Полезность фон Неймана-Моргенштерна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Полезность фон Неймана-Моргенштерна

1. Поведение потребителя в условиях неопределенности

Традиционная неоклассическая модель потребительского выбора в условиях неопределенности - модель ожидаемой полезности основывается на предпочтениях индивида в отношении случайных вариантов потребления. В модели категория «полезность» применяется к случаям выбора потребителя из исходов, характеризующихся той или иной степенью неопределенности и вероятности наступления этих исходов.

В анализе поведения потребителя фон Неймана-Моргенштерна совместно используется теория полезности и теория вероятности. Анализ основан на аксиомах о вероятностной совокупности наборов товаров. Потребители ведут себя так, как если бы они максимизировали ожидаемую полезность, т.е. ожидаемое значение функции полезности, аргументами которой являются выбор из возможных вариантов в условиях неопределенности и вероятность существования этих вариантов. В результате обосновывается функция полезности, обладающая измерительными свойствами, которые можно использовать в процессе принятия решений в условиях риска. Такие функции называются функциями полезности фон Неймана-Моргенштерна.

Основным понятием рассматриваемой теории полезности является лотерея, которая определяется как множество наборов, каждый из которых может быть получен потребителем с заданной вероятностью. Так, набор может быть получен с вероятностью , набор - с вероятностью , …, набор - с вероятностью . Лотерею представим в виде: , где . Если набор потребитель выигрывает наверняка, то лотерея будет представлена как Если лотерея , то набор выигрывает с вероятностью а набор с вероятностью .

Согласно первой аксиоме полезности фон Неймана-Моргенштерна предполагается существование отношения предпочтения, которое является совершенной полуупорядоченностью всех лотерей, является совершенным, транзитивным и рефлексивным. Безразличие ( ?) и строгое предпочтение () определены здесь так же, как и в теории потребительского поведения.

Аксиома монотонности состоит в следующем. Даны два набора и , для которых ; тогда , если и только если . Это означает, что потребитель отдает предпочтение лотерее с большей вероятностью получить предпочитаемый набор. Набор, который получают наверняка, т.е. для всех , предпочтительнее любой лотереи, содержащей его и менее предпочтительный набор.

Аксиома непрерывности утверждает, что, если даны три набора для которых тогда существует вероятность для которой ? , где . Т.е. выбранные лотереи интерполируют между предпочтениями в том смысле, что потребитель не делает различий между лотереей, содержащей более предпочтительный и менее предпочтительный наборы, и определенностью получения некоторого набора, занимающего промежуточное положение.

Аксиома о независимости не связанных между собой альтернатив отмечает: если заданы два набора и , для которых ? , тогда для любого третьего набора справедливо ? , для всех . Присутствие третьего набора не нарушает предпочтений.

Аксиома о приведении сложных лотерей. Дано лотерей: . Рассмотрим сложную лотерею . Под сложной лотереей имеется в виду лотерея, в которой в качестве исходов также выступают лотереи, а - вероятность получить лотерею Согласно аксиоме сложная лотерея может быть приведена к лотерее с подходящими вероятностями:

?

Основная теорема теории полезности фон Неймана-Моргенштерна утверждает, что при соблюдении названных аксиом существует функция полезности, определенная на всех лотереях, и является однозначной с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования. Так как одним из особых видов лотереи является набор, где функция полезности определена для всех наборов. При этом , если и только если . В общем виде Последнее означает, что полезность лотереи есть математическое ожидание полезности, равное взвешенной сумме полезностей наборов компонент, где в качестве весов выступают вероятности.

Функция полезности фон Неймана-Моргенштерна является однозначной с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования в противоположность обыкновенным функциям полезности, которые являются однозначными с точностью до монотонного строгого возрастающего (линейного или нелинейного) преобразования. Таким образом, если - функция полезности, то где , также является функцией полезности. Построим такую функцию полезности. Выберем числовые значения для двух уровней полезности; полезности других наборов оценивают соответствующим взвешиванием вероятностями. Допустим и и - произвольные числа, для которых . Они характеризуют уровни полезности и соответственно. Например, . Чтобы определить полезность любого другого набора, взвесим эти значения полезностей вероятностями. Если - набор, для которого , то по аксиоме непрерывности существует вероятность для которой выполняется

? ,

поэтому

.

Первое равенство вытекает из того, что безразличные лотереи имеют одинаковые значения полезности. Второе равенство получено из определения полезности лотереи как математического ожидания ее полезности.

Допустим, обеспечивает выполнение условия (3.1.1). Тогда Аналогично, если для выполняется условие , то по аксиоме непрерывности существует вероятность для которой ? , поэтому , или

Таким образом, после того как выбраны два произвольных числа, полезность шкалы фон Неймана-Моргенштерна определена.

