Оценка математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению выборки:

2. Построить полигон относительных частот;

3. Построить график эмпирической функции распределения;

4. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

13	13,6	13,8	13,4	13,8	13,2	13	13,6
13,6	13,6	13,4	13,2	13,4	13,8	13,4	13,6
13,4	13,4	13,4	13,2	13,6	14	13	13,8
13,2	13,8	13,6	13,2	14	13,8	14	13,8
13,4	14,2	13,6	14,2	13,6	13,6	14	13,2

Вариационный ряд

13 13 13 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.2 13.4 13.4 13.4 13.4 13.4 13.4 13.4

13.4

13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.6 13.8 13.8 13.8 13.8 13.8

13.8 13.8 14.0

14.0 14.0 14.0 14.2 14.2

п = 40 объём выборки

x7-x1 = 14.2-13 = 1.2 размах выборки

Статистический ряд

Варианты	13	13.2	13.4	13.6	13.8	14.0	14.2
Частоты	3	6	8	10	7	4	2

Построить полигон относительных частот

W(i) - относительные частоты W(i) = n(i)/n

X(i)	13	13.2	13.4	13.6	13.8	14.0	14.2
W(i)	0.08	0.15	0.20	0.25	0.18	0.10	0.05

Построить график эмпирической функции распределения F^*(x) = n_x/n

n_x число вариант меньших х

x<13.0 F*(x) = 0

13.0<x<13.2 F*(x) = 3/40 = 0.08

13.2<x<13.4 F*(x) = (3+6)/40 = 0.23

13.4<x<13.6 F*(x) = (3+6+8)/40 = 0.43

13.6<x<13.8 F*(x) = (3+6+8+10)/40 = 0.68

13.8<x<14.0 F*(x) = (3+6+8+10+7)/40 = 0.85

14.0<x<14.2 F*(x) = (3+6+8+10+7+4)/40 = 0.95

14.2<x F*(x) = (3+6+8+10+7+4+2)/40 = 40/40 = 1



Выборочная средняя

x_в = 1/n_* n = 40

x_в = 1/40*(3*13+6*13.2+8*13.4+10*13.6+7*13.8+4*14+2*14.2) = 13.56

Выборочная дисперсия

Dв = 1/n_* n = 40

Dв = 1/40*(3*(5.0-13.56)²+6*(13.2-13.56)²+8*(13.4-13.56)²+10*(13.6-

13.56)²+7*(13.8-13.56)²+4*(14-13.56)²+2*(14.2-13.56)²) = 0.0984

Выборочное исправленное средне квадратическое отклонение

= Du, где Du = n/(n-1)*Dв = 0.10092

= 0.31768

Мода варианта, имеющая наибольшую частоту М₀ = 13.6

Медиана



М_l = (x_k+x_k+1)/2 k = 20 M_l = 13.6

Доверительный интервал для оценки математического ожидания - а

Xв-_*u /n<a< Xв+_*u /n

Xв = 13.56 _u = n = 40 (0.95,40) = 1.96 (по таблице в приложениях)

13.46154 < a < 13.65845

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения

_u*(1-q)< < _u(1+q) q(,n) = q(0.95,40) = 0.089

(по таблице в приложениях)

0.24143 < < 0.393928

Задача 2

По промышленным предприятиям города имеются следующие данные за отчетный год:

№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль млн. руб.
1	197,7	10,0	900	13,5
2	592,0	22,8	1500	136,2
3	465,5	18,4	1412	97,6
4	296,2	12,6	1200	44,4
5	584,1	22,0	1485	146,0
6	480,0	19,0	1420	110,4
7	578,5	21,6	1390	138,7
8	204,7	9,4	817	30,6
9	466,8	19,4	1375	111,8
10	292,2	13,6	1200	49,6
11	423,1	17,6	1365	105,8
12	192,6	8,8	850	30,7
13	360,5	14,0	1290	64,8
14	208,3	10,2	900	33,3

Требуется произвести группировку предприятий по величине прибыли, приняв следующие интервалы:

1) до 50 млн. руб. 2) от 50 до 100 млн. руб.; 3) от 100 до 150 млн. руб.

