Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Обзор литературы
• Методология исследования
• Общее описание модели пространства состояний
• Методология для оценки модели с макроэкономическими переменными
• Методология для оценки влияния показателей Еврозоны на показатели Швейцарии
• Описание данных доходности государственных облигаций
• Макроэкономические показатели
• Результат оценки модели для Швейцарии только с коэффициентами, описывающими кривую доходности
• Результат оценки модели для Швейцарии с макроэкономическими переменными
• Результат оценки влияния стран Еврозоны на динамику кривой доходности Швейцарии
• Заключение
• Список используемой литературы


Введение

Изучение кривой доходности представляет интерес для экономистов и финансистов уже многие годы. Такой интерес объясняется тем, что структура процентных ставок в экономике дает представление о текущей экономической ситуации, позволяет инвесторам выстроить стратегию инвестирования своих средств, а также позволяет строить прогнозы относительно будущего развития экономики и деловой активности. С середины XX века экономисты проводят исследования, в которых делают попытки построить модель кривой доходности, а также оценить, какие показатели влияют на форму кривой.

В данном исследовании будет представлен анализ кривой доходности для Швейцарии. Это развитая страна, которая является одним из крупнейших мировых финансовых центров и характеризуется высоким уровнем монетизации экономики. Швейцария всегда являлась привлекательной страной для инвесторов, потому что отличается стабильностью и надежностью. Инвесторы всего мира заинтересованы в том, что определяет динамику доходностей по долговым ценным бумагам в этой стране. Однако в последние два года наблюдается ситуация, когда доходности по облигациям в Швейцарии принимают отрицательные значения, то есть инвесторы платят правительству страны за то, что владеют ценными бумагами их государства. Одной из причин, сложившейся ситуации может служить проведение Европейским Центральным Банком (ЕЦБ) программы количественного смягчения. В результате это программы процентные ставки в странах Еврозоны снижаются. Центральному Банку Швейцарии также приходится снижать ставки, чтобы избежать риска большого притока капитала, который оказывает давление в сторону укрепления национальной валюты.



Обзор литературы

В научной литературе уже давно изучается вопрос моделирования и прогнозирования поведения кривой доходности. Можно выделить четыре причины, по которым необходимо понимать, что оказывает воздействие на структуру ставок доходностей облигаций (Piazzesi, 2010): 1) с помощью структуры процентных ставок можно прогнозировать будущую деловую активность, а также краткосрочные ставки процента. На основе полученных прогнозов население и фирмы могут принимать решение относительно будущих сбережений и инвестиций. 2) кривая доходности имеет прикладное значение для монетарной политики, потому что, как правило, центральный банк с помощью ставок может управлять положением короткого конца кривой доходности, в то время как инвестиционные решения принимаются на основе ставок на длинном конце кривой доходности, поэтому выявление механизма перехода краткосрочных ставок в долгосрочные позволит центральному банку эффективнее работать; 3) формирование долговой политики государства с целью предотвращения спекуляций на рынке; 4) формирование стратегий хеджирования банками и корпорациями.

Durand (1942) начал исследование кривой доходности с изучения корпоративных облигаций с 1990 по 1942 гг. Кривой доходности автор назвал монотонную кривую, соединяющую точки, отражающие зависимость между доходностью и дюрацией. Такой подход позволяет только понять форму кривой. Затем исследователи переходили к оценке кривых доходностей с помощью полиномиальных форм. Например, McCulloch (1971, 1975) и McCulloch and Kwon (1993) использовали квадратическую и кубическую формы соответственно. Однако полиномиальные формы не имеют предела на бесконечности, что не соответствует теоретическим представлениям о форме кривой. Vasicek and Fong (1982) предложили экспоненциальную кривую доходности, которая лишена недостатков полиномиальной формы, но и такая форма не описывала реальные данные достаточно точно. Революционный подход был предложен в работе Nelson and Siegel (1987), где кривая задавалась в статической форме с использованием параметрического оценивания. Авторами было получено уравнение кривой в следующем виде:

,

где y - доходность облигации, m - срок до погашения, - параметр модели.

В работе подчеркивается, что такое уравнение кривой доходности описывает 96% дисперсии доходностей U.S Treasure bills с 1981 по 1983 гг. Также кривая монотонная, вогнутая и имеет S-форму, то есть форма кривой соответствует эмпирическим наблюдениям. Уравнение подходит для составления прогноза в статике. В работе Litterman and Schenkman (1991) также было отмечено, что кривая доходности может быть задана с помощью трех факторов: уровень, наклон и выпуклость. Эти показатели были получены эмпирическим путем. Авторы отмечают, что знание этих факторов помогает составлять правильную стратегию хэджирования. Однако исходя из исследований Litterman and Schenkman (1991) никакого прогноза составить нельзя, потому что работа эмпирическая и не включает в себя параметрического уравнения.

Diebold and Li (2006a) предложили модифицированную версию уравнения Nelson and Siegel (1987). Авторы составляют линейные комбинации коэффициентов b, представленных в уравнении Nelson and Siegel (1987), при этом новые коэффициенты в получают смысловую интерпретацию. Также авторы представили уравнение в динамической форме, то есть каждая кривая описывается в определенным момент времени, при этом параметр остается неизменным во времени.



,

где y - доходность облигации, m - срок до погашения, - параметр модели.

