Прикладные аспекты модели выбора индивида в пространстве обусловленных благ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прикладные аспекты модели выбора индивида в пространстве обусловленных благ

1. Совместное несение рисков

Институты совместного несения риска принимают разнообразные формы. Проанализируем мотивы и предпочтения, которые делают такие институты привлекательными для экономических субъектов.

Два предпринимателя занимаются бизнесом. Для каждого из них существует вероятность неблагоприятного исхода в реализации проекта. Вероятность неблагоприятного исхода для каждого предпринимателя равна . Вероятности исходов для обоих предпринимателей независимы друг друга. Материальные потери в случае неблагоприятного исхода событий для каждого предпринимателя равны . В отсутствие соглашения о совместном несении рисков ожидаемая полезность дохода каждого предпринимателя составляет:

,

где - начальный доход.

Но предприниматели договорились о совместном несении рисков, о равном долевом участии в несении убытков, связанных с наступлением неблагоприятной ситуации. В результате появляются три возможных исхода: неблагоприятная ситуация складывается для обоих предпринимателей; для одного из предпринимателей создается неблагоприятная, а для другого - благоприятная ситуация; и наконец, оба предпринимателя реализуют свои проекты в благоприятной ситуации. Ввиду независимости вероятностей наступления неблагоприятной ситуации, вероятность того, что оба предпринимателя будут осуществлять свои проекты в неблагоприятной ситуации, равна , т.е. произведению вероятностей осуществления проектов обоими предпринимателями в неблагоприятной ситуации. В этом случае потери каждого предпринимателя составят .

Вероятность того, что оба предпринимателя реализуют проекты в благоприятной ситуации, равна . В этом случае потери каждого предпринимателя равны нулю.

Вероятность того, что первый предприниматель реализует проект в благоприятной ситуации, а второй - в неблагоприятной, равна . Аналогично, вероятность того, что второй предприниматель реализует проект в благоприятной ситуации, а первый - в неблагоприятной, равна . Поэтому вероятность того, что хотя бы один из предпринимателей реализует проект в неблагоприятной ситуации, равна . В этом случае потери предпринимателя, реализовавшего проект в неблагоприятной ситуации, составят Ожидаемая полезность дохода такого предпринимателя составит:

.

Соглашение о совместном несении рисков увеличит ожидаемую полезность дохода предпринимателя, для которого будет соблюдаться неравенство:

Для предпринимателя не склонного к риску, заключившего соглашение о совместном несении рисков с другим предпринимателем, выполняется условие: или

.

При совместном несении рисков полезность дохода уровня достигается и при благоприятном и неблагоприятном исходах и доход в таком размере составляет набор обусловленных благ, находящийся на линии уверенности. Если отсутствует договор об объединении рисков, то набор обусловленных благ находится на другой линии, что означает рискованность таких действий со стороны предпринимателя. Предприниматель не склонный к риску предпочитает соглашение о совместном несении рисков независимому поведению.

В современной экономике большинство функций, выполняемых соглашениями об объединении рисков, осуществляется рынками страховых услуг.

2. Рынок страховых услуг

Индивид не склонный к риску готов заплатить премию за избавление от риска и становится клиентом страховой компании.

Рассмотрим случай полного страхового покрытия, т.е. полного возмещения страховой компанией убытков индивида в размере при неблагоприятном исходе. Определим максимальную сумму, которую готов клиент заплатить компании, чтобы не нести риск самому, или резервную цену спроса на страховые услуги. Проиллюстрируем поставленную задачу графически и аналитически.

Первоначально индивид находится в рисковой ситуации в точке , ожидаемая полезность его в отсутствие страхования составляет . Если индивид не купит страховку, то его ожидаемая полезность будет равна:

Определим эквивалент уверенности для данного рискового проекта. Под эквивалентом уверенности понимается такая величина гарантированного дохода , при которой индивиду безразлично, покупать страховку или не покупать. Эквивалент уверенности удовлетворяет следующему условию:

.

Чтобы определить , необходимо переместиться вдоль кривой безразличия на линию уверенности. Доход , получаемый без всякого риска, имеет для индивида такую же полезность, что и сопряженный с риском доход , так как оба дохода отмечаются точками на одной и той же кривой безразличия. Величина представляет собой максимальную сумму, которую индивид готов заплатить за полное страховое покрытие потери в размере . Если фактическая цена страховки меньше , т.е. меньше разности величины начального дохода и эквивалента уверенности, то при покупке страхового полиса ожидаемая полезность для индивида будет выше, чем в отсутствие покупки. Если же фактическая цена полного страхового покрытия будет больше величины , то ожидаемая полезность для индивида будет меньше, чем ожидаемая полезность в отсутствие покупки полиса.

