Основы экономической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Исходные данные

Таблица 1. Взаимосвязанные экономические показатели хозяйственной деятельности преприятия

Результативный показатель	Первый факторный показатель	Второй факторный показатель
Капиталоотдача	Капиталовооруженность	Рентабельность активов

Таблица 2. Динамика изменения экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия

Год	Объем производства, тыс.руб.	Величина основного капитала, тыс.руб.	Величина оборотного капитала, тыс.руб.	Списочная численность работников, чел.	Прибыль, тыс.руб.	Себестоимость, тыс.руб.
2000	542	875	330	98	46	496
2001	584	880	350	95	50	534
2002	593	900	340	100	54	539
2003	550	860	330	99	48	502
2004	588	890	320	95	50	538
2005	605	910	350	102	54	551
2006	612	920	340	105	56	556
2007	591	915	345	104	57	534
2008	563	900	355	96	56	507
2009	600	890	360	108	58	542
2010	610	910	370	106	62	548

Расчет относительных статистических показателей интенсивности деятельности предприятия и построение аналитических группировок

Для количественной оценки свойств изучаемого экономического явления используются различные абсолютные и относительные статистические показатели. статистический интенсивность экономический

Абсолютный показатель ? это количественная величина, имеющая определенную размерность. В зависимости от целей исследования применяются натуральные и условно-натуральные, стоимостные (денежные) и трудовые единицы измерения.

Относительный показатель ? это результат сопоставления двух статистических показателей, который характеризует количественное соотношение между ними. Относительный показатель определяется путем деления сравниваемого (текущего) показателя на показатель, принимаемый за базу сравнения. Относительный показатель может быть получен в результате сопоставления:

- одноименных статистических показателей (например, относительные показатели структуры, динамики, выполнения плана и др.);

- разноименных статистических показателей (например, относительные показатели интенсивности, такие как производительность труда, фондоотдача, фондовооруженность, рентабельность и др.).

В статистических исследованиях наиболее часто используются относительные статистические показатели интенсивности, характеризующие соотношение различных, но связанных между собою показателей:

;

Осуществляя статистический анализ экономической деятельности предприятия по предложенному варианту, могут быть рассчитаны следующие относительные статистические показатели интенсивности:

- капиталоотдача:

,

где - объем производства, тыс.руб.;

- величина основного капитала, тыс.руб.

- капиталовооруженность:



,

где - списочная численность работников, чел.

- рентабельность активов:

,

где - величина оборотного капитала, тыс.руб.

Полученные при вычислениях результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3. Значения относительных показателей

Год	Капиталоотдача	Капиталовооруженность, тыс. руб. / чел.	Рентабельность активов, %
2000	0,62	8,93	3,82
2001	0,66	9,26	4,07
2002	0,66	9	4,35
2003	0,64	8,69	4,03
2004	0,66	9,37	4,13
2005	0,66	8,92	4,29
2006	0,67	8,76	4,44
2007	0,65	8,8	4,52
2008	0,63	9,38	4,46
2009	0,67	8,24	4,64
2010	0,67	8,58	4,84

Аналитическая группировка применяется для исследования взаимосвязи между явлениями. Для этого в аналитической группировке выделяются факторный и результативный экономические показатели. Взаимосвязь между экономическими показателями существует в том случае, если с изменением значения факторного показателя среднее значение результативного показателя возрастает или убывает.

Аналитическая группировка между такими двумя экономическими показателями, как капиталоотдача и капиталовооруженность, может быть представлена в виде табл. 4. Количество выделяемых групп по каждому экономическому показателю определяется по формуле Стерджесса:

,

где n - число единиц в совокупности.

Используя формулу Стерджесса для определения количества выделяемых групп по объему производства продукции и величине основного капитала, получим: . Длина каждого интервала рассчитывается по формуле:

,

где - соответственно максимальное и минимальное значения группировочного признака.

