение приращения полезности к вызвавшему его приращению блага измеряет предельную полезность на дуге . Для бесконечно малого приращения аргумента (блага в наборе) определяют предельную полезность блага в точке, т.е. предельную полезность конкретной единицы блага. Для этого находим

.

Математически предельная полезность товара измеряется первой простой производной функции общей полезности товарного набора по объему потребления товара . Функция предельной полезности

.

График кривой предельной полезности представлен на рис. 8.

Наклон кривой предельной полезности измеряется второй производной функции полезности:

.

Если в наборе товаров , то общая полезность . Тогда предельная полезность товара измеряется следующим пределом:

,

т.е. частной производной функции общей полезности.

измеряет наклон поверхности безразличия, описываемой аналитически функцией предельной полезности . Если , то .

Если в наборе товаров, то такой набор отмечается точкой в -мерном пространстве, имеющей координат (по числу товаров в наборе). Здесь наборы представлены точками на поверхности безразличия, касательной к которой является плоскость.

Значение предельной полезности равно длине отрезка (на нижнем рис. 8) или тангенсу угла, который образует касательная к кривой в точке с положительно направленной осью абсцисс. Поскольку кривая выпукла вверх, то с увеличением объема потребления -го товара наклон касательной уменьшается и, следовательно, предельная полезность товара понижается. Если при объеме потребления товара общая полезность достигает максимума, то предельная полезность товара становится равной нулю.

Принцип убывающей предельной полезности называют первым законом Госсена, по имени немецкого экономиста Г. Госсена (1810-1859), впервые сформулировавшего его в 1854 г. Принцип убывающей предельной полезности заключается в том, что с ростом потребления какого-то одного блага (при неизменном объеме потребления всех остальных) общая полезность, получаемая потребителем, возрастает, но возрастает убывающим темпом. Математически это означает, что первая производная функции общей полезности по количеству данного блага положительна, а вторая - отрицательна:

, .

Однако принцип убывающей предельной полезности отнюдь не универсален. Во многих случаях предельная полезность последующих единиц благ сначала увеличивается, достигает максимума и после начинает снижаться. Такая зависимость характерна для небольших порций делимых благ. Она показана на рис. 8 б. В интервале от нуля до общая полезность растает быстрее объема потребления блага, растет и предельная полезность. В интервале от до общая полезность растет медленнее объема потребления, а предельная полезность снижается от максимального значения (в точке ) до нуля. Математически это означает, что на участке от нуля до и первая, и вторая частные производные функции общей полезности по объему данного блага положительны:

, .

Таким образом, принцип убывающей полезности, или первый закон Госсена, справедлив лишь в том случае, если вторая частная производная функции общей полезности отрицательна. Однако поскольку потребитель покупает на рынке определенные блага, можем считать, что для обращающихся на рынке товаров первый закон Госсена выполняется.

Предельные величины - один из основных параметров современной микроэкономики. Анализ конкуренции, рыночных эффектов и парадоксов опирается на изучение потребностей и предпочтений человека, а также законов их насыщения и реализации.

Постепенно экономисты пришли к выводу, что применительно к потребительскому выбору полезность важна только в определении, обладает ли один набор благ более высокой полезностью, чем другой, а насколько более высокой - значения на самом деле не имеет. Это стало основой для развития альтернативной порядковой (ординалистской) теории полезности, представителями которой являются Ф. Эджуорт, В. Парето, И. Фишер, а в 30-х гг. XX в. после работ Р. Аллена и Дж. Хикса эта теория на западе стала общепринятой. Ординалистская теория полезности основана на следующих аксиомах.

Аксиомы потребительского поведения

От потребителя не требуется умения измерять полезность того или иного блага в искусственных единицах измерения. Достаточно лишь, чтобы потребитель был способен упорядочить все возможные товарные наборы по их «предпочтительности». Суть выбора потребителя состоит в следующем: из числа доступных ему потребительских наборов он, исходя из своих вкусов, выбирает тот, который для него наиболее предпочтителен.