Возникает вопрос, захотят ли страховые компании предложить клиенту полное страховое покрытие на условиях, которые его устраивают? Так мы отправляемся на рынок страховых услуг, на рынок условных благ, например, на доход при благоприятном исходе и на доход при неблагоприятном исходе. Если по ценам и индивид покупает и продает притязания на условные блага, то его бюджетное ограничение имеет вид:

.

Такое же бюджетное ограничение имеет место в случае формирования дохода потребителя при наличии начального запаса, используя который индивид покупает и продает притязания на условные блага. Но это бюджетное ограничение, с наклоном, определяемым относительной ценой дохода при благоприятном исходе .

Допустим, что страховая компания нейтрально относится к риску. Какая самая низкая цена, по которой компания готова предложить клиенту полное страховое покрытие? Другими словами, какую часть своего дохода при благоприятном исходе должен передать страховой компании ее клиент, чтобы иметь одинаковый доход при обоих исходах - благоприятном и неблагоприятном.

Обозначим резервную цену предложения страховых услуг компании Страховая компания, будучи нейтральной к риску, обосновывает свое решение о предоставлении услуги по страхованию по сравнению значений ожидаемой стоимости. Издержки, связанные с оформлением и предоставлением полиса, приравняем к нулю. Тогда компания выплатит сумму с вероятностью и нулевую сумму с вероятностью . Ее ожидаемые издержки составят и она предоставит полис, если доход от его продажи превысит ожидаемые издержки. Следовательно, резервная цена предложения страховой компании равна:

.

В ситуации, представленной на рисунке 4.2.1, рынок страхования может существовать, так как резервная цена предложения страхования меньше резервной цены спроса на него. Резервная цена предложения страхования равна отрезку , резервная цена спроса равна . Названное соотношение резервной цены предложения страхования и спроса на него характерно для справедливого страхования, когда наклон бюджетного ограничения при страховании - отношение цен притязаний на доход в отсутствие и при наступлении страхового случая равен отношению вероятностей этих исходов.

Если в сфере предоставления полисов существует конкуренция между страховыми компаниями, соответствующая признакам совершенной конкуренции, и не учитываются издержки оформления и предоставления полисов, то при равновесной цене страхования прибыль равна нулю. Это означает, что страхования компания должна предоставить справедливое страхование, при котором относительная цена страхования равна . В таком случае страхуемый индивид продает рисковое притязание на доход при хорошем исходе и покупает гарантированный уровень дохода , а получаемая им полезность составляет величину , соответствующую кривой безразличия , рис. 4.2.1.

В положении равновесия на рынке страхования ожидаемый доход индивида соответствует тому уровню ожидаемого дохода, который он имел бы в отсутствие страхования, но теперь он не несет никакого риска. Если бы страховая компания запросила бы несправедливую цену за страхование, то не склонный к риску индивид все равно купил бы страховку, но продолжал бы нести риск.

Допущение о рисконейтральности страховой компании не влияет на выводы применительно других страховых компаний - не склонных к риску, склонных к риску. Страховые компании несут малый риск, так как продают очень большое количество страховых полисов и таким образом объединяют большое число независимых рисков. Это снижает риск (см. 4.1. Совместное несение рисков). По закону больших чисел страховые компании способны точно оценивать свои издержки.

Таким образом, страхование представляет собой рыночный механизм объединения рисков, весьма привлекательный для экономических субъектов не склонных к риску. С помощью специально создаваемых институтов осуществляется рассредоточение рисков. Так, в акционерном обществе держатели акций совместно владеют специфическим рисковым активом. Акционерное финансирование представляет собой один из способов рассредоточения риска фирмы между держателями ее акций. В условиях ускорения научно-технического прогресса создание компаний по управлению совместными фондами рискового финансирования стало важнейшим способом привлечения и осуществления инвестиций в разработки и внедрение наукоемких технологий и продукции.

3. Уклонение от налогов

Уклонение от налогов представляет собой выбор в условиях неопределенности. Если предпринимателя, уклоняющегося от уплаты налога, не выявила налоговая инспекция, то он будет в выигрыше. В противном случае - уклоняющийся от уплаты налога проиграет. Теория выбора в условиях неопределенности позволяет моделировать такое поведение.

Некий предприниматель располагает до налогообложения доходом Он должен уплатить налог в размере руб. за каждую единицу дохода, т.е. общая сумма налога составит третью часть его дохода. Каждый рубль, скрытый от налогообложения, составит выигрыш в размере рубля. Вероятность проверки дохода составляет , и при проверке обман обязательно раскроется. В таком случае придется заплатить штраф в размере рубля за каждую единицу скрытого дохода. Кроме штрафа предприниматель обязан заплатить еще и налог.

