Модели авторегрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

авторегрессия стационарный автокорреляционный временной

Введение

1. Модели авторегрессии

1.1 Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии

1.2 Модели АР(1) и АР(2)

1.3 Автокорреляционная функция моделей авторегрессии

2. Практическое задание

Библиографический список

Приложение



Введение

Термин эконометрия (эконометрика) был введен в научную литературу в 1930 году норвежским статистиком Рагнаром Фришем для обозначения нового направления научных исследований, возникшего из необходимости научно-обоснованного подтверждения и доказательства концепций и выводов экономической теории результатами количественного анализа рассматриваемых процессов. В этой связи можно сказать, что основная задача эконометрики состоит в построении моделей специфического типа (эконометрических моделей), описывающих взаимообусловленное развитие социально-экономических процессов, на основе информации, отражающей распределение их уровней во времени или (и) в пространстве однородных объектов. Эти модели используются в анализе и прогнозировании общих закономерностей и конкретных количественных характеристик рассматриваемых процессов, определении управляющих воздействий. Вследствие этого в самом широком толковании эконометрию можно рассматривать как объединение ряда дисциплин - экономической теории (включая микро- и макроэкономику, социальную сферу), социально-экономической статистики и теории измерения общественных процессов, математической статистики и методов экономико-математического моделирования.

Каждая из перечисленных дисциплин играет свою роль в эконометрическом исследовании. Экономическая теория занимается вопросами разработки концепций относительно законов развития исследуемых процессов с учетом их взаимосвязей; социально-экономическая статистика и теория измерений - выражением количественных и качественных состояний этих процессов (как правило, в последовательные периоды (моменты) времени) в виде набора логически непротиворечивых и содержательных показателей; методы экономико-математического моделирования- разработкой моделей взаимосвязей между рассматриваемыми процессами, адекватно отражающими экономические концепции в рамках выбранной системы показателей; математическая статистика - собственно построением самих моделей (т. е. оценкой их параметров), проверками гипотез относительно их адекватности тенденциям процессов, значимости взаимосвязей между ними, оценками неопределенности в полученных результатах, вызванной систематическими и случайными ошибками и т. п. При этом обычно предполагается, что систематические ошибки в результатах возникают вследствие использования неадекватной тенденциям исследуемых процессов концепции относительно их взаимосвязей, систематических ошибок измерений их уровней, неправильно выбранной спецификации модели и ряда других причин объективного и субъективного характера.

Причинами существования случайной ошибки модели, как правило, являются случайные ошибки измерения процессов, невозможность учета в модели случайных воздействий множества незначимых с точки зрения экономической теории факторов и другие подобные причины.

Таким образом, при эконометрическом исследовании имеют место две стороны проблемы обеспечения высокого качества его результатов - качественная и количественная. Качественная заключается в установлении соответствия между построенной эконометрической моделью и лежащей в ее основе концепцией, а количественная - в точности аппроксимации (подгонки) имевшихся количественных и качественных характеристик рассматриваемых процессов данными модельных расчетов.



1. Модели авторегрессии

Использование моделей авторегрессии при моделировании закономерностей реального стационарного процесса второго порядка, допускающего представление в виде дискретного временного ряда его значений, основано на предположении о том, что текущее значение такого процесса может быть выражено в виде линейной комбинации некоторого количества предыдущих его значений и случайной ошибки, обладающей свойствами белого шума.

Общий вид модели авторегрессии k-го порядка - АР(k) может быть выражен следующим уравнением:

уt=б1 уt-1+ б2 уt-2+…. бk уt-k+еt, (1.1)

где уt, уt-i, i=1,2,... , k - значения переменной у в соответствующие моменты времени; k - порядок модели; 1,..., k - коэффициенты модели; t - случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием, конечной дисперсией и единичной автокорреляционной матрицей, свидетельствующей об отсутствии автокорреляционной связи между рядами ошибки t, t-1,..., t-i,..., т. е. t N(0, 2 ), Cov()=2 E.

Построение модели АР(k) типа (1.1), адекватной реальному временному ряду уt, t=1,2,..., Т, предполагает решение двух взаимосвязанных задач: определения рационального порядка модели (величины k) и оценки значений ее коэффициентов. Рассмотрим сначала общие подходы к оценке параметров модели типа (1.1).

