Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• неопределенность прогнозирование экономический
• Введение
• Глава 1. Неопределенность и современные методы прогнозирования экономических показателей
• 1.1 Виды неопределенности
• 1.2 Нелинейные методы прогнозирования неопределенности
• 1.2.1 ARIMA и ARCH/GARCH
• 1.2.2 Искусственные нейронные сети
• 1.3 Прочие методы прогнозирования
• 1.3.1 «Долгая память»
• 1.3.2 Метод Хольта
• 1.3.3 CEWMA
• Глава 2. Комбинирование различных методов прогнозирования
• 2.1 Методы комбинирования прогнозных моделей
• 2.1.1 Метод AFTER
• 2.1.2 Метод, основанный на минимизации критерия leave-h-out кросс оценки
• 2.2 Задания весов с помощью компьютерных программ
• Глава 3. Практические результаты
• 3.1 Обзор рынка серебра
• 3.2 Построение прогнозов с помощью линейных методов
• 3.2.1 Метод CEWMA
• 3.2.2 Метод Хольта-Уинтерса
• 3.2.3 Метод SARIMA
• 3.3 Построение прогнозов с помощью нелинейных методов прогнозирования
• 3.3.1 Метод GARCH
• 3.3.2 Метод ANN
• 3.4 Комбинирование прогнозов
• Заключение
• Список используемой литературы
• Приложения


ВВЕДЕНИЕ

Человеческая жизнь и деятельность протекает в условиях, зачастую трудно поддающихся предсказаниям и прогнозированию, поскольку в мире существует огромное количество как внешних, так и внутренних факторов, и все их учесть при планировании просто физически невозможно. Проблема, связанная с прогнозированием каких-либо данных заключается в изменчивости видов тенденций и неопределенности будущего поведения данных (которое может отличаться от сегодняшнего). Хотя некоторые модели прогнозирования помогают в той или иной мере решить подобную проблему, все равно зачастую полученные результаты расходятся с реальностью. Чтобы уменьшить риск получения неправильного прогноза, было предложено комбинировать различные прогнозные методы, так чтобы они учитывали недостатки друг друга, ведь одни методы прогнозирования, например, хорошо улавливают тенденции в рядах данных, а другие могут выдавать более точные прогнозы, несмотря на худшую аппроксимацию.

Темой данной выпускной квалификационной работы является получение прогноза по ценам на серебро путем комбинирования разных моделей прогнозирования. Актуальность данной темы заключается в том, что комбинирование прогнозов это достаточно новая тенденция в сфере прогнозирования, которая имеет большой практический потенциал. От того, насколько правильно скомбинированы те или иные методы, может сильно зависеть итоговый прогноз, а следовательно и прибыль фирмы или же, наоборот, убыток, получаемый от принятия тех или других решений. Поскольку идея о комбинировании прогнозов относительно новая, то она еще не совсем хорошо изучена. Несмотря на то, что существует несколько методов комбинирования прогнозов, ни один из них не является идеальным и обладает теми или иными недостатками. В связи с этим, остается еще множество вопросов, над которыми можно продолжать проводить исследования в попытках разработать такой метод комбинирования, который был бы больше приближен к реальности, имел меньше негативных сторон, а заодно позволял бы прогнозировать в условиях высокой неопределенности.

Таким образом, объектом данной работы являются различные методы получения прогнозных значений, а предметом исследования - способ комбинирования получившихся прогнозов.

Целью выпускной квалификационной работы является получение достоверного прогноза цен на серебро путем объединения нескольких моделей и задания весов полученным прогнозам.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

· Рассмотреть понятие и виды неопределенности;

· Рассмотреть различные способы прогнозирования данных, такие как ARIMA, ARCH, CEWMA, метод Хольта, модели «долгой памяти» и искусственные нейронные сети;

· Рассмотреть алгоритмы комбинирования прогнозов;

· Получить прогнозы по обозначенным выше методам, выбрать способ задания весов, получить прогноз по комбинированному методу и сравнить результаты с полученными с помощью прогнозирования по каждой модели по отдельности.

Для полного и всестороннего рассмотрения темы работы, будут использованы научные методы исследования, в частности метод изучения и анализа научной литературы.

При выполнении данной работы было использовано несколько информационных ресурсов. В качестве основных источников в этой выпускной квалификационной работе выступают следующие статьи: Gardner S.E, Jr «Exponential Smoothing: The state of the Art», Gooijer J., Hyndman R. «25 years of time series forecasting», Hill T., Marquez L., O'Connor M., Remus W. «Artificial neural network models for forecasting and decision making», Makridakis S., Hogarth R., Gaba A. «Forecasting and uncertainty in the economic and business world», Zou H., Yang Y. «Combining time series models for forecasting», Poom H. «Long memory volatility models», Reider R. «Volatility Forecasting I: GARCH Models», Светуньков И.С. «Самообучающаяся модель краткосрочного прогнозирования социально-экономической динамики»



ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Действительность показывает, что зачастую прогнозы выдают результаты, значительно отличающиеся от надвигающейся реальности, как в худшую, так и в лучшую для кого-то сторону. Например, в 2008 году накануне возникновения мирового финансового кризиса ведущие агентства и аналитики не предсказывали столь масштабной катастрофы на финансовом рынке. Наоборот, их прогнозы были вполне оптимистичными. Также существует и немало других примеров ситуаций, когда все шло не так, как прогнозировалось. По мнению Макридакиса, проблема всех этих прогнозов заключалась в том, что они неправильно формулировались. Ведь при составлении того или иного сценария развития событий необходимо также указывать условия, при которых данный сценарий сможет воплотиться в жизнь.

1.1 Виды неопределенности

Для того, чтобы понять, какие события мы можем прогнозировать, а какие не подвластны этой процедуре, необходимо ввести классификацию видов неопределенности. Макридакис выделяет следующие два вида:

· Subway uncertainty (неопределенность «метро»), которая представляет собой неопределенность, связанную с событиями, легко поддающимися моделированию (например, время ожидания поезда на станции метро).

