Моделювання ринку цінних паперів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделювання ринку цінних паперів

Вступ

Будемо розглядати "ідеальний конкурентний ринок". Всі учасники такого ринку мають вільний доступ до всієї інформації про цінні папери і намагаються сформувати оптимальний портфель цінних паперів. Попит на активи на цьому ринку дорівнює пропозиції.

1. Характеристики портфеля цінних паперів

Під портфелем цінних паперів розуміють сукупність цінних паперів, придбаних інвестором. Структура портфеля - це співвідношення часток капіталу, вкладених у цінні папери різних видів.

Нехай , - частка капіталу інвестора, вкладена в -ий вид цінних паперів, - число видів цінних паперів у портфелі інвестора, , - дохідність цінного папера -го виду в період , - число спостережуваних періодів. Тоді дохідність портфеля в період буде виражатись рівністю

( 1 )

Очікувана дохідність -го цінного папера буде рівною

, ( 2 )

а очікувана дохідність портфеля цінних паперів -

( 3 )

Ризик портфеля оцінюється стандартним відхиленням дохідності портфеля від очікуваної, або варіацією дохідності портфеля . За означенням



Оскільки

,

то

Оскільки , де - коваріація між дохідностями цінних паперів -го та -го видів, то

( 4 )

Таким чином, портфель цінних паперів характеризується очікуваною дохідністю та ризиком портфеля .

конкурентний ринок цінний капітал



Раніше було показано, що ризик портфеля зменшується зі зростанням числа цінних паперів, тобто ризик портфеля можна зменшити шляхом диверсифікації. Проте звести ризик до нуля таким чином неможливо, тому що ризик портфеля складається з двох частин: унікального ризику та ринкового ризику

Унікальний ризик може бути усунений за рахунок диверсифікації. Ринковий ризик не можна зменшити, змінюючи структуру портфеля цінних паперів. Це пов'язано з тим, що дохідності цінних паперів корелюють між собою.

2. Ефективні портфелі. Задача Марковиця

Кожен інвестор намагається сформувати портфель цінних паперів з можливо більшою очікуваною доходністю і можливо меншим ризиком.

Портфелі, які мають найменший ризик при заданій очікуваній дохідності або найбільшу очікувану дохідність при заданому рівні ризику, називають ефективними портфелями. Сформувати ефективний портфель означає знайти частки (долі) капіталу , , які слід вкласти в цінні папери -го виду, щоб отримати найменший ризик при заданій очікуваній дохідності або найбільшу очікувану дохідність при заданому рівні ризику, тобто необхідно розв'язати відповідні задачі:



( 5 )

де - задана очікувана дохідність.

( 6 )

де - заданий рівень ризику.

Задача (5) відома як задача Марковиця. За постановку цієї задачі вчений був удостоєний Нобелівської премії.

Нехай знайдені частки капіталу , ефективного портфеля. Якщо , то це означає, що інвестор повинен вкласти частки свого капіталу в -ий вид цінних паперів. Якщо ж , то інвесторові слід взяти в борг цінні папери -го виду на суму, рівну частки свого капіталу. Якщо взяти в борг неможливо, то в задачі (5) та (6) слід ввести додаткові обмеження , .

Для розв'язання задач (5) та (6) з додатковою умовою невід'ємності змінних і без неї розроблені пакети прикладних програм. Для розв'язування цих задач у навчальних цілях можна використати електронні таблиці Excel.

Якщо на графіку з осями і відмітити точки, що відповідають усім можливим портфелям, то отримаємо область :

Ефективним портфелям відповідають точки, розташовані на частині кривої, що обмежує область . Ця частина кривої називається ефективною границею.

3. Додання безризикових активів

Точки, розташовані на ефективній границі, відповідають портфелям, сконструйованим з ризикових цінних паперів. Американський учений Тобін Д. запропонував урахувати і безризикові цінні папери - державні зобов'язання з фіксованим доходом. Позначимо дохідність безризикових цінних паперів через . Покажемо, що комбінація безризикових цінних паперів з ефективним ризиковим портфелем дозволяє покращити його характеристики.



