Множественная регрессия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вопрос: что такое спецификация и параметризация уравнения регрессии?

регрессия множественный дисперсия автокорреляция

Термин “спецификация” относится к экономической модели. Под ним понимается формулировка вида создаваемой модели, которая составляется, исходя из соответствующей теории связи между переменными. Из круга факторов, влияющих на результативный признак, выделяются наиболее существенно влияющие факторы, из которых отбираются один (для парной регрессии) или несколько (для множественной регрессии). Эти факторы используются в модели в качестве объясняющих переменных. Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными - факторной и результирующей, уравнение множественной регрессии характеризует связь между несколькими переменными - двумя или более факторными и одной результирующей.

Параметризацией уравнения регрессии называется определение ее параметров, например, для уравнения линейной регрессии вида y = a + bx определяются его параметры a и b. Существуют различные способы параметризации, чаще других применяют метод наименьщих квадратов (МНК) для уравнений линейной регрессии (парной или множественной). Если провести такую линию в поле корреляции, на котором нанесены статистические данные, сумма квадратов расстояний по вертикали между линией и точками будет минимальной.

Задача

В таблице заданы три временных ряда:

Производительность труда, Y.

Фондовооруженность, Х₁.

Энерговооруженность, Х₂.

Требуется:

Используя МНК, оценить уравнение множественной регрессии: у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂, провести анализ статической значимости коэффициентов множественной регрессии (Sa₀^, Sa₁, Sa₂, t -статистики), рассчитать долю объясненной дисперсии [R²], проверить гипотезу о наличии автокорреляции остатков [W].

Дать прогноз об изменении производительности труда на 2 года вперед. .

Множественная регрессия - это уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y = f(x₁, x₂, …, x_n), где

у - зависимая переменная (результативный признак);

x₁, x₂, …, x_n - независимые переменные (факторы).

По условию задачи нужно найти параметры уравнения линейной регресии с двумя факторами x₁ и x₂.

Как указано в задании будем использовать метод наименьших квадратов (МНК), решая систему нормальных уравнений:

Здесь n = 10 - число наблюдений.

Расчетная таблица для определения коэффициентов парной корреляции

Y_t = 939,0

X_1t = 379,0 X_1t² = 14551,0

X_2t = 734,0 X_2t² = 55820,0

X_1t *X_2t = 28389,0

Y_t * X_1t = 36473,0

Y_t * X_2t = 71580,0

Используя данные таблицы 1, найдем параметры уравнения множественной регрессии, решив систему уравнений по формулам Крамера:

10*а₀ + 379*а₁ + 734*а₂ = 939

379*а₀ + 14551*а₁ + 28389*а₂ = 36473

734*а₀ + 28389*а₁ + 55820*а₂ = 71580

Для решения этой системы найдем сначала определитель матрицы коэффициентов при неизвестных и, если он не будет равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

- определитель матрицы коэффициентов при неизвестных;

а₀, а₁ и а₂ - определители матриц, составленных из матрицы коэффициентов при неизвестных, в которой заменен столбец соответствующей переменной на столбец свободных членов системы.

Для расчета определителей используем электронные таблицы MS EXCEL.

В MS EXCEL есть функции, работающие с матрицами, в том числе для вычисления определителя. Рассмотрим пример:

Выделим на листе EXCEL ячейки А1:С3 и заполним их элементами матрицы размерности 3х3.

В ячейке В5 найдем величину определителя матрицы, для чего выберем в списке функций МОПРЕД(А1:С3) и нажмем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, которая формирует данный диапазон как матрицу. В ячейке В5 появится значение определителя матрицы (-19).

Результаты вычислений представлены в табл.2.

Таблица 2

Аналогичным образом будем вычислять определители, необходимые для решения системы. Результат расчета представлен в табл.3:

Итак, уравнение множественной регрессии имеет вид:

у = -94,52 + 5,38*х₁ - 0,21*х₂

По этому уравнению заполним столбец Y_p в табл.1. В столбце E_t найдем остатки по формуле:

E_t = Y_p - Y_t

Сумма остатков равна нулю, что говорит о правильности расчетов.