· Coconut uncertainty (неопределенность «кокос»), относящуюся к событиям, предсказать и смоделировать которые нельзя (например, падение сосульки на голову прохожему). Под такой вид неопределенности попадают редкие события с критическими последствиями.

Однако стоит заметить, что большинство событий представляют собой смесь этих двух видов неопределенности. Чтобы определить, какие события относятся к какому типу неопределенности, изначально необходимо понять различия между «известными известными» (known knowns), «известными неизвестными» (known unknowns) и «неизвестными неизвестными» (unknown unknowns) данными. Эти различия показаны на рис. 1.1. Makridakis S., Hogarth R., Gaba A. Forecasting and uncertainty in the economic and business world//International Journal of forecasting. 2009. Vol. 25. P. 794-812.

Помимо перечисленных выше видов, выделяют также и другие типы неопределенности:

- по времени возникновения неопределенность бывает ретроспективной, текущей и перспективной. Фактор времени важно учитывать, поскольку затраты и выигрыши могут быть распределены во времени, изменяя в итоге эффект от информации, которой мы обладаем.

- по факторам возникновения неопределенность может быть экономической и политической (зачастую отделить один вид от другого достаточно трудно). Но к экономической неопределенности относятся различные положительные или же отрицательные изменения в экономической сфере деятельности. В качестве примера можно привести не очень сильную предсказуемость рыночных цен или недостаток информации о конкурентах. Что касается политической неопределенности, то на нее влияет изменение в политике государства, что в свою очередь может иметь какой-нибудь эффект и на бизнес.

Также не стоит забывать о неопределенности, которая включает в себя природные условия, климат, метеоритные дожди, апокалипсисы и пр. Помимо этого, с точки зрения предприятия неопределенность может касаться внутренней (обусловленной самим предприятием) или внешней среды (носящей более общий характер). Шапкин А.С. Система неопределенностей [Электронный ресурс]// Экономические и финансовые риски: оценка, управление, портфель инвестиций: [сайт]. URL: http://yourforexschool.com/book/304-yekonomicheskie-i-finansovye-riski-ocenka-upravlenie-portfel-investicij/7-113-sistema-neopredelennostej.html (дата обращения: 17.05.2012)

Возможно, существует еще более подробная классификация видов неопределенности, но уже из приведенной выше информации понятно, что любая неопределенность сильно усложняет анализ данных и прогнозирование будущих результатов. Поэтому зачастую для упрощения анализа и получения хоть как-то определенных выводов предположение об изменчивости мира опускают и работают с детерминированными моделями. Однако подобный подход не позволяет принимать правильные решения особенно на рынках с высокой волатильностью и эффективно управлять рисками. Для решения подобной проблемы был разработан ряд методов, которые в той или иной мере учитывают в себе неопределенность.

1.2 Нелинейные методы прогнозирования неопределенности

1.2.1 ARIMA и ARCH/GARCH

Прежде чем переходить к более сложным методам прогнозирования, надо коротко описать базовые модели. В рамках данной работы, нас, прежде всего, интересует такой метод, как ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average). Несмотря на то, что данная модель относится к классу линейных методов, она в равной степени хорошо описывает стационарные и нестационарные временные ряды. Кроме того, в данной модели не используются независимые переменные, что означает использование для прогнозирования только информации, заложенной в самих данных.

Авторегрессионная модель (AR) порядка p имеет следующий вид:

, (1.1)

где:

- зависимая переменная в момент времени t;

- оцениваемые коэффициенты;

- ошибка, описывающая влияния переменных, которые не учитываются в модели.

Модель скользящего среднего (MA) порядка q описывается следующим образом:

, (1.2)

где:

- зависимая переменная в момент времени t;

- постоянное среднее процесса;

- ошибка в момент времени t;

…, - оцениваемые коэффициенты. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А. Дж. Метод Бокса-Дженкинса (ARIMA)// Бизнес-прогнозирование, 7-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. C.453-544.

Некоторые нестационарные временные ряды можно привести к стационарным, используя оператор последовательной разности. Допустим, что есть временной ряд , к которому раз применили данный оператор, после чего ряд стал стационарным и удовлетворяющим условиям модели ARMA (p,q). Модель авторегресии и скользящего среднего будет иметь вид

, ,

где и - полиномы от оператора сдвига. В таком случае будет назваться интегрированным процессом авторегресии и скользящего среднего или ARIMA (p,d,q). Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Модели Бокса-Дженкинса (ARIMA)// Эконометрика. Начальный курс: учебник. - 7-е изд., испр. - М.:Дело, 2005. C.253-275.

Данная модель позволяет строить весьма точные прогнозы с небольшой дальностью прогнозирования. Она также достаточно гибкая и может подойти для описания различных временных рядов. К тому же, модели ARIMA просто проверяются на их адекватность. Однако к минусам этого метода можно отнести потребность в большом количестве исходных данных и отсутствие простого способа корректировки параметров модели.

Кроме того, в случае если в ряде данных присутствует сезонность, то модель ARIMA можно модифицировать в метод SARIMA, который в общем виде выглядит следующим образом: SARIMA(p,d,q)X(P,D,Q)_s, где p - порядок AR, d - параметр разницы, q - порядок MA, P - порядок SAR, D - параметр сезонной разницы, Q - порядок SMA и s - лаг сезонности. Если выражать все это математически, то формула выглядит так:

, (1.3)

где:

- функция SAR(P),

- функция AR(p),

- оператор разностей d для ARIMA,

- оператор сезонных разностей D,

- функция SMA(Q),

- функция простой MA(q).

Однако, если в ряде данных присутствует гетероскедастичность, то использовать данные методы будет уже некорректно. Стандартные модели типа ARMA не улавливают необычную волатильность в данных, так как в таких моделях условная вариация постоянна. Для решения подобной проблемы, связанной с учетом случайных выбросов в значениях доходности различных финансовых инструментов, можно использовать методы ARCH/GARCH.

