Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

АКАДЕМІЯ МУНІЦИПАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ

Кафедра автоматизованого управління технологічними процесами

Розрахунково-графічна робота

«Ідентифікація та моделювання об'єктів автоматизації»

Виконала:

студентка групи АІ-31

Перевірив:

Голдаєвич Є.Л.

Київ 201



Завдання №1

Дана вибірка експериментальних даних, об'єм якої n становить 2 (табл. 1.1). Результати експерименту згруповані в 10 інтервалів, довжина кожного з них становить 2.

Необхідно: перевірити експериментальні дані на відповідність нормальному закону розподілу за допомогою трьох критеріїв згоди:

? спрощеного критерію - методом моментів (через вибіркові значення асиметрії та ексцесу) на основі розрахунку статистичних характеристик;

? критерію Колмогорова;

? критерію Пірсона.

Проміжні результати розрахунків звести до табл. 1 і побудувати гістограму вибірки, а, також, полігон частот.

Табл. 1

x	nі	nіxі	піхі2	піхі3	піхі4
5032	2
5034	6
5036	5
5038	19
5040	87
5042	63
5044	15
5046	7
5048	4
5050	2
Сума	n=200

Розв'язок:

В нашій задачі ми величину Х розглянемо як неперервну випадкову величину, функція розподілу - невідома і описується формулою F(x)=P(X<x)

Емпірична функція розподілу - F_n(x)=l/n, де n - об'єм вибірки, аl - число значень Х у вибірці, менших за x.

1. Перевірка експериментальних даних методом моментів (через вибіркові значення асиметрії та ексцесу)

Для початку дамо означення відносної частоти події -- це відношення тих спроб, у яких відбулася подія, до всіх спроб у серії випробувань.

x₁ , x₂ … х_п , х_і, - елементи вибірки об'єму n зустрічається п_і разів, а число п_і - частота елементу х_і , а відношення - відносна частота елементу х_і

,a, n-об'єми вибірки

Варіаційний (статистичний) ряд вибірки для даної задачі- перший і другий стовбець таблиці.

Нехай Х - безперервна випадкова величина з невідомою густиною ймовірності р(х). Для оцінки р(х) за вибіркою (x_l , x₂ … х_п), розіб'ємо область значень Х на l інтервалів (груп) довжини h_і і=. Позначимо через _і середини інтервалів, а через n_і - число елементів вибірки, що потрапили у вказаний інтервал - і-у групу. Тоді р(_і)~ - оцінка густини ймовірності в точці _і. Побудуємо гістограму вибірки, яка буде апроксимувати графік невідомої функції р(х).

Результати проміжних розрахунків зведемо до таблиці 1.2 і побудуємо гістограму вибірки за вихідними експериментальними даними, що наведені в таблиці.

Табл. 1.2

l	x1	n1		nіxl	nіxl2	nіxl3	nіxl4
1	5032	2	0,01	10064	50642048	254830785536	1282308512817150
2	5034	6	0,03	30204	152046936	765404275824	3853045124498020
3	5036	5	0,02	25180	126806480	638597433280	3215976673998080
4	5038	19	0,09	95722	482247436	2429562582568	12240136290977600
5	5040	87	0,41	438480	2209939200	11138093568000	56135991582720000
6	5042	63	0,30	317646	1601571132	8075121647544	40714763346916800
7	5044	15	0,07	75660	381629040	1924936877760	9709381611421440
8	5046	7	0,03	35322	178234812	899372861352	4538235458382190
9	5048	4	0,02	20192	101929216	514538682368	2597391268593660
10	5050	2	0,01	10100	51005000	257575250000	1300755012500000
k=10	Сума ? і	n=210	1	1058570	5336051300	26901059623410	135608241561610000

Визначимо:

-вибіркові початкові -перший центральний момент

-центральні- другий центральний момент

-моменти порядку v

(1.1a)

(1.1b)

При v=1 з (1.1a)

(1.1c)

і являє собою середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини Х, що має назву «вибіркова середнє».

При v=2 з (1.1b)

(1.1)

що являє собою вибіркову дисперсію, а ?= - вибіркове середньоквадратичне відхилення.

Рис. 1.1. Гістограма вибірки

Потрібно знати не характеристики дискретного групованого розподілу F_n(x), а характеристики б_v і м_v істинного неперервного розподілуF(x).

При певних умовах наближені значення моментів б_vі м_v можна отримати додаючи деякі правки до моментів _vі _v, що носять назву поправок Шеппарда. Загальна формула для поправок Шеппарда має вигляд:

(1.2)

де, - число Бернуллі, що визначаються з рекурентного співвідношення

=1,



для m?2,де, - біномальні коефіцієнти ().

Для перших чотирьох початкових моментів з (1.2) маємо:

б₁=_1, (1.2a)

б₂=₂ - (1.2b)

б₃=₃ - (1.2c)

б₄=₄ - (1.2d)

Для центральних моментів маємо:

(1.3a)

(1.3b)

(1.3c)

(1.3d)

На основі центрального моменту третього порядку можна побудувати показник, що характеризує міру асиметричності розподілу:

= , (1.4)

у= - середньоквадратичне відхилення розподілу. називають коефіцієнтом асиметрії, якщо:

то асиметрія є правостороння (->0, де - мода розподілу, тобто значення ознаки з найбільшою частотою).

, асиметрія лівостороння і -<0. Коли =0, і тоді =.

Для характеристики гостровершинності або плосковершинності розподілу служить четвертий центральний момент. Ці властивості розподілуoписуються за допомогою ексцесу випадкової величини

. (1.5)

Для нормального розподілу ексцес дорівнює нулю; криві, більш гостро вершинні в порівнянні з нормальною, мають позитивний ексцес; криві більш плоско вершинні - мають негативний ексцес.