Длина каждого интервала для капиталоотдачи составит 0,0125, а для величины капиталовооруженности - 0,285 тыс.руб./чел. Учитывая длину интервала по каждому рассматриваемому экономическому показателю, формируются четыре группы. В каждой ячейки аналитической группировки (табл. 4) выставляются значения, определяющие количество соответствий между объемом производства и величиной основного капитала.

Таблица 4. Аналитическая группировка между двумя экономическими показателями

Группы значений Капиталоотдачи	Группы значений капиталовооруженности, тыс.руб./чел.
	8,24 - 8,525	8,525 - 8,81	8,81 - 9,095	9,095 - 9,38
0,62 - 0,6325			1	1
0,6325 - 0,645		1
0,645 - 0,6575		1
0,6575 - 0,67	1	2	2	2

Анализируя содержание табл. 4, можно сделать вывод о том, что значения, определяющие количество соответствий между капиталоотдачей и капиталовооруженностью, концентрируются вокруг главной диагонали аналитической группировки. Следовательно, между экономическими показателями существует прямая корреляционная зависимость.

Аналитическая группировка между такими двумя экономическими показателями, как капиталоотдача и рентабельность активов, может быть представлена в виде табл. 5. Количество выделяемых групп по каждому экономическому показателю определяется по формуле Стерджесса:

,

где n - число единиц в совокупности.

Используя формулу Стерджесса для определения количества выделяемых групп по объему производства продукции и величине основного капитала, получим: . Длина каждого интервала рассчитывается по формуле:

,

где - соответственно максимальное и минимальное значения группировочного признака.

Длина каждого интервала для капиталоотдачи составит 0,0125, а для величины рентабельности активов - 0,255 %. Учитывая длину интервала по каждому рассматриваемому экономическому показателю, формируются четыре группы. В каждой ячейки аналитической группировки (табл. 5) выставляются значения, определяющие количество соответствий между объемом производства и величиной основного капитала.

Таблица 5. Аналитическая группировка между двумя экономическими показателями

Группы значений капиталоотдачи	Группы значений рентабельности активов, %
	3,82 - 4,075	4,075 - 4,33	4,33 - 4,585	4,585 - 4,84
0,62 - 0,6325	1		1
0,6325 - 0,645	1
0,645 - 0,6575			1
0,6575 - 0,67	1	2	2	2

Анализируя содержание табл. 5, можно сделать вывод о том, что значения, определяющие количество соответствий между капиталоотдачей и рентабельностью активов, концентрируются вокруг главной диагонали аналитической группировки. Следовательно, между экономическими показателями существует прямая корреляционная зависимость.

2. Осуществление вариационного анализа экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия

Вариационный анализ применяется для оценки изменения значений экономического показателя в пределах изучаемой совокупности.

Вариационный анализ начинается с расчета основной характеристики любой статистической совокупности ? средней величины, которая определяется по формуле средней арифметической простой:

,



где - i-ое значение рассматриваемого экономического показателя.

Среднее значение для капиталоотдачи составит:

,

среднее значение для величины капиталовооруженности:

=8,9 тыс. руб./чел.,

среднее значение для величины рентабельности активов:

=4,33%.

Для осуществления вариационного анализа рассчитываются следующие основные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой максимальное значение, на которое изменяется варьирующий признак в совокупности и определяется по формуле:

.

Среднее линейное отклонение ? это среднее арифметическое модуля отклонения каждого значения признака от его средней величины и определяется:

.

Дисперсия ? это среднее арифметическое квадрата отклонения каждого значения признака от его средней величины и определяется:



.

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии:

.

Коэффициент вариации можно определить как отношение среднего квадратического отклонения и средней величины признака:

.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем менее однородной является совокупность и тем менее точно среднее значение признака характеризует изучаемое явление. Наоборот, чем меньше значение коэффициента вариации, тем более однородной является совокупность и тем более точно среднее значение признака характеризует изучаемое явление:

- если ? совокупность считается неоднородной;

- если ? совокупность можно считать однородной;

- если ? совокупность считается однородной.