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) представляет собой модель авторегрессии условной гетероскедастичности. В таких моделях условная вариация имеет структуру, схожую со структурой условных ожиданий в моделях авторегрессии. Для начала имеет смысл рассмотреть наипростейшую форму модели ARCH (1), в которой волатильность следующего периода зависит от информации, полученной в текущем периоде. Главной задачей данной модели было понять, как информация, использующаяся для прогнозирования математического ожидания и дисперсии ошибок, зависит от информации прошлых периодов.

Если рентабельность активов представляет собой, где - последовательность нормально распределенных случайных величин, тогда остаточные ошибки во времени t, , определяются как . Волатильность в таком случае для ARCH(1) будет представлять собой следующее выражение:

, (1.4)

где >0 и обеспечивают положительную вариацию, а отвечает за стационарность. Reider R. Volatility Forecasting I: GARCH Models [Electronic resource]// New York University Courant Institute of Mathematical Sciences: [website]. URL: http://cims.nyu.edu/~almgren/timeseries/Vol_Forecast1.pdf (дата обращения17.05.2012) Если остаточная ошибка обладает необычно большим абсолютным значением, то прогноз условной волатильности на следующий период, , будет больше обычного, и также будет обладать необычно большой магнитудой. Из-за подобного поведения необычная волатильность в имеет тенденцию к сохранению, хоть и не навсегда. Условная вариация склонна возвращаться к безусловной дисперсии, которая обеспечивает выполнение условия , превращая процесс в стационарный с конечной вариацией. К свойствам данной модели можно отнести нелинейную вариацию и линейное математическое ожидание:

и . Ruppert D. GARCH Models// Statistics and Data Analysis for Financial Engeneering [Electronic resource]// University of Washington: [website]. URL: http://faculty.washington.edu/ezivot/econ589/ch18-garch.pdf (дата обращения17.05.2012)

Преимущества данного метода заключаются в том, что модели вида ARCH достаточно легко строить, они учитывают кластерные ошибки, нелинейность и изменения в эконометрической способности к прогнозированию (в работе Engle (1982) было замечено, что мощность прогноза меняется от одного периода к другому). Perrelli R. Introduction to ARCH&GARCH models [Electronic resource]// Univeristy of Illinois: [website]. URL: http://www.econ.uiuc.edu/~econ472/ARCH.pdf (дата обращения17.05.2012)

Что касается метода GARCH, который представляет собой обобщенную разновидность ARCH модели (Generalized ARCH), то его разработал T. Bollerslev в 1986 году, и по своей идее модель напоминает ARMA метод. Она является моделью средневзвешенных прошлых квадратов остатков, но обладает уменьшающимися весами, которые никогда не достигают нуля. Данная форма метода позволяет достаточно успешно прогнозировать условную вариацию. В наиболее простой модификации модели GARCH(1,1) предполагается, что лучшим предсказателем вариации следующего периода является взвешенное среднее значение долгосрочной средней вариации (иными словами безусловной вариации), вариация, предсказанная на текущий период, и новая информация в текущем периоде, которая улавливается наиболее недавними квадратами остатков. Engle R. GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in Applied Econometrics//Journal of Economic Perspectives. 2001. Vol.15. P. 157-186. В модели GARCH вариация описывается выражением , где веса , , и . Это означает, что прогноз вариации на следующий период представляет собой смесь из прогноза на прошлый период и квадратных остатков прошлого периода. Безусловная вариация описывается формулой:

. Reider R. Volatility Forecasting I: GARCH Models [Electronic resource]// New York University Courant Institute of Mathematical Sciences: [website]. URL: http://cims.nyu.edu/~almgren/timeseries/Vol_Forecast1.pdf (дата обращения17.05.2012)

В модели GARCH (1,1) первое число относится к количеству авторегрессионных лагов (или условий ARCH), которые используются в уравнении, в то время как второе число описывает количество лагов скользящего среднего, которые в свою очередь зачастую называются условиями GARCH.

Помимо обозначенных выше моделей вида ARCH/GARCH существует также немало их расширений и модификаций. Например, GARCH(1,1) может быть приведена к общему виду GARCH(p,q), модели с дополнительными лагами. Такого рода спецификация метода полезна, когда используются долгосрочные данные (дневные данные за несколько десятилетий).

К недостаткам моделей ARCH/GARCH можно отнести тот факт, что они игнорируют информацию о направлении ошибок. Однако на практике было показано, что направление влияет на волатильность. Чтобы учесть данный факт были разработаны асимметрические модели GARCH, как то модель EGARCH (Nelson,1991) и TARCH (пороговая модель ARCH) Engle R. GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in Applied Econometrics//Journal of Economic Perspectives. 2001. Vol.15. P. 157-186.. Однако, все вышеперечисленные методы из семейства методов ARCH работают только в условиях гетероскедастичности.

1.2.2 Искусственные нейронные сети

Искусственные нейронные сети (в дальнейшем ANN от artificial neural networks) представляют собой метод, который может легко моделировать любой тип параметрических или непараметрических процессов и автоматически и оптимально трансформировать входящие данные. Система обработки информации в данном методе состоит из большого числа тесно связанных процессорных элементов (нейронов), функционирующих вместе для решения специфичных проблем. ANN являются универсальной функцией аппроксимации любого рода данных. Hill T., Marquez L., O'Connor M., Remus W. Artificial neural network models for forecasting and decision making// International Journal of Forecasting. 1994. Vol.10. P.5-15. Также модель может оценивать нелинейные функции и извлекать любые остаточные нелинейные элементы из данных после того, как линейные члены будут удалены. Вдобавок к этому, ANN позволяют определять тренды, которые слишком сложны, чтобы быть замеченными человеком или другими программами. К прочим преимуществам метода можно отнести:

1. Возможность адаптивного обучения (модель узнает, как выполнять определенные задания на основе данных, используемых при обучении и первоначальном опыте);

2. Возможность самоорганизации (модель создает собственную организацию на основе информации, получаемой в процессе обучения);

3. Работа в реальном времени (вычисления в данном методе могут осуществляться параллельно). Stergiou C., Siganos D. Neural Networks [Electronic resource]// Neural Networks: [website]. URL: http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/cs11/report.html (дата обращения17.05.2012)

Данный метод был создан по принципу действия биологических нейронов. Такие искусственные нейронные сети обладают входящими данными (как и биологические нейроны обладают дендритами) и исходящими данными (как биологические нейроны - аксонами). Кроме этого искусственные нейроны имеют некоторые предрасположенности, которые влияют на силу исходящих данных. Принцип обучения в данных моделях изменяет силу связи между нейронами и предположениями.

Математически нейронные сети могут быть описаны следующим образом: нейронный входящий путь (входящие данные) обладает сигналом , а сила пути характеризуется весом . Нейрон моделируется как сумма взвешенных сигналов входящих данных с добавлением узла смещения . Количество узлов соответствует числу переменных, которые надо спрогнозировать. Исходящие данные обычно представляют собой сигмовидную логистическую функцию последней суммы:

, где .

Процесс обучения возникает при корректировке весов и узла смещения. Чаще всего для этих целей используют метод, который называется обратным распределением ошибки. В этом методе веса корректируются для минимизации квадрата разности между модельными исходящими данными и желаемыми исходящими данными. Квадратная ошибка затем распространяется назад по сети и используется для корректировки весов и смещений. Ошибка описывается формулой:

, (1.5)

где:

c -индекс по набору данных, используемых для оценки сети,

j - индекс по исходящим элементам сети,

y - фактическое состояние исходящих элементов для данного набора входящих данных,

d - желаемое состояние исходящих элементов для данного набора входных данных.

Помимо слоев с входящими и исходящими данными, искусственные нейронные сети могут содержать от 1 и более промежуточных слоев (так называемых скрытых слоев). Каждый слой состоит из искусственных нейронов, которые соединены с другими нейронами в близлежащих слоях. Так как эти сети содержат много взаимодействующих нелинейных нейронов в множественных слоях, то они могут улавливать относительно сложное поведение данных. Hill T., Marquez L., O'Connor M., Remus W. Artificial neural network models for forecasting and decision making// International Journal of Forecasting. 1994. Vol.10. P.5-15. Схема нейронной сети будет выглядеть следующим образом (см рис.1.2.):

Рис.1.2. Простая нейронная сеть Stergiou C., Siganos D. Neural Networks [Electronic resource]// Neural Networks: [website]. URL: http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/cs11/report.html (дата обращения17.05.2012)

К практическим проблемам, связанным с методом ANN, относятся:

1. Динамичное развитие нейронных сетей, поскольку все время появляется что-то новое и происходит улучшение предыдущих техник прогнозирования с использованием нейронных сетей;

2. Большая интенсивность использования компьютеров и программного обеспечения при работе с подобными моделями;

3. Сложность интерпретации структуры модели. Hill T., Marquez L., O'Connor M., Remus W. Artificial neural network models for forecasting and decision making// International Journal of Forecasting. 1994. Vol.10. P.5-15.

Поскольку искусственные нейронные сети лучше всего подходят для определения моделей поведения и трендов в данных, то они особенно хорошо подходят для:

· прогнозирования продаж,

· управления производственным процессом,

· исследования клиентов,

· проверки достоверности данных,

· управления рисками,

· целевого маркетинга. Stergiou C., Siganos D. Neural Networks [Electronic resource]// Neural Networks: [website]. URL: http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/cs11/report.html (дата обращения17.05.2012)

1.3 Прочие методы прогнозирования

1.3.1 «Долгая память»

Так как иногда ряд процессов ARIMA не может быть смоделирован целым числом d, а характер ACF в таком случае соответствует скорее какому-то промежуточному d между 0 и 1, были предложены модели с «долгой памятью». В таких моделях параметр интеграции d является дробным числом или превышает 0, а сам процесс испытывает эффект долгой памяти в том плане, что наблюдения на длительном промежутке времени имеют определенную зависимость. В рядах данных с долгой памятью коэффициенты автокорреляции убывают с гиперболической скоростью. Poom H. Long memory volatility models [Electronic resource]// Manchester Business School: [website]. URL: https://phps.portals.mbs.ac.uk/Portals/49/docs/spoon/LM.pdf (дата обращения17.05.2012) Например, допустим, что - дискретный процесс с автокорреляционным коэффициентом лага j, то тогда процесс содержит «долгую память», если выполняется условие:

(1.6)

Таким образом, долгая память подразумевает, что процесс содержит много временных зависимостей. Lildholdt P. Long memory and ARFIMA modeling [Electronic resource]// Aarhus University: [website]. URL: http://mit.econ.au.dk/vip_htm/plildholdt/Master%20thesis.pdf (дата обращения17.05.2012)

К моделям, содержащим в себе «долгую память» можно отнести, например, модели ARFIMA (AutoRegressive Fractionally Integrated Moving Average) Gooijer J., Hyndman R. 25 years of time series forecasting// International Journal of Forecasting. 2006. Vol. 22. P. 443-473. и ARARMA.

Модель ARARMA основана на концепции памяти, определенной Parzen в 1981 году. Он предложил, что первым шагом в моделировании должна являться классификация рядов данных по трем видам памяти: отсутствие памяти (белый шум), короткая память (стационарные ряды) и долгая память (нестационарные ряды). Основная идея прогнозирования рядов данных, содержащих в себе третий вид памяти, заключается в приведении их к стационарному виду.

Для того, чтобы определить какой вид памяти содержится в определенном ряде данных, необходимо рассмотреть линейную трансформацию временных рядов

, где:

(1.7)

В таком случае, для рядов без памяти все значения удовлетворяют правилу:

, (1.8)

А для рядов с длинной памятью некоторые значения удовлетворяют правилу: .