Точка відповідає комбінації ефективного портфеля з безризиковим активом. З рис.1 видно, що дохідність цієї комбінації така ж, як і у портфеля , , а ризик - менше, . Очевидно, що найкраще співвідношення між приростом дохідності і зростанням ризику забезпечує комбінація безризикового активу з ефективним портфелем . Точка - це точка дотику прямої, проведеної з точки до ефективної границі. Оскільки розглядається "ідеальний конкурентний ринок", то кожний інвестор намагається сформувати оптимальний портфель цінних паперів. У результаті структура ринку ризикових цінних паперів стає оптимальною, такою ж як і у портфеля . Тому ефективний портфель називають ринковим портфелем. Будь-який інвестор може комбінувати безризикові цінні папери з ринковим портфелем , щоб відрегулювати співвідношення ризик-дохідність свого портфеля. Ці комбіновані портфелі будуть відповідати точкам прямої , яку називають лінією ринку капіталу (CML - Capital Market Line).

Нехай - доля капіталу інвестора, що вкладається в безризикові цінні папери, тоді - доля капіталу, що інвестується в ринковий портфель . Якщо , то інвестор надає позику державі, вкладаючи долю капіталу в державні облігації. Точки, що відповідають таким портфелям, лежать на відрізку . Якщо ж , то інвестор бере позику під безризиковий процент на таку ж суму й інвестує його в ринковий портфель . Точки, що відповідають цим комбінованим портфелям, лежать на промені .

Частка капіталу , яку інвестор вкладає в безризикові цінні папери, залежить від його схильності до ризику.

Виведемо рівняння прямої CML. Нехай - очікувана дохідність і ризик комбінованого портфеля, що відповідає точці на прямій CML, тоді

( 5 )

( 6 )

Виразимо з (6) і, підставивши в (5) отримаємо

( 7 )

де і - очікувана дохідність та ризик ринкового портфеля. Рівняння (7) - рівняння CML. Будь-який інвестор буде вибирати портфель так, щоб очікувана дохідність і ризик лежали на цій прямій.

Зауваження. На практиці під ринковим портфелем розуміють усю сукупність цінних паперів, представлених на ринку.

4. Коефіцієнти і модель ціноутворення на ринку капіталів

Коефіцієнт є мірою чутливості цінного папера до змін на ринку цінних паперів (ринкового портфеля). Якщо , то це значить, що при зростанні дохідності ринкового портфеля на 1%, дохідність цінного папера зросте також на 1%, якщо ж дохідність ринкового портфеля зменшиться на 1%, то і дохідність цінного папера зменшиться на 1%. Якщо , то зміна дохідності ринкового портфеля на 1% призведе до зміни дохідності цінного папера на величину .

Таким чином, цінні папери, які мають , більш чутливі до змін на ринку, у той час, як цінні папери, що мають , менш чутливі до змін на ринку. В наступній таблиці подані коефіцієнти акцій 10 американських компаній за період 1984-1989 роки:

Акції		Акції
AT&T	0,76	Ford Motor Co.	1,30
Bristol Myers Squibb	0,81	Genentech	1,40
Capital Holding	1,11	McDonald's	1,02
Digital Equipment	1,30	McGraw-Hill	1,32
Exxon	0,67	Tandem Computer	1,69

Статистично коефіцієнт цінного папера визначається таким чином:

, ( 8 )

де - коваріація дохідності цінного папера з дохідністю ринку;

- дохідність ринкового портфеля в період ;

- очікувана дохідність ринкового портфеля;

- ризик ринкового портфеля.

Тобто, коефіцієнт цінного папера ще відображає вклад цього цінного папера в ризик ринкового портфеля.

Із формули (8) випливає, що коефіцієнт ринкового портфеля дорівнює 1.