За значенням показників асиметрії і ексцесу емпіричного розподілу можна судити про близькість цього розподілу до нормального, знаючи дисперсії коефіцієнтів асиметрії і ексцесу . Для цього потрібно оцінити значущість відмінності |А_s| і |Е_х| від нуля. Якщо:

|А_s| ?3у_as,|Е_х|?5у_ex

=(1.6)

(1.6a)

Цей розподіл можна вважати нормальним.

Розрахуємо статистичні характеристики, використовуючи проміжні розрахунки з табл.1.2.

Визначимо вибіркове середнє згідно (1.1с):

(1.7a)

Центральний момент другого порядку , згідно (1.1d):

Згідно (1.3b) дисперсія :

(1.7b)

Згідно (1.3с) дорівнює:

Згідно (1.1b) центральний момент четвертого порядку дорівнює:

За (1.3d) знаходимо :

(1.8)

Знайдемо коефіцієнт асиметрії розподілу відповідно до (1.4):

(1.9)

Тобто асиметрія є правосторонньою.

Знайдемо величину ексцесу відповідно до (1.5):

(1.10)

крива розподілу є більш гостро вершинною в порівнянні з нормальною кривою.

З (1.6а) розраховуємо і :

3(1.11a)

5=1,63. (1.11b)

Підставляючи значення і з (1.90) - (1.11) в (1.6) знаходимо, що відмінність коефіцієнта асиметрії від нуля в рамках зазначеного критерію дуже велика, тобто нерівність для || , яка має вигляд ||=>> 0,501незадовольняється, відмінність коефіцієнта ексцесу, а саме || від нуля значна і задовольняється протилежна нерівність: || = >>1,63 ,що свідчить про те, що емпіричний розподіл не є нормальним.



ВИСНОВОК

Оскільки умови значущості статистичних характеристик критерію для заданої вибіркової сукупності не виконується, то даний критерій не відповідає нормальному розподілу.

ІІ. Перевірка статистичної гіпотези на відповідність експериментальних даних нормальному закону розподілу за критерієм Колмогорова.

Критерій л Колмогорова - Смирнова призначений для співставлення двох розподілів: емпіричного розподілу ознаки з теоретичним (рівномірним чи нормальним) або двох емпіричних розподілів. Критерій дозволяє знайти точку, у якій сума накопичених розходжень між двома розподілами є найбільшою, і оцінити достовірність цього розходження. Під час розрахункової процедури співставляються спочатку частоти за першим розрядом (рівнем), потім за сумою першого і другого розрядів, далі за сумою першого, другого та третього розрядів і т. д. Таким чином, кожен раз проводиться співставлення накопичених до даного розряду частот. Якщо розбіжності між двома розподілами суттєві, то в деякий момент різниця накопичених частот досягне критичного значення, і тоді можна визнати розбіжності достовірними. У формулу критерію л включається ця різниця. Чим більше емпіричне значення л, тим більш істотні розбіжності. Статистичні гіпотези при цьому будуються таким чином. Основна (Н0 ). Розбіжності між двома розподілами недостовірні (судячи з точки максимального накопиченого розходження між ними). Конкуруюча (Н1 ). Розбіжності між двома розподілами достовірні (судячи з точки максимального накопиченого розходження між ними). Попри досить просту розрахункову процедуру та універсальність зазначений критерій має декілька обмежень:

1. Критерій вимагає, щоб вибірка була достатньо великою. При спів- ставленні двох емпіричних розподілів необхідно, щоб n1,2 ? 50. Порівняння емпіричного розподілу з теоретичним іноді допускається при n ? 5

2. Розряди (рівні) повинні бути впорядковані за наростанням або спа- данням якої-небудь ознаки. Вони обов'язково повинні відображати будь-яку односпрямовану його зміну. Таким чином, не можна накопичувати частоти (частості) за розрядами, які відрізняються лише якісно і не являють собою шкали порядку.

3. Кількість розрядів ознаки повинна перевищувати 3 розряди.

Алгоритм застосування критерію Колмогорова виглядає таким чином:

1. Записуються варіаційні ряди емпіричної і контрольної (теоретичної) вибірок.

2. Обчислюються відносні частоти і для двох наявних вибірок.

3. Записуються модулі різниць d₁=|| і шукається найбільший d_max.

4. Визначається емпіричне значення критерію л_емп за допомогою формули л_емп=d_max? . (1.12)

5. Визначається критичне значення критерію для заданого рівня значущості б , яке порівнюється з л_емп>, то Н₀ відхиляється на заданому рівні значущості б.

Рівень значущості а - це ймовірність того, що помилково буде відхилена висунута гіпотеза Н₀. В статистиці користуються трьома рівнями а:

§ б= 0,1 (в 10 випадках зі 100 може бути відхилена правильна гіпотеза);

§ б= 0,05 (в 5 випадках зі 100 може бути відхилена правильна гіпотеза);

§ б = 0,01 (в 1 випадку зі 100 може бути відхилена правильна гіпотеза).

Для перевірки розподілу на предмет відповідності нормальному закону розподілу обчислюють середнє значення і середньоквадратичне відхилення у, а потім обчислюють відності теоретичні частоти за наступною формулою:

(1.13)

- абсолютна теоретична частота, ; -крок (ширина інтервалу даних ознаки, згрупованих в і-у групу з серединою в точці ), , ц(u)=.

Обчислимо значення контрольних величин = на підставі (1.13) і внесемо результати обчислень в розрахункову табл.1.3. Значення для і у беремо з (1.7a) - (1.7b): ; у=1,624; h_і= h= 2; = 0,8058 .