Без ограничения общности будем предполагать, что математическое ожидание ряда уt равно нулю, т. е. M[уt ]=0. В противном случае вместо переменной уt в выражении (1.1) можно рассмотреть центрированную переменную , , где - оценка M[уt ]. Легко видеть, что M[ ] = 0.

Из выражения (1.1) непосредственно следует, что параметры модели 1,..., k могут быть выражены через коэффициенты автокорреляции. Чтобы показать это, умножим выражение под знаком математического ожидания на переменную уt-i, i=1,2,..., k. Получим

M[уt· уt--j]= 1 M[уt-1, уt--j]+…+ k M[уt-k, уt--j]+ M[уt-i, еt], (1.2.)

где M[уt-i, уt--j]-математическое ожидание произведения двух центрированных переменных уt-i, уt-j, представляющих собой их ковариацию r, на практике оцениваемую по формуле

M[уt-i, уt--j]==, (1.3.)

где r=i-j , i j.

В результате для i=1,2,..., k вместо (1.2.) можно записать

уi=1 уi-1+…k уk-i. .(1.4.)

Выражение (1.4) получено в предположении, что M[уt-i, t]=0 при i0, так как t - случайная величина со свойствами “белого шума”, не имеющая корреляционной связи с предшествующими моменту t значениями рассматриваемого процесса уt. Разделив левую и правую части выражения (1.4.) на дисперсию процесса уt у2= 0, получим следующее выражение:

i=1 pi-1+……+k pk-i. (1.5.)

которое связывает коэффициенты автокорреляции процесса уt и коэффициенты модели АР(k).

Подставив в (1.5) вместо истинных значений коэффициентов автокорреляции i процесса уt их выборочные оценки r1, r2,..., последовательно для i=1,2,..., k, получим следующую систему линейных уравнений:

r1= a1+ a2 r1….+ ak rk-1,

r2= a1r1+ a2….+ ak rk-2

Rk= a1rk-1.+ a2 rk-2…..+ ak, (1.6.)

в которой известными являются оценки коэффициентов автокорреляции r1, r2,..., rk, а неизвестными - оценки коэффициентов модели АР(k) a1 , a2 ,..., ak.

Систему 1.6) называют уравнениями Юла-Уокера, а полученные на ее основе значения a1, a2,..., ak - оценками коэффициентов модели авторегрессии АР(k) Юла-Уокера. Напомним, что эти оценки могут быть получены, например, с использованием определителей, либо на основе векторно-матричной формы записи системы (1.6.).

На основе определителей оценки Юла-Уокера получают в следующем виде:

ai=,(1.7.)

где - определитель системы

=(1.8.)

i- определитель, получаемый из определителя путем замены его i-го столбца на столбец, состоящий из коэффициентов автокорреляции, образующих левую часть системы (1.6.) - r1, r2,..., rk.

В векторно-матричной форме записи систему (1.6.) можно переписать в следующем виде:

r = Ra, (1.9.)

где r - вектор-столбец известных оценок коэффициентов автокорреляции с первого по k-й включительно, r=(r1, r2, ..., rk); a - вектор-столбец неизвестных оценок параметров модели, a=(a1, a2,..., ak); R- матрица, составленная из оценок коэффициентов автокорреляции, определитель которой выражен формулой (1.8.).

Непосредственно из выражения (1.9.) вытекает, что неизвестные оценки коэффициентов модели авторегрессии определяются как

a = R-1r. (1.10.)

Теоретически оценки Юла-Уокера должны обладать свойствами несмещенности и эффективности. Однако, на практике, в моделях авторегрессии большого порядка эти свойства могут не подтверждаться.

Особенно это относится к свойству несмещенности. Как и в моделях с лаговыми зависимыми переменными, смещенность в оценках коэффициентов моделей авторегрессии может быть обусловлена существующей зависимостью между сдвинутыми рядами рассматриваемой переменной уt-1, уt-2 и ошибкой t. Этой возможной зависимостью при построении системы уравнений Юла-Уокера обычно пренебрегают, полагая t белым шумом.

Неэффективность оценок может быть вызвана плохой обусловленностью матрицы R, что, как правило, является свидетельством зависимости уже между рядами уt-1, уt-2,... .

Вместе с тем, при небольших порядках модели (k =1,2,3) оценки Юла-Уокера обычно являются достаточно “хорошими”. В крайнем случае их можно рассматривать как первое приближение к “оптимальным” оценкам, которые могут быть получены путем уточнения оценок Юла-Уокера на основе использования более мощных методов оценивания, например, нелинейных.