Результаты проведения вариационного анализа для трех экономических показателей - капиталоотдачи, капиталовооруженности и рентабельности активов ? представлены в табл. 6.



Таблица 6. Результаты вариационного анализа для двух экономических показателей

Показатель вариации	Усл. обозн.	Экономический показатель
		капиталоотдача	капиталовооруженность	рентабельность активов
Размах вариации, тыс.руб.		0,05	1,14	1,02
Среднее линейное отклонение, тыс.руб.		0,0145	0,2627	0,2345
Дисперсия		0,000273	0,1094	0,0801
Среднее квадратическое отклонение, тыс.руб.		0,0165	0,3308	0,283
Коэффициент вариации, %		2,54	3,72	6,54

Оценивая полученные значения показателей вариации, можно сделать следующие выводы. Вариацию значений каждого экономического показателя в совокупности исходных данных следует считать допустимой, что позволяет характеризовать исследуемые совокупности как однородные (V₁ = 2,54%, V₂ = 3,72%, V₃ = 6,54%). Средние значения капиталоотдачи, капиталовооруженности и рентабельности активов достаточно точно характеризуют изучаемые экономические процессы. Все это свидетельствует о том, что целесообразно использовать исходные данные для проведения дальнейшего исследования на основе статистического анализа экономической деятельности предприятия.



3. Проведение анализа динамики экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия и осуществление прогнозных расчетов их значений

Ряд динамики представляет собой совокупность значений, характеризующих изменение изучаемого социально-экономического явления по времени. Любой ряд динамики состоит из двух элементов: временной составляющей и соответствующего значения признака (уровня) ряда динамики. Для анализа рядов динамики определяют такие показатели, как абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, и абсолютное значение одного процента прироста. Для проведения расчета этих показателей необходимо правильно выбрать базу сравнения. Если каждый уровень ряда динамики сравнивается с предшествующим уровнем, получают цепные показатели, если же каждый уровень ряда динамики сравнивается с одним и тем же уровнем (базой), получают базисные показатели. Выбор той или иной базы сравнения зависит от целей проведения анализа и использования его результатов.

Абсолютный прирост определяется:

- для цепных показателей:

;

- для базисных показателей:

,

где - соответственно текущее и предыдущее значение уровня;

- базисное значение уровня.

Темп роста определяется:

- для цепных показателей:

;

- для базисных показателей:

.

Темп прироста определяется: для цепных показателей:

;

- для базисных показателей:

.

Темп прироста для цепных и базисных показателей может также быть определен по формуле:

.

Абсолютное значение одного процента прироста определяется только для цепных показателей по одной из двух формул:



либо .

Для экономических показателей капиталоотдачи, капиталовооруженности и рентабельности активов расчет показателей динамики представлен в табл. 7,8 и 9.

Таблица 7. Расчет показателей динамики для капиталоотдачи

Год	Капиталоотдача		,%	,%
		ц	б	ц	б	ц	б
2000	0,62	-	-	100	100	-	-	-
2001	0,66	0,04	0,04	106,45	106,45	6,45	6,45	0,0066
2002	0,66	0	0,04	100	106,45	0	6,45	0,0066
2003	0,64	-0,02	0,02	96,97	103,23	-3,03	3,23	0,0064
2004	0,66	0,02	0,04	103,125	106,45	3,125	6,45	0,0066
2005	0,66	0	0,04	100	106,45	0	6,45	0,0066
2006	0,67	0,01	0,05	101,52	108,06	1,52	8,06	0,0067
2007	0,65	-0,02	0,03	97,01	104,84	-2,99	4,84	0,0065
2008	0,63	-0,02	0,01	96,92	101,61	-3,08	1,61	0,0063
2009	0,67	0,04	0,05	106,35	108,06	6,35	8,06	0,0067
2010	0,67	0	0,05	100	108,06	0	8,06	0,0067

Оценивая полученные в табл. 7, результаты анализа динамики экономических показателей, можно сделать следующие выводы. Значения капиталоотдачи, капиталовооруженности и рентабельности активов неравномерно, с определенными колебаниями возрастают. Это определяет наличие возрастающей тенденции развития каждого из рассматриваемых экономических показателей, для изучения которой необходимо осуществить аналитические расчеты по выявлению основной тенденции развития (тренда) изучаемого экономического показателя.