Этот несложный подход при использовании в анализе ряда предпосылок позволяет, однако, получить важные выводы в отношении закономерностей потребительского спроса. Ключевой же идеей, стоящей за указанными предпосылками, является идея рациональности предпочтений потребителя: при выборе в самых различных ситуациях используются одни и те же принципы ранжирования наборов. Эти принципы отражаются в аксиоматическом характере предпочтений потребителя.

Первоначально были выделены три основные аксиомы потребительского поведения:

1. Аксиома полной (совершенной) упорядоченности, или сравнимости. Допускаем, что любые два набора можно сравнить между собой. Если даны набор и набор , то либо , либо , либо имеет место то и другое одновременно. Последнее означает, что потребителю безразлично, какой из двух наборов потреблять.

2. Аксиома рефлексивности. Любой набор по крайней мере не хуже себя самого: .

3. Аксиома транзитивности. Если и , то . Иными словами, если потребитель считает, что набор по крайней мере не хуже набора , а набор по крайней мере не хуже набора , то, значит, он считает, что набор по крайней мере не хуже набора . Из этой аксиомы следует важное свойство кривых безразличия, которое гласит, что кривые безразличия никогда не пересекаются.

Графически удобно описать предпочтения, используя кривые безразличия. Кривые безразличия впервые применил Ф. Эджуорт, а позднее они были более подробно разработаны Е. Слуцким и Дж. Хиксом .

На рис. 9 на осях координат отложено потребление неким потребителем товаров и . Выберем определенный потребительский набор и заштрихуем область всех потребительских наборов, предпочитаемых набору . Эта область называется слабо предпочитаемым множеством. Наборы, лежащие на границе этого множества, столь же хороши для данного потребителя, как и набор , образуют кривую безразличия.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Можно провести кривую безразличия через любой потребительский набор. На кривой безразличия все товарные наборы имеют для потребителя одинаковую полезность.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Одна из проблем использования кривых безразличия для описания предпочтений состоит в том, что точки на кривых показывают наборы, которые потребитель воспринимает как имеющие одинаковую полезность, и не отмечают при этом, какие наборы лучше, а какие хуже.

Кривую безразличия обычно обозначают буквой или , поскольку на ней представлено множество наборов, одинаково предпочтительных для потребителя, т.е. множество наборов, имеющих одинаковую полезность для потребителя.

Для описания поведения потребителей с помощью типичных кривых безразличия, рассматриваемых в теории потребительского выбора, были введены еще три аксиомы в отношении предпочтений.

4. Аксиома ненасыщения. Если набор содержит не меньше каждого товара, а одного из них больше, чем набор , то . Смысл аксиомы в том, что она выражает желание потребителя иметь больше, по крайней мере, хотя бы одного товара. Для потребителя чем больше содержится блага в наборе, тем лучше. Набор, лежащий на кривой безразличия, более удаленной от начала координат, обладает большей полезностью, а, следовательно, предпочтительнее для потребителя (рис. 10).

Данная аксиома предполагает, что потребность в благах, входящих в сравнимые наборы на определенном локальном отрезке времени, не получила удовлетворения. Иными словами, товары, входящие в набор, рассматриваются как благо для потребителя. Хотя по достижении определенной точки насыщения благом может стать не товар, а его отсутствие. Но в экономической теории анализируют отрезки кривых безразличия, расположенных ниже секущей линии, отражающих ситуацию ненасыщения ( рис. 10б).

5. Аксиома непрерывности. Если , то наборы, достаточно близкие к (например ), также должны предпочитаться (рис. 10а). Данная предпосылка позволяет исследовать реакцию индивидов на относительно малые изменения дохода и цен.

6. Аксиома строгой выпуклости к началу координат (предпочтение среднего набора). Рис. 10а представляет строго выпуклую кривую безразличия. Выпуклость можно описать с помощью математического понятия «выпуклый набор точек». Любые две точки на кривой безразличия можно соединить прямой. Набор , представленный средней точкой на отрезке с количествами благ , предпочитается любой из исходных комбинаций и , поскольку набор С лежит на более высокой кривой безразличия, следовательно, обладает большей полезностью.

Любая пропорциональная комбинация (взвешенная средняя) из двух товарных наборов, имеющих одинаковую полезность, предпочитается наборам с преобладающим удельным весом одного из товаров. Данная аксиома также отражает рациональный выбор потребителя.