Табл. 1.3

і	xі	uі	ці	fі теор	fі емп	| fі теор - fі емп |
1	5032	-5,42	0,00074	0,0006	0,01	0,0094
2	5034	-4,19	0,00935	0,00754	0,03	0,0225
3	5036	-2,96	0,06149	0,04955	0,02	0,0296
4	5038	-1,73	0,21114	0,17014	0,09	0,0801
5	5040	-0,5	0,37875	0,3052	0,41	0,1048
6	5042	0,73	0,35493	0,28601	0,3	0,0140
7	5044	1,96	0,17376	0,14002	0,07	0,0700
8	5046	3,2	0,04444	0,03581	0,03	0,0058
9	5048	4,43	0,00594	0,00478	0,02	0,0152
10	5050	5,66	0,00041	0,00033	0,01	0,0097

З табл. 1.3 видно, що d_max= 0,1048 при і = 5. Оскільки п = 210, то згідно (1.12)

л_емп=0,1048? = 1,5187. (1.14)

Перевагою критерію Колмогорова є те, що для вибірок об'ємом n> 35критичні значення можна визначити не по таблицях, а розрахувати по асимптотичній формулі [5]:

(1.15)

де б - рівень значущості.

Для б = 0,1; 0,05; 0,01 з (1.15) маємо відповідно:

; ; ; (1.15a)

а , отже, порівнюючи (1.15) з (1.15а), знаходимо

; ; ; (1.15b)

Порівнюючи значення л_емп з (1.14) зі значеннями з (1.15b) бачимо,

що задовольняється нерівність

л_емп> (1.16)

для кожного з заданих рівнів значущості а . Це означає , що гіпотеза Н₀ відхиляється.

Оскільки задовольняється нерівність (1.16) для заданої вибіркової сукупності, то гіпотезу слід відкинути.

ІІІ. Перевірка статистичної гіпотези за критерієм згоди Пірсона (критерій).

Значення критерію розраховують [1] за формулою:

де - спостережувана абсолютна частота і-тої групи; - теоретична частота попадання даних в і-й інтервал для вибраного розподілу; n - об'єм вибірки, k - число груп, на які розбито розподіл.

Для розподілу складені таблиці, де вказано критичне значення критерію згоди для вибраного рівня значущості б і ступенів свободи v . Число ступенів свободи v визначається як число груп в емпіричному ряді розподілу мінус число зв'язків. Число ступенів свободи v=k - r - 1, де r- число параметрів моделі розподілу, що використовуються для розрахунку теоретичних частот. Зокрема, при розрахунку параметрів моделі за інтервальним варіаційним рядом число ступенів свободи v беруть рівним k - 2 для біноміального і k - 3 - для нормального розподілу, оскільки в останньому випадку використовуються r = 2 параметри :і у.

Алгоритм застосування критерію виглядає наступним чином.

1. Записують частоти по kінтервалам.

2. Перевіряють рівність

вибірка дискретний критерій розподіл

3. Обчислюють значення

4. Знаходять

5.

6. Знаходять по таблиці критичних точок розподілу

7. Якщо , то приймається гіпотеза Н₀ .

Розраховуємо значення , , і підставляємо їх в табл.1.4. Значення розраховуємо за допомогою (1.13) і значень з табл. 1.3.

За таблицею критичних точок розподілу [1] по рівнях значущості б = 0,01; 0,05; 0,1 і числу ступенів свободи v = k - 3 = 10 - 3 = 7знаходимо відповідні критичні точки (див. Додаток 1):

.

Порівнюючи ці значення зі значенням з табл. 1.4 бачимо, що задовольняється нерівність , а це означає, що приймається альтернатива до Н₀ гіпотеза про несхожість заданого емпіричного розподілу з нормальним.

Табл. 1.4

і	xі	uі	ці		nі	(nі-)2
1	5032	-5,42	0,00074	0,1198	2	3,535	29,509
2	5034	-4,19	0,00935	1,5074	6	20,183	13,390
3	5036	-2,96	0,06149	9,9092	5	24,100	2,432
4	5038	-1,73	0,21114	34,027	19	225,811	6,636
5	5040	-0,50	0,37875	61,0396	87	673,942	11,041
6	5042	0,73	0,35493	57,2012	63	33,626	0,588
7	5044	1,96	0,17376	28,003	15	169,078	6,038
8	5046	3,20	0,04444	7,1616	7	0,026	0,004
9	5048	4,43	0,00594	0,9568	4	9,261	9,679
10	5050	5,66	0,00041	0,0828	2	3,676	44,392

Оскільки не задовольняється нерівність для заданої вибіркової сукупності, то гіпотезу слід відкинути.



Завдання №2

Визначити коефіцієнти зв'язку k₁, x_p вхідного X та вихідного Yсигналів фазово-часового дискримінатора, що є складовою системи автоматичного супроводу цілі по дальності, якщо відомо, що дискримінаційна характеристика пристрою апроксимується фінітною функцією y(x)кусково-лінійнійного типу:

де - значення розугодження керуючого сигналу, при якому вихідна напруга дискримінатора Y=0. Ідентифікацію параметрів лінійної математичної моделі статистичного об'єкта провести:

1) регресійним методом найменших квадратів;

2) з використанням центрованих даних.

Обраховану функціональну залежність зобразити на координатній площині (х,у).

Вихідні експериментальні дані:

Х= {1; 2; 3; 4; 5}; Y={1.25; 2.5; 2.75; 3.5; 4.25}.

