Особенности расчета статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Вариант №13

Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из корпораций в отчетном году (выборка 20%-ная, механическая), млн руб.:

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.	№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.
1	110	14	16	155	43
2	115	18	17	156	42
3	126	22	18	160	41
4	131	27	19	162	47
5	133	30	20	163	60
6	136	40	21	173	55
7	141	35	22	175	52
8	144	38	23	177	53
9	152	41	24	181	56
10	154	34	25	183	57
11	156	40	26	185	51
12	150	30	27	192	61
13	150	36	28	193	71
14	150	36	29	205	69
15	152	42	30	210	79

Задание1

1.Провести группировку единиц наблюдения статистической совокупности по факторному признаку, образовав пять групп с равными интервалами. Построить аналитическую таблицу. Построить гистограмму и круговую диаграмму. Сделать выводы.

2.По данным первоначальной и аналитической таблицы по факторной и результативной переменными расчетным путем (в форме расчетной таблицы) и с использованием статистических функций в Excel (в качестве проверки правильности расчета) определить и обосновать:

- средние значения, моду и медиану. Сравнить их между собой и сделать соответствующие выводы.

- показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации). Оценить исходную информацию на устойчивость и сделать выводы.

Решение:

1.Провести группировку единиц наблюдения статистической совокупности по факторному признаку, образовав пять групп с равными интервалами. Построить аналитическую таблицу. Построить гистограмму и круговую диаграмму. Сделать выводы.

Факторным признаком является средняя списочная численность работников, чел.

Результативным признаком является выпуск продукции, млн.руб.

Принимаем группировку с равными интервалами и определяем величину интервала h по формуле

тогда имеем

В соответствии с найденными параметрами строим интервальный ряд распределения. Группировка представлена в таблице



группа	интервалы	Число предприятий	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн.руб.
		Абс. значение	в % к итогу	всего	в среднем на 1 предприятие	всего	в среднем на 1 предприятие
1	110-130	3	10%	351	117	54	18
2	130-150	8	27%	1135	142	272	34
3	150-170	9	30%	1410	157	390	43,3
4	170-190	6	20%	1074	179	324	54
5	190-210	4	13%	800	200	280	70
Итого	30	100%	4770	159	1320	44

Из таблицы видим, что наиболее многочисленной является 3 группа со среднесписочной численностью 157 чел. и выпуском продукции 43,3 млн.руб. в среднем на 1 предприятие. Малочисленной является 1 группас малым числом среднесписочной численности работников и низким объемом выпуска продукции. При этом можем заметить, что с увеличением среднесписочной численности работников в среднем на 1 предприятие выпуск продукции также растет.

Представим полученные результаты в виде гистограммы и круговой диаграммы.

Из полученных графиков видим, что наиболее многочисленной является третья группа со среднесписочной численностью работников от 150 до 170 чел., в которую входят 9 предприятий или 30%.

2.По данным первоначальной и аналитической таблицы по факторной и результативной переменными расчетным путем (в форме расчетной таблицы) и с использованием статистических функций в Excel (в качестве проверки правильности расчета) определить и обосновать:

- средние значения, моду и медиану. Сравнить их между собой и сделать соответствующие выводы.

- показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации). Оценить исходную информацию на устойчивость и сделать выводы.

По первоначальным данным:

Среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической простой.

Для удобства вычислений построим вспомогательную таблицу.



№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн руб.
1	110	14	49	30	2401	900
2	115	18	44	26	1936	676
3	126	22	33	22	1089	484
4	131	27	28	17	784	289
5	133	30	26	14	676	196
6	136	40	23	4	529	16
7	141	35	18	9	324	81
8	144	38	15	6	225	36
9	152	41	7	3	49	9
10	154	34	5	10	25	100
11	156	40	3	4	9	16
12	150	30	9	14	81	196
13	150	36	9	8	81	64
14	150	36	9	8	81	64
15	152	42	7	2	49	4
16	155	43	4	1	16	1
17	156	42	3	2	9	4
18	160	41	1	3	1	9
19	162	47	3	3	9	9
20	163	60	4	16	16	256
21	173	55	14	11	196	121
22	175	52	16	8	256	64
23	177	53	18	9	324	81
24	181	56	22	12	484	144
25	183	57	24	13	576	169
26	185	51	26	7	676	49
27	192	61	33	17	1089	289
28	193	71	34	27	1156	729
29	205	69	46	25	2116	625
30	210	79	51	35	2601	1225
Итого	4770	1320	584	366	17864	6906

Средняя списочная численность работников предприятий составила 159 чел. Средний выпуск продукции предприятий составил 44 млн.руб.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда.

Наиболее часто встречающаяся среднесписочная численность работников предприятий составила 150 чел.

Наиболее часто встречающийся выпуск продукции предприятий составил 30 и 40 млн.руб.(две моды).

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Т.к. имеется четное число признаков, поэтому медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда.

На 50% предприятиях работают менее 155 чел. (155,5 чел.), на 50% предприятиях работают более 155 чел.

50% предприятий имеют выпуск продукции менее 41,5 млн.руб., остальные 50% предприятий имеют выпуск продукции более 41,5 млн.руб.

Среднее линейное отклонение

d=

d=

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Значения среднесписочной численности работников предприятий отклоняются от среднего на 24 чел.

Значения выпуска продукции предприятий отклоняются от среднего на 15,2 млн.руб.

Коэффициент вариации

Совокупность является однородной.

Совокупность является неоднородной.

Проверим расчеты с помощью статистических функций Excel.

Показатель	функция	Х	У
среднее значение	СРЗНАЧ	159	44
мода	Мода	150	30	40
медиана	Медиана	155,5	41,5
среднее линейное отклонение	СРОТКЛ	19,47	12,20
дисперсия	ДИСПР	595,47	230,20
среднеквадратическое отклонение	СТАНДАРТОТКЛОНПА	24,40	15,2

По данной таблице видим, что результаты совпадают.

По данным аналитической таблицы:

Факторный признак - средняя списочная численность работников.

Среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической взвешенной.

Для удобства вычислений построим вспомогательную таблицу.

Группа	Середина интервала, Х	Число предприятий	Xf
1	120	3	360	120	4800
2	140	8	1120	160	3200
3	160	9	1440	0	0
4	180	6	1080	120	2400
5	200	4	800	160	6400
Итого	30	4800	560	16800

Х - середина интервала;

f - число предприятий.

Средняя списочная численность работников предприятий составила 160 чел.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда.Рассчитывается по формуле:

Наиболее часто встречающаяся среднесписочная численность работников предприятий составила 155 чел.

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. Рассчитывается по формуле:

На 50% предприятиях работают менее 159 чел, на 50% предприятиях работают более 159 чел.

Среднее линейное отклонение

d=

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Значения среднесписочной численности работников предприятий отклоняются от среднего на 24 чел.

Коэффициент вариации



Совокупность является однородной.

Результативный признак - выпуск продукции, млн.руб.

Для определения структурных средних и показателей вариации сделаем группировку по результативному признаку.

Принимаем группировку с равными интервалами и 5 группами и определяем величину интервала h по формуле

тогда имеем

В соответствии с найденными параметрами строим интервальный ряд распределения. Группировка представлена в таблице

группа	Интервалы	Число предприятий	Выпуск продукции, млн.руб.
			всего	в среднем на 1 предприятие
1	14-27	4	81	20,25
2	27-40	9	319	35,4
3	40-53	9	412	45,8
4	53-66	5	289	57,8
5	66-79	3	219	73
Итого	30	1320	44

Как видим, наиболее многочисленными являются 2 и 3 группы с выпуском продукции от 27 до 53 млн.руб. Наиболее малочисленной группой является 5 группа с выпуском продукции 73 млн.руб. в среднем на 1 предприятие.

По данным таблицы рассчитаем структурные средние и показатели вариации.

Среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической взвешенной.

Для удобства вычислений построим вспомогательную таблицу.

Группа	Середина интервала, У	Число предприятий	Yf
1	20,5	4	82	93,6	2190,24
2	33,5	9	301,5	93,6	973,44
3	46,5	9	418,5	23,4	60,84
4	59,5	5	297,5	78	1216,8
5	72,5	3	217,5	85,8	2453,88
Итого	30	1317	374,4	6895,2

y - середина интервала;

f - число предприятий.

Средний выпуск продукции предприятий составила 43,9 млн.руб.

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Рассчитывается по формуле:

Наиболее часто встречающийся выпуск продукции предприятий составил40 млн.руб.

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. Рассчитывается по формуле:

50% предприятий имеют выпуск продукции менее 42,9 млн.руб., 50% предприятий имеют выпуск продукции более 42,9 млн.руб.

Среднее линейное отклонение

d=

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Значения выпуска продукции предприятий отклоняются от среднего на 15,2 млн.руб.

Коэффициент вариации

Совокупность является неоднородной.

Как видим, результаты по первоначальным данным и по данным аналитической группировки различаются. При этом устойчивость остается прежней. А именно, совокупность факторного признака является однородной (средняя надежной), совокупность результативного признака - неоднородной.

Задание2

1.Установить наличие и направление связи между факторной и результативной переменными.

2. Дать количественную оценку тесноте связи между исследуемыми переменными на основе расчета линейного коэффициента корреляции как расчетным путем (в форме расчетной таблицы) так и в автоматическом режиме с использованием статистической функций в Excel в качестве проверки правильности расчета. Сделать вывод.

3. Построить уравнение регрессии и показать его на графике. Обосновать параметры уравнения. Определить теоретические значения результативной переменной. Рассчитать коэффициент эластичности. Все расчеты представить в виде расчетной таблицы. Проверить полученные расчеты в автоматическом режиме с использованием статистических функций в Excel. Сделать выводы.

4. Провести дисперсионный анализ на основе расчета общей, факторной и остаточной дисперсий (расчеты показать в виде данных расчетной таблицы). На основе правила сложения дисперсий определить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Оценить выведенное уравнение регрессии на статистическую значимость. Сделать соответствующие выводы.

Решение:

1.Установить наличие и направление связи между факторной и результативной переменными.

По результатам аналитической группировки можем сделать вывод, что между среднесписочной численностью работников и выпуском продукции существует прямая тесная связь.

2. Дать количественную оценку тесноте связи между исследуемыми переменными на основе расчета линейного коэффициента корреляции как расчетным путем (в форме расчетной таблицы) так и в автоматическом режиме с использованием статистической функций в Excel в качестве проверки правильности расчета. Сделать вывод.

Линейный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Для расчета линейного коэффициента корреляции построим вспомогательную таблицу.

№ предприятия п/п	Средняя списочная численность работников, чел.Х	Выпуск продукции, млн руб.У	Х2	У2	ХУ
1	110	14	12100	196	1540	15,09	1,1881
2	115	18	13225	324	2070	18,04	0,0016
3	126	22	15876	484	2772	24,53	6,4009
4	131	27	17161	729	3537	27,48	0,2304
5	133	30	17689	900	3990	28,66	1,7956
6	136	40	18496	1600	5440	30,43	91,5849
7	141	35	19881	1225	4935	33,38	2,6244
8	144	38	20736	1444	5472	35,15	8,1225
9	152	41	23104	1681	6232	39,87	1,2769
10	154	34	23716	1156	5236	41,05	49,7025
11	156	40	24336	1600	6240	42,23	4,9729
12	150	30	22500	900	4500	38,69	75,5161
13	150	36	22500	1296	5400	38,69	7,2361
14	150	36	22500	1296	5400	38,69	7,2361
15	152	42	23104	1764	6384	39,87	4,5369
16	155	43	24025	1849	6665	41,64	1,8496
17	156	42	24336	1764	6552	42,23	0,0529
18	160	41	25600	1681	6560	44,59	12,8881
19	162	47	26244	2209	7614	45,77	1,5129
20	163	60	26569	3600	9780	46,36	186,0496
21	173	55	29929	3025	9515	52,26	7,5076
22	175	52	30625	2704	9100	53,44	2,0736
23	177	53	31329	2809	9381	54,62	2,6244
24	181	56	32761	3136	10136	56,98	0,9604
25	183	57	33489	3249	10431	58,16	1,3456
26	185	51	34225	2601	9435	59,34	69,5556
27	192	61	36864	3721	11712	63,47	6,1009
28	193	71	37249	5041	13703	64,06	48,1636
29	205	69	42025	4761	14145	71,14	4,5796
30	210	79	44100	6241	16590	74,09	24,1081
Итого	4770	1320	776294	64986	220467,0	1320,00	631,8

Коэффициент корреляции, равный 0,953 по шкале Чедокка, говорит о тесной прямой связи между среднесписочной численностью работников и выпуском продукции.

3. Построить уравнение регрессии и показать его на графике. Обосновать параметры уравнения. Определить теоретические значения результативной переменной. Рассчитать коэффициент эластичности. Все расчеты представить в виде расчетной таблицы. Проверить полученные расчеты в автоматическом режиме с использованием статистических функций в Excel. Сделать выводы.

Уравнение прямой имеет следующий вид:

Для того, чтобы найти а0 и а1 воспользуемся методом наименьших квадратов и построим систему уравнений

Для расчета а0 воспользуемся формулой

Для расчета а1подставим а0 во 2 уравнение

С увеличением выпуска продукции на 1 млн.руб. средняя списочная численность работников увеличивается на 0,59.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения.

Так как , следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Результаты расчетов представим на графике.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

На 2,13% увеличится выпуск продукции от своего среднего при изменении среднесписочной численности работников на 1% от своей средней величины.

С помощью статистической функции Excel проверим полученные результаты.

Показатель	Функция	Значение
линейный коэффициент корреляции	КОРРЕЛ	0,953

Как видим, результаты совпадают.

4. Провести дисперсионный анализ на основе расчета общей, факторной и остаточной дисперсий (расчеты показать в виде данных расчетной таблицы). На основе правила сложения дисперсий определить эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Оценить выведенное уравнение регрессии на статистическую значимость. Сделать соответствующие выводы.

Групповые средние выпуска продукции предприятий были определены в задание 1.

Группа	Средний выпуск продукции, млн.руб.	Число предприятий
1	20,25	4
2	35,4	9
3	45,8	9
4	57,8	5
5	73	3

Определим теперь межгрупповую (факторную) дисперсию выпуска продукции.

Правило сложения дисперсий

=+

Т.к. нам известны общая дисперсия =229,84 и факторная (межгрупповая) =214, то можем определить остаточную дисперсию.

=- =229,84-214=15,84



Коэффициент детерминации:

Эмпирическое корреляционное отношение:

Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения и коэффициента детерминации свидетельствуют о достаточно высокой статистической связи между среднесписочной численностью работников и выпуском продукции.

Т.к. , то коэффициенты регрессии признаются значимыми.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

ошибку выборки средней списочной численности работников и границы, в которых будет находиться средняя списочная численность работников для предприятий в генеральной совокупности;

ошибку выборки доли предприятий со средней списочной численностью работников 170 и более человек и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

1.Генеральная средняя находится в пределах: .

Средняя ошибка выборки для средней:

чел.

Предельная ошибка выборки: чел.

Интервальная оценка генеральной совокупности:

Таким образом, с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней будет находиться в пределах от 155 до 163 чел.

2. Генеральная доля находится в пределах: .

Выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих заданным признаком (средняя списочная численность работников 170 и более человек) в выборочной совокупности: или 33,3%.

Средняя ошибка выборки для доли:

или 7,7%.