По мнению Parzen, короткую память можно описать моделью ARMA, а длинную - AR (отсюда и название метода). Parzen E. ARARMA Models for Time Series Analysis and Forecasting//Journal of Forecasting. 1982. Vol.1. P.67-82. Идея модели заключается в процессе трансформации из в . Методика построения ARARMA может быть описана следующим образом:

1. Сначала стоит выбрать одну из нескольких моделей AR(1), AR(2) либо модели высоких лагов вида: ;

2. Далее следует оценить выбранную AR модель для описания нестационарности в ряде данных (на основе коррелограммы ряда данных), после чего надо выбрать лучшую для описания модель, используя информационные критерии AIC или CAT.

3. Затем надо рассчитать остатки модели: ,

Если выполняется условие, что - нормально распределена, то модель «фильтра» выбрана правильно. То есть, следует выбирать ту спецификацию AR, у которой распределение остатков наиболее приближено к нормальному.

4. Далее строится модель AR, и на ее основе рассчитываются прогнозные значения. Кроме того на этом шаге необходимо сгенерировать новый ряд на основе остатков выбранной AR модели для определения вида модели ARMA, которую можно было бы использовать в дальнейшем.

5. Дальнейшим шагом будет определение вида модели ARMA по стационарному процессу (в этом случае остатки также должны быть нормально распределены).

6. Затем надо, как и в случае с AR процессом, получить расчетные и прогнозные значения.

7. В итоге надо будет сгенерировать два новых ряда, один из которых представляет собой сумму расчетных значений, полученных с помощью AR и ARMA, а другой - сумму прогнозов. После объединения этих двух рядов в один, мы получим ряд данных, который описывает реальные значения и выдает также прогноз на будущее.

Кроме того, для прогнозирования рядов с долгой памятью часто используется модель ARFIMA. Данный метод является обобщением модели ARIMA, в которой параметр d, отвечающий за степень интеграции, может быть дробным числом. Granger и Joyeux (1980) и Hosking (1981) независимо друг от друга разработали данный метод. Дробное значение параметра разницы d может вызвать некоторые затруднения в понимании данного метода, поэтому здесь стоит остановиться более подробно. Для начала определим лаговый оператор B, для которого верно следующее: . Далее стоит определить оператор разницы , то есть . Случайное блуждание имеет параметр d=1 и может быть записано как , то есть первая разница для ряда данных является белым шумом. Аналогично, , где и есть оператор интеграции. Poom H. Long memory volatility models [Electronic resource]// Manchester Business School: [website]. URL: https://phps.portals.mbs.ac.uk/Portals/49/docs/spoon/LM.pdf (дата обращения17.05.2012)

Модель ARFIMA (p,d,q) определяется как:

, (1.9)

где:

параметр d принадлежит промежутку (-0,5;0,5),

имеет порядок p,

- порядок q соответственно со всеми их корнями вне единичного круга. Aladag C., Egrioglu E., Kadilar C. Improvement in Forecasting Accuracy Using the Hybrid Model of ARFIMA and Feed Forward Neural Network [Electronic resource] // Scientific and Academic Publishing: [website]. URL: http://article.sapub.org/10.5923.j.ajis.20120202.02.html#Sec2 (дата обращения17.05.2012)

Для различных значений d выполняется следующее:

· Если d не принадлежит промежутку (-0,5;0,5), то процесс является либо стационарным, либо обратимым, но может быть суммирован или дифференцирован конечное целое число раз, до тех пор пока d не попадет в желаемый интервал.

· Если , то процесс не обладает стационарной ковариацией, но возвращает значения среднего в том плане, что эффект шоков затихает, хотя и достаточно медленно.

· Если d=0, то мы имеем дело с обычной моделью ARMA.

· Если , то значения автокорреляции отрицательны и уменьшаются гиперболически, а сам процесс является неустойчивым. Andersson M. On Testing and Forecasting in Fractionally Integrated Time Series Models [Electronic resource]// Academic Archive On-line: [website]. URL: http://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?searchId=1&pid=diva2:221764 (дата обращения17.05.2012)

Однако стоит отметить, что данный метод может давать неадекватные результаты относительно рядов данных, содержащих долгую память, если они обладают в одно и то же время линейной и нелинейной структурой. Для того, чтобы избавиться от этого недостатка, используется комбинирование линейных и нелинейных моделей, что улучшает точность прогнозов. В следующей главе данная тема объединения нескольких методов прогнозирования будет раскрыта подробнее.

1.3.2 Метод Хольта

Одним из самых простых методов прогнозирования является экспоненциальное сглаживание. В общем своем виде такие методы не подходят для целей нашего исследования, потому что они зачастую не учитывают существование трендов в данных.

Однако существует несколько расширений стандартного экспоненциального сглаживания. К таким методам относится и метод Хольта (иногда называется двойным экспоненциальным сглаживанием). Этот метод используется, когда данные отображаются в виде тренда. Двойное экспоненциальное сглаживание чем-то напоминает простое сглаживание за исключением того факта, что в данном случае каждый период должны обновляться две компоненты: уровень и тренд ряда. Уровень представляет собой сглаженное значение данных в конце каждого периода, а тренд - сглаженное значение среднего роста в конце каждого периода. Формальная запись двойного экспоненциального сглаживания представляет собой рекуррентную форму модели Хольта 2-1 (см. табл. 1.1.). Примечательно, что текущее значение ряда используется для того, чтобы подсчитать его сглаженное значение замещения в двойном экспоненциальном сглаживании.

У данного метода есть преимущество в гибкости, которая позволяет выбирать соотношение, отслеживающее как уровень, так и наклон. При этом, в методе Хольта оба значения сглаживаются непосредственно, но с использованием разных постоянных сглаживания для каждого из них. Помимо двойного сглаживания, существуют также модели тройного экспоненциального сглаживания. Данный способ используется при наличии тренда и сезонности. Для управления сезонностью необходимо ввести третий параметр. Таким образом, вводится третье уравнение в модель, которая известна как модель Хольта-Уинтерса. Различают две главных ее разновидности в зависимости от типа сезонности: модель с аддитивной сезонностью и с мультипликативной. Kalekar P.S. Time series forecasting using Holt-Winters exponential smoothing. [Electronic resource]// Kanwal Rekhi School of Information Technology: [website]. URL: http://www.it.iitb.ac.in/~praj/acads/seminar/04329008_ExponentialSmoothing.pdf (дата обращения17.05.2012) (см. табл. 1.1.)

Таблица 1.1 Модели линейного тренда Хольта-Уинтерса Gardner S.E, Jr Exponential Smoothing: The state of the Art// Journal of Forecasting. 1985. Vol.4. P.1-28

Модель	Рекуррентная форма	Скорректированная на ошибку форма
Несезонная (2-1) (модель Хольта)
С аддитивной сезонностью (2-2)
С мультипликативной сезонностью (2-3)



где:

б - сглаживающий параметр для уровня ряда;

г - сглаживающий параметр для тренда;

д - сглаживающий параметр для сезонных факторов;

S_t - сглаженный уровень ряда, подсчитанный после наблюдаемого X_t. Также ожидаемая оценка данных в конце периода t в некоторых моделях;

T_t - сглаженный тренд в конце периода t;

I_t - сглаженный сезонный индекс или фактор в конце периода t;

X_t - наблюдаемое значение временного ряда в периоде t;

m - число периодов в прогнозируемом процессе освоения;

p - число периодов в сезонном цикле;

- прогноз на m периодов вперед от первоначального t;

е_t - прогнозная ошибка на шаг вперед.

Ниже приведена таблица (см. табл.1.2.), в которой отображены основные формулы для моделей линейного тренда Брауна, являющихся частными случаями моделей Хольта-Уинтерса.

Таблица 1.2. Модели линейного тренды Брауна (* обозначает эквивалентные модели) Gardner S.E, Jr Exponential Smoothing: The state of the Art// Journal of Forecasting. 1985. Vol.4. P.1-28

Модель	Рекуррентная форма	Скорректированная на ошибку форма
Несезонная (3-1)*
Несезонная (3-2)*
С аддитивной сезонностью (3-3)	N/A
С мультипликативной сезонностью (3-4)	N/A

N/A - not applicable

В модели 2-1 используются разные параметры для сглаживания уровня и тренда ряда. В моделях Брауна применяется единый параметр для сглаживания обоих компонентов. Для развития моделей Хольта-Уинтерса использовалось эвристическое обоснование, в то время как в моделях Брауна дисконтированный метод наименьших квадратов с фактором дисконтирования . Модель Хольта - Уинтерса является более общей по сравнению с моделью Брауна. Так, например, модели 3-1 и 3-2 эквивалентны и в обоих случаях являются частными случаями моделей Хольта-Уинтерса.

Сезонные модели 2-2 и 2-3 требуют наличия трех параметров, которые могут быть громоздкими в больших предсказывающих системах. В случае же с моделями Брауна, требуются только два параметра. Это достигается путем добавления Holt-Winters сезонной обновленной процедуры к модели Брауна 3-2. Макридакис отмечал, что и модели Хольта-Уинтерса, и модели Брауна дают хорошие результаты в краткосрочной перспективе. Однако на более длинных горизонтах (>3-4 периода вперед) они имеют тенденцию завышать данные. Gardner S.E, Jr Exponential Smoothing: The state of the Art// Journal of Forecasting. 1985. Vol.4. P.1-28

Модель Хольта-Уинтерса чаще используется на практике. Она является развитием модели Хольта и отличается от нее наличием сезонной составляющей. Преимущество данных моделей заключается в том, что с их помощью можно учитывать тенденции в рядах исходных данных. Однако эти модели обладают и парой недостатков: в их основе лежит «допущение о наличии этих тенденций» и идея о несильной их изменяемости, что редко достигается на практике. Таким образом, через некоторый промежуток времени происходят расхождения, и довольно большие, с реальными значениями. Помимо этого, отдельные сложности сопряжены с подбором значений коэффициентов сглаживания.

Если говорить о постоянных сглаживания, необходимо также отметить, что обычное ограничение на , принадлежащие промежутку от 0 до 1, вводится по аналогии с моделью Брауна, что вызывает некоторое ухудшение моделей, поскольку данное условие принесено в них извне. Светуньков И.С. Самообучающаяся модель краткосрочного прогнозирования социально-экономической динамики //Модели оценки, анализа и прогнозирования социально-экономических систем. Харьков: Харьков ИД «ИНЖЕК», 2010. С. 11--32. Поэтому для корректного прогнозирования имеет смысл использовать расширенные границы.

1.3.3 CEWMA

В качестве еще одного метода, с помощью которого можно было бы попробовать прогнозировать данные, можно назвать метод CEWMA (Complex Exponentially Weighted Moving Average). Данная модель представляет собой несколько более сложную модификацию модели Брауна. Прогнозные значения задаются по следующему алгоритму:

(1.10)

где:

и - параметры сглаживания,

- комплексное число.

В данной модели коэффициенты принадлежат следующим интервалам: и . Здесь с практической точки зрения большую роль играют сходимость и скорость сходимости ряда комплексных чисел. Чем быстрее ряд сходится, тем большую значимость получают текущие значения.

Характерной особенностью модели CEWMA является то, что для ее построения не требуется априорное задание вида тенденции в ряде данных, в отличие от той же модели Брауна и ее модификаций. Кроме того, данная модель достаточно гибка и позволяет улавливать тенденции изменения данных и описывать их.

Эффективность модели зависит от выбираемых значений коэффициентов и . При проведенных ранее исследованиях было замечено, что наиболее точные результаты получаются, если комплексный коэффициент сглаживания приближен к . Помимо этого, выяснилось, что модель достаточно чувствительна к первоначальным условиям. Это означает, что малейшие изменения в перечисленных данных могут вызвать неожиданное поведение прогнозных значений. Светуньков И.С. Самообучающаяся модель краткосрочного прогнозирования социально-экономической динамики //Модели оценки, анализа и прогнозирования социально-экономических систем. Харьков: Харьков ИД «ИНЖЕК», 2010. С. 11--32.



ГЛАВА 2. КОМБИНИРОВАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Поскольку существует такое большое количество моделей, с помощью которых можно прогнозировать риски и неопределенность, то встает вопрос о выборе наилучшего метода. Однако здесь мы сталкиваемся с определенными трудностями. Во-первых, если выбирать прогнозный метод, руководствуясь подходами, основанными на статистическом тестировании гипотез, то необязательно выбранная модель будет давать лучшие прогнозные значения и лучше предсказывать риск. Кроме того, при небольшом или умеренном количестве наблюдений, близкие друг к другу модели трудно различить и критерии, на которых основывается обычно выбор метода прогнозирования, в таком случае будут также очень близки друг к другу. Малейшее изменение в данных может привести к выбору совершенно другой модели, и как вследствие прогноз, основанный на таком методе, будет обладать большой изменчивостью и непостоянностью. Чтобы избавиться от подобных трудностей, было предложено использовать комбинацию нескольких методов прогнозирования. Впервые данное предложение выдвинули Bates и Granger в 1969 году, а затем другие исследователи развили его. Однако не все исследователи считают, что данный способ оправдан: например, статистики возражают против использования комбинирования прогнозов, поскольку в таком случае традиционные техники проверки статистической значимости не срабатывают. Но исследования показывают, что при использовании данной процедуры обычно получаются более точные прогнозы, чем при оценивании каждой модели по отдельности. Zou H., Yang Y. Combining time series models for forecasting// International Journal of Forecasting. 2004. Vol.20. P.69-84.



2.1 Методы комбинирования прогнозных моделей

Прежде чем переходить к различным техникам комбинирования, следует сказать пару слов о рекомендациях к ним. Так J. Scott Armstrong подытоживает семь основных принципов комбинирования прогнозов:

· Использование различных методов прогнозирования или данных из различных источников (или все вместе);

· Использование прогнозов из 5 методов, когда это возможно;

· Использование формальных процедур комбинирования;

· В случае высокой неопределенности использование равных весов;

· Использование порядковых средних (trimmed mean);

· Веса должны быть основаны на доказательствах первоначальной точности;

· Если есть строгие доказательства, что одна из моделей ведет себя лучше другой, то ей надо назначать большие веса при комбинировании;

Кроме того, автор отмечает, что комбинирование наиболее эффективно, когда неясно какой из методов прогнозирования лучше всего выбрать, когда непонятна сама прогнозируемая ситуация и когда цена ошибки достаточно велика.

Основным способом комбинирования является назначение весов прогнозам различных моделей. Основная проблема заключается в выборе этих самых весов. Так помимо всего прочего различают 5 основных методов механического распределения весов, а именно: равные веса, сравнимые веса (peer weights), собственные веса (self weights), групповые веса и средние веса (основанные на собственных и групповых). Armstrong J.S. Combining forecasts//Principles of Forecasting: a handbook for researchers and practitioners, Kluwer Academic Publishing, 2001. P.417-439.



2.1.1 Метод AFTER

Одним из возможных способов комбинирования моделей для получения более точных прогнозов может являться метод AFTER (Aggregated Forecast through Exponential Re-weighting), предложенный Y. Yang (Yang, 2001b). Он заключается в задании соответствующих весов, при которых комбинированные прогнозы имеют меньшую изменчивость, то есть точность этих прогнозов возрастает. Zou H., Yang Y. Combining time series models for forecasting// International Journal of Forecasting. 2004. Vol.20. P.69-84.

Yang выделяет несколько способов задания весов при комбинировании прогнозов в зависимости от того, известны ли нам условные дисперсии (что бывает очень редко), или же мы оцениваем их, или в случае, когда мы не используем оценку дисперсий вовсе. В рамках данной работы наибольший интерес представляют два последних случая.

Когда мы имеем дело с оцененными дисперсиями , то предполагается, что их оценки близки к истинным значениям, то есть существует такая константа , что выполняется условие для всех :

(2.1)

Тогда веса будут назначаться согласно следующему алгоритму, где верно:

(2.2)

И тогда прогнозы комбинируются согласно их весам:

, (2.3)

где:

- прогнозные значения, полученные с помощью различных методов прогнозирования, используемых затем в комбинировании.

В том случае, когда мы не используем оценки дисперсий (если, например, данные нестационарны, то может быть достаточно сложно оценить условную дисперсию правильно), веса будут задавать по следующему принципу:

· Выполняется предположение о том, что все прогнозы лежат в пределах от -А до А, где А положительная константа;

· Предположим, что ш является фиксированной неотрицательной конвекс функцией, где ш(0)=0;

· Предположим, что существует константа и продолжающиеся функции на промежутке (- такие, что для всех :

, (2.4)

где

· Тогда если то для всех выполняется:

, (2.5)

где .

· Комбинирование происходит по тому же принципу, что и в предыдущей ситуации (см. уравнение 2.3). Yang Y. Combining Forecasting Procedures: Some Theoretical Results// Department of Statistics and Statistical Laboratory Iowa State University. 2000. P.1-20.

Данный метод, однако, обладает несколькими недостатками, такими как: сложность применения и сильная зависимость получаемых весов от первого задаваемого значения. Задание весов с помощью компьютерных программ, использующих подбор параметров при определенных ограничениях, позволит избежать оба этих минуса метода.

2.1.2 Метод, основанный на минимизации критерия leave-h-out кросс оценки

Рассмотрим модель вида , оцененную уже с помощью МНК, которая позволяет прогнозировать на h шагов вперед. В таком случае прогнозные значения задаются как: .

Далее стоит рассчитать некоторые критерии, которые можно использовать для выбора той или иной модели прогнозирования. Для начала посчитаем MSFE (Mean Square Forecast Error) по формуле:

(2.6)

Кроме того, стоит посчитать leave-h-out cross-validation критерий, который немного похож на AIC (Akaike information criterion), но устойчив к гетероскедастичности:

, (2.7)

где - остатки, полученные с помощью МНК с 2h+1 наблюдениями {t-h+1, … , t+h-1}, которые были пропущены.

