Математические методы в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выгода потребителя

Благосостояние потребителя не остается неизменным. Изменяются доходы потребителей, размеры денежных компенсаций социально защищенным слоям населения, цены на товары и услуги в экономике, изменяется государственная политика налогов и субсидий. Происходящие изменения в благосостоянии можно оценить с помощью выгоды потребителя, чистой полезности благ, приобретаемых потребителем.

Маршаллианский потребительский излишек

Избыток потребителя, измеренный на основе кривой спроса по Маршаллу, является одним из показателей его выгоды. На рис. 3.1. представлена стандартная кривая спроса . Общий избыток, получаемый потребителем от потребления товара в объеме , равен площади , измеряемой величиной , где - обратная функция спроса на товар . Чистый избыток, или маршаллианский избыток потребителя (), в денежной форме выражает чистую полезность от потребления товара, приобретенного по цене . При повышении цены с до чистый избыток сокращается на величину , где - прямая функция спроса на товар . Наоборот, снижение цены с до увеличивает потребительский избыток на .

Точно измерить изменение полезности в денежном выражении можно только в том случае, если каждой денежной единице соответствует неизменная величина полезности. Другими словами, предельная полезность денег должна быть постоянной величиной.

Изменение цены товара, кроме изменения избытка потребителя, вызывает появление эффекта замещения и эффекта дохода. При снижении цены реальный доход потребителя при неизменном номинальном доходе увеличивается. С увеличением количества товаров их предельная полезность уменьшается. Если после снижения цены потребитель приобретает прежнее количество товара, то у него появляется часть неизрасходованного дохода. И хотя номинальный доход остается неизменным, но предельная полезность высвободившихся денег снижается. При повышении цены товара реальный доход потребителя уменьшается, предельная полезность приобретаемого товара увеличивается. Количество денег, остающееся у потребителя после покупки ставшего более дорогим товара, уменьшается, а их предельная полезность увеличивается. Следовательно, в результате действия эффекта дохода деньги при измерении избытка потребителя не являются стабильной мерой полезности, не точно измеряют изменение уровня полезности и изменение благосостояния потребителя.

Чтобы точно измерить изменение чистой полезности в денежной форме, необходимо зафиксировать полезность денежной единицы. Поэтому следует элиминировать действие эффекта дохода при изменении цены товара. Для измерения изменения полезности и благосостояния потребителя используются компенсирующая и эквивалентная вариации дохода.

Компенсирующая вариация дохода

Потребитель приобретает товаров. Уравнение бюджетной плоскости запишем в виде . В системе координат это первая бюджетная линия потребителя. Здесь - расход потребителя на все товары, кроме первого, рассматривается как количество композитного товара. Потребитель выбирает оптимальный набор . Это его исходный набор. Координаты точки касания кривой безразличия и первой бюджетной линии отмечают количество товара и количество композитного товара в этом наборе.

Если цена товара выросла и стала равной , то бюджетная линия принимает вид . Это вторая бюджетная линия. Потребитель выбирает новый оптимальный набор в точке с координатами - точке касания второй бюджетной линии и новой кривой безразличия . Полезность набора меньше полезности набора .

Определим величину , на которую следует увеличить номинальный доход потребителя, чтобы он смог приобрести набор такой же полезности, что и набор , т.е. чтобы его реальный, по определению Хикса, набор остался неизменным, а благосостояние не изменилось. Для этого необходимо переместить бюджетную линию вправо так, чтобы она была параллельна второй бюджетной линии (отражала бы больший номинальный доход с ценами второй бюджетной линии). Уравнение третьей бюджетной линии . Точка касания третьей бюджетной линии с первой кривой безразличия отмечает набор, имеющий такую же полезность, что и набор .

Величина и есть компенсирующая вариация дохода (). Она показывает, на какую величину надо увеличить номинальный доход потребителя, чтобы компенсировать снижение реального дохода потребителя в связи с повышением цены на товар . При такой компенсации потребитель сможет приобрести набор , имеющий такую же полезность, что и набор . При переходе из точки в точку отражается эффект замены подорожавшего товара относительно подешевевшим товаром при неизменном реальном доходе, так как эти наборы находятся на одной и той же кривой безразличия и имеют одинаковую общую полезность. Переход из точки в точку отражает только эффект дохода, вызванный увеличением первоначального дохода на величину компенсирующей вариации дохода, и сохранением неизменной цены товара .