Розв'язок :

X таY - є кінцеві множини експериментальних значень вхідних (факторних) величин

1. Математична модель функціонального зв'язку між вхідними і вихідними змінними задається у вигляді рівняння регресії

,

При регресійних методах ідентифікації в якості найбільш часто застосовуються степеневі поліноми:

. (2.4)

Задача ідентифікації полягає у знаходження таких оцінок невідомих параметрів а_і, при яких задана рівнянням (2.4) аналітична залежність буде найкращим чином апроксимувати експериментальні дані.

В якості критерію близькості використовується мінімум квадратичної нев'язки J значень фактичних змінних у_і і модельних у_Mі , що розраховані за рівнянням регресії (2.4):

(2.5)

де - експериментальне значення вихідної змінної, - відповідне модельне значення.

Для обрахунку коефіцієнтів регресії складають рівняння на знаходження екстремума по кожному параметру :

(2.6)

Сукупність співвідношень (2.5) утворює систему з т+1 рівняння відносно оцінок коефіцієнтів рівняння регресії (2.4). В нашому випадку, коли рівняння регресії має вигляд (2.2), критерій мінімуму середньоквадратичної похибки визначається функціоналом:

(2.7)

З (2.7) відповідно до (2.6) отримуємо систему нормальних рівнянь:



(2.8)

Для визначення коефіцієнтів системи (2.8) складаємо таблицю 2.1:

Табл. 2.1

1	1,25	1	1,25
2	2,5	4	5
3	2,75	9	8,25
4	3,5	16	14
5	4,25	25	21,25

звідки:

(2.9)

Розв'язуючи систему (2.9), знаходимо параметри моделі. З першого рівняння системи знаходимо

(2.10)

Підставляючи вираз (2.10) для в друге рівняння системи (2.9), маємо рівняння для знаходження :

15 (2,85 - 3) + 55 = 49,75 (2.11)

З (2.11) знаходимо :

10 = 7, або = 0,7. (2.12)

Отже, наша лінійна регресійна модель має вигляд:

. (2.13)

2)Центрованою називається випадкова величина х , математичне очікування якої M[x] дорівнює нулю. Випадкові величини центрують, віднімаючи від них математичне очікування або його незміщену оцінку.

Якщо в заданих статистичних спостереженнях нема систематичної похибки (змішення, тренду), то в цьому випадку задовольняється рівність , де і - вибіркові середні, а - коефіцієнт регресії.

Оцінка коефіцієнта регресії рівняння лінійної регресії знаходиться за формулами:

(2.14)

де ,(- коефіцієнт кореляції).

. (2.15)

Розрахуємо модель з використанням центрованих даних. Для цього обчислимо коефіцієнт кореляції між XіY через коваріацію цих двох вибірок, що є мірою їхньої лінійної залежності:

, (2.16)

де - вибіркові дисперсії вибірок XіY відповідно - див. (1.1d).

Обраховуємо середні вибіркові

Підставляючи знайдені значення статистичних характеристик в (2.14) знаходимо :

(2.17)

а з (2.15) з врахуванням (2.17) знаходимо, що , що співпадає з (2.13).

Обрахована лінійна регресійна модель і початкові емпіричні дані зображені на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Регресійна модель і емпірична залежність

Завдання №3

Використовуючи критерії типу Граббса, перевірити наступну експериментальну вибірку даних (Х) на наявність аномальних членів:

=3,68; =5,08; =2,81; =4,43; =3,11; =2,95; =4,65; =3,43; =4,76; =8.22; =3,27; =3,26; =2,75; =3,78; =4,08; =2,48; =4,15;=4,51; =4,84.

Розв'язок :

Для статистичного аналізу даних на наявність викидів і ідентифікації викидів застосовують критерії Кохрена і Граббса.

Для перевірки спостережень на викид застосовують прості критерії Граббса. Критерії використовуються для перевірки на аномальність спостережень, що належать вибіркам з нормальної генеральної сукупності. Статистики критерію Граббса передбачають можливість перевірки на наявність у вибірці або одного аномального спостереження (найменшого або найбільшого), або двох (двох найменших у вибірці або двох найбільших).

Критерій Граббса перевірки на один викид.

Нехай , , … , - спостережувана вибірка, - побудований по ній варіаційний ряд. Гіпотеза Н₀ , що перевіряється, полягає в тому, що усі , , … , належать одній генеральній сукупності. При перевірці на викид найбільшого вибіркового значення конкуруюча гіпотеза Н₁ полягає в тому, що належать одному закону, а деякому іншому, істотно зрушеному вправо. При перевірці на викид статистика критерію Граббса має вигляд

, (3.1)

Де



, (3.2)

. (3.3)

При перевірці на викид найменшого вибіркового значення конкуруюча гіпотеза Н₁ припускає, що належить деякому іншому закону, істотно зрушеному вліво. В даному випадку обчислювана статистика набирає вигляду

, (3.4)

Максимальне або мінімальне спостереження вважається викидом, якщо значення відповідної статистики перевищить критичне :

, (3.5)

де п - об'єм вибірки, б - рівень значущості, що задається.

Критичні значення можна взяти з таблиць, що наведені в стандарті ІSO5725-2: «Точність (правильність і прецизійність) методів і результатів вимірювань. Частина 2.». але в таблиці процентних точок , що наведена в стандарті ІSO5725-2 (табл.5), невірно вказані рівні значущості а. Тому слід користуватися скорегованою таблицею, наведеною в Додатку 2.

Побудуємо за спостережуваною вибіркою варіаційний ряд, тобто проведемо ранжирування експериментальної вибірки з порядку збільшення її членів:

=2,48; 2,75; =2,81;=2,95; 3,11; =3,26;3,27; =3,43; 3,68; =3,78; 4,08; =4,15;4,43; =4,49; 4,51; =4,65; 4,76; =4,84; 5,08; =8,22.