Условными благами в нашем примере выбора являются доход в отсутствие проверки и доход в случае проверки На рисунке 4.3.1 эти величины отложены по осям координат. Если предприниматель не склонен к риску, то его предпочтения представлены кривыми безразличия выпуклыми относительно начала координат. В точках на линии уверенности норма замещения на равна , т.е. равна отношению вероятностей проверки и непроверки дохода.

Если предприниматель заплатит налог в размере , то его доход составит , независимо от того, будет проверка или не будет. Набор начального запаса на рисунке отмечен точкой .

Предположим, предприниматель уклоняется от уплаты налога. Если не будет проверки, то на каждом скрытом рубле он выигрывает 1/3 рубля. Если проверка состоится, 0,8 каждого рубля из дохода предпринимателя пойдет на уплату штрафа. Бюджетная линия предпринимателя представлена отрезком, соединяющим точки и с наклоном . Начальный запас уже включает уплату налога, поэтому перемещение влево от точки означает уплату и штрафа и налога. Не имеет смысла продлевать бюджетную линию до оси абсцисс потому, что предприниматель не платит налог с большего дохода, чем имеющегося у него фактически. Не имеет смысла продлевать бюджетную линию и до оси ординат, поскольку не выплачиваются обратные выплаты налогоплательщику в случае заявленного отрицательного дохода, т.е. убытков.

Предприниматель максимизирует полезность в точке , где его доход в случае отсутствия проверки составляет , т.е. на величину от точки начального запаса Это означает, что он не доплачивает налог в размере Этой величине соответствует сокрытие налога в размере При налоговой ставке недоплата 200 рублей означает сокрытие 600 рублей дохода.

Допустим, налоговая инспекция выявила факт уклонения от уплаты налога. Выработаем меры предупреждения уклонения от уплаты налога. Будем исходит из посылки, что не склонный к риску индивид не станет играть в справедливую игру. Поэтому при размере штрафа в таком отношении к вероятности проверки , для которого ожидаемый выигрыш от успешного сокрытия одного рубля был равен ожидаемым потерям при выявлении нарушителя, предпринимателю будет невыгодно уклоняться от налога. При заданных величинах и , есть та величина штрафа, которая превращает уклонение от налога в справедливую игру. Тогда такая игра есть игра с нулевой ожидаемой стоимостью, для которой должно выполняться условие:

,

или для :

.

Таким образом, во избежание уклонения от налогов штраф должен быть равен, по меньшей мере, отношению вероятностей выявления и не выявления нарушителя, умноженному на налог.

рисковой актив страховой рынок

4. Спрос на рисковые активы

Под активом понимают любой источник, обеспечивающий поступления дохода его владельцу в денежной форме. Если Вы имеете срочный счет в банке, то банк ежегодно или в другие сроки (ежемесячно, каждые три месяца и т.п.) выплачиваем проценты, которые причисляются к основному счету. Если в аренду сдается дом, то его владелец получает рентный доход.

Рисковый актив является источником денежных поступлений, величина которых зависит не только от конкретных факторов, но и от случая, т.е. предстоящие поступления неопределенны. Примером рискового актива являются обыкновенные акции любой компании. Неизвестно, поднимется или упадет со временем курс ее акций, будет ли продолжена выплата дивидендов, и в каком размере и т.п. Даже долгосрочные государственные облигации, которые имеют срок погашения 10 или 20 лет, имеют элемент риска. Могут вырасти темпы инфляции, обесценивающие выплаты процентов и номинал в реальном выражении.

Свободный от риска, т.е. безрисковый актив, обеспечивает денежные поступления в заранее установленном размере. Примером безрискового актива являются казначейские векселя США - краткосрочные государственные облигации, которые погашаются через несколько месяцев и являются почти безрисковым активом.

Доходность актива определяется отношением общего объема денежных поступлений к его цене. Так, если цена дома, который сдается в аренду, выросла с 10 до 11 млн. д.е., чистый рентный доход составляет 0,5 млн. д.е., тогда доходность актива в абсолютном выражении составила (11 - 10)+ 0,5 =1,5 млн. д.е., в относительном выражении - 1,5/10=0,15 или на 15%. Реальная доходность актива с поправкой на инфляцию равна номинальной доходности минус темп инфляции.

Ожидаемая доходность есть математическое ожидание его доходности, т.е. доходность, которую актив принесет в среднем. На длительном временном промежутке ожидаемая доходность близка к средней величине.

Различные активы имеют разную ожидаемую полезность. В нижеследующей таблице приведены данные об ожидаемой доходности и величине риска по инвестициям в США.