Качество оценок Юла-Уокера может быть проверено путем исследования свойств ряда ошибки t, t=1,2,..., Т. Если ее свойства близки к характеристикам “белого шума”, то оценки Юла-Уокера можно считать “достаточно хорошими”. Об этом, в частности, может свидетельствовать критерий Дарбина-Уотсона, значение которого должно лежать примерно в интервале от 1 до 3 .

Для этих целей могут использоваться и другие мощные критерии, например, Бартлетта, Тейла.

1.1 Обоснование целесообразности применения моделей авторегрессии

Целесообразность использования моделей авторегрессии в анализе закономерностей временного ряда обычно устанавливается на основе сопоставления двух дисперсий - дисперсии исходного процесса у2 и дисперсии ошибки модели 2. Для того чтобы выявить взаимосвязь между двумя этими характеристиками положим, что в формуле (1.4) i=0. Тогда это выражение можно переписать в следующем виде:

0= a11+ a22+…. +akk+у2, (1.11.)

где 0=у2, i - i-й коэффициент автоковариации.

Последнее слагаемое в правой части выражения (1.11.) получено путем замены в выражении (1.2) в произведении M[ytt] переменной yt на ее модель (1.1). Поскольку ряды уt-1,..., уt-k и t являются независимыми, то это произведение оказывается равным 2. Далее, поскольку i =i0, то выразив все i, i=1,2,..., k через 0 и перенеся слагаемые с 0 в левую часть, из выражения (1.11.) получим

0=у2=, (1.12.)

Подставив в (1.12) вместо i значения оценок коэффициентов автокорреляции ri и вместо параметров модели i их оценки аi, i=1,2,... , k, найдем величину соотношение между дисперсией процесса у2 и дисперсией ошибки описывающей этот модели авторегрессии (белого шума) 2.

у2/=, (1.13.)

Модель авторегрессии считается “достаточно хорошей”, если у22, т. е. когда дисперсия ошибки модели много меньше дисперсии процесса. В этом случае использование модели при описании процесса yt позволяет значительно снизить его неопределенность, выражаемую через дисперсию у2.

Здесь также следует отметить, что в моделях временных ярдов нельзя ожидать значительного уменьшения дисперсии ошибки 2 по сравнению с дисперсией процесса у2, как это имело место в моделях “классической” эконометрики, где отношение у2/2 нередко превосходит несколько десятков.

Чтобы показать это, рассмотрим свойства наиболее часто используемых в практике финансовых исследований моделей авторегрессии первого и второго порядков.



1.2 Модели АР(1) и АР(2)

Модель авторегрессии первого порядка АР(1) записывается в следующем виде:

yt= a1 yt-1+, (1.14.)

Легко видеть, что система Юла Уокера в этом случае сводится к одному уравнению, непосредственно определяющему оценку a1 коэффициента 1

a1=r1. (1.15.)

Из выражения (1.13.) вытекает, что

у2/2=, (1.16.)

Поскольку r11, то из (1.16) следует, что, например, при r1=0,9 20,2у2. Это означает, что использование расчетных значений процесса yt, определяемых по формуле вместо среднего значения временного ряда позволит повысить точность предсказания его значений в пять раз (если в качестве меры точности рассматривать показатель дисперсии). В этом случае соотношение между среднеквадратическими ошибками у и составит примерно 2,3. Из выражения (1.16.) легко также видеть, что с ростом абсолютного значения r1 точность описания процесса yt моделью авторегрессии первого порядка увеличивается, а с его снижением - падает.

Модель авторегрессии второго порядка - АР(2) представляется в виде следующего уравнения:

yt= a1 yt-1+ a2 yt-2+,(1.17)

Система уравнений Юла-Уокера в этом случае состоит из двух уравнений

r1= a1+ a2r1,

r2= a1 r1+ a2, (1.18)

Выразив a1 и a2 через коэффициенты автокорреляции с использованием, например, метода определителей (1.10), получим

(1.19)

Из выражения (1.13) непосредственно вытекает, что в этом случае соотношение между дисперсиями исходного процесса yt и ошибкой модели t определяется следующим выражением:

(1.20)

На практике и в случае АР(2) соотношение между у2 и 2 обычно не превосходит 5:1. В этом смысле следует отметить, что по сравнению с эконометрическими моделями, где это соотношение достигает 50 к 1 и даже 100 к 1, модели авторегрессии, на первый взгляд, не обладают высокой точностью описания рассматриваемых процессов. Однако не следует забывать, что в “классической” эконометрике зависимая переменная yt не обладает свойством стационарности и она характеризуется гораздо большей изменчивостью (и, как следствие, дисперсией) по сравнению со стационарным временным рядом. Поэтому адекватные рассматриваемому процессу многофакторные эконометрические модели могут значительно уменьшить остаточную изменчивость (дисперсию ошибки) по сравнению с исходной (дисперсией процесса), но при этом изменчивость ошибки может оставаться относительно большой.