Кривые безразличия и функции полезности

Кривая безразличия графически представляет функцию полезности, т.е. является ее графиком.

1. Предпочтения потребителя в случае товаров субститутов. Два товара являются совершенными субститутами, если потребитель готов заменить один товар другим в постоянной пропорции. Простейший случай совершенных субститутов - если потребитель готов заменить один товар другим в соотношении один к одному.

Кривые безразличия для таких товаров представляют собой параллельные прямые линии с отрицательным наклоном, как показано на рис. 11. Наборы с большим совокупным числом товара предпочитаются наборам с меньшим совокупным числом товара , поэтому предпочтения возрастают в направлении вправо вверх.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кривые безразличия для товаров совершенных заменителей имеют постоянный отрицательный наклон. В этом случае функция полезности имеет следующий вид:

,

где и - некие положительные числа, измеряющие «ценность» первого и второго товаров для потребителя. Наклон такой кривой безразличия равен ()

2. Предпочтения потребителя в случае товаров совершенных комплементов. Совершенные комплементы - это товары, потребляемые вместе в постоянной пропорции. В определенном смысле эти товары друг друга «дополняют».

Кривые безразличия для совершенных комплементов представлены на рис. 12. Выберем потребительский набор . Добавим к нему еще одну единицу товара , получим набор . Это не изменит благосостояния потребителя по сравнению с исходной позицией: лишняя единица товара не увеличивает его. То же самое произойдет, если добавить к исходному набору еще одну единицу товара : для потребителя наборы и равноценны, а дополнительная единица продукта не будет использована.

Товары - совершенные комплементы потребитель всегда потребляет в постоянной пропорции. Если одновременно увеличить количество товаров и , то потребитель передвинется в более предпочтительную угловую точку, и набор, отмеченный этой точкой, имеет большую полезность, чем исходный набор.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Хотя потребитель предпочитает потреблять товары совершенные комплементы в постоянной пропорции, но при этом не обязательно в пропорции один к одному. Поэтому функция полезности для таких товаров имеет следующий вид: .

3. Предпочтения потребителя, если один товар является антиблагом. Антиблаго - это товар, свойства которого оцениваются потребителем отрицательно. Имеем товары и , и для потребителя является благом, а товар - антиблагом. Кривые безразличия для наборов, включающих благо и антиблаго, имеют положительный наклон, поскольку уменьшение полезности от увеличения потребления антиблага должно компенсироваться приростом полезности от увеличения потребления блага. Такие предпочтения представлены на рис. 13.

Выберем набор на кривой безразличия . Если увеличить в наборе количество антиблага , то придется увеличить и количество блага в наборе, чтобы потребитель остался на той же самой кривой безразличия. Это компенсирует возросшее количеством . Поэтому кривые безразличия для такого потребителя перемещаются вправо вниз, как показано на рис. 13.

Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Предпочтения потребителя при наличии безразличного блага. Товар есть безразличное благо, если потребитель к нему совершенно равнодушен. В этом случае кривые безразличия - вертикальные линии. Потребителя волнует лишь количество имеющегося у него товара и совершенно не волнует, сколько у него . Чем больше товара , тем лучше, добавление же товара никак не влияет на его благосостояние.

Размещено на http://www.allbest.ru/

5. Предпочтения на дискретные товары. Иногда возникает необходимость исследовать предпочтение в отношении товаров, потребление которых в силу их природы определяется целыми числами. Например, спрос потребителя на автомобили.

Пусть - деньги, расходуемые на все другие товары, а - дискретный товар, который можно приобрести только в неделимых количествах. Внешний вид «кривых» безразличия и слабо предпочитаемое множество для товара такого рода показаны на рис. 15. В этом случае наборы, имеющие одинаковую полезность, будут представлены множеством отдельных точек. Множество же наборов, по крайней мере, не худших, чем данный конкретный набор, будет представлено множеством отрезков прямых.