По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить число предприятий, объем продукции, среднегодовую стоимость основных средств, среднесписочное число работников, а также размер среднегодовой стоимости основных средств в расчете на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы.

	№	Объем продукции. млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств. млн. руб.	Среднесписочное число работников	Прибыль. млн. руб.
до 50 млн. руб.
	1	197.7	10	900	13.5
	4	296.2	12.6	1200	44.4
	8	204.7	9.4	817	30.6
	10	292.2	13.6	1200	49.6
	12	192.6	8.8	850	30.7
	14	208.3	10.2	900	33.3
Всего по группе	6	1391.7	64.6	5867	202.1
Среднее по группе		231.95	10.77	978	33.68
Среднегодовая стоимость основных средств в расчете на одного работника	0.24
от 50 до 100 млн. руб
	3	465.5	18.4	1412	97.6
	13	360.5	14	1290	64.8
Всего по группе	2	826	32.4	2702	162.4
Среднее по группе		413	16.2	1351	81.2
Среднегодовая стоимость основных средств в расчете на одного работника	0.31
от 100 до 150 млн. руб.
	2	592	22.8	1500	136.2
	5	584.1	22	1485	146
	6	480	19	1420	110.4
	7	578.5	21.6	1390	138.7
	9	466.8	19.4	1375	111.8
	11	423.1	17.6	1365	105.8
Всего по группе	6	3124.5	122.4	8535	748.9
Среднее по группе		520.75	20.4	1423	124.82
Среднегодовая стоимость основных средств в расчете на одного работника	0.37
Расчёты по всем предприятиям в целом
Среднее	14	381.59	15.67	1221.71	79.53

Задача 3

По каждому из трех предприятий фирмы ( - порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2010 г. продукции (, млн. руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2011г. (,%), а также о фактическом объеме реализованной в 2011 г. продукции (, млн. руб.). статистические данные приведены в таблице.

Требуется определить в целом по фирме:

1) размер планового задания по росту объема реализованной продукции в 2011 г.;

2) процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2011 г.;

3) показатель динамики реализованной продукции.

1	34,0	104,0	36,6
2	52,5	106,0	56,7
3	64,0	102,5	67,0



Вычислим плановое задание на 2011 по каждому предприятию фирмы

	2010 год	план на 2011	факт 2011 год
1	34.00	35.36	32.60
2	52.50	55.65	52.70
3	64.00	65.6	63.00
Всего	150.5	156.6	148.3

Найдём относительный показатель плана в целом по фирме в 2011 году в целом по фирме

ОППф = 156,6/150,5*100 = 104.06%

Найдём процент выполнения плана по росту денежной суммы в 2011 году в целом по фирме

ОПВПф = 148.3/150,5*100% = 94,69%

Найдём относительный показатель динамики по росту денежной суммы в целом по фирме

ОПДф = 148,3/150,5*100% = 98,54%

Задача 4

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (-порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии (, чел.), о средней заработной плате (, руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (, руб.²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1) определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2) оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

1	50	2650	3025
2	25	2800	3600
3	40	2500	1225

Средняя из внутригрупповых дисперсий

Средняя зарплата по цеху для основных рабочих

Находим межгрупповую дисперсию

Общая дисперсия заработной платы



Однородность совокупности

Если V<33% то совокупность считается однородной.

Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на

Задача 5

По 14-ти предприятиям городского хозяйства (-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (млн. руб.) и уровне механизации труда (,%). Статистические данные приведены в таблице.

Для выявления наличия корреляционный связи между объемам продукции и уровнем механизации труда требуется:

1) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена;

2) проверить его достоверность на уровне значимости б = 0,05;

вариационный распределение дисперсия медиана



	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	107	108	89	99	63	97	103	99	89	88	75	88	96	87
	98	100	90	85	70	96	100	99	64	93	64	95	99	95

С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными X и Y. Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, если заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Выборочный коэффициент служит точечной оценкой генерального коэффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными X и Y.