Модели же авторегрессии, как и другие модели стационарных временных рядов, как бы уточняют” исходный процесс yt, как правило, благодаря свойству стационарности не отличающийся значительной изменчивостью. Вследствие этого у этих моделей имеется лишь незначительный резерв для уменьшения исходной дисперсии у2 по сравнению с многофакторными эконометрическими моделями, описывающими нестационарные процессы.

1.3 Автокорреляционная функция моделей авторегрессии

По аналогии с реальными стационарными процессами, автокорреляционные функции могут быть сформированы и для их теоретических аналогов - моделей авторегрессии. Заметим, что значения коэффициентов автокорреляции модели k-го порядка связаны между собой соотношением (6.49). Несложно заметить, что для модели авторегрессии первого порядка это соотношение приводит к следующей зависимости между коэффициентами автокорреляции:

(1.21)

В самом деле, из выражения (1.14)) для i=2 имеем 2=11 и, учитывая, что 1=1, получим 2=12, аналогично, для i=3 имеем 3=12=13 и т.д. Если учесть, что 11, то нетрудно заметить, что модули значений коэффициентов автокорреляции модели АР(1) авторегрессии уменьшаются по экспоненте с ростом сдвига i.

Можно показать, что поскольку модель авторегрессии второго порядка является стационарным процессом, то ее автокорреляционная функция представляет собой либо затухающую экспоненту, либо затухающую синусоиду. В первом случае абсолютные значения коэффициентов автокорреляции i с ростом i уменьшаются согласно следующей зависимости:

(1.22)

где d - положительный коэффициент экспоненциальной зависимости, отличный от единицы, d 1.

Заметим, что для модели АР(1) этот коэффициент равен единице (см. выражение (1.21)).

Во втором случае значения коэффициентов i аппроксимируются функцией следующего вида:

(1.23)

где f и F - параметры синусоиды (частота и фаза соответственно), рассчитываемые на основе значений коэффициентов модели. В частности,

если a1 и если a1 .



2. Практическое задание

Задача: По территория региона проводятся данные за 199ХГ.(Р1- число букв в полном имени р2- число букв в фамилии)

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб. х	Среднедневная заработная плата, руб.у
1	78+р1	133+ р2
2	80+ р2	148
3	87	135+ р1
4	79	154
5	106	157+ р1
6	106+ р1	195
7	67	139
8	98	158+ р2
9	73+ р2	152
10	87	162
11	86	146+ р2
12	110+ р1	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F - критерия Фишера

Решение:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

Заполним таблицу согласна своей ФИО: Тупота -6,Наталья-7.р1 -7, р2-6

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб. х	Среднедневная заработная плата, руб.у
1	85	139
2	86	148
3	87	142
4	79	154
5	106	164
6	113	195
7	67	139
8	98	164
9	79	152
10	87	162
11	86	152
12	117	173

№	x	y	x·y	xІ	yІ	yЮx	y- yЮx	(y- yЮx)2	Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	85,00	139,00	11815,00	7225,00	19321,00	151,73	-12,73	162,05	-9,16
2	86,00	148,00	12728,00	7396,00	21904,00	152,62	-4,62	21,34	-3,12
3	87,00	142,00	12354,00	7569,00	20164,00	153,51	-11,51	132,48	-8,11
4	79,00	154,00	12166,00	6241,00	23716,00	146,39	7,61	57,91	4,94
5	106,00	164,00	17384,00	11236,00	26896,00	170,42	-6,42	41,22	-3,91
6	113,00	195,00	22035,00	12769,00	38025,00	176,65	18,35	336,72	9,41
7	67,00	139,00	9313,00	4489,00	19321,00	135,71	3,29	10,82	2,37
8	98,00	164,00	16072,00	9604,00	26896,00	163,30	0,70	0,49	0,43
9	79,00	152,00	12008,00	6241,00	23104,00	146,39	5,61	31,47	3,69
10	87,00	162,00	14094,00	7569,00	26244,00	153,51	8,49	72,08	5,24
11	86,00	152,00	13072,00	7396,00	23104,00	152,62	-0,62	0,38	-0,41
12	117,00	173,00	20241,00	13689,00	29929,00	180,21	-7,21	51,98	-4,17
Сумма	1090,00	1884,00	173282,00	101424,00	298624,00	1883,06	0,94	918,96	-2,80
Сред. значение	90,83	157,00	14440,17	8452,00	24885,33	156,92	0,08	76,58	-0,23

Для расчета параметров уравнения регрессии построим расчетную таблицу:

Построить линейное уравнение парной регрессии y по x.

