Паутинообразная модель рынка одного товара

Размещено на http://www.allbest.ru/

Паутинообразная модель рынка одного товара



1. Паутинообразная модель рынка одного товара в дискретном анализе

Простейшие модели экономического равновесия разработаны в 30-50гг. 20-го века. экономический равновесие цена спрос

Рассмотрим рынок одного товара. Сделаем ряд допущений:

- у производителей не возникают трудности с покупкой ресурсов;

- объединим всех покупателей в одну группу и будем рассматривать их как одного покупателя;

- объединим всех продавцов в другую группу и будем рассматривать их как одного продавца;

- допустим, что весь произведенный товар реализуется сразу (единовременно).

Рассмотрим ситуацию на рынке, когда предложение товара постоянно отстает от спроса на один интервал, используя дискретный анализ.

Если (time) - текущий интервал времени, то - предшествующий, а последующий интервал времени. Такая ситуация нередко наблюдается на рынке нового товара. Функции спроса и предложения на данный товар являются некоторыми функциями от цены: и

Объем товара произведен в предыдущем временном интервале а реализуется в текущем интервале . Поэтому

Производители руководствуются ценой и производят продукцию в объеме . Данное предложение товара реализуется в следующем временном интервале по новой цене спроса .

Общую схему действия модели можно представить следующим образом:

в начальный интервал времени имеем

,

в следующий интервал времени имеем

и т.д.

Так как известны функции спроса и предложения, то можно определить равновесную цену. Для этого необходимо приравнять функции спроса и предложения:

где (equilibrium) - индекс, означающий равновесное значение величины объема и цены, соответственно (). Если функции спроса и предложения линейны, то, приравнивая их, получим одну точку равновесия и единственное значение равновесной цены и равновесного объема.

Если функции спроса и предложения не линейны, то получим два или более значений равновесной цены и равновесного объема. В таком случае необходимо провести дополнительное исследование и определить, в какую точку равновесия приходит система под влиянием спроса и предложения и факторов их определяющих.

Проиллюстрируем графически паутинообразную модель. Первоначально находимся в точке . В этой точке производители руководствуются ценой и производят продукцию в объеме в период времени . Реализуется товар в точке в периоде по цене спроса . В периоде производители увеличивают предложение товара до , так как цена товара повысилась, и находятся в точке на кривой предложения с координатами . Продается товар в точке . Поскольку предложение товара возросло, то, чтобы продать весь товар, приходится снизить цену с до . экономический равновесие цена спрос

В следующий период времени производители руководствуются ценой , производят объем продукции в точке на кривой предложения с координатами . Реализуется эта продукция по цене в точке и т.д. Рынок приходит в состояние равновесия в точке С.

Аналитическая интерпретация модели состоит в следующем. Для простоты будем считать, что спрос и предложение являются линейными функциями:

; ,

где - конкретные параметры каждого товара, имеющие экономический смысл. Находим равновесные объем и цену, приравняв функцию спроса и предложения:

.

Подставим равновесное значение цены в функции спроса и предложения и определим равновесный объем:

Так как в точке равновесия объем спроса равен объему предложения, то справедливо выражение:



. (1.1)

Запишем условие равновесия для любого времени :

(1.2)

Выражение (1.2) справедливо для любой точки. Знак равенства в выражении (1.2) означает, что весь произведенный продукт реализован. Вычтем из уравнения (1.2) уравнение (1.1):

.

Перейдем к следующим обозначениям: характеризует отклонение объема выпуска в любой период времени от равновесного объема выпуска;

представляет отклонение цены спроса в любой момент времени от равновесного значения;

отклонение цены предложения в период времени от равновесного значения.

Тогда действие модели можно представить разностными уравнениями:

(1.3).



Выражение (1.3) аналогично выражению (1.2), но описывает отклонения цены и выпуска в некоторый период времени от их равновесных значений. Из уравнения (1.3) можно выразить значение цены в любой период времени следующим образом:

.

Обозначим , тогда. Величина , так как наклон кривой спроса для нормальных товаров отрицателен , а наклон кривой предложения - положителен . Так как

, то ,

где - известная величина - цена в начальный период времени , а можно определить из уравнения (1.3), поскольку известны функции спроса и предложения.

Во все периоды времени имеем:

;

;

;

;

для любого периода имеем:

.



Отклонение цены в любой период времени от ее равновесного значения принимает то положительные, то отрицательные значения. Так как начальное отклонение , то - положительная величина. Число - величина отрицательная, так как - наклон кривой предложения, - наклон кривой спроса. Обозначим . Тогда

;

;

;

Знак отклонения будет чередоваться: минус, плюс, минус и т.д. Следовательно, цена будет то меньше, то больше равновесной цены. Общее решение, полученное методом итерации:

.

.