1. Для того чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов. Расположим наблюдаемые пары в порядке невозрастания качества по показателю X:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	100	100	99	99	98	96	95	95	93	90	85	70	64	64
	108	103	99	96	107	97	88	87	88	89	99	63	89	75

Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке невозрастания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	1	3	4	7	2	6	10	12	11	8	5	4	9	13



В первой ранжировке отмечены скобками группы объектов, имеющих одинаковое качество по переменной X; во второй ранжировке единообразно отмечены объекты, имеющие одинаковое качество по переменной Y.

Далее объектам одинакового качества присваиваем средние ранги (средние арифметические порядковых номеров этих объектов). В результате получим две согласованные последовательности рангов:

ранг xi	1.5	1.5	3.5	3.5	5	6	7.5	7.5	9	10	11	12	13	14
ранг yi	1	3	4.5	7	2	6	10.5	12	10.5	8.5	4.5	4	8.5	13

ранг xi	1.5	1.5	3.5	3.5	5	6	7.5	7.5	9	10	11	12	13	14	Сумма
ранг yi	1	3	4.5	7	2	6	10.5	12	10.5	8.5	4.5	4	8.5	13
di	0.5	-1.5	-1	-3.5	3	0	-3	-4.5	-1.5	1.5	6.5	8	4.5	1
	0.25	2.25	1	12.25	9	0	9	20.25	2.25	2.25	42.25	64	20.25	1	186

В последней строке записаны разности рангов .

Найдем сумму квадратов разностей рангов: = 670,5 и по известной формуле вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

2) Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости б выдвигается гипотеза Н_о об отсутствии ранговой корреляционной связи:



Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента

,

где п - число пар (x_i, y_i) в выборке.

При условии справедливости гипотезы H₀ случайная величина Т имеет известное t -распределение Стьюдента с к = п-2 степенями свободы.

Зная , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:

и число степеней свободы к = п - 2 = 12.

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области находим критическую точку статистики Стьюдента (см. например [4]),

.

Критерий проверки:

Если , то гипотеза H₀ сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует);

Если , то гипотеза Н₀ отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными X и Y).

В нашем случае \Т_набл\ = 2,54> = 2,18, поэтому в соответствие с критерием проверки заключаем, что незначимо отличается от нуля, т.е. ранговая корреляционная связь практически ghbcencndetn.

Задача 6

Динамика удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (, кг/Гкал) на ТЭЦ по городам представлена в таблице. Требуется:

произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

выровнять ряд по прямой - т.е. оценить параметры b_o,b₁ линейного тренда = b₀ + b₁t методом наименьших квадратов;

начертить графики первичного и сглаженных рядов;

на уровне значимости б = 0,05 проверить согласованность линейной
трендовой модели с результатами наблюдений;

методом экстраполяции найти точечные и интервальные (с доверительной вероятностью г = 0,95) оценки прогноза экономического показателя y_t на 2002 и 2003г.г.

	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
	169,6	167,8	169,4	170,0	169,5	169,2	168,5	168,5	168,4

Временным рядом называется последовательность значений (уровней) некоторого экономического показателя y_t, расположенных в порядке возрастания времени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя за одинаковые или через одинаковые промежутки времени.

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемого процесса.

Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявления основной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методом скользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.

1) Метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда, получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд.

Для нашего примера скользящие средние находим по формуле

.

Например, при t = 2

(169,6 +167,8+169,4)168,93.

при t = 3 (167,8 +169,4 +170) 169,07.

По результатам получим сглаженный ряд:

	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
yt	-	168.93	169.07	169.63	169.57	169.07	168.73	168.47	-

2) По статистическим данным найдем оценки и параметров линейного тренда методом наименьших квадратов. Для этого применим известные формулы [1]:

, где

.