Перевіримо найменший =2,48 і найбільший =8,22 члени варіаційного ряду на викид, тобто на задоволення критерію Граббса (3.5). Для цього обрахуємо середнє вибіркове і середнє квадратичне відхилення s:

Підставив знайдені значення , s, а також і в (3.1), (3.4), знаходимо:

. (3.6)

Для рівнів значущості виберемо найбільш вживані значення:

б₁ =0,01; б₂=0,05; б₃=0,1.

По таблиці з Додатку 2 знаходимо критичні значення для

б₁ =0,01; б₂=0,05; б₃=0,1:

(0,01;20)=2,884; (0,05;20)=2,557;(0,1;20)=2,385 . (3.7)

Порівнюючи (3.6) з (3.7) робимо висновок, що для рівнів значущості

б₁ =0,01 і б₂=0,05 обидва члени варіаційного ряду - і не є викидами, в той час як для б₃=0,1 нульова гіпотеза про належність до генеральної сукупності не справджується, тобто на цьому рівні значущості є викидом.



ВИСНОВОК

Для рівнів значущостіб₁ =0,01 і б₂=0,05б₃=0,1перший член варіаційного ряду - =2,48 , що є найменшим членом емпіричної сукупності даних, не є викидом оскільки , тоді як) для =8,22критерій Граббсане виконується, тобто , що свідчить про те, що дана вибірка не належить до генеральної сукупності і найбільший член вибірки на вказаному рівні значущості можна вважати викидом.



Завдання №4

Провести ідентифікацію параметрів поліноміальної математичної регресії, яка задана рівнянням параболи другого ступеня вигляду Y=a₀+a₁X+a₂X²що є аналітичним наближенням вибірки експериментальних даних, які наведені в табл.4.1, і оцінити значущість кожного зі знайдених коефіцієнтів, а, також, робото здатність заданої регресійної моделі за критерієм Фішера.

На координатній площині (Х,Y) нанести дані з табл.4.1 і побудувати графік знайденої параболи в діапазоні експериментальних значень Х.

X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Y	10	16	20	23	25	26	30	36	48	62	78	94	107	118	127

Розв'язок:

Регремсія -- форма зв'язку між випадковими величинами. В задачі апроксимація дослідних даних відбувається квадратичним поліномом.

. (4.1)

Ідентифікацію статистичного об'єкта проведемо регресійним методом найменших квадрантів. Критерій мінімума середньоквадратичної похибки в цьому випадку визначається функціоналом

, (4.2)

що повинен задовольняти рівнянням (2.6), які визначають умови знаходження екстремума для (4.2).



(4.3)

Після нескладних перетворень в (4.3), отримуємо систему нормальних рівнянь:

(4.4)

Подамо систему (4.4) в матричному вигляді: , де

- квадратна матриця 3х3;

-вектор-стовбець шуканих коефіцієнтів а_і ( і = ) рівняння регресії (4.1);

-вектор-стовбецьвільних коефіцієнтів системи рівнянь (4.4).

Система лінійних рівнянь (4.4) відносно шуканих компонентів вектора може бути розв'язана будь-яким з трьох методів:

1. за допомогою правила Крамера;

2. методом оберненої матриці;

3. методом Гауса (метод виключення невідомих).

Перші два підходи можна застосувати тільки в тих випадках, коли матриця А є не виродженою, тобто коли її визначник - головний визначник Д системи - відмінний від нуля.

Табл. 4.2

1	1	1	1	10	10	10
2	4	8	16	16	32	64
3	9	27	81	20	60	180
4	16	64	256	26	92	368
5	25	125	625	25	125	625
6	36	216	1296	26	156	936
7	49	343	2401	30	210	1470
8	64	512	4096	36	288	2304
9	81	729	6561	48	432	3888
10	100	1000	10000	62	620	6200
11	121	1331	14641	78	858	9438
12	144	1728	20736	94	1128	13536
13	169	2197	28561	107	1391	18083
14	196	2744	38416	118	1652	23128
15	225	3375	50625	127	1905	28575
	1240	14400	178312	820	8959	108805

Матриця А є не виродженою,розв'яжемо рівняння методом оберненої матриці. Застосуємо для вирішення цієї задачі апарат Mathcad.

Отриманий вектор стовбець коефіцієнтів регресії

Підставляючи знайдені значення в (4.1) знаходимо, що регресійна модель експериментальних даних, заданих таблицею 4.1 , має вигляд:

у_м=15,07-1,65х+0,64х². (4.8)



Для перевірки значущості отриманого рівняння регресії визначимо статистику Фішера - F-статистику, - тобто характеристику точності рівняння регресії, що є відношенням частини дисперсії залежної змінної, яка пояснена (обрахована)рівнянням регресії, до непоясненої (залишкової) частини дисперсії цієї ж змінної, яка обумовлена відсутністю інформації про всі точки генеральної сукупності:

, (4.9)

де - об'єм вибірки, - число незалежних параметрів при факторних змінних в рівнянні регресії (в нашому випадку це коефіцієнти при х і х² ) . Залишкова дисперсія - це частина дисперсії залежної змінної у , яка не пояснена рівнянням регресії, її наявність є наслідком дії випадкової складової. У нашому випадку (4.8) т = 2, оскільки х² можна вважати другою незалежною змінною.

Для вибраного рівня значущості б по розподілу Фішера визначається табличне значення , ймовірність перевищення якого у вибірці об'єму п , отриманої з генеральної сукупності без зв'язку між змінними, не перевищує рівня значущості б , і далі порівнюється з фактичним значеннямF - статистики (4.9) для регресійного рівняння (в нашому випадку це (4.8)).

