Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание №1

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться x_i денежных средств. При этом фиксировалось число продаж y_i. Предполагая, что для данного случая количество продаж X пропорционально расходам на рекламу Y, необходимо:

1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей X и Y.

2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной y = ax + b.

3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятностью p=0,95 проверить его значимость.

4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.

5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Расходы на рекламу xi, млн. р.
0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
Количество продаж yi, тыс. ед.
17,4	18,6	18	21,3	21,3	24,4	24,1	27,2	27	28,7

Решение:

Для решения задачи воспользуемся возможностями Excel, вводим исходные данные в таблицу (рис. 1).



Рис. 1. Исходные данные на листе Excel

Для решения задачи с помощью мастера функций находим x², x*y, y², а так же суммы и средние значения всех столбцов. Средние значения соответственно определяют: x, y, x², x*y, y².

Необходимо рассчитать параметры a и b, для этого используем формулы:

(1)

После чего находим линейное уравнение (рис. 2).



Рис. 2. Нахождение регрессии

Дополним таблицу одним столбцом, в котором рассчитаем y_p(рис. 3), используя формулу:

y_ip = 16,85 + 2,64*x_i; (2)

Рис. 3. Нахождение расчетного значения y_ip

Значение коэффициента a свидетельствует о том, что при изменении расходов на рекламу на 0,5 млн. руб., количество продаж возрастет на 2,64 единицы.

Находим парный коэффициент линейной корреляции по формуле (Рис. 4):

; (3)

Где _x, _y - среднеквадратические отклонения x и y, вычисляемые по формулам:

(4)

Рис. 4. Парный коэффициент линейной корреляции

Полученная величина r_xy (0,98) говорит о наличии очень тесной прямой зависимости между показателями X и Y.

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

R=r²; (5)

Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что 96% вариации количества продаж объясняется изменчивостью расходов на рекламу.

Проверим значимость коэффициента r_xy с доверительной вероятностью p=0,95.

Формула для расчета статистики критерия:

; (6)

Для уровня значимости a=1-0,95=0,05 и числа степеней свободы k=10-2=8 находим с помощью статической функции Excel СТЬЮДРАСПОБР() критическое значение статистики t_0.05;8.

Так как t>t_0.05;8, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (рис. 5).

Рис. 5. Расчет статистики критерия

Оценим статистическую значимость параметров линейного уравнения парной регрессии с помощью критерия Стьюдента, для этого нейдем t-статистики по формулам:

(7)

Где _b=S_ост/(_x*n^0.5) - среднеквадратическое отклонение параметра b; - среднеквадратическое отклонение параметра a.

Стандартная ошибка регрессии S_ост определяется по формуле:

(8)

Таблицу дополняем столбцом, где рассчитываем , в итоговой строке найдем сумму квадратов разностей, а в строке «Среднее значение» эту сумму поделим на n-2 (рис. 6).



Рис. 6. Таблица для расчета S_ост

Тогда .

После этого вводим формулы для расчета случайных ошибок параметров:

(9)

Определим t_a=16.85/17.79=0.95, t_b=2.64/6.65=0.4 (рис. 7).

Рис. 7. Таблица для расчета случайных ошибок параметров модели

Так как F_расч > F (0,05; 2-1; 12-2), то делаем вывод о значимости уравнения регрессии.

Оценим точность модели. Для этого рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

(10)

Для этого дополним таблицу столбцом со значениями (рис. 8).

Рис. 8. Таблица для оценки точности модели

Тогда А=0,032*100%=3.2%. Средняя ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 3,2%.

Для определения среднего коэффициента эластичности воспользуемся формулой:

Э=b*(x/y) (11)

Э=2,64*(2.25/22.8)=0,26, при увеличении расходов на рекламу на 1%, количество продаж увеличивается на 0,26%.

Построим графики по фактическим данным y_i и расчетным значениям y_ip (рис. 9)_.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим ошибку для каждого показателя:

(12)

Доверительные интервалы:

(13)

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит , тогда прогнозное значение результата будет:

Рис. 9. График зависимости по расчетным значениям

Задание №2

Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания z_i., тыс. р. от месячного дохода на одного члена семьи x_i, тыс. р. и от размера семью y_i, чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии .

2. Найти парные коэффициенты корреляции .

3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.

4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость.

линейный регрессия дисперсия среднеквадратический

Значение факторов xi и yi
xi	2	3	4	2	3	4	3	4	5	3	4	5	2	3	4
yi	1	1	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	5	5	5
Значение фактора zi
	3,3	3,5	3,9	3,8	4,0	4,6	5,1	5,6	5,6	6,0	6,1	6,6	6,7	7,1	7,4

Решение:

Согласно МНК параметры регрессии уравнения находятся по формуле

(20)

Где

матрица значений объясняющих переменных;

- матрица столбец значений зависимой переменной;

- матрица-столбец параметров линейного уравнения регрессии

В нашем случае

Матрица X^TX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:

(21)

Для заполнения данной матрицы использовали таблицу в excel, заполненную заранее (рис. 12).

Рис. 12. Ввод исходных данных

Обозначим через B=X^TX. Тогда матрица B^-1 определяется по формуле

(22)

Где - определитель матрицы B, - матрица составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы B. - транспонированная матрица к матрице .

Получаем:

= 15•(187•165-156²) - 51•(51•165-45•156)+45•(51•156-45•187)=5985

Таким образом, матрица имеет вид:

 (23)

а матрица примет вид:

(24)

Для матрицы B^-1 получаем:

(25)

отсюда матрица

Эту матрицу получили, дополнив таблицу исходных значений некоторыми столбцами (рис. 13).



Рис. 13. Вспомогательная таблица

Окончательно для матрицы А получаем:

(26)

Следовательно:

c=1,69

a=0,29

b=0,883

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

(27)

Рассчитаем парные коэффициенты корреляции

(28)

- «исправленные» среднеквадратические отклонения величин x, y и z.

Для этого дополним таблицу решений еще несколькими столбцами (рис. 14).

Рис. 14. Расчет парных коэффициентов корреляции

По этим данным находим:

(29)

(30)

Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

(31)

Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью p=0,95, т.е. на уровне значимость б=1-p=0,05.

Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:

(32)

Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:

(33)

По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики при б=1-p=0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: t_кр=2,16.

Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции r_yz, т.к. для него .

Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизированные Я-коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:

(34)

Индекс множественной корреляции:

(35)

Задание №3

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1. Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью .

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную модель временного ряда.

Стоимость акции по месяцам (руб.)
48,2	48,4	50,1	53,8	52,8	54,4	59,4	58,1	58,5	64,5	63,4	64,3

Решение:

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:

 (36)

Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц (рис. 15).

Рис. 15. Коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц

Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещение на два месяца (рис. 16).



Рис. 16. Коэффициент автокорреляции со смещением на 2 месяца

Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца (рис. 17).

Рис. 17. Коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца



Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяца Рис. 18).

Рис. 18. Коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяца

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции, ее принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q-критерия Бокса-Пирса.

Построим доверительный интервал коэффициента автокорреляции по формуле:

 (36)

Где n - число пар наблюдений временного ряда

Для r₁ (объем выборки составляет: n-1=12-1=11):

Для r₂ (объем выборки составляет: n-2=12-2=10)

Для r₃ (объем выборки составляет: n-3=12-3=9)

Для r₄ (объем выборки составляет: n-4=12-4=8)

Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции (r₁=0,903; r₂=0,856; r₃=0,99; r₄=0,862) не попадают в рассчитанные доверительные интервалы. Тогда делаем вывод, что данные наблюдения показывают наличие автокорреляции 1,2,3,4 порядков.

Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.

Для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы k=4 находим по таблице критических точек распределения ч², ч²_кр=(б=0,05; k=4)=9,5.

Так как Q_н> ч²_кр, то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m=4, считается значимой.

Построим коррелограмму для исходного временного ряда (рис. 19).



Рис. 19. График автокорреляционной функции r(k)

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции (рис. 20).

Рис. 20. График наблюдаемых значений исходного временного ряда

На рисунке 20 по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.

Высокие значения коэффициентов автокорреляции 1,2,3 порядков, а также значимость всей группы коэффициентов автокорреляции, свидетельствуют, о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции 3 порядка свидетельствуют о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

Рассчитаем компоненты выбранной модели:

1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней

2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней. Используем эти значения для оценки сезонной компоненты S (рис. 22). Для этого найдем средние за каждый месяц по всем кварталам оценки сезонной компоненты S₁ (рис. 21).

Рис. 21. Скользящие средние

Рис. 22. Значение сезонной компоненты S

Для данной модели получаем 2,011-0,65-1,222=0,139

Корректирующий коэффициент определится по формуле:

ѓ== 0,139/3= 0,046 (37)

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом ѓ:

ѓ, i=1,2,3 (38)

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты S₁+S₂+S₃=0

1,965-0,696-1,268?0

Окончательно для сезонной компоненты получены следующие значения:

за 1 месяц S₁=1,965;

за 2 месяц S₂=-0,696;

за 3 месяц S₃=-1,268;

Полученные данные заносим в таблицу для соответствующих месяцев года (рис. 22) и элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда.

Рис. 22. Расчетные данные задачи

Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда.

Для удобства обозначим ряд (T+E) как W (W=T+E).

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид:

(39)

Согласно МНК параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений:

(40)

Вычислим необходимые данные (рис. 23).

Рис. 23. Параметры модели линейного тренда

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Линейная модель тенденции временного ряда имеет вид:

(41)

Подставив в это уравнение значения t=1,2,3,…, 12, получим выровненные для каждого момента времени (рис. 24).

Рис. 24. Конечные параметры линейного тренда

Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев (рис. 25).



Рис. 25. Конечные расчетные задачи

Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 2,7.

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, которая равна 387,9.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину

1 - (2,7/387,9)=0,993 или 99,3%

Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняется 99,3% общей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.

Список литературы

1. Айвазян С.А., Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пос. для вузов. - М.: Маркет ДС, 2007 - 104 с.

2. Бородич С.А. Эконометрика: учеб. пос. для вузов. - 2 - е изд., испр. - Минск: Новое знание, 2004. - 416 с.

3. Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие - М.:Финансы и статистика, 2008 - 480 с.

4. Колемаев В.А. Эконометрика: учебник для вузов. - М.: ИНФРА - М, 2007. - 160 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 544 с.

6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2007. - 311 с.

7. Новиков А.И. Эконометрика: учеб. пос. для вузов. - 2 - е изд., испр. и доп. - М.: ИНФРА - М, 2007. - 144 с.

8. Практикум по эконометрике: учеб. пос. для вузов/ под ред. И.И. Елисеевой. - 2 - е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 344 с. - (+CD).

9. Эконометрика: учебник для вузов/ под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2009. - 288 с.

10. Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику: учеб. пос. для вузов. - 2 - е изд., доп. - М.: Кнорус, 2007. - 256 с.

Размещено на Allbest.ru

...