Найдем параметры уравнения линейной регрессии:

y=a+b·x

b=

a=?y-b·?x

b==0.89

a=157-0.89*90.83=76.08

Получено уравнение регрессии:

у=76.08+0.89*x

Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастет на 0.89 руб.

После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7-10.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции

rxy

у2y=2-общая дисперсия результативного признака y

у2x=(85-90.83)2+(86-90.83)2+(87-90.83)2+(79-90.83)2+(106-90.83)2+(113-90.83)2+(67-90.83)2+(98-90.83)2+(79-90.83)2+(87-90.83)2+(86-90.83)2+(117-90.83)2=(-5.83)2+(-4.83)2+(-3.83)2+(-11.83)2+15.172+(-22.17)2+23.832+(-7.17)2+11.832+3.832+4.832+(-26.17)2=2415.67

уx=49.15

у2y=(139-157)2+(148-157)2+(142-157)2+(154-157)2+(164-157)2+(195-157)2+(139-157)2+(164-157)2+(152-157)2+(162-157)2+(152-157)2+(173-157)2=(-18)2+(-9)2+(-15)2+(-3)2+72+382+(-18)2+72+(-5)2+52+(-5)2+162=2836

уy=53.25

rxy= =0.82

Так как, значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличие сильной линейной связи.

Коэффициент детерминации:

rxy2=0,672

Это означает , что 67% вариации заработной платы (y) объясняется вариацией фактора х- среднедушевого прожиточного минимума.

Средняя ошибка аппроксимации- среднее отклонение расчетных значений от фактических.

Допустимый предел значений - не более 10%

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации

%

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10 %

3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F - критерия Фишера

Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью F - критерия Фишера. Фактическое значение F - критерия Фишера сравнивается с табличным значением F табл(Ьk1k2) при уровне значимости Ь и степенях свободы k1=m, и k2=n-m-1.

При этом , если фактическое значение F- критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

F фактическое больше F табличного, то уравнение статически значимо, соответственно F факт. меньше F табл -не значимо.

F факт.==?(12-2)=20,49

Табличное значение критерия в при 5%( а также возможно 1%,10%) уровне значимости и степенях свободы составляет Fтабл=4,96. в таблице 1.

k1= m , m=1

k1=1

k2=n-m-1

n=12

k2=12-1-1=10

Так как Fфакт=20,49> Fтабл=4,96, то уравнение регрессии признается статически значимым.



Библиографический список

1. И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. Эконометрика : учебник. 2-е изд., перераб. и доп. М. :Финансы и статистика, 2007.

2 .Магнус Я. Р., Катышев П.К.,Пересецкий А.А. Эконометрика.Наачльный курс. Учеб.-6-е изд. Перераб. И доп.-М.: Дело,2004-576с.

3. Новиков А.И. Эконометрика : учебное пособие.2-е издан. Испр. и доп. -М.ИНФА-М 207-144с.

4. Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студенетов экономических вузов. Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.ФЮ. Преснякова, Н.П. Тихомимров- М.: Изд. «Экзамен» , 2003.-224с

5. Яковлева А.В. Эконометрика. Конспект лекций. М.: Эксмо, 2008. - 224 с.