Переход из точки в точку , от набора к набору , осуществляется при наличии общего эффекта изменения цены товара , включающего эффект замены и эффект дохода. Общий эффект равен , эффект замещения - , эффект дохода - . Для композитного товара общий (перекрестный) эффект, вызванный изменением цены товара составляет , эффект замещения - , эффект дохода - . Таким образом, имеем . Отсюда следует

.

В обоих выражениях были сделаны подстановки Для любых двух товаров при бесконечно малых изменениях всех переменных равенства (3.1) приобретают вид:

.

Они в простейшей форме иллюстрируют уравнение Слуцкого в случае прямого и перекрестного эффектов.

Компенсирующая вариация дохода компенсирует изменение полезности и благосостояния, обусловленные изменением цен. Так как она определяется при неизменном реальном доходе по Хиксу, элиминирует влияние эффекта дохода при изменении цен, то предельная полезность денег при расчете не изменяется. Поэтому компенсирующая вариация дохода, а не маршаллианский потребительский избыток, является точной мерой изменения полезности и благосостояния потребителя.

Эквивалентная вариация дохода

Реальный доход потребителя может снизиться или при повышении цены хотя бы одного товара или при снижении номинального дохода. Задача формулируется следующим образом. На какую величину надо уменьшить номинальный доход, чтобы реальный доход, т.е. уровень полезности приобретаемого потребителем набора товаров, снизился бы в такой же степени, в какой он снижается при повышении цены? Для анализа ситуации воспользуемся рис. 3.2.

На исходной первой бюджетной линии до повышения цены товара находится оптимальный набор потребителя . После повышения цены товара потребитель приобретает набор , находящийся на второй бюджетной линии. На четвертой бюджетной линии сохраним цены, соответствующие первой бюджетной линии и уменьшим номинальный доход на так, чтобы четвертая бюджетная линия коснулась кривой безразличия . Это точка . Набор в точке касания четвертой бюджетной линии и кривой имеет такую же полезность, что и набор . Таким образом, на кривой безразличия находятся два имеющие одинаковую полезность набора товаров и . Но первый, т.е. набор , приобретается потребителем как оптимальный набор после повышения цены товара , а второй, т.е. набор , приобретается также как оптимальный набор после уменьшения номинального дохода потребителя на . Величина называется эквивалентной вариацией дохода . Уменьшение номинального дохода с на оказывает такое же влияние на положение потребителя, что и повышение цены товара с до . Поэтому эквивалентная вариация дохода может служить мерой изменения полезности приобретаемых наборов и благосостояния потребителей при изменениях цен.

Сравнивая наборы одинаковой полезности и , обнаруживаем, что в наборе больше товара , чем в наборе на величину . Она представляет эффект замещения по Хиксу при снижении цены. При определении эквивалентной вариации дохода мы элиминируем действие эффекта дохода, поэтому предельная полезность денег остается неизменной.

Воспользуемся рис. 3.2. и представим следующий ход событий. Исходная ситуация характеризуется оптимальной точкой на второй бюджетной линии и кривой безразличия . Цена товара равна . Она снижается до , вторая бюджетная линия занимает положение первой линии, а набор становится оптимальным, его выбирает рациональный потребитель. Полезность оптимального набора повышается с до .

На какую величину необходимо уменьшить номинальный доход потребителя, чтобы полезность набора, который он приобретет, была такой же, как и у исходного оптимального набора . Номинальный доход следует уменьшить на , передвинув вторую бюджетную линию параллельно самой себе в сторону начала координат (цены не изменяются, доход уменьшается). Она займет положение четвертой бюджетной линии, а оптимальным набором в таком случае становится набор .

Таким образом, величина представляет собой компенсирующую вариацию дохода при снижении цены. При повышении цены она была эквивалентной вариацией дохода.

Исходный оптимальный набор потребителя находится в точке . Насколько нужно увеличить его денежный доход, чтобы при исходной цене он получил бы такой же реальный доход, какой он имел бы при снизившейся цене на кривой безразличия в точке ? Для этого необходимо исходную бюджетную линию, т.е. вторую линию, передвинуть параллельно самой себе в противоположную сторону от начала координат и она займет положение третьей бюджетной линии (цены сохраняются, доход увеличивается). Оптимальным набором станет набор . Чтобы его получить, необходимо увеличить номинальный доход на . Это есть эквивалентная вариация дохода. При повышении цены она была компенсирующей вариацией дохода. Набор , полученный после снижения цены в случае компенсирующей вариации дохода и набор , полученный после увеличения номинального дохода в случае эквивалентной вариации дохода, имеют одинаковую полезность. Таким образом, компенсирующая вариация дохода при повышении цены (1 ситуация) равна эквивалентной вариации дохода при снижении цены (2 ситуация).

Рассмотрим соотношение величин , и . Обратимся к рис. 3.3. На нем представлены маршаллианская кривая спроса и кривые компенсированного спроса. Первая отражает изменение компенсированного спроса при снижении цены товара с до . Вторая характеризует изменение компенсированного спроса при повышении цены с до . потребительский излишек доход выгода

Соотношение компенсирующей , эквивалентной вариации дохода и потребительского излишка.

Цена товара понижается с до . Потребительский избыток увеличивается на величину площади трапеции . Площадь прямоугольника характеризует увеличение выгоды потребителя на счет снижения цены. Таким был бы потребительский излишек, если бы после снижения цены потребитель покупал прежнее количество товара в объеме и не было бы ни эффекта замены, ни эффекта дохода. Его называют чистым эффектом цены, который равен .

Площадь треугольника представляет выгоду потребителя, которую он получает после снижения цены товара и которая состоит из эффекта замещения и эффекта дохода. Площадь треугольника характеризует увеличение выгоды потребителя за счет эффекта замещения, а треугольника - за счет эффекта дохода. При формировании компенсирующей вариации дохода действие эффекта дохода не учитывается, поэтому ее величина при снижении цены меньше изменения потребительского излишка на величину эффекта дохода. Таким образом, компенсирующая вариация дохода при снижении цены (эквивалентная вариация дохода при повышении цены) равна сумме чистого эффекта цены и эффекта замены.

Цена товара повышается с до . Если бы товар потреблялся в прежнем количестве , тогда потери потребителя составили бы чистый эффект цены, равный площади прямоугольника . Но потребление подорожавшего товара сокращается с до . Потери от чистого эффекта цены снижаются за счет положительного воздействия эффекта изменения потребления, который составляет площадь треугольника Разность между ними составляет , т.е. величину маршаллианского потребительского излишка.

Воздействие эффекта изменения потребления на выгоду потребителя складывается из двух эффектов - эффекта замещения и эффекта дохода. Кривая компенсированного спроса разделяет их в эффекте изменения потребления. Площадь характеризует величину эффекта замещения, площадь - величину эффекта дохода. При определении компенсирующей вариации дохода учитывается только действие эффекта замещения. Поэтому при повышении цены представляет потерю выгоды потребителя, равную сумме отрицательного чистого эффекта цены и положительного эффекта замещения. Компенсирующая вариация дохода при повышении цены, а эквивалентная вариация дохода при снижении цены измеряются площадью трапеции , ограниченную кривой спроса .

Если необходимо компенсировать потерю от повышения цен на товары и услуги, то используют компенсирующую вариацию дохода. Так можно подсчитать размер компенсации гражданам, имеющим доход ниже прожиточного уровня, за услуги жилищно-коммунального хозяйства, тарифы на которые растут из года в год. Если правительство принимает решение об увеличении косвенного налога или на товар или на товар , то с помощью эквивалентной вариации дохода можно выяснить, в каком случае потери в благосостоянии потребителей будут больше.

Теория отношения предпочтения-безразличия

Взаимосвязь теории отношения предпочтения-безразличия с теориями количественной и порядковой полезности

Если потребитель предпочитает набор потребительскому набору и из этих наборов обязательно выберет набор , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение сильного предпочтения или . Отношение предпочтения не обладает свойством рефлексивности .

Если потребителю все равно, какой из двух наборов выбиратьили , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение безразличия, т.е. ? . Отношение безразличия есть отношение эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности ? , симметричности ? ? и транзитивности ? ? ? .

Если потребительский набор предпочитается или безразличен для набора , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение предпочтения-безразличия, т.е. (). Отношение предпочтения-безразличия представляет собой отношение порядка, т.е. такое бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности , антисимметричности ? , транзитивности . Функция полезности задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: . Или ? , .

Карта линий безразличия задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: если потребительский набор находится на линии безразличия , расположенной выше и правее линии , на которой находится набор , то . Если наборы находятся на одной кривой безразличия, то ? . Имеется отношение предпочтения-безразличия, так называемое лексикографическое упорядочение, для которого не существует функции полезности. Таким образом, кроме количественной и порядковой теории полезности теория отношения предпочтения-безразличия представляет собой более общую теорию потребительского поведения.

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством полноты. Свойство полноты означает, что множество всех потребительских наборов таких, что , является вполне упорядоченным множеством по отношению предпочтения-безразличия . По отношению , которое для -мерных векторов понимается как покоординатное, множество потребительских наборов является только частично упорядоченным множеством.

Множество всех потребительских наборов , предпочитаемых или безразличных набору , называется хорошим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , которым набор предпочитается или безразличен, называется плохим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , безразличных набору , называется множеством безразличия для набора , т.е. ? .

Неравенство для -мерных векторов и понимается покоординатно , неравенство означает, что справедливо неравенство и хотя бы для одной координаты справедливо строгое неравенство .

Свойство ненасыщаемости означает, что из следует, что , рис. 4.1. Обратное , очевидно, не имеет места. На рис. 4.1. , однако неверно, что , ибо для них . Свойство ненасыщаемости справедливо не всегда (кривые безразличия в таком случае напоминают классическую кривую предложения с положительным наклоном).

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством непрерывности множеств безразличия , строгой выпуклости для любого потребительского набора, гладкости функции полезности, если функция полезности включается в рассмотрение.

Отношение на множестве потребительских наборов называется отношением предпочтения-безразличия, если для него характерны восемь свойств: рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости, непрерывности, строгой выпуклости и гладкости функции полезности.

Отношение предпочтения-безразличия и функция полезности. Отношение предпочтения-безразличия, для которого выполняются названные выше свойства, кроме строгой выпуклости и гладкости функции полезности, однозначно определяет функцию полезности . В случае в каждой точке кривой безразличия функция полезности принимает конкретное значение. Поэтому и множество значений полезности непрерывно. Непрерывность означает, что если , то ; или наоборот, если , то . Доказательство не приводится.

Лексикографическое упорядочение -мерных векторов аналогично упорядочению студентов группы по алфавиту: Александров, Белоусов, Васильев и т.д. Если , то вектор лексикографически предпочитается вектору , что записывается так:. Если и , то и т.д.

Лексикографическое упорядочение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости. Однако оно не удовлетворяет предположению о непрерывности. Это утверждение приводится без доказательства. Для лексикографического упорядочения не существует функции полезности. Положение приводится без доказательства.

Заключение по разделу

Измерение благосостояния потребителя можно измерить маршаллианским потребительским избытком. Однако более точное его измерение обеспечивается компенсирующей и эквивалентной вариацией дохода. Их исчисление позволяет более точно определить, в какой мере обеспечено повышение благосостояния пенсионеров, например, после очередного повышения пенсий с 1 августа 2008 года при известных темпах инфляции, измеренной по индексу потребительских цен за семь месяцев с начала года.

Теория отношения предпочтения-безразличия расширяет рамки представлений о предпочтениях потребителя и является исходной предпосылкой для глубокого анализа концепции выявленных предпочтений.

Проектное задание состоит в том, чтобы на основе лекций преподавателя и рекомендуемой литературы раскрыть содержание маршаллианского потребительского избытка, его измерение и показать, почему он не является точной мерой изменения благосостояния потребителя. При изменении цен изменение благосостояния измеряется компенсирующей и эквивалентной вариацией дохода, позволяющей точно определять величину компенсации, которую необходимо выплатить пенсионеру, другим категориям потребителей в условиях инфляции так, чтобы их благосостояние не изменилось, а если изменилось, то определить, в какой степени изменилось. Определение отношений предпочтения, безразличия и предпочтения-безразличия, их свойств и связи с функцией полезности используется для углубленного понимания поведения потребителя в концепции выявленных предпочтений.

Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963.

2. Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т. 1. / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа . 2000.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 2001.

4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002.

5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М.: УРАО. 1998.

6. Теория потребительского поведения и спроса. Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа. 1993.

7. Самуэльсон П. А. Основания экономического анализа. СПб.: 2002.

8. Хикс Джон Р. Стоимость и капитал. М.: Издательская группа «Прогресс», 1993.

9. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005.

10. Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008.

Размещено на Allbest.ru