У данной модели есть развитие. Под влиянием неценовых факторов спроса и предложения кривые спроса и предложения перемещаются, и с помощью модели можно проанализировать, как рынок приходит в состояние равновесия до того периода пока не возникает новое возмущение. Например, в спокойное течение дел на рынке вмешивается резкий рост предложения, если продавцы выбрасывают запасы товара. В новой ситуации в анализе рынка товара следует соединить рассмотренную модель с моделью включения запаса.



2. Паутинообразная модель с параметрами рынка, изменяющими во времени

В модели время течет непрерывно, , и все параметры являются функциями времени: , , . Поскольку изменение цены происходит на стороне спроса, то спрос зависит от цены и ее изменения , а предложение зависит только от цены. В каждый момент времени спрос поглощает предложение, т.е.

.

Используем линейные функции спроса и предложения в следующем виде:

; .

Определим равновесные значения цены и объема, приравняв функции спроса и предложения:

. (1.4)

Так как в точке равновесия цена задана рынком, то Значения и в любой момент времени удовлетворяют равенству:

. (1.5)



Вычитаем из выражения (1.5) выражение (1.4) и получим:

.

Как и в дискретной модели вводим обозначение:

.

.

В новых обозначениях выражение (1.5) принимает вид:

(1.6)

Уравнения (1.5) и (1.6) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка. Обозначаем

,

.

дифференциальное уравнение относительно . Используя правило логарифмического дифференцирования, получим:

.



Решение имеет вид: . При , . Следовательно,

.

Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия. На рынке устанавливается равновесие, если спрос на товар равен его предложению. Объем продукта и его цену называют равновесными. Но равновесие устанавливается редко. Если рыночная цена больше равновесной цены, то на рынке образуется излишек товара; если цена меньше равновесной, то спрос превышает предложение и существует дефицит товара. Равновесие является устойчивым, если после его нарушения рынок приходит в состояние равновесия и устанавливаются прежние равновесные цена и объем. Если же после нарушения равновесия устанавливается новое равновесие (в новой точке), изменяется уровень цены и объема спроса-предложения, то такое равновесие является неустойчивым. Рассмотрим три случая устойчивости равновесия на примере паутинообразной модели.

Случай 1. Для нормального товара наклон кривой предложения положителен, наклон кривой спроса - отрицателен: ; . Если наклон кривой спроса больше наклона кривой предложения и , , то при , - бесконечно малая величина и система приходит в состояния равновесия. Равновесие при названных условиях устойчиво.

Случай 2. Если наклоны кривых спроса и предложения равны, хотя и различаются знаками, ; , то . Тогда , система характеризуется равномерными колебаниями цены и объема. На рынке такая ситуация встречается крайне редко.

Случай 3. Если наклон кривой предложения в точке равновесия превышает абсолютное значение (значение по модулю) наклона кривой спроса , то , . Тогда при величина становится бесконечно большой, имеет место взрывное колебание и неустойчивое равновесие. Воздействие изменяющихся неценовых факторов спроса и предложения приводит к сдвигу равновесия. Возникшее новое равновесие может также описываться одним из трех вышеприведенных случаев.

В паутинообразной модели цена устанавливалась так, чтобы поглотить все предложение. Запасы товаров или отсутствовали или оставались неизменными. Модель можно расширить, учитывая наличие запасов. Можно выстроить следующую последовательность событий. Поставки товара вливаются в общую массу запасов, и фактический спрос удовлетворяется за счет запасов. В анализе появляется еще один субъект экономических отношений - продавцы товара. Таким образом, производители поставляют товар продавцам, имеющим запасы и реализующих товар, и покупатели. Действие модели начинается с продажи товара покупателям и установления цены в соответствии с размером запасов.

Для дискретного случая, если величина запасов в конце интервала составляет , то изменение запасов в течение этого интервала равно

В зависимости от особенностей установления цены, зависящей от величины запасов, можно построить несколько моделей.

Модель 1. В период продавцы устанавливают цену . Она больше цены , если в предшествующий период запасы уменьшились. Цена повышается пропорционально сокращению запасов:



.

Модель 2. В период цена повышается, если в предшествующий период уровень запасов был ниже равновесного объема . Повышение цены пропорционально нехватке товаров до объема . Цена равна

.

Модель 3 рассматривается в непрерывном анализе. В каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания цены пропорциональна скорости уменьшения запасов:

,

где - положительная величина. Используем линейные функции спроса и предложения

.

Тогда имеем:

или

(1.7)

В точке равновесия , поэтому



(1.8)

откуда находим равновесную цену

.

Вычитаем из уравнения (1.7) уравнение (1.8), получим:

Введем обозначение

,

.

Уравнение модели приобретает вид:

.

,

.

В итоге имеем



дифференциальное уравнение относительно .

Используя правило логарифмического дифференцирования, нахождения производной логарифма сложной функции, получим:

.