В данном случае товар 1 можно приобрести только в неделимых количествах. Пунктирные линии на рис. 15а соединяют между собой безразличные друг другу наборы, а вертикальные линии на рис.15б представляют наборы, по крайней мере, не хуже, чем обозначенный набор.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вопрос о том, стоит ли подчеркивать дискретную природу какого-либо товара, решается в зависимости от прикладных целей исследования. Если за весь временной период, охваченный исследованием, потребитель выбирает одну или две единицы товара, признание дискретной природы выбора может иметь значение. Если же потребитель выбирает 30 или 40 единиц товара, то следует считать этот товар делимым. Кроме того, если автомобиль неделим, то машино-часы его эксплуатации делимы.

Предельная норма замещения для различных товаров

Предельная норма замещения для различных товаров (- Marginal rate of substitution) - количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную (предельную) единицу. Это пропорция, в которой возможна замена одного блага в потребительском наборе другим.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 16а потребитель уменьшает потребление блага на и увеличивает потребление блага на , оставаясь на кривой безразличия. Благосостояние потребителя не изменяется. По определению предельная норма замещения измеряется отношением

.

Такое отношение измеряет наклон кривой безразличия на дуге. Наклон кривой безразличия отрицателен. Так как , то

.

Другими словами, наклон кривой безразличия можно измерить тангенсом угла, который образует секущая линия с положительно направленной осью абсцисс.

Если величины и - бесконечно малые, то потребитель находится в точке, секущая занимает положение касательной, а предельная норма замещения одного товара другим принимает вид:

.

Ее значение можно измерить тангенсом угла, который образует касательная с положительно направленной осью абсцисс.

Предельную норму замещения можно измерить с помощью предельной полезности одного и другого блага. Пусть в наборе имеются два блага, а функция полезности . При уменьшении потребления блага на полезность набора уменьшается на ; при увеличении в наборе количества другого блага на полезность набора увеличится на . Но общее изменение полезности будет равно нулю, так как наборы и находятся на одной и той же кривой безразличия. Поэтому

.

Отсюда .

Аналогично в точке

Для стандартных кривых безразличия предельная норма замещения - убывающая функция. В этом нетрудно убедиться графически. Для этого надо увеличивать потребление товара на одну и ту же величину, тогда придется сокращать потребление товара уменьшающимися порциями. Пропорция, в которой потребитель замещает товар товаром , т.е. , будет уменьшаться.

Предельная норма замещения для товаров совершенных заменителей постоянна, так как кривая безразличия для таких товаров - прямая линия. Функция полезности

, а .

Для товаров совершенных комплементов предельная норма замещения равна или нулю, или бесконечно большой величине. В точках на вертикальном отрезке кривой, расположенных выше угловой точки (рис. 12)

.

В точках на горизонтальном отрезке кривой безразличия, расположенных правее угловой точки (рис. 12)

.

Для безразличных благ

.

Здесь - безразличное благо. В случае блага и антиблага положительна.

Бюджетное ограничение потребителя

Экономическая теория поведения потребителя основывается на том, что потребители выбирают лучший товарный набор, который могут приобрести за свой доход.

В рыночной экономике всегда имеется множество товаров, в пределах которого потребитель осуществляет свой выбор. В реальной жизни существует много товаров, являющихся объектами потребления, однако для построения модели поведения рационального потребителя предположим, что потребитель приобретает два товара . Чтобы модель отражала реальное поведение потребителя, можно считать, что товар - это конкретный товар, а товар - композитный товар, который включает в себя все остальные товары и количество которого равно сумме денег, расходуемых на композитный товар. Цена такого товара равна денежной единице. Известны цены товаров, , и - доход потребителя, который он может израсходовать. Тогда бюджетное ограничение потребителя может быть записано в виде:

.

Здесь - сумма денег, расходуемая потребителем на товар , а - сумма денег, расходуемая на товар . Согласно бюджетному ограничению сумма денег, затраченная на оба товара, не должна превышать величину дохода потребителя.

Доступными для потребителя наборами являются те, которые стоят не дороже . На рис. 17а в точке и в других точках треугольника, ограниченного бюджетной линией и осями координат, находятся наборы, доступные потребителю. Но, приобретая их, потребитель не израсходует весь свой доход.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На бюджетной линии расположены доступные наборы. Чтобы их приобрести, потребитель израсходует весь свой доход. И, наконец, в точке и в других точках, расположенных выше и правее бюджетной линии, находятся наборы, недоступные потребителю.