Якщо виконується умова , то встановлений по вибірці функціональний зв'язок між змінними у і х є і в генеральній сукупності , тобто регресійна модель вважається працездатною.

Якщо ж виявляється, що рівняння , то існує реальна ймовірність того, що по вибірці встановлений не існуючий в реальності зв'язок між змінними.

Знайдемо значення F-статистики з (4.9) для нашого випадку, коли n = 15, т = 2; ; при для (4.8). Для цього складемо табл. 4.3.

Табл. 4.3

1	10	14,06	-40,61	-4,06	1649,17	16,48
2	16	14,33	-40,34	1,67	1627,32	2,79
3	20	15,88	-38,79	4,12	1504,66	16,97
4	23	18,71	-35,96	4,29	1293,12	18,40
5	25	22,82	-31,85	2,18	1014,42	4,75
6	26	28,21	-26,46	-2,21	700,13	4,88
7	30	34,88	-19,79	-4,88	391,64	23,81
8	36	42,83	-11,84	-6,83	140,19	46,65
9	48	52,06	-2,61	-4,06	6,81	16,48
10	62	62,57	7,9	-0,57	62,41	0,32
11	78	74,36	19,69	3,64	387,70	13,25
12	94	87,43	32,76	6,57	1073,22	43,16
13	107	101,78	47,11	5,22	2219,35	27,25
14	118	117,41	62,74	0,59	3936,31	0,35
15	127	134,32	79,65	-7,32	6344,12	53,58
	820				22350,57	289,12

За таблицями значень критерію Фішера (Додаток 3) для п = 15, т = 2, б = 0,05 знаходимо, що

(4.10)

Підставляючи значення з табл.4.3 в (4.9), розраховуємо статистику Фішера F:

- модель є працездатною.

Взагалі вважається, що для отримання статистично значущих рівнянь регресії необхідно, щоб задовольнялась умова: .В нашому випадку це виконується, оскільки 15 6?2=12.

Після того, як виконана перевірка статистичної значущості регресійного рівняння в цілому корисно здійснити перевірку на статистичну значущість отриманих коефіцієнтів регресії. Ідеологія перевірки така ж, як і при перевірці рівняння в цілому, але як критерій використовується t-критерій Стьюдента. Перевіряється нульова гіпотеза Н₀ : коефіцієнт а_і є незначущим, тобто а_і=0.

Будемо вважати, що модель (4.1) є двомірною, ввівши для цього нову лінійну факторну змінну х₂ = х². Для цього обраховуємо значення критерію Ст'юдента для коефіцієнтів ; розраховуємо за формулами:

; ,… (4.11)

де - статистична дисперсія і-ї факторної ознаки (незалежної змінної); R_і - коефіцієнт множинної кореляції, що виражається через інформаційну матрицю Фішера М: - залишкова дисперсія. Для нашого випадку можна вважати, що . Знайдемо і :

; . (4.12)

Підставляючи (4.12) в (4.11) , знаходимо:

;

; (4.13)

.

Отримані фактичні значення критерію Стьюдента порівнюються з табличними значеннями критичних точок t_{б, n-m-1}, отриманими з розподілу Стьюдента. Якщо виявляється , що , то відповідний коефіцієнт статистично значущий і приймається альтернатива до Н₀ гіпотеза, в протилежному випадку - ні. Для б = 0,05 і п-т-1=12 знаходимо табличне значення критерію Стьюдента:

_. (4.14)

Порівнюючи (4.14) з (4.13), приходимо до висновку, що ( і = ), а отже всі коефіцієнти регресійної моделі статистично значущі і приймається альтернатива до Н₀ гіпотеза.

Як експрес-метод оцінки значущості коефіцієнтів рівняння регресії можна застосовувати наступне правило: якщо фактичне значення критерію Стьюдента більше 3, то такий коефіцієнт, як правило, виявляється статистично значущим.

На рис. 4.1 відображено обраховану квадратичну регресійну модель і початкові емпіричні дані на координатній площині XОY.



ВИСНОВОК

Для регресійної моделі , що описується квадратичною функціональною залежністю типу y_n= a₀+ a₁x + a₂x², методом найменших квадратів розраховані коефіцієнти профакторних змінних і за допомогою t-критерію Стьюдента доказана їхня значущість. Для перевірки значущості отриманого рівняння регресії розраховано статистику Фішера - F - статистику для рівняння значущості а = 0,05 і доказана працездатність запропонованої регресійної моделі.

Рис. 4.1. Регресійна модель і емпірична залежність



ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистике / Г. Се- кей. - М. : Мир, 1990. - 235 с.

2. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии / Е. В. Сидо- ренко. - СПб : Речь, 2000. - 350 с.

3. В.Н. Киричков. Идентификация объектов систем управления 4. технологическими процессами //К. «Вища школа», 1990, 263 с.

4. Д. Гроп. Методы идентификации систем // М. ''Мир'', 1979, 302с.

5. А. Уорсинг, Дж. Геффнер. Методы обработки экспериментальных данных

6. Н.Дрейпер, Г.Смит. Прикладной регрессионный анализ // М. Статистика,

1973.- 392с.

7. Крамер Г. Математические методы статистики/ Пер.с англ. под. ред. акад. Н.Колмогорова.- 2-е изд., стереотипное.- М.: Мир, 1975.- 648с.

8. Бахрушин В.Є. Методи аналізу даних. - Запоріжжя: КПУ, 2011. -268с.

9. Орлов А.И. Прикладная статистика. - М.: Экзамен, 2006. - 672 с.

10. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. - М.: Наука, 1984. - 472 с.

11. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- 3-е изд.-М.: Наука, 1983.- 416с



ДОДАТОК 1

РОЗПОДІЛ

100б- відсоткове значення величини ч² з vступенями свободи визначається таким чином, щоб для спостереженого значення ч² ймовірність Р перевищити дорівнювала

(б; v) як функція від б і v
v\a	0,99	0,98	0,95	0,9	0,8	0,7	0,5	0,3	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
1	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,706	3,841	5,412	6,635	10,827
2	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,408	3,219	4,605	5,991	7,824	9,210	13,815
3	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,366	3,665	4,642	6,251	7,815	9,837	11,341	16,268
4	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,195	3,357	4,878	5,989	7,779	9,488	11,668	13,277	18,465
5	0,554	0,752	1,145	1,610	2,343	3,000	4,351	6,064	7,289	9,236	11,070	13,388	15,086	20,517
6	0,872	1,134	1,635	2,204	3,070	3,828	5,348	7,231	8,558	10,645	12,592	15,033	16,812	22,457
7	1,239	1,564	2,167	2,833	3,822	4,671	6,346	8,38	9,803	12,017	14,067	16,622	18,475	24,322
8	1,646	2,032	2,733	3,490	4,594	5,527	7,344	9,524	11,030	13,362	15,907	18,168	20,090	26,125
9	2,088	2,532	3,325	4,168	5,380	6,393	8,343	10,656	12,242	14,684	16,919	19,679	21,666	27,877
10	2,558	3,059	3,940	4,865	6,179	7,767	9,342	11,781	13,442	15,987	18,307	21,161	23,209	29,588
11	3,053	3,609	4,575	5,578	6,989	8,148	10,341	12,899	14,631	17,275	19,675	22,618	24,725	31,264
12	3,571	4,178	5,226	6,304	7,807	9,034	11,340	14,011	15,812	18,549	21,026	24,054	26,217	32,909
13	4,107	4,765	5,892	7,042	8,634	9,926	12,340	15,119	16,985	19,812	22,362	25,472	27,688	34,528
14	4,660	5,368	6,571	7,790	9,467	10,821	13,339	16,222	18,151	21,064	23,685	26,873	29,141	36,123
15	5,229	5,985	7,261	8,547	10,307	11,721	14,339	17,322	19,311	22,307	24,996	28,259	30,578	37,697
16	5,812	6,614	7,962	9,312	11,152	12,624	15,338	18,418	20,465	23,542	26,296	29,633	32,000	39,252
17	6,408	7,255	8,672	10,085	12,002	13,531	16,338	19,511	21,615	24,769	27,587	30,995	33,409	40,790
18	7,015	7,906	9,390	10,865	12,857	14,440	17,338	20,601	22,760	25,989	28,869	32,346	34,805	42,312
19	7,633	8,567	10,117	11,651	13,716	15,352	18,338	21,689	23,900	27,204	30,144	33,687	36,191	43,820
20	8,260	9,237	10,851	12,443	14,578	16,266	19,3337	22,775	25,038	28,412	31,410	35,020	37,566	45,315
21	8,897	9,915	11,591	13,240	15,445	17,182	20,337	23,858	26,171	29,615	32,671	36,343	38,932	46,797
22	9,542	10,600	12,338	14,041	16,314	18,101	21,337	24,939	27,301	30,813	33,924	37,659	40,289	48,268
23	10,196	11,293	13,091	14,848	17,187	19,021	22,337	26,018	28,429	32,007	35,172	38,968	41,638	49,728
24	10,856	11,992	13,848	15,659	18,062	19,943	23,337	27,096	29,553	33,193	36,415	40,270	42,980	51,179
25	11,524	12,697	14,611	16,473	18,940	20,867	24,337	28,172	30,675	34,382	37,652	41,566	44,314	52,620
26	12,198	13,409	15,379	17,292	19,820	21,792	25,336	29,246	31,795	35,563	38,885	42,856	45,642	54,052
27	12,879	14,125	16,151	18,114	20,703	22,719	26,336	30,319	32,912	36,741	40,113	44,140	46,963	55,476
28	13,565	14,847	16,928	18,959	21,588	23,649	27,336	31,391	34,027	37,916	41,337	45,419	48,278	5...

Подобные документы

• Статистичні гіпотези та їх перевірка

  Вивчення питання про достовірність відмінностей на основі перевірки за вибірковими характеристиками статистичної гіпотези. Огляд відомостей про закони розподілу дискретних, неперервних випадкових величин, які також можуть зустрітися в реальних випадках.
  
  контрольная работа [28,4 K], добавлен 27.11.2010
  

• Економічне значення рядів розподілу

  Статистичні ряди розподілу, їх елементи. Форми кривих розподілів, по яких може вирівнюватися варіаційний ряд. Розподіл Фішера і Стьюдента, показовий і нормальний розподіл. Використання показників рядів розподілу при дослідженні банківської системи.
  
  контрольная работа [911,7 K], добавлен 15.01.2011
  

• Статистичні ряди розподілу

  Побудова статистичного ряду розподілу банків за обсягом вкладень у цінні папери. Розрахунок значень моди, медіани та середньої арифметичної. Визначення помилки вибірки середнього обсягу вкладень. Аналіз динамічного ряду за даними с заводу "Никифорів".
  
  контрольная работа [371,3 K], добавлен 14.02.2013
  

• Ряди розподілу, їх види, побудова та характеристики форм

  Теоретичні аспекти рядів розподілу, їх сутність. Варіаційні, дискретні та інтервальні ряди. Графічне зображення рядів розподілу, характеристики форм. Аналіз підприємств сумських рибхозів за вартістю проданого товару. Принципи побудови рядів розподілу.
  