В анализе рядов динамики большое внимание следует уделить расчету средних значений показателей динамики. Средние значения определяются только для цепных показателей.

Среднее значение абсолютного прироста определяется по одной из двух формул:

,

где - число цепных абсолютных приростов.

Среднее значение темпа роста определяется либо по формуле средней геометрической:

,

где - число цепных темпов роста

либо по формуле:

.

Среднее значение темпа прироста определяется по формуле:

.

Для капиталоотдачи:

Для капиталовооруженности:

Для рентабельности активов:

Тенденция (тренд) характеризует общее направление развития экономического показателя под действием основных факторов, исключая влияние случайных факторов, вызывающих колебания уровней относительно тренда. Существуют различные методы и способы позволяющие выявить основную тенденцию ряда динамики, но наиболее эффективным из них является аналитическое выравнивание ряда динамики. Согласно этому методу происходит выравнивание каждого значения уровня ряда динамики по формуле, имеющей общий вид:

,

где - выровненные значения уровней ряда динамики;

- аналитический вид функции выравнивания.

В качестве функции выравнивания может быть использована линейная функция. В общем виде уравнение прямой можно представить следующим образом:

,

где , - коэффициенты уравнения выравнивания;

- порядковый номер временного показателя.

Для построения уравнения выравнивания необходимо определить значения коэффициентов , . Коэффициенты уравнения выравнивания рассчитываются по методу наименьших квадратов из системы двух уравнений вида:

.

Порядковый номер временного показателя выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие .

Тогда, система уравнений примет вид:



.

Откуда, коэффициенты определяются по формулам:

.

Построенное уравнение прямой позволяет определить выровненные значения уровней ряда динамики, а его визуальный анализ ? выявить основную тенденцию развития изучаемого социально-экономического явления (возрастание, убывание изучаемого признака или его неизменность с течением времени).

По окончанию процедуры выравнивания ряда динамики необходимо убедиться, насколько точно выровненный ряд описывает изучаемое социально-экономическое явление. Для этого определяют коэффициент вариации по формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение между исходными и выровненными значениями экономического показателя;

- среднее значение уровня выровненного ряда динамики.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:



,

где , - соответственно исходные и выровненные значения уровней ряда динамики.

Чем меньшее значение имеет коэффициент вариации, тем более точно выровненный ряд динамики описывает изучаемое социально-экономическое явление и, наоборот.

Уравнение выравнивания, адекватно описывающее динамику изменения экономического показателя, может быть использовано в прогнозных расчетах. Прогнозная модель, построенная на основе линейного уравнения выравнивания, имеет вид:

,

где - прогнозное значение уровня ряда динамики для периода с порядковым номером (t+j);

- порядковый номер для прогнозируемого периода.

Значения коэффициентов уравнения выравнивания для капиталоотдачи определяются по формулам:

Тогда линейное уравнение выравнивания для капиталоотдачи имеет вид:



.

Учитывая, что коэффициент вариации равен 2,25 %, следовательно, построенное линейное уравнение выравнивания адекватно описывает тенденцию изменению капиталоотдачи, которая с течением времени возрастает. Линейное уравнение выравнивания для капиталоотдачи можно использовать для осуществления прогнозных расчетов.

Учитывая, что коэффициент вариации равен 3,33 %, следовательно, построенное линейное уравнение выравнивания адекватно описывает тенденцию изменению капиталовооруженности, которая с течением времени убывает. Линейное уравнение выравнивания для капиталовооруженности можно использовать для осуществления прогнозных расчетов.

Учитывая, что коэффициент вариации равен 2,65 %, следовательно, построенное линейное уравнение выравнивания адекватно описывает тенденцию изменению рентабельности активов, которая с течением времени возрастает. Линейное уравнение выравнивания для рентабельности активов можно использовать для осуществления прогнозных расчетов.