Множество доступных наборов при ценах и доходе называют бюджетным множеством данного потребителя. Бюджетное ограничение или уравнение бюджетной линии может быть записано в виде:

,

где () - угловой коэффициент бюджетной линии, который измеряет ее наклон к оси абсцисс.

Бюджетная линия потребителя не остается раз и навсегда заданной: изменяются цены товаров, доход потребителя. Если цены на товары остаются неизменными, а доход увеличивается, то бюджетная линия передвигается параллельно самой себе вправо. Так бывает, в частности, если вводится аккордная субсидия на доход потребителя. Бюджетная линия в таком случае имеет вид:

.

При снижении дохода линия передвигается в противоположную сторону, к началу координат. Например, если вводится аккордный налог на доход потребителя, то его бюджетная линия принимает вид

.

Если доход потребителя и цена товара не изменяются, а на товар вводится налог, равный величине , то бюджетная линия

,

а ее наклон изменяется и становится равным . Точка сохраняет свое положение, точка передвигается влево по оси абсцисс. Если же при названных условиях вводится налог с продаж и его величина устанавливается как процент от цены, то бюджетная линия принимает вид:

, а ее наклон равен .

Другие многочисленные ситуации, если одновременно изменяются и цены, и доход в различных направлениях - повышаются, снижаются и т.д., здесь не рассматриваются.

Оптимальное положение потребителя в экономике

Используя кривые безразличия и бюджетную линию, определим набор, имеющий максимальную полезность для потребителя, его оптимальный выбор. Очевидно, что этот набор находится одновременно на бюджетной линии и самой высокой для потребителя кривой безразличия. Такой набор отмечен точкой - точкой касания названных линий. В этой точке бюджетная линия является касательной к кривой безразличия, и, следовательно, их наклоны равны. Точка отмечает положение равновесия (или оптимум) потребителя (рис. 17б).

Наклон бюджетной линии измеряется соотношением цен товаров , а наклон кривой безразличия - предельной нормой замещения, равной соотношению предельных полезностей товаров

.

Условие оптимального выбора потребителя в случае двух товаров имеет вид:

.

Экономический смысл оптимума потребителя состоит в том, что в точке, где субъективная норма замещения товара товаром равна «объективной», рыночной, норме замены на , индивид платит за одну единицу товара на рынке именно столько, сколько хочет уплатить, и потому не имеет стимула к дальнейшей замене на .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возможны ситуации, когда потребитель выбирает угловое решение (рис. 18). При этом потребляется один из товаров.

Оптимальный выбор потребителя (общий случай)

Необходимое условие максимума функции полезности.

Потребитель покупает набор, состоящий из товаров, функция общей полезности которого

,

а доход потребителя . Цены товаров заданы рынком.

Определим необходимое условие максимизации функции общей полезности при условии, что весь доход не будет израсходован на потребление.

Бюджетное ограничение потребителя:

.

Так как потребитель не расходует весь свой доход, то кроме приобретаемых товаров у него остается некоторая часть дохода. Тогда общая полезность набора товаров и денег представлена функцией Лагранжа:

.

Если потребитель расходует весь доход, то функция Лагранжа равна функции общей полезности. Но нередко потребитель не расходует весь доход, часть дохода сберегает. Вводится параметр , который измеряет предельную полезность одной денежной единицы. Полезность денежной единицы оценивается потребителями по-разному, как и полезность одного и того же товара. Этот параметр необходим, чтобы можно было сложить общую полезность набора и полезность денег, так как общая полезность

измеряется в единицах полезности, а доход

в денежных единицах. Общая полезность для потребителя теперь складывается из полезности приобретаемого набора товаров и полезности неизрасходованных денег.

Функция Лагранжа является функцией переменных . Необходимое условие максимизации функции Лагранжа - равенство нулю первых частных производных.

;

;

;

.

Получаем следующую систему уравнений:

Размещено на Allbest.ru

...