Предельная ошибка выборки:

Интервальная оценка генеральной совокупности:

Таким образом, с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной доли можно ожидать в пределах от 25,6% до 41%.

Задание 4

По материалам государственной статистики построить за последние пять лет ряд динамики, характеризующий изменение численности экономически активного населения на любом региональном уровне. Ряд динамики представить в табличной и графической (в виде линейной диаграммы) форме.

На основе построенного ряда динамики определить:

1.Показатели анализа ряда динамики (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное содержание 1% прироста, средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средние темпы роста и прироста). Все расчеты представить в виде данных расчетной таблицы. Сделать выводы по рассчитанным показателям. Определить тенденцию развития исследуемого явления.

2. Построить уравнение тренда, определив теоретические значения уровня ряда динамики за каждый период, обосновать параметры уравнения тренда, определить точечный прогноз по исследуемому показателю.

Решение:

Численность экономически активного населения РФ, тыс.чел.

Год	2009	2010	2011	2012	2013
Численность экономически активного населения, тыс.чел.	75694	75478	75779	75676	75529

Базисный абсолютный прирост:.

Цепной абсолютный прирост: .

Базисный темп роста: .

Цепной темп роста: .

Базисный темп прироста: .

Цепной темп прироста: .

Результаты расчетов представлены в таблице.

Год	Численность экономически активного населения, тыс.чел.	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста	Абсзнач 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2009	75694	-	-	-	-	-	-	-
2010	75478	-216	-216	99,7%	99,7%	-0,3%	-0,3%	756,94
2011	75779	301	85	100,4%	100,1%	0,4%	0,1%	754,78
2012	75676	-103	-18	99,9%	100,0%	-0,1%	0,0%	757,79
2013	75529	-147	-165	99,8%	99,8%	-0,2%	-0,2%	756,76

Если рассмотреть цепные индексы, то наибольший прирост численности экономически активного населения РФ наблюдается в 2011 году по сравнению с 2010 и составляет 301 тыс.чел. с темпом прироста 0,4%. Наибольшее снижение численности экономически активного населения РФ наблюдается в 2010 году по сравнению с 2009 и составляет 216 тыс.чел. с темпом снижения 0,3%.

Если рассмотреть базисные индексы, то наибольший прирост численности экономически активного населения РФ наблюдается в 2011 году по сравнению с 2009 и составляет 85 тыс.чел. с темпом прироста 0,1%. Наибольшее снижение численности экономически активного населения РФ наблюдается в 2010 году по сравнению с 2009 и составляет 216 тыс.чел. с темпом снижения 0,3%.

При увеличении численности экономически активного населения РФ в 2013 году на 1% привело бы к увеличению на 756,76 тыс.чел.

Средняя численность экономически активного населения РФ за рассматриваемый период составляет 75631,2 тыс.чел.

Среднегодовой абсолютный прирост

За 2009 - 2013 года численность экономически активного населения РФ снижается в среднем на 41,25 тыс.чел. в год.

Среднегодовые темпы роста и прироста



Численность экономически активного населения РФ за 2009 - 2013 года снижается в среднем на 0,1% в год.

Представим динамику численности экономически активного населения РФ за рассматриваемый период на графике.

Как видим, численность экономически активного населения РФ в последние годы имеет линейный характер.

Линейное уравнение тренда имеет вид

Для того, чтобы найти а0 и а1 воспользуемся методом наименьших квадратов и построим систему уравнений

Для удобства вычислений построим вспомогательную таблицу.

t	y	t2	yt	Y*
1	75694	1	75694	75657,6
2	75478	4	150956	75644,4
3	75779	9	227337	75631,2
4	75676	16	302704	75618
5	75529	25	377645	75604,8
Итого: 15	378156	55	1134336

Для расчета а0 воспользуемся формулой

Для расчета а1подставим а0 во 2 уравнение

При t=6

статистический совокупность факторный

В 2014 году численность экономически активного населения РФ составит 75591,6 тыс.чел.

Размещено на Allbest.ru

...