Коефіцієнт будь-якого портфеля розраховується через коефіцієнти цінних паперів, що входять до його складу:

,

де - доля цінного паперу в портфелі.

Приклад 1 Нехай портфель складається із 60% акцій компанії А, що мають коефіцієнт , і 40% акцій компанії Б, що мають коефіцієнт , тоді

.

Ризик добре диверсифікованого портфеля виражається через ризик ринкового портфеля і за формулою:

( 9 )

Приклад 2 Ризик ринкового портфеля , який представлений Standart and Poor's Composite Index (SPCI - портфель акцій 500 найбільших американських компаній) дорівнює приблизно 20% на рік. Нехай , тоді ризик розглянутого вище портфеля (19,2%).

Згадаємо, що через ми позначили дохідність безризикових цінних паперів, а через - очікувану дохідність ринкового портфеля.

Величина називається ринковою премією за ризик. На "ідеальному конкурентному ринку" очікувана премія за ризик будь-якого цінного папера прямо пропорційна ринковій премії, а коефіцієнтом пропорційності є :

( 10 )

Вираз (10) називається моделлю ціноутворення на ринку капіталів - Capital Asset Pricing Model ( CARM ). На осях , , де - очікувана дохідність цінних паперів, а - їх коефіцієнти, побудуємо точки, що відповідають безризиковим цінним паперам і ринковому портфелю .

Лінія, що з'єднує побудовані точки, називається лінією ринку цінних паперів - Security Market Line ( SML ). Згідно з CARM точки, що відповідають усім цінним паперам, повинні лежати на цій лінії. Таким чином, знаючи коефіцієнт цінного папера, можна знайти його очікувану дохідність .

Приклад 3 Нехай , а очікувана дохідність ринкового портфеля . Коефіцієнти акцій компаній А та Б дорівнюють 0,76 та 1,3 відповідно. Оцінимо, скориставшись CARM, очікувану дохідність цих акцій:

,

.

Зауваження. Коефіцієнти , очікувані дохідності цінних паперів, очікувана дохідність і ризик ринкового портфеля та інші характеристики, розраховуються на основі статистичних досліджень розвинених фінансових ринків.

5. Опціони, ф'ючерси та моделі визначення цін контрактів

Опціон на покупку (продаж) фінансового активу - це контракт, що дає право власнику опціону (проте не зобов'язує) купити (продати) актив за попередньо обумовленою ціною протягом деякого періоду часу в майбутньому.

Ф'ючерсний контракт - це зобов'язання купити (продати) фінансовий актив по попередньо обумовленій ціні протягом деякого періоду часу в майбутньому.

Розглянемо опціон, який дає право на покупку якого-небудь активу (наприклад, акції) в момент часу за ціною . Якщо ціна акції у момент більша , то власник опціону отримає прибуток, рівний . Якщо ж , то прибуток дорівнює 0.

Отже, прибуток власника опціону в момент складе . Необхідно визначити ціну опціону в початковий момент часу . Загальний підхід до розв'язання задач такого типу полягає в побудові динамічного (такого, що постійно змінюється) портфеля фінансових активів, який забезпечує в момент часу такий же грошовий потік, як і даний опціон. На ефективному фінансовому ринку ціна опціону в початковий момент повинна співпадати з ціною такого портфеля.

Будемо вважати, що динамічний портфель у момент часу складається тільки з відповідних акцій опціону, ціну якого ми хочемо визначити, в кількості та з безризикового активу розміром грошових одиниць. (Безризиковий актив - це фінансовий актив, майбутні грошові потоки якого детерміновані. Наприклад, державні облігації, банківські депозити).

Позначимо символом ціну акції в момент часу . Очевидно, що ціна портфеля в момент часу (яку ми позначимо символом ) дорівнює . Відмітимо, що розглянуті вище величини є випадковими.