Здесь и в дальнейшем t - номер уровня ряда: 1993 г. соответствует номер 1,... 2001 году - номер 9.

Вычисление средних значений организуем в форме расчетной таблицы.

	x	y	x*x	y*y	x*y	Выровненый по прямой ряд
	1	169.6	1	28764.16	169.6	169.34
	2	167.8	4	28156.84	335.6	169.25
	3	169.40	9	28696.36	508.2	169.17
	4	170.00	16	28900	680	169.08
	5	169.5	25	28730.25	847.5	168.99
	6	169.2	36	28628.64	1015.2	168.90
	7	168.5	49	28392.25	1179.5	168.81
	8	168.5	64	28392.25	1348	168.72
	9	168.4	81	28358.56	1515.6	168.64
сумма	45	1520.9	285	257019.3	7599.2
Среднее	5	168.99	31.67	28557.70	844.36

Таким образом, искомые оценки параметров линейного аренда равны:

= 169,43, = -0,09. Уравнение линейного тренда имеет вид:

169,43 - 0,009·t.

3) На рисунке отмечен первичный ряд, скользящая трехлетняя средняя, ряд, выровненный по прямой.

4) Проверка согласованности линейной трендовой модели с результатами наблюдений выполняется как решение задачи проверки статистической гипотезы об отсутствии линейной статистической связи переменных и t на заданном уровне значимости б = 0,05. Для проверки гипотезы используется коэффициент детерминации

и применяется статистика Фишера

с

и к₂ = п - 2 степенями свободы.

В рассматриваемом случае

28557,70 - (168,99)² = 0,4565,

,

Критическое значение статистики Фишера равно

.

Так как , то выдвинутая гипотеза H_о принимается, что свидетельствует о несогласии линейной трендовой модели с результатами наблюдений.

5) По полученному уравнению линейного тренда = 169,43- 0,09 t найдем точечные (индивидуальные) прогнозы показателя на 2002 и 2003 гг.

Для 2002 г. t = 10

Для 2003 г. t = 11

Дать интервальную оценку тренда - значит указать границы интервала, в который попадет возможное значение переменной с заданной доверительной вероятностью г (в нашем примере г = 0,95).

Этот интервал определяется по известным формулам [3]

,

где д - точность прогноза , здесь к = п-2 - число степеней свободы, б = 1-г, ищется по таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней критической области (см., например [4]); в нашем случае б = 1 - 0,95 = 0,05; к = 9-2 = 7; 2,36. (Можно воспользоваться так же таблицами [3]). - исправленное среднеквадратическое отклонение (С.К.О.) индивидуальных значений зависимой переменной

_.

Из этой формулы видно, чем больше , тем меньше точность прогноза. S - исправленное С.К.О. ошибок линейной регрессии

.

Вычисление доверительных интервалов прогнозов организуем в виде таблицы

t	yt
1	169.6	169.34	0.26	0.066449
2	167.8	169.25	-1.45	2.113793
3	169.40	169.17	0.23	0.054964
4	170.00	169.08	0.92	0.851519
5	169.5	168.99	0.51	0.261235
6	169.2	168.90	0.30	0.089667
7	168.5	168.81	-0.31	0.097483
8	168.5	168.72	-0.22	0.050126
9	168.4	168.64	-0.24	0.055486
	-	-	-	3,64

.

.



Дальнейшие вычисления проводим отдельно для t = 10 (2002 г.) и t = 11 (2003 г.)

Для t = 10

.

,

168,55-2,14<<168,55+2,14.

Итак, с вероятностью г = 0,95, удельный расход условного топлива в 2002 г. будет принадлежать интервалу (кг/Гкал)

166,41 << 170,69.

Аналогично для 2003 г. t = 11, получим

.

,

168,46-2,26<<168,46+2,26. 166,20<<170,72, г = 0,95.

Размещено на Allbest.ru

...