  курсовая работа [481,6 K], добавлен 11.03.2012
  

• Варіаційні ряди, їх види, правила побудови, роль та значення в аналізі статистичних даних

  Статистичний ряд розподілу та варіаційні ряди. Приклади побудови та графічного зображення рядів розподілу, полігон, гістограма, кумулята. Криві розподіли та їх види. Суть статистичного зведення, класифікація та агрегатування матеріалів спостереження.
  
  курсовая работа [238,3 K], добавлен 05.06.2010
  

• Статистичне дослідження

  Статистичний метод групування та особливості його використання. Середні величини (характеристики варіаційного ряду розподілу) та показники варіації. Модель кореляційно-регресійного аналізу. Динамічний ряд та його елементи, індекси, методи вирівнювання.
  
  курсовая работа [545,9 K], добавлен 04.01.2013
  

• Групування показників за капіталом

  Побудова інтервального ряду розподілу за капіталом, за прибутковістю капіталу. Оцінка рівняння регресії. Середня зміна результативного показника. Гранична помилка вибірки та інтервал можливих значень середньої величини ознаки в генеральній сукупності.
  
  контрольная работа [361,9 K], добавлен 26.07.2015
  

• Методи обчислення дисперсії

  Загальне поняття статистичної дисперсії як базового інструмента для статистичної оцінки варіації розподілу, її розрахунок. Формулювання основного правила складання дисперсій. Вирішення деяких статичних задач з використанням рядів динаміки та дисперсії.
  
  контрольная работа [174,3 K], добавлен 03.06.2009
  

• Дослідження випадкових процесів

  Характеристика випадкових процесів. Математичне очікування, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт асиметрії. Числові статистичні характеристики закону розподілу. Перетворення випадкових процесів. Дослідження алгоритмів виявлення сигналів.
  
  курсовая работа [2,5 M], добавлен 01.10.2015
  

• Обчислення статистичних варіацій

  Абсолютні характеристики варіації, їх значення у дослідженні та способи обчислення. Середні величини як узагальнюючі показники. Середнє лінійне відхилення в статистичній практиці. Система вартісних показників обсягу продукції. Коливання окремих значень.
  
  контрольная работа [73,8 K], добавлен 26.01.2013
  

• Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу

  Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей, виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності, двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких відомі (незалежні вибірки).
  
  реферат [87,1 K], добавлен 10.02.2011
  

• Прибуток підприємства та механізм його розподілу

  Сутність, значення прибутку в господарській діяльності підприємств. Джерело формування загальної величини прибутку підприємства та види прибутку. Напрями підвищення прибутковості вітчизняних суб’єктів господарювання. Шляхи оптимізації розподілу прибутку.
  
  курсовая работа [1003,8 K], добавлен 16.12.2010
  

• Застосування неперервних випадкових величин в економіці

  Поняття випадкової величини як одне з основних понять теорії ймовірностей, способи задавання розподілу ймовірностей. Характеристика ризику в ціноутворенні, проблема обліку, оцінка ризику в ціноутворенні на продукцію великовантажного автомобілебудування.
  
  реферат [116,2 K], добавлен 18.05.2010
  

• Основи статистики

  Порівняння середніх значень факторних та результативної ознак. Статевий склад населення в Україні та розподілення у вигляді векторних діаграм. Відносні показники інтенсивності та розрахунки середньої величини і середнього квадратичного відхилення.
  
  контрольная работа [429,6 K], добавлен 26.04.2014
  

• Динамічний ряд правового показника

  Побудова рядів розподілу для 30 засуджених за атрибутивною і варіаційною ознакою. Оформлення результатів викладання у формі статистичних таблиць та гістограми. Визначення середньої величини, моди і медіани. Аналіз змін в динаміці правового показника.
  
  контрольная работа [54,3 K], добавлен 22.12.2010
  

• Аналіз обсягу виробництва цукрових буряків (фабричних) за регіонами у 2007 р.

  Розрахунок інтервального ряду розподілу населення за обсягом виробництва цукрових буряків. Розрахунок статистичних показників: середня величина для всієї сукупності регіонів, мода, медіана, середнє лінійне та квадратичне відхилення, дисперсія, варіація.
  
  контрольная работа [145,1 K], добавлен 04.02.2011
  

• Статистичний аналіз обсягів заготівлі ліквідної деревини за регіонами за різний період часу

  Розподіл регіонів за заготівлею ліквідної деревини, розрахунок середнього, модального та медіального значення, обчислення середнього, лінійного та квадратичного відхилення. Розрахунок ланцюгових і базисних показників, побудова відповідних графіків.
  
  контрольная работа [84,5 K], добавлен 26.02.2012
  

• Економіко-статистичний аналіз даних виробництва зернових і зернобобових культур

  Предмет, завдання і система показників статистики ефективності виробництва зернових і зернобобових культур. Статистична оцінка варіації та аналіз форми розподілу. Статистичні методи вивчення взаємозв’язків у виробництві. Кореляційно-регресійний аналіз.
  
  курсовая работа [732,8 K], добавлен 19.11.2014
  

• Статистичний аналіз показників продуктивності корів

  Статистичне спостереження. Статистична оцінка продуктивності корів та чинників, що на неї впливають. Види статистичних групувань. Аналіз рядів розподілу. Кореляційний аналіз продуктивності корів. Особливості рангової, простої, множинної кореляції.
  
  курсовая работа [508,1 K], добавлен 14.04.2016
  

• Розрахунок середніх показників в економіці

  Побудова інтервального ряду розподілу підприємств за обсягом виручки. Обчислення вибіркових характеристик розподілу. Визначення середньої частки вкладів населення в комерційних банках, середньорічної кількості безробітних та середньорічний темп приросту.
  
  контрольная работа [109,4 K], добавлен 17.01.2011
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам