Модель общего равновесия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модель общего равновесия



1. Производственные функции

Модель, в которой рассматривается предложение и потребление нескольких видов товара с учетом влияния структура цен на структуру производства и потребления, носит название модели общего равновесия. Эта модель используется в теории экономики благосостояния, которая ставит своей задачей нахождение векторов производства и потребления, дающих оптимальный результат с точки зрения экономических участников.

В модели общего экономического равновесия, в которой вектор цен и вектор товаров определяются на всех рынках одновременно с учетом эффекта обратных связей, одним из главных технических приемов исследования является принцип «оптимальности по Парето».

Критерий Парето заключается в следующем: «любое изменение, которое никому не причиняет убытки и которое приносит некоторым участникам пользу, является улучшением». Этот критерий используется при решении задач, в которых оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, что другие не ухудшаются.

В теории экономики благосостояния принято, что экономически оптимальные структура производства различных благ, их предложение и потребление являются оптимальными по Парето.

Рассмотрим эту задачу на примере так называемой модели 2x2x2 (два вида взаимозаменяемых ресурсов используются для производства двух видов товаров, которые распределяются между двумя потребителями). Эта модель отражает все особенности общего случая.

В этой теме рассматриваются модель двухпродуктовой фирмы (модель 2x2), модель общего равновесия (на примере модели 2x2x2), исследуется устойчивость равновесных решений двухсекторной динамической модели (для случая 2x2x1), а также модели 2x2x2, используемой для анализа внешней торговли.

Рассмотрим основные понятия из теории производственных функций, которые используются для описания процесса производства товаров. Модели производственно-технологического уровня служат основой для анализа функционирования и прогнозирования развития различных хозяйственных единиц как на микроуровне (предприятие, фирма, монополия и т.д.), так и на макроуровне (отрасль, межотраслевой комплекс, регион, народное хозяйство страны в целом). Одним из наиболее распространенных подходов к моделированию производственного процесса является рассмотрение его как открытой системы, входами которой служат затраты ресурсов, а выходами объем продукции, выраженный в натуральном или денежном выражении.

При использовании такого подхода в макроэкономике особое распространение получили производственные функции, у которых все компоненты выпуска (по стоимости или в натуральном выражении) объединены в одну скалярную величину (Y), а число разнородных производственных ресурсов (факторы Xj) сведено к минимуму, допускающему расчет параметров производственной функции на базе имеющейся информации:

Y = F(Xi,X2,...,X_N)

Эта производственная функция представляет собой регрессионную модель, поскольку связь между затратами и выпуском носит статистический характер.

При нахождении значений параметров производственной функции вместе с их расчетом определяются границы изменения независимых величин, при которых корректно применение модели. Подчеркнем, что производственные функции могут быть построены для различных производственных единиц: предприятия, отрасли, народного хозяйства в целом. Степень агрегирования переменных может быть также различной - от номенклатуры деталей до обобщенных показателей народного хозяйства.

Особое значение имеют двухфакторные производственные функции:

Y=F(K,L), (1)

где Y - объем выпуска продукции, L - затраты труда, К - затраты капитала (объем основных промышленно-производственных фондов).

Первый успешный опыт построения производственных функций на базе статистических данных был осуществлен американскими экономистами Ч. Коббом и П. Дугласом (1929 г.). При анализе статистических данных обрабатывающей промышленности США они обнаружили, что связь между производительностью труда Y/L и фондовооруженностью K/L хорошо описывается степенной зависимостью

Y/L - q(K/L)^a,

где а >0 - постоянное число. Из этого уравнения формально следует соотношение

Y = qK^aL^1-а ,

в котором переменные К и L можно рассматривать как независимые факторы, влияющие на объем производства.

Производственная функция Кобба - Дугласа в общем случае имеет следующий вид:

Y=AK^aL^b, (2)

где а>0, Ь>0.

Производственные функции позволяют получить ответ на вопрос о том, как изменится объем производства, если все затраты изменяются в одной и той же пропорции.

Пример. Пусть уровень производства определяется в соответствии с функцией Кобба - Дугласа. Если факторы производства изменятся в А раз и примут значения соответственно К и L, то значение выпуска составит

B(К)^a(L)^b=B^a+b К^aL^b= ^a+bY.