Решение имеет вид: . При , . Следовательно,

.

Зная начальную цену, и подставив ее в функцию предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо произвести.

В случае нормальных товаров , , и множитель

при , стремится , а . Это справедливо для всех значений . Величина определяет скорость приспособления цены к изменению запасов. Чем больше , тем быстрее приближается к равновесной цене .

Устойчивость рыночного равновесия в концепции Л. Вальраса и А. Маршалла.

В состоянии равновесия цена и объем товара заданы уравнениями спроса и предложения, точкой пересечения кривых спроса и предложения. При изучении устойчивости равновесия процессы рассматриваются в динамике.

На рынке установилась цена, обеспечивающая равновесие, и при ней поглощается все предложение товара. Любое возмущение (использование запасов как производителями, так и покупателями; запаздывание со стороны спроса или предложения и т.п.) приводит к тому, что на рынке устанавливается другая цена. Возникает вопрос, будет ли движение цены во времени после возмущения направлено к исходному положению равновесия или к другому равновесию, и сколь быстро будет происходить процесс приспособления. Так, слишком большое начальное возмущение может качнуть всю систему из одного положения равновесия к другому, может существовать несколько цен равновесия.

Возникающие возмущения по разному влияют на динамику экономической системы, поэтому проблема устойчивости разрешается не единственным образом. Равновесие может быть устойчивым в одних динамических условиях, и неустойчивым - в других.

Рассмотрим лишь небольшие отклонения от положения равновесия. Поэтому спрос и предложение являются линейными функциями. Таким образом,

; , , .

Постоянные и характеризуют наклоны кривых спроса и предложения в точке равновесия: величина может быть положительной и отрицательной.

Концепция устойчивости равновесия по Л. Вальрасу состоит в следующем. Цена установилась слишком низкой, спрос больше предложения и цена повышается до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. Допустим, что скорость повышения цены пропорциональна размерам дефицита. Чем больше спрос превосходит предложение, тем быстрее растет цена. Уменьшение запасов на стороне предложения будет вести систему к состоянию равновесия. Поэтому



Под понимается скорость реакции цены на дефицит. Чем больше , тем быстрее цена реагирует на дефицит предложения.

Используем решение, полученное в модели 3:

.

Цена равномерно и монотонно стремится к , если положительно (множитель стремится при ). В таком случае равновесие устойчиво и . Цена монотонно удаляется от , если , т.е. и тогда равновесие неустойчиво.

Концепция устойчивости равновесия по А. Маршаллу. Если в какой-то момент времени объем предложения отличается от равновесного уровня , то ожидаемые цены, которые готовы заплатить покупатели, отличаются от цен, приемлемых для продавца. Построим динамическую модель, в которой объем предложения увеличивается, если цены продавцов ниже тех, которые предлагают покупатели. Исходные условия:

, ,

цена спроса ,

цена предложения .

Скорость увеличения предложения пропорциональна разности - цена продавца минус цена покупателя . Тогда

.



Следовательно, для любой точки имеет место равенство:

. (1.9)

Для точки равновесия

(1.10)

Из (1.9) вычитаем (1.10), получим:

. (1.11)

Обозначим . Тогда . Уравнение (1.11) приобретает вид:

,

.

.

Решение дифференциального уравнения:

.



Возвращаясь к исходным обозначениям, решение имеет вид:

. (1.12)

Решение (1.12) позволяет сделать следующие выводы:

монотонно стремится к , если и равновесие устойчиво; монотонно удаляется от , если и равновесие неустойчиво.

Таким образом, в зависимости от наклона кривых спроса и предложения имеются возможности:

1. Если , , то , и равновесие устойчиво.

2. Если , , то если , , разность и при равновесие устойчиво.

3. Если , , разность , , равновесие неустойчиво

Таким образом, при , равновесие устойчиво и по Л. Вальрасу и по А. Маршаллу, если .



Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963. Гл. 1

2. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. С-Пб. Экономическая школа. Т.1. 1998. Гл. 2. С. 63

3. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. М.: Прогресс, 1965. Гл. 8.

4. Воркуев Б.Л. Модели микроэкономики. М.: ТЕИС, 2002. Гл. 1.

5. Германова О.Е., Черкасова Т.П. Математические модели в экономике. Учебное пособие. Ростов н/Д. Изд-во СКАГС. 2007.

6. Вэриан Хэл Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл.1.

7. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. СПб.: Из-во СПб университета экономики и финансов, 1997. Введение. Гл. 3.

8. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М: Наука, 1979. С. 19-28.

9. Ланге О. Введение в эконометрику. М.: Прогресс, 1964. Гл. 2.

10. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учебник. М.: ИНФРА-М, 2005. Разд. 1. Гл. 6.

Размещено на Allbest.ru

...