Важным следствием теоремы о математическом ожидании полезности является правило рационального поведения в процессе принятия решения в условиях риска. Допустим предприниматель, принимающий решение, должен выбрать одну из стратегий:, где исходом стратегии является лотерея

Величина характеризует вероятность выигрыша набора при заданной стратегии . Полезность лотереи оценивается как .

Принимающий решение предприниматель, чтобы максимизировать полезность, выберет стратегию, которая обеспечивает наибольшее значение ожидаемой полезности .

Если имеется три возможные стратегии, для каждой из которых заданы вероятности выигрыша одной из двух альтернатив , то оптимальной стратегии соответствует наибольший элемент главной диагонали следующей матрицы:

где в качестве матрицы полезностей выступает платежная матрица, а вторая матрица состоит из вероятностей.

2. Выбор обусловленных благ и максимизация ожидаемой полезности

полезность неоклассический потребительский неопределенность

Проанализировав функцию полезности фон Неймана-Моргенштерна, рассмотрим, каким образом подход традиционной модели потребительского выбора может быть применен в случае такой функции.

Ожидаемая полезность может быть определена относительно любого числа исходов, наступающих с той или иной вероятностью. Допустим, что возможно наступление двух состояний - благоприятного и неблагоприятного. Индивидуум может получить обусловленные блага, т.е. блага, доступ к которым обусловлен наступлением одного или другого исхода с заданной вероятностью. Допустим, речь идет о получении различного дохода: в одном случае (благоприятном) - , в другом (неблагоприятном) - .

Выбор в мире двух благ при отсутствии неопределенности сводится к решению задачи максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении в рамках классической теории потребительского поведения. В условиях неопределенности индивид получит одно из обусловленных благ в зависимости от того, какая сложится ситуация - состояние. Но так как ему приходится выбирать, и возможно он получит некоторое количество каждого из возможных обусловленных благ, поскольку не знает, какой конкретно будет иметь место исход.

Будем считать, что функция полезности не зависит от наступления того или иного исхода и вероятность наступления благоприятного исхода равна то ожидаемая полезность получения обусловленных благ - двух разных уровней дохода составляет

(3.2.1)

Эту величину индивид стремится максимизировать при заданном исходном уровне дохода. При таком выборе кривая безразличия представляет геометрическое место точек - комбинаций обусловленных благ, имеющих одинаковый уровень ожидаемой полезности для потребителя. На рис. 3.1. показана одна из таких кривых безразличия для уровня ожидаемой полезности .

На осях координат отложены количества обусловленных благ при благоприятном и неблагоприятном исходах. Предельная норма замещения одного блага другим характеризует пропорцию, в которой индивид готов заменить доход (товар) при одном исходе, количество которого отложено по оси ординат, доходом (товаром), количество которого представлено на оси абсцисс при другом исходе. Предельная норма замещения измеряется соотношением предельных полезностей, и для функции (3.2.1) имеет вид:

Поскольку функция ожидаемой полезности линейна по вероятностям исходов, то равна произведению отношения вероятностей и отношения предельных полезностей. Но так как функция ожидаемой полезности одинакова для обоих исходов при равенстве дохода вдоль луча - биссектрисы, выходящей из начала координат, то равна отношению вероятностей наступления благоприятного и неблагоприятного исходов. Наклон кривой безразличия в точке зависит от величины вероятности благоприятного исхода . Если она велика, то кривая безразличия будет относительно крутой, и наоборот. Вдоль луча - биссектрисы все типы кривых безразличия индивида будут иметь одинаковый наклон.

Индивид, нейтрально относящийся к риску, не проводит различия между ожидаемой полезностью дохода и полезностью ожидаемой стоимости дохода, т.е. математическое ожидание (случайной) полезности дохода в условиях риска равно полезности математического ожидания случайного дохода, которое (математическое ожидание ) равно безрисковому доходу , т.е. .

По мере изменения и при движении вдоль кривой безразличия предельная полезность дохода в каждом состоянии остается постоянной и, следовательно, отношение предельных полезностей не изменяется: . В соответствии с предельной нормой замещения (3.2.2) для индивида, нейтрального к риску, она равна постоянной величине - отношению вероятностей исходов . Такие кривые безразличия - прямые линии с наклоном, равным по абсолютной величине .

Предельная полезность дохода для индивида, не склонного к риску, убывает с ростом дохода и растет с его уменьшением, рис. 3.2.2б. При движении вдоль кривой безразличия в направлении увеличения и уменьшения предельная норма замещения снижается, что свидетельствует о выпуклости кривой безразличия относительно начала координат.

Для индивида, склонного к риску, предельная полезность дохода с его ростом увеличивается. Поэтому при движении вдоль кривой безразличия в направлении увеличения и уменьшения предельная норма замещения растет. Такие кривые безразличия вогнуты относительно начала координат, рис. 3.2.2в.