Как видим, выпуск изменится в ^a+b раз. Это значит, что если

а + b =1,

то пропорциональное увеличение обоих затрачиваемых ресурсов приводит к росту выпуска в той же пропорции. Такое изменение в экономической литературе называют постоянным эффектом масштаба. Если

а + a+b<1,

то рост выпуска продукции, вызванный пропорциональным увеличением обоих затрачиваемых ресурсов, происходит в меньшей степени, чем рост ресурсов (в этом случае говорят об отрицательном эффекте масштаба). Если же

а+b>1,

то рост выпуска продукции, вызванный пропорциональным увеличением обоих затрачиваемых ресурсов, происходит в большей степени, чем рост ресурсов (в этом случае говорят о положительном эффекте масштаба).

Это свойство производственной функции Кобба-Дугласа (2) связано с тем, что она является однородной, функцией степени а+b.Поэтому производственная функция Кобба-I Дугласа(2) в случае

а + b = 1

называется линейно-однородной.

Важным показателями производственных функций является предельные эффективности факторов и предельная норма заменяемости. Предельные эффективности факторов представляют собой частные производные по каждому из факторов:

Предельная производительность фактора показывает, на сколько увеличится объем производства при увеличении этого фактора на единицу при неизменных прочих условиях.

Предельную норму заменяемости, например, капитала трудом можно определить как абсолютное значение производной функции L=f(K), заданной уравнением

Y=(K,L) = const.

Она равна - dL/dK.

Предельная норма заменяемости показывает dL/dK, показывает, на сколько необходимо увеличить использование фактора L для того, чтобы при уменьшении использования фактора К на единицу уровень производства Y остался неизменным.

Из определения предельной нормы заменяемости и правила вычисления производной функции следует, что этот показатель равен обратному отношению предельных производительностей:

-dL/dK=F_K/F_L.

Пусть объем выпуска продукции Y является функцией используемых основных производственных фондов К и трудозатрат LI:

Y = F(K,L).

Предположим, что при t основные производственные фонды и трудозатраты изменялись согласно зависимостями К = f(t) и L = q(t). Тогда, в силу Y = F(K,L), объем выпуска продукции Y представляет собой функцию времени:

Y = F(f(t), q(t)).

Скорость изменения объема производства в любой момент времени t может быть вычислена по формуле дифференцирования сложной функции.

Согласно это формуле имеем:

.

Напомним, что величина равна значению мгновенного темпа прироста выпуска продукции. Поэтому из полученного выше равенства следует формула, выражающая динамику темпа прироста выпуска продукции:

(3)

Здесь

EZ_X = и

- коэффициент эластичности производственной функции

Y = F(K, L),

- значения мгновенных темпов изменения факторов производства К и L соответственно. Соотношение (3) означает, что мгновенный темп при-роста выпуска продукции равен средневзвешенным значениям мгновенных темпов прироста факторов производства, причем весами, с которыми берутся эти темпы, являются соответствующие коэффициенты эластичности производственной функции.

Рассмотрим еще одно свойство производственной функции, вытекающее из теоремы Эйлера. Согласно этой теореме для любой линейно-однородной функции

z = f (х, у)

имеем:

z = xf (х, у) + yfy(x, у).

Поэтому для линейно-однородной производственной функции зависимость между используемыми факторами (трудом L и основными фондами К ) и национальным доходом У может быть представлена так:

Y = K. (4)

Разделив левую и правую части равенства (4) на У, получим:

1 =

Это равенство справедливо для любой линейно-однородной функции

Y = F(K,L),

в том числе и для производственной функции Кобба-Дугласа (2), где

а + b = 1.

Введем следующие обозначения: w - ставка заработной платы, г- издержки на единицу основных фондов (плата за фонды). Пусть ставка заработной платы равна предельной производительности труда, т. е.

w = ,

а издержки на единицу основных фондов, т.е.



r = .

Тогда уравнение (4) можно переписать так:

Y= rK + wL.

Это значит что в рассматриваемом случае весь производственный национальный доход распределяется на платежи за использованные основные фонды и оплату труда. При этом доли оплаты труда и издержек за использование основных фондов (в случае w = , r = ), будут равны

,

а доля равна

В силу сказанного, линейно-однородная производственная функция Кобба-Дугласа

Y = AK^аL^b

обладает следующим свойством: параметр а равен доле национального дохода, которая идет на компенсацию издержек за использование основных фондов, а параметр

b = 1-а -

доле национального дохода, которая идет на оплату труда.

Рассмотрим еще одну производственную функцию, называемую производственной функцией с постоянными пропорциями (или производственной функции Леонтьева):

Y = min (aK,bL),

где, К- производственные фонды, L - трудозатраты, а - коэффициент фондоотдачи, b - производительность труда.

Особенностью производственной функции с постоянными про-порциями

У = min (aK, bL)

является следующее: в случае

аК > bL

не рационально используется оборудование, а при условии

аК < bL -трудовые ресурсы.

Поэтому эффективность использования ресурсов в данном случае определяется количеством того ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства. При этом условие

аК = bL

задает множество точек наиболее рационального сочетания используемых ресурсов, когда трудовые ресурсы и основные фонды используются оптимально. Производственную функцию с постоянными пропорциями можно отнести к классу производственных функций с взаимодополняемыми ресурсами.

2. Модель двухпродуктовой фирмы, использующей два вида ограниченных ресурсов (модель 2х2)

Пусть на предприятии для производства двух видов товаров в количествах X и Y используются два вида взаимозаменяемых ресурсов- I труд (L) и капитал (К), объем которых ограничен значениями L₀ и К₀ соответственно.

Цены товаров равны соответственно P₁ и Р₂- Требуется построить множество производственных возможностей, которое определяет допустимые сочетания выпусков товаров первого и второго вида и определить наиболее выгодное для предприятия распределение этих ресурсов (например, обеспечивающее максимальную прибыль).

Допустим, что имеющиеся ресурсы используются полностью, причем ставка заработной платы w и плата за использование единицы капитала r постоянны. Тогда издержки производства составляют

С = wLo+rKo = const,

и, таким образом, задача об определении наиболее выгодного распределения ресурсов сводится к задаче о максимуме на множестве производственных возможностей значения функции дохода

R = P₁X + P₂Y.



Для определенности будем считать, что производственный процесс может быть описан производственными функциями типа Кобба-Дугласа, т.е объемы производства продукции заданы формулами:

где Х_о и Yo - максимально возможные объемы производства товаров первого и второго вида при заданных ресурсах; K₁ и L₁, K₂ и L₂ - значения капитала и трудозатрат, используемых при производстве товаров первого и второго вида соответственно; а, b, с и g - положительные постоянные (коэффициенты эластичности).

Поскольку ограниченные ресурсы К₀ и L₀ используются полностью, то должны быть выполнены условия

которые позволяют при построении множества производственных возможностей использовать так называемую «диаграмму Эджворта-Боули» (или коротко - «ящик Эджворта»). Размеры этого «ящика» , т. е. длины сторон прямоугольника с диагональю О₁О₂ (рис.1.) численно равны объемами ресурсов К_о и Lo.

Рис.1. Изокванты производственных функций на диаграмме Эджварта-Боули (X₁< X₂< X₃, Y₁< Y₂< Y₃)

Всевозможные пары чисел (X,Y), соответствующие точкам «ящика Эджворта», образуют на плоскости товаров множество производственных возможностей (рис.2).

Любой точке, оптимальной по Парето, т.е. принадлежащей производственной кривой на диаграмме Эджворта соответствует точка, лежащая на кривой производственных возможностей G на плоскости товаров (рис.1). Будем считать, что линия G задается уравнением

Y = Н(Х).

Перейдем теперь к определению наиболее выгодного распределения ресурсов. Эта задача в данной постановке решается из условия максимизации дохода на множестве производственных возможностей. Поскольку линии постоянного дохода на плоскости XOY представляют собой прямые.

R = P₁X+P₂Y = const,

перпендикулярные вектору цен

Р = (Р₁,Р₂),

то в случае, когда область производственных возможностей выпуклая, максимум дохода достигается в точке касания линии постоянного дохода и линии производственных возможностей.

Рис.2. Множества производственных возможностей

Для определения координат этой точки можно использовать предельную норму трансформации Т_/х которая равна абсолютному значению производной функции

Y = Н(Х).

Так как

dH / dX<0,

то

Т_уХ= - dH / dX = tg у,

где у - острый угол наклона касательной к линии производственных возможностей.

Предельная норма трансформации Т_у/х определяет максимально возможное увеличение объема производства товара второго вида при условии неизменности используемых ресурсов и сокращении производства товара первого вида на единицу (dX = -1), т.к. при выполнении условия X > 1 с большой степенью точности выполнено соотношение

Н(Х-1) - Н(Х) = dH = Н^/ (X)dX = -dH/dX = T_v/X .

Но значение тангенса угла наклона линии постоянного дохода отрицательно и равно -P₁ P₂, вследствие чего

dH/dX=-P₁ P₂.



Поэтому условием касания этой линии с линией производственных возможностей является равенство

Т_Y/х=Р₁/Р₂. (7)

Полученное условие (7) совместно с уравнением

Y=H(X)

используется для нахождения точки, определяющей оптимальное предложение товаров при заданных ресурсах и векторе цен.

Из уравнения (7) следует, что если линия производственных возможностей выпукла вверх, то при относительном увеличении цены первого товара объем предложения товара первого вида растет, а объем предложения товара второго вида снижается.

Для вывода уравнения кривой производственных возможностей в случае, когда производственный процесс описывается уравнениями (5), (6) удобно ввести переменные

и = K₁ /К_о и

v = L₁ /L_o

(удельные веса ресурсов, используемых при производстве первого товара). Тогда уравнения (5) с учетом соотношений (6) получим:

Если а и - острые углы наклона касательных к изоквантам производственных функций (8), то в силу условия (3) получаем

tga = dv/du = - av/bu, tg = dv/du = -c( l-v)/g( 1-и). (9)

Так как в точке касания изокванты имеют общую касательную, то а =, откуда, в силу соотношений (9) следует

bu/ av = g( 1-й)/ с( 1-v). (10)

Уравнение (10)- частный случаи условия касания изоквант

X = X(K₁,L,) = const, Y = Y(K₂,L₂) = Y(Ko-K_1,Lo-L,) = const.

В общем случае условия касания изоквант имеет следующий вид:

X (11)

Здесь переменные с индексами L₁, К₁, L₂, и К₂ означают соответствующие частные производные, например,

X

Из соотношения (11) и уравнений (8) следует

X_V/X_И =Y_V/Y_И, (12)

где переменные с индексами и и v - соответствующие частные производные. Это означает, что в точке касания изоквант должны быть равны отношения предельных производительностей.

Вернемся снова к уравнению (10), которое удобно переписать в виде

u/v = s (1-и) / (l-v),

откуда следует

v = u/(u(l-s)+s), (13)

где

s = ag / bс.

Уравнение (13) задает линию эффективного распределения ресурсов (рис.2), направление выпуклости, которой зависит от величины параметра s. Действительно, при s = 1 из (13) получаем уравнение прямой и = v, которая является диагональю «ящика Эджворта».

При sl уравнение (13) представляет собой уравнение гиперболы с и горизонтальной асимптотой

и = и^*= s/(s-1)

и горизонтальной асимптотой

v=v^*=1/(1-s)

Поэтому при 0<s<l, когда v*>l, u*<0, линия эффективного распределения ресурсов выпукла вверх, а при s>l, когда v*<0, и >1, эта линия выпукла вниз.

Отметим, что с учетом сделанной выше замены уравнение (13) позволяет построить на диаграмме Эджворта-Боули производственную кривую (множество точек касания изоквант)



v = и/(и(1-s)+s), 0 и 1, К₁= иК₀, L, = vL₀

Более того, теперь можно построить также и кривую производственных возможностей которая определяется уравнениями

v = и/(и(1-s)+s), 0и1, Х=Х₀u^av^b, Y = Y₀(1-u)^c(1-v)^q. (15)

Поэтому имеем:

T_Y/x = dY/dX = -(dY/dn) / (dX/dи) = (- Y_и - Y_vv) / (Х_и +X_vv) = -(Y_и/X_и) (1+ Y_v v'/Y_и) / (1+ X_vv'/X_и),

где

v' = dv / du

производная функции (13). Продолжим преобразования окончательно получим

T_Y/x = (Y_u/X(l-u))(c/a) = cYu/aX(l-u)

При выполнении преобразований использовано следующие соотношения:

l+Y_vv/Y_и = l+X_vv^//X_и;

Y_u = Y_l-u.

Итак, условие касания (7) линии постоянного дохода (прямой P₁ X+P₂Y = const) и линии производственных возможностей (15) приводит к равенству

cYu/aX(l-u) = P₁/P₂. (16)

Так как в силу уравнений (8) справедливо равенство

CYu/aX(l-u) = cY_o(l-v)^qu^l-a/aX_ov^b(l-u)¹-^c,

то, согласно уравнению (16), в точке касания должно быть выполнено соотношение

cY₀(l-v)^g u^1-a/aXov^b (l-u)^1-c = P1/P2. (17)

Таким образом максимум дохода на множестве производственных возможностей при_известных_ценах P₁ и Р₂ в случае выпуклой вверх линии (15), определяются из решения системы уравнений (17) и (13) относительно неизвестных и и v. Последние задают оптимальное распределение ограниченных ресурсов L₀ и К₀ и позволяют по формулам (8) вычислить оптимальные значения объемов производства товаров X_s и Y_s.

равновесие парето ресурс потребление

3. Общее равновесие экономики благосостояния

Рассмотрим теперь задачу 2x2x2 об использовании двух видов ресурсов при производстве двух видов товаров, которые приобретаются двумя потребителями. Первая часть этой задачи была рассмотрена выше.

Будем считать, что множество производственных возможностей выпукло. При этом линия производственных возможностей представляет собой множество точек с координатами Xs = Y_s

Тогда на диаграмме. Эджворта-Боули для потребления эти линии образуют два семейства кривых. При этом каждой точке внутри «ящика Эджворта» соответствуют шесть чисел: X ₁, Y₁, U, Х₂ и V. Точки касания линий безразличия лежат на линий f, которую называют договорной линией, линией обмена, или контрактной линией.

Договорная линия f оптимальна по Парето, так как любое смещение с этой линии снижает значение либо U, либо V, либо каждого из них.

Поэтому договорную линию иногда называют еще и конфликтной.

Множество точек с координатами U и V, соответствующие точкам на договорной линии, образуют на плоскости верхнюю границу множества возможных полезностей при условии, что суммарное потребление первого товара равно X_s, а суммарное потребление второго товара равно Y_s.

Например, если

X₁ +Х₂ = X_A1 и Y₁ +Y₂ = Y_A1,

то договорной линии f соответствует граница множества возможных полезностей F. Значениям полезностей в точке Р на линии f соответствует точка Q на линии F.

Предположим, что товары потребляются полностью. Тогда суммарное предложение произведенных товаров X_s и Y_s равно их потреблению:

X₁+X₂ = X_S, Y_{1 +} Y₂ = Y_S , (18)

где Х₁, Y₁ и Х₂, Y₂ - объемы потребления товаров первого и второго вида первым и вторым потребителями соответственно.

Эти условия позволяют снова использовать подход Эджворта-Боули (рис.3, слева). Однако теперь «ящик Эджворта» строится для каждой пары X_s и Y_s так, что диагональ этого ящика соединяет точку О с соответствующей точкой на линии производственных возможностей.



Рис.3. Множество производственных возможностей и договорные линии (слева); множество возможных полезностей

Пусть, например,

X_s = X_A1 и Y_s = Y_A1.

В этом случае «ящик Эджворта» представляет собой прямоугольник, диагональ которого соединяет точку О с точкой А₁(Х_А1, Y_А1) на линии производственных возможно-стей (рис.3, слева). В нижнем левом углу прямоугольника (в точке О) находится начало координатных осей Х₁ и Y₁ а в правом верхнем углу (в точке А₁) - начало координат осей Х₂ и Y₂. Поэтому в любой точке внутри этого «ящика Эджворта» обеспечивается выполнение ба-лансовых соотношений

X₁+X₂=X_А1 и Y₁ + Y₂ = Y_А1. (19)

Предположим, что отношение потребителей к потребляемым ими наборам товаров первого и второго вида определяется заданными функциями полезности

U =U(X₁, Y₁), V = V(X₂,Y₂), (20)

Аналогичным образом строятся множества возможных полезностей, соответствующие другим точкам линии производственных возможностей.

Если теперь построить линии, аналогичные линии F, для каждой из точек на кривой производственных возможностей, а не только для точек I, А₁ и В₁, то на плоскости полезностей получим кривую возможных полезностей. Эта кривая показывает оптимальные по Парето комбинации уровней полезностей и представляет собой границу области достижимых полезностей.

Кривая возможных полезностей характеризует максимально возможное значение полезности одного потребителя при заданном значении полезности другого и представляет собой множество точек, оптимальных по Парето.

Для определения единственной точки на кривой возможных полезностей вводится функция социального благосостояния, значения которой растут, если значения функции полезности любого потребителя увеличивается при неизменном значении функции полезности другого.

w = w(U,V), (21)

Основные теоремы экономики благосостояния связывают эффективные точки кривой возможных полезностей с условиями конкурентной экономики, в которой все потребители и фирмы ориентируются на заданные цены. Эти теоремы устанавливают, что при определенных условиях конкурентное равновесие оптимально по Парето и что в конкурентной экономике любое оптимальное по Парето распределение ресурсов может быть достигнуто.

В заключение отметим, что модель общего равновесия широко применяется в экономической теории при изучении различных рынков. В частности, рассмотренная модель лежит в основе модели Хекшера-Олина, которая используются при анализе внешней торговли двух стран в качестве иллюстрации принципиальной возможности взаимовыгодного обмена, позволяющего каждой из этих стран достигнуть потребления, выходящего за пределы своего множества производственных возможностей.

Размещено на Allbest.ru

...