4. Построение двухфакторной корреляционной модели экономической деятельности предприятия и оценка тесноты связи между показателями

При изучении взаимосвязи экономических показателей хозяйственной деятельности предприятия на результативный экономический показатель оказывают влияние два факторных экономических показателя. В этом случае наблюдается множественная регрессия. Для ее аналитического описания используется модель множественной регрессии. В общем виде линейное двухфакторное уравнение регрессии можно записать:

,



где - теоретическое значение результативного экономического показателя;

, - значения факторных экономических показателей;

,, - коэффициенты уравнения регрессии, значения которых определяются по методу наименьших квадратов из системы трех линейных уравнение, следующего вида:

.

Коэффициент регрессии определяет, на какую величину изменится значение результативного признака при изменении значения факторного признака на единицу при условии, что все другие факторные признаки не изменяются.

Построив уравнение регрессии, можно для любого набора значений факторных признаков определить соответствующее им значение результативного признака .

Коэффициенты регрессии , , определяются из системы уравнений:

,

.

Тогда .



Используя полученное уравнение регрессии, находятся теоретические значения результативного признака .

Полученное двухфакторное линейное уравнение регрессии может быть использовано в целях управления экономической деятельностью предприятия.

Для моделирования на основе многофакторной модели (уравнения множественной регрессии), необходимо проверить, насколько точно она отражает линейную зависимость результативного признака от факторных признаков , т.е. определить тесноту линейной связи между признаками.

Для определения тесноты связи между признаками необходимо рассчитать ряд показателей, одним из которых является коэффициент детерминации . Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

,

где - теоретическая дисперсия;

- эмпирическая дисперсия, т.е. дисперсия признака полученного экспериментальным (опытным) путем.

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента детерминации к единице, тем более точно построенное уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь между экономическими показателями и, наоборот, чем ближе значение коэффициента детерминации к нулю, тем менее точно уравнение регрессии описывает линейную корреляционную связь. Коэффициент детерминации, принимающий значение равное нулю, свидетельствует о полном отсутствии линейной корреляционной зависимости между экономическими показателями. Если коэффициент детерминации принимает значение равное единице, то наблюдается функциональная линейная зависимость между экономическими показателями.

Тесноту линейной связи между экономическими показателями можно проверить, рассчитав множественный коэффициент корреляции. Для двухфакторной модели множественный коэффициент корреляции определяется по формуле:

,

где - парные коэффициенты корреляции. Например, определяется по одной из двух формул:

,

где , - среднее квадратическое отклонение соответственно результативного признака и факторного признака .

Наряду с множественным коэффициентом корреляции определяются частные коэффициенты корреляции. Для двухфакторной модели каждый из двух частных коэффициентов корреляции рассчитывается по формулам:

, .



Для выявления тесноты линейной связи между капиталоотдачей, капиталовооруженностью и рентабельностью активов рассчитываются показатели тесноты связи:

- коэффициент детерминации:

Учитывая, что

, а .

Получаем:

,

.

Тогда: ;

- множественный коэффициент корреляции:

Сначала определяются парные коэффициенты корреляции , , , учитывая, что, а

и .

Получаем:

Тогда:



,

,

,

- частные коэффициенты корреляции:

,

.

Оценивая полученные результаты тесноты связи между рассматриваемыми экономическими показателями, можно констатировать, что на капиталоотдачу определенное влияние оказывают величины капиталовооруженности и рентабельности активов, т.к. коэффициент детерминации равен , а множественный коэффициент корреляции равен . Анализируя значения частных коэффициентов корреляции, следует отметить, что величина рентабельности активов оказывает существенное влияние на капиталоотдачу (0,1655), в отличие от несущественной тесноты связи величины капиталовооруженности и капиталоотдачи.

Таким образом, принимая управленческие решения, направленные на повышение капиталоотдачи, в первую очередь, следует регулировать величину капиталовооруженности предприятия.

Размещено на Allbest.ru

...