Исходный уровень дохода, доступный и гарантированный, составляет . На рис. 3.2.3 такой доход отмечен точкой на луче - биссектрисе. Поскольку в каждой точке на луче , то его называют линией уверенности, т.е. линией дохода, которым индивид располагает наверняка. При движении вдоль этого луча вверх доход индивида растет в одинаковой пропорции при обоих исходах.

Рассмотрим все комбинации и , которые приносят индивиду ожидаемый доход , для которых . Выразим доход в случае неблагоприятного исхода через доход в случае благоприятного исхода , получим:

.

Это линия ожидаемого дохода с наклоном , представляющая все варианты выбора с ожидаемой стоимостью дохода, равной исходному доходу индивида. Все варианты с ожидаемым доходом, например и , кроме варианта, отмеченного точкой , являются рисковыми.

Если индивид рискует и откажется от части дохода и при этом выиграет в размере . Индивид переместится в новую точку на бюджетной линии. Структура его дохода изменится: увеличится на величину и уменьшится на величину . Индивид, выиграв исходный доход , мог бы полностью обменять доход при неблагоприятном исходе на доход при благоприятном исходе. Пропорция этого обмена задана отношением вероятностей . Выигрыш можно рассматривать как продажа доллара в неблагоприятных условиях и покупка их в благоприятных условиях по рыночным ценам и . Тогда . Индивид, проиграв и двигаясь от точки в направлении точки , совершит обмен обратного рода по этим же ценам.

Таким образом, линия ожидаемого дохода аналогична бюджетной линии индивида с доходом и наклоном, равным отношению вероятностей и соотношению цен, так как цены условных благ равны соответствующим вероятностям: Равенство цен вероятностям характеризует обмен благ индивидом как актуарно справедливую игру или игру со справедливыми исходами. Это имеет место в развитых рынках.

Параллельное перемещение бюджетной линии вправо означает увеличение дохода при обоих исходах. Изменение вероятности одного из исходов изменяет относительную цену, при которой индивид может обменять доход при одном исходе на доход при другом исходе. Норма замещения между обусловленными благами задана значениями цен или вероятностей.

Таким образом, модель выбора в условиях неопределенности полностью укладывается в рамки традиционной модели потребительского выбора.

Рассмотрим особенности оптимального положения индивида с различным отношением к риску. Если индивид не склонен к риску, то его кривые безразличия выпуклы относительно начала координат. Максимизация ожидаемой полезности достигается в точке касания кривой безразличия и бюджетной линии. Соблюдается условие

на линии уверенности, и оптимум индивида не склонного к риску будет находиться в точке пересечения линии уверенности и точки касания линии ожидаемого дохода и кривой безразличия.

Возникает вопрос, означает ли, что не склонный к риску индивид не заключает никаких договоров, например со страховой компанией. Если у экономического субъекта имеется первоначальный доход в точке , и он может заключить договор, который переместит его в точку , то он это сделает. Таким образом, речь идет о ситуациях изначально рискованных, и не склонный к риску индивид заключает договор со страховой компанией, перемещаясь в положение меньшего риска. Он максимизирует свою полезность, устраняя из своей жизни любой риск.

Если рынок обусловленных благ не удовлетворяет критерию справедливой игры и не выполняется условие (3.2.4), например , а , то бюджетная линия переместится из положения 1 в положение 2, рис. 3.2.5. Максимизация полезности будет достигаться не на линии уверенности, не в точке , а в точке под линией уверенности. Это означает, что индивид действует в направлении замещения в структуре своего дохода на , поскольку получение обходится слишком дорого.

Субъекта не склонного к риску интересует величина ожидаемого дохода. Его кривые безразличия представляют прямые линии с наклоном , рис. 3.2.4б. Кривая безразличия лежит поверх бюджетной линии - линии ожидаемого дохода и для него представляет интерес любая точка на кривой безразличия (, или ), так как ожидаемый доход в них одинаков.

Для субъекта склонного к риску, рис 3.2.4.в, кривые безразличия характеризуются увеличивающейся предельной нормой замещения. Поэтому оптимум в таком случае возможен лишь в краевых точках. Если первоначальный доход отмечается точкой , то самая большая полезность достигается в тоске , на оси абсцисс.

Литература

1. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. М.: ДИС. 2002.

1. Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. Мн.: Новое знание. 2004. Гл. 6.

2. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. М.: Наука. 2002.

3. Лапуста М.Г., Поршнев А.Г., Старостин Ю.Л., Скамай Л.Г. Предпринимательство. М.: ИНФРА-М. 2006.

4. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970.

5. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. М. Русская деловая литература. 1999. Гл. 8-9, 11, 21.

6. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008. Гл. 5.

7. Varian H.R. Microeconomic Analysis. W.W. Norton and Company. 1992.

8. Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности: В 2-х т. СПб.: экономическая школа. 1999. Т. 1. Т. 2.

9. Шоломицкий А.Г. Теория риска: Выбор при неопределенности и моделирование риска. М.: ГУ ВШЭ. 2005.

Размещено на Allbest.ru