Для оценки полученного уравнения множественной регрессии рассчитаем парные коэффициенты корреляции по данным таблицы 4.

Расчетная таблица для определения коэффициентов парной корреляции

Расчет парных коэффициентов корреляции будем вести по формулам:

Составим матрицу парных коэффициентов корреляции (табл.5):

Матрица парных коэффициентов корреляции

Как видим, между Y и X₁ имеется довольно тесная положительная связь, между Y и X₂ - менее тесная положительная связь, а между X₁ и X₂ - очень тесная положительная связь.

Оценим значимость коэффициентов корреляции по t-критерию Стьюдента:

, где

r - оцениваемый коэффициент корреляции;

n - число периодов времени, n = 10.

Для r_yx1 = 0,811:

По таблице ([1], стр.188) для = 0,05, k = 8, t_кр = 2,306

Поскольку t'_набл > t_кр , полученное значение коэффициента корреляции

r_yx1 = 0,811 признается значимым.

Для r_yx2 = 0,755:

Поскольку t''_набл > t_кр , полученное значение коэффициента корреляции

r_yx2 = 0,755 также признается значимым.

Для r_x1x2 = 0,946:

Поскольку t'''_набл > t_кр , полученное значение коэффициента корреляции

r_x1x2 = 0,946 также признается значимым.

Теперь проверим соблюдение критерия мультиколлинеарности факторов по следующим неравенствам:

r_yx1 > r_x1x2 ; 0,811 > 0,946 - не соблюдается.

r_yx2 > r_x1x2 ; 0,755 > 0,946 - не соблюдается.

r_x1x2 < 0,8 ; 0,946 < 0,8 - не соблюдается.

Поскольку ни одно из этих неравенств не соблюдается, факторы х₁ и х₂ мультиколлинеарны и результаты прогноза по полученной модели будут не слишком достоверными.

Коэффициент множественной корреляции для линейной зависимости можно определить по формуле ([1], стр.51):

r - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции (табл.5);

r₁₁ - определитель матрицы межфакторной корреляции (табл.6).

Матрица межфакторной корреляции

Определители найдем по формулам матричной алгебры:

Теперь можем найти коэффициент множественной корреляции:

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент детерминации, равный квадрату коэффициента множественной корреляции:

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценим с помощью F - критерия Фишера ([1], стр.53):

По таблице ([1], стр.187) значений F - критерия Фишера для уровня значимости = 0,05, k₁ = 10, k₂ = 2 F_табл = 4,1. Поскольку рассчитанное значение больше табличного, уравнение множественной регрессии в целом признается значимым.

Проверку гипотезы о наличии автокорреляции в остатках проведем по d-критерию Дарбина-Уотсона ([2], стр. 277). Найдем значение d по формуле:

Для нахождения сумм составим таблицу (табл.7):

По таблице значений статистик Дарбина-Уотсона для =0,05,

n = 10 и k = 2 d₁ = 0,7; d₂ = 1,64. Поскольку d больше, чем d₂, но меньше, чем (4 - d₂), то нет оснований отвергать гипотезу Н₀ об отсутствии автокорреляции в остатках.

Для составления прогноза производительности труда на 2 года вперед по полученной модели найдем значения х₁ и х₂ для Т = 11, 12.

Для этого определим среднегодовые приросты этих факторов по формуле:

n = 10 - число периодов.

Найдем прогнозные значения х₁ и х₂, подставим их в уравнение модели и получим прогнозные значения у (табл.8).

Таблица 8

Литература

Под ред. чл.корр.РАН И.И.Елисеевой. Практикум по эконометрике. М., «Финансы и статистика», 2001.

Под ред. чл.корр.РАН И.И.Елисеевой. Эконометрика. М., «Финансы и статистика», 2001.

Размещено на Allbest.ru