Припустимо, що фінансові активи купуються і продаються тільки в дискретні моменти часу . Позначимо через різницю . Очевидно,

. (11)

Позначимо символом акумульований дивіденд, тобто суму всіх дивідендів, виплачених по акції за проміжок часу . Вважатимемо, що в момент часу дивіденд по акції сплачується особі, яка придбала її в момент часу . Очевидно, що розмір такого дивіденду дорівнює .

Грошовий потік у момент часу , який пов'язаний із володінням акцій у момент і акцій у момент часу , дорівнює сумі дивіденду розміром та виручці від продажу акцій у момент часу за ціною мінус витрати на покупку акцій за ціною , тобто .

Вважатимемо, що безризиковий актив розміром грошових одиниць у момент часу забезпечує прибуток, рівний . (Тут - норма прибутку безризикового активу, а .) Тоді в момент часу грошовий потік, пов'язаний із володінням безризикового активу, дорівнює .

Позначимо через акумульований грошовий потік, тобто суму грошових потоків, які генеруються портфелем за проміжок часу . Тоді грошовий потік у момент часу дорівнює . З цього випливає, що

(12)

Використовуючи це співвідношення, а також рівність (11) легко впевнитися, що

(13)

Просумувавши (13) по від 0 до , отримаємо

(14)

Спрямувавши (так, щоб ), отримаємо

(15)

Далі будемо вважати, що (тобто портфель не генерує проміжні грошові потоки) і (тобто дивіденди виплачуються неперервно з інтенсивністю ). Тоді рівність (15) матиме вигляд:

(16)

Припустимо, що ціна акції є процесом Іто, що задовольняє такому стохастичному диференціальному рівнянню

(17)

де - стандартний вінерівський процес, а і - відомі параметри.

Припустимо також що ціна портфеля однозначно визначається ціною акції і моментом часу , тобто . Тоді, застосувавши формулу Іто до , отримаємо

(18)

де - похідні по та друга похідна по Р від функції .

З рівностей (16) та (17) випливає , що

(19)

і

Оскільки , то

(20)

Підставивши цей вираз замість в праву частину рівності (19) ( а також замість ), отримаємо таке диференціальне рівняння

(21)

Позначимо ціну деривативу в кінцевий момент часу T через g. Відмітимо, що g - відома функція ціни фінансового активу в кінцевий момент часу T. Наприклад, ціна опціону на купівлю фінансового активу в момент часу T , як було відмічено раніше, дорівнює . (Таким чином, для опціону на покупку ).

Оскільки ціна динамічного портфеля, що імітує дериватив, дорівнює ціні деривативу в кінцевий момент часу, то повинна виконуватися така умова:

(22)

Розв'язавши задачу (21), (22), отримаємо функцію . Взявши (відому в початковий момент часу) ціну акції і як значення аргументів P і t розв'язок задачі (21), (22), отримаємо ціну портфеля (а отже, і деривативу) в початковий момент часу.

Відомо, що задача (21), (22) для опціону на покупку (тобто коли ) має такий розв'язок:

, (23)

де

, ,

а - функція стандартного нормального розподілу:

Приклад. Ціна акції в даний момент часу дорівнює 475 грош.од. Стандартне відхилення ціни акції дорівнює 12% в рік. Акція сплачує дивіденди з інтенсивністю в рік. Річна ставка для короткотермінових облігацій - 10%. Визначити ціну опціону на покупку акції через 3 місяці за 480 грош.од.

Розв'язок. За умовою

Спочатку знайдемо , та :



.

За таблицями знаходимо , .

Тепер знайдемо ціну опціону:

грош.од.

Література

1. Вітлінський В.В. Моделювання економіки

2. Вишняков Н.В. Экономико-математические модели оценки деятельности коммерческих банков. СПб-2009.

3. Конюховский П.В., “Микроэкономическое моделирование банковской деятельности”, СПб., 2011.

4. Уотшем Т.Дж., Количественные методы в финансах. М., 2009.

5. Четыркин Е.М., “Финансовая математика”, М., 2010.

6. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. Инфра-М. 2003.

Размещено на Allbest.ru

...