Риск и прибыль активов в США (1926-1991 гг.)

Ожидаемая реальная доходность по долгосрочным промышленным облигациям и казначейским векселям составляла менее 1%, в то время как доходность типичной акции - более 8%. Типичная акция в отличие от облигаций и векселей является рисковым активом. Величина риска, измеряемая в показателях среднего квадратичного отклонения реальной доходности, равна 21,2% для обычной акции, 8,5% - для долгосрочных корпоративных облигаций и 3,4% - для казначейских билетов. Таким образом, чем выше доход от инвестиций, тем больше связанный с этим риск. Спрос на активы зависит не только от ожидаемой доходности, но и от риска.

Рассмотрим ситуацию, когда инвестор вкладывает свои сбережения в активы двух видов: в казначейские векселя, которые практически не сопряжены с риском, и в акции, являющиеся рисковым активом. Надо определить, какую часть средств следует вложить в казначейские билеты, а какую часть - в акции.

Допустим - доходность от казначейских векселей, свободная от риска; - ожидаемая доходность от акций, купленных на фондовой бирже, - реальная доходность, связанная с риском. Между ожидаемой и реальной доходностями существует зависимость , т.е. ожидаемая доходность представляет собой математическое ожидание реальной доходности, которая является случайной величиной. Для , не являющейся случайной величиной, .

У рисковых активов ожидаемая доходность выше, чем у безрисковых, т.е. . Если бы это было не так, то рискофобы приобретали бы только казначейские билеты и не покупали бы акции.

Допустим, инвестор размещает долю средств на фондовой бирже, приобретая акции, а доля средств используется им для покупки казначейских векселей. Ожидаемая доходность, т.е. математическое ожидание доходности всего набора ценных бумаг равна средневзвешенным значениям ожидаемых доходностей (математических ожиданий доходностей) двух активов

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Риск от такого набора ценных бумаг определяется с помощью дисперсии (квадратичного отклонения) общей доходности всего набора ценных бумаг.

Допустим - дисперсия ( - среднее квадратичное отклонение) доходности от вклада в фондовую биржу. Дисперсия доходности набора (портфеля) ценных бумаг по определению дисперсии

Используя выражение (4.1), можно записать, что

,

т.е.

.

Согласно выражению (5.1.1) имеем

Откуда следует, что ожидаемая доходность имеет вид

.

Выражение (5.1.3) с экономической точки зрения отражает взаимосвязь между риском и ожидаемым доходом (математическим ожиданием доходности) . В тоже время (5.1.3) представляет собой уравнение бюджетной прямой в плоскости и . Угловой коэффициент прямой (5.1.3), т.е. наклон прямой, равен

.

С точки зрения экономического содержания дробь (5.1.4) представляет цену риска, а ее обратная величина показывает, насколько возрастет риск инвестора, если он пожелает получить дополнительную единицу ожидаемой доходности

.

Линия безразличия инвестора отражает зависимость размеров риска и ожидаемой доходности. Рост размеров риска следует компенсировать повышением ожидаемой доходности. С ростом ожидаемой доходности растет риск.

На рис. 5.1.1. представлена карта кривых безразличия инвестора тремя линиями безразличия: . Линия касается бюджетной прямой в точке с координатами . Это означает, что ожидаемая доходность инвестора равна , а риск равен , откуда . Поэтому оптимальный инвестиционный портфель инвестора имеет вид . Точка касания линии безразличия инвестора с бюджетной прямой имеет координаты . Так как , то инвестор более склонен к риску, инвестор менее склонен к риску.

Литература

1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ. 1997. Гл. 12.

2. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. М.: ДИС. 2002.

3. Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М. Наука. 1970.

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: ИНФРА-М. 1999.

5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 1997.

6. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс. 2002. Гл. 7.6.

7. Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. Мн.: Новое знание. 2004. Гл. 6.

8. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. М.: Наука. 2002.

9. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос. 2002.

10. Льюис Р.Д., Райфа Х. Игры и решения. М.: ИЛ. 1961.

11. Найт Ф.Х. Риск, неопределенность и прибыль. М.: Дело. 2003.

12. Розанова Н.М. Микроэкономика - 2. М.: ТЕИС. 1998.

13. Ступаков В.С., Токаренко Г.С. Риск-менеджмент. М. Финансы и статистика. 2005.

14. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. М. Русская деловая литература. 1999. Гл. 8-9, 11, 21.

15. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005. Гл. 19-20.

16. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008. Гл. 5.

17. Varian H.R. Microeconomic Analysis. W.W. Norton and Company. 1992.

Размещено на Allbest.ru