Приложение

Таблица 1 - Значения F-критерия Фишера для уровня значимости - 0,05

Степени свободы для числителя
1	2	3	4	5	6	7	8	10	12	24	10^9
3	10,128	9,552	9,277	9,117	9,013	8,941	8,887	8,845	8,785	8,745	8,638	8,527
5	6,608	5,786	5,409	5,192	5,050	4,950	4,876	4,818	4,735	4,678	4,527	4,366
7	5,591	4,737	4,347	4,120	3,972	3,866	3,787	3,726	3,637	3,575	3,410	3,231
10	4,965	4,103	3,708	3,478	3,326	3,217	3,135	3,072	2,978	2,913	2,737	2,539
11	4,844	3,982	3,587	3,357	3,204	3,095	3,012	2,948	2,854	2,788	2,609	2,406
12	4,747	3,885	3,490	3,259	3,106	2,996	2,913	2,849	2,753	2,687	2,505	2,297
13	4,667	3,806	3,411	3,179	3,025	2,915	2,832	2,767	2,671	2,604	2,420	2,208
14	4,600	3,739	3,344	3,112	2,958	2,848	2,764	2,699	2,602	2,534	2,349	2,132
15	4,543	3,682	3,287	3,056	2,901	2,790	2,707	2,641	2,544	2,475	2,288	2,067
16	4,494	3,634	3,239	3,007	2,852	2,741	2,657	2,591	2,494	2,425	2,235	2,011
18	4,414	3,555	3,160	2,928	2,773	2,661	2,577	2,510	2,412	2,342	2,150	1,918
20	4,351	3,493	3,098	2,866	2,711	2,599	2,514	2,447	2,348	2,278	2,082	1,844
30	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534	2,421	2,334	2,266	2,165	2,092	1,887	1,624
40	4,085	3,232	2,839	2,606	2,449	2,336	2,249	2,180	2,077	2,003	1,793	1,511
50	4,034	3,183	2,790	2,557	2,400	2,286	2,199	2,130	2,026	1,952	1,737	1,440
70	3,978	3,128	2,736	2,503	2,346	2,231	2,143	2,074	1,969	1,893	1,674	1,355
100	3,936	3,087	2,696	2,463	2,305	2,191	2,103	2,032	1,927	1,850	1,627	1,286
200	3,888	3,041	2,650	2,417	2,259	2,144	2,056	1,985	1,878	1,801	1,572	1,192
>1000	3,843	2,998	2,607	2,374	2,216	2,100	2,011	1,940	1,833	1,754	1,519

Таблица 2 - Значения F-критерия Фишера для уровня значимости - 0,01

Степени свободы для числителя
2	3	4	5	6	7	8	10	12	24	10^9
34,116	30,816	29,457	28,710	28,237	27,911	27,671	27,489	27,228	27,052	26,597	26,126
16,258	13,274	12,060	11,392	10,967	10,672	10,456	10,289	10,051	9,888	9,466	9,022
12,246	9,547	8,451	7,847	7,460	7,191	6,993	6,840	6,620	6,469	6,074	5,651
10,044	7,559	6,552	5,994	5,636	5,386	5,200	5,057	4,849	4,706	4,327	3,910
9,646	7,206	6,217	5,668	5,316	5,069	4,886	4,744	4,539	4,397	4,021	3,604
9,330	6,927	5,953	5,412	5,064	4,821	4,640	4,499	4,296	4,155	3,780	3,362
9,074	6,701	5,739	5,205	4,862	4,620	4,441	4,302	4,100	3,960	3,587	3,166
8,862	6,515	5,564	5,035	4,695	4,456	4,278	4,140	3,939	3,800	3,427	3,005
8,683	6,359	5,417	4,893	4,556	4,318	4,142	4,004	3,805	3,666	3,294	2,870
8,531	6,226	5,292	4,773	4,437	4,202	4,026	3,890	3,691	3,553	3,181	2,754
8,285	6,013	5,092	4,579	4,248	4,015	3,841	3,705	3,508	3,371	2,999	2,567
8,096	5,849	4,938	4,431	4,103	3,871	3,699	3,564	3,368	3,231	2,859	2,422
7,562	5,390	4,510	4,018	3,699	3,473	3,305	3,173	2,979	2,843	2,469	2,008
7,314	5,178	4,313	3,828	3,514	3,291	3,124	2,993	2,801	2,665	2,288	1,806
7,171	5,057	4,199	3,720	3,408	3,186	3,020	2,890	2,698	2,563	2,183	1,685
7,011	4,922	4,074	3,600	3,291	3,071	2,906	2,777	2,585	2,450	2,067	1,542
6,895	4,824	3,984	3,513	3,206	2,988	2,823	2,694	2,503	2,368	1,983	1,429
6,763	4,713	3,881	3,414	3,110	2,893	2,730	2,601	2,411	2,275	1,886	1,281
6,637	4,607	3,784	3,321	3,019	2,804	2,641	2,513	2,323	2,187	1,793

Размещено на Allbest.ru

...