Допустим теперь, что мы рассматриваем M прогнозных моделей, где каждая модель обладает k(m) регрессорами, остатками , оцененной дисперсией и прогнозом . Прогнозы комбинируются следующим образом: . Теперь главная задача заключается в выборе набора весов при котором комбинированная модель будет обладать большей точностью.

Поскольку мы имеем дело с прогнозированием на несколько шагов вперед, то веса следует выбирать так, чтобы минимизировать leave-h-out cross-validation критерий:

, (2.8)

который основан на предложенном Hansen и Racine в 2009 году методе JMA (Jackknife model averaging). Hansen B. Multi-step Forecast Model Selection [Electronic resource]// University of Wisconsin: [website]. URL: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/hstep.pdf (дата обращения 17.05.2012)

Как и в случае с предыдущим методом задания весов, данный способ также отличается запутанностью применения и довольно большим количеством шагов, которые необходимо выполнить прежде, чем получить веса. Кроме того, предложенный метод имеет в своей основе немного модифицированную идею задания весов, основанную на минимизации остатков (правда полученных с помощью МНК с 2h+1 наблюдениями), которую можно было воплотить быстрее и с меньшим количеством усилий при использовании компьютерных программ.

2.2 Задания весов с помощью компьютерных программ

Как было сказано выше, помимо различных статистических и экспертных методов задания весов для комбинирования тех или иных прогнозов вместе можно использовать алгоритмы, уже заложенные в различные пакеты обработки данных. Подобный способ позволяет автоматизировать процедуру задания весов и избавлен от ряда недостатков уже перечисленных методов. Наверное, одним из самых простых способов будет использование «поиска решений» в MS Excel при задании определенных ограничений. В качестве ограничений можно выдвинуть следующие: ; для или тогда все остальные .

Для критерия, используемого в подборе весов, можно использовать принцип минимизации квадратов остатков:

(2.10)

Тогда веса буду назначаться по принципу:

, (2.11)

где: - прогнозы, полученные с помощью различных методов прогнозирования, используемых при комбинировании, - веса, назначаемые этим прогнозам, - прогнозные значения комбинированной модели и - собственно значения ряда данных.

По сравнению с другими методами комбинирования, данный способ интуитивно понятен, легко применим на практике, и для него не требуется каких-то дополнительных расчетов.

Кроме данного способа, можно также при задании весов использовать оценку коэффициентов регрессии, в которой объясняемая переменная будет зависеть от прогнозов, полученных по другим моделям.

Исходя из всех выше перечисленных способов задания весов, мы решили остановиться на использовании алгоритма «Поиска решений» в Excel из-за простоты применения данного метода. Кроме того, было решено сравнить, при каком способе комбинированные модели будут давать лучший результат:

1. Если веса назначать, минимизируя квадраты остатков, полученные по ряду данных, или

2. Если веса назначать, минимизируя квадраты остатков по прогнозным значениям, которые мы затем будем сравнивать с реальными данными (по формуле 2.11).



ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Для практической части данной работы было решено использовать данные по серебряному фиксингу, курс которого публикуется The London Bullion Market Association. Серебряный фиксинг представляет собой метод ежедневного установления цены на серебро на Лондонском межбанковском рынке серебра, начиная с 1897 года. Данный показатель был выбран по ряду причин. Во-первых, драгоценные металлы широко используются в качестве финансовых активов. Кроме того, они являются объектом инвестирования и играют немаловажную роль в некоторых отраслях промышленного производства. Наш выбор пал на серебро из-за сложности прогнозирования цен на данный металл (различные инвесторы сходятся во мнении, что рынок серебра является одним из самых волатильных и непредсказуемых товаров для инвесторов) и из-за огромного его значения для промышленности. Помимо традиционных сфер применения серебра, таких как создание фотографий и изготовление ювелирных изделий и столового серебра, данный металл благодаря своим свойствам необходим для создания различных плат переключателей в электронике (например, кнопки телевизора, клавиатура), используется для покрытия CD и DVD дисков и является одной из составляющих плазменных экранов. Серебро также необходимо для создания батареек, аккумуляторов, кинопленки и, как ни странно, пластмассы (где данный металл используется в качестве катализатора при получении оксида этилена и формальдегида). Вдобавок к этому, серебро необходимо для дистилляции воздуха и воды. И наконец, серебро из-за своих бактерицидных свойств широко используется в медицине (причем не только в качестве сырья для изготовления различных медицинских приборов, но и как составляющая некоторых лекарств).



3.1 Обзор рынка серебра

Теперь необходимо сказать пару слов о самом рынке серебра. Данные по спросу и предложению серебра приведены на рис.3.1. (по данным World Silver Survey 2012, опубликованным The Silver Institute):

Рис.3.1. Спрос и предложение серебра на 2010 и 2011 года Thomson Reuters GFMS for The Silver Institute/ World Silver Survey 2012 A Summary [Electronic resource]// SilverWheaton: [website]. URL: http://www.silverwheaton.com/files/docs_quick%20links/World%20Silver%20Survey%202012%20Summary.pdf (дата обращения17.05.2012)

Как видно из данного рисунка общее предложение в 2011 году сократилось на 3 % по сравнению с 2010 и составило 1040,6 Moz (где 1 Moz=31,103 тонн). Подобное падение было обусловлено сокращением чистого правительственного объема продаж (Net Government Sales) и снижением хеджирования среди производителей (Producer Hedging) (см. рис.3.2.). Что касается падения правительственных продаж, то оно было почти полностью вызвано значительным снижением выбытия из России. Но, несмотря на все это, добыча серебра возросла по сравнению с 2010 годом.

Рис.3.2. Изменения в предложении серебра Klapwijk P. World Silver Survey 2012. [Electronic resource]// Thomson Reuters GFMS: [website]. URL: http://www.gfms.co.uk/media_advisories/TR%20GFMS%20World%20Silver%20Survey%202012%20Presentation.pdf (дата посещения 12.04.2012)

...