Коэффициенты , и получили интерпретацию уровня, наклона и выпуклости соответственно. Авторы отмечают, что средние значения для коэффициентов , и показывают, что кривая доходности возрастает и вогнута, а также меняет форму во времени. Волатильность короткого конца выше, чем волатильность длинного конца. Динамика кривой персистентная, при этом долгосрочные ставки характеризуются большей устойчивостью, чем краткосрочные. Еще одна цель авторов статьи - построить прогноз кривой в динамике, а не только в статике. Прогнозирование было проведено с помощью AR(1) процесса. Diebold and Li (2006a) утверждали, VAR модель не была выбрана, потому что у кривой нет ограничений, а неограниченная VAR дает неточные прогнозы, а также факторы уравнения плохо коррелируют между собой, поэтому одномерные модели должны давать прогноз лучше. Прогноз с помощью AR(1) процесса сравнивался с прогнозом на основе модели случайного блуждания. Авторы отмечают, что на одномесячном интервале AR(1) не лучше случайного блуждания, в то время как на интервале свыше одного года прогнозы AR(1) значительно лучше. Необходимо отметить, что прогнозирование с помощью VAR моделей применялось для составления прогнозов доходностей (без использования уравнения, представленного в работе Nelson and Siegel (1987)), однако прогнозы не приносили желаемых результатов и точности. (Kozicki, Tinsley (2001)).

Точность и качество прогноза была повышена с помощью изменения методологии исследования и включения макроэкономических и латентных факторов в модель кривой в работе Ang and Piazzesi (2003). Чтобы была возможность использовать VAR-моделирование и сохранить все преимущества метода для прогнозирования, авторы добавляют ограничение на отсутствие арбитража. Главной особенностью этой работы является включение в модель макроэкономических показателей, таких как инфляция и темп экономического роста, и латентных переменных. Авторами была оценена , где - доходности, а - наблюдаемые макроэкономические переменные. Авторами сделана предпосылка, что ненаблюдаемые компоненты ортогональны макроэкономическим шокам и гарантируют отсутствие арбитража. В результате представленная VAR модель позволяет характеризовать поведение существующей кривой доходности в ответ на макроэкономические шоки. Авторы приходят к выводу, что наклон и выпуклость больше всего определяются макроэкономическими показателями, в то время как уровень не изменяется. Макроэкономические показатели в представленной модели прогнозирования описывают 85% колебаний в краткосрочном периоде и 40% колебаний в долгосрочном периоде. Модели такого типа были названы гауссовские макроэкономические модели структуры процентных ставок (Gaussian macro-dynamic term structure models (MTSMs)). Гауссовскими были названы потому, что в предпосылках параметры кривой доходности следовали гауссовскому VAP(p) процессу. В дальнейших работах, исследователи делали попытки улучшить прогнозы с помощью введения дополнительных макроэкономических переменных. Например, в работе Bikbov and Chernov (2010) в качестве макроэкономических переменных были добавлены инфляция и деловая активность. Авторы предложили процедуру оценивания, которая позволяла оценить коррелированные макроэкономические и латентные переменные. Как и в работе Ang and Piazzesi (2003), предполагается, что состояние макроэкономики описывается вектором , где a - латентная переменная. Авторы спроецировали латентные факторы на макроэкономические переменные, а затем нашли зависимость краткосрочных ставок от макропоказателей, их лагов и остатков от ортогонального проектирования. Латентные переменные были проинтерпретированы как экзогенные монетарные и фискальные шоки. Авторы также пришли к выводу, что лучше, чем декомпозиция дисперсий, отражает взаимосвязь между финансовыми и макроэкономическими переменными. В работе Anderson, Hammond and Ramezani (2010) в качестве макроэкономической переменной был выбран валютный курс. Авторы хотели проверить, как волатильность валютного курса влияет и динамику процентных ставок взаимосвязаны между собой. Авторами было включено уравнение, которое показывает, что ожидаемое обесценение валютного курса пропорционально изменению процентной ставки. Авторы отмечают, что включение валютного курса в модель является сложной задачей, потому что при задании модели на валютный курс накладывается множество ограничений. В результате была построена аффинная модель, которая описывает динамику валютного курса и процентных ставок. Авторы утверждают, что полученная модель может быть полезна для прогнозирования валютных курсов. Помимо макроэкономических переменных исследователи добавляли и финансовые показатели для улучшения прогноза. Например, в работе Dewachter, Iania and Lyrio (2014) помимо макроэкономических переменных авторы добавили такие финансовые факторы как риск ликвидности и премия за риск. Была построена модель с использованием аффинного преобразования и применением байесовских методов оценивания. В результате было получено, что такая модель не показывает хороших результатов в прогнозировании экономической активности, зато хорошо применима для прогнозирования инфляции на различных временных горизонтах. Стоит отметить, что были сделаны попытки добавления результатов опросов в модель, чтобы оценить ненаблюдаемые значения. Например, в модели добавлялись ожидания населения относительно инфляции (например, в работах Duffee (2014) и Kim and Orphanides (2012)). Описанные работы очень полезны и имеют высокую практическую пользу для прогнозирования динамики процентных ставок. Стоит отметить, что все вышеперечисленные работы использовали данные для США, потому что для этой страны доступен очень длинный временной ряд большинства показателей.

Отельную группу работ представляют исследования, целью которых является не точность прогнозирования, а оценка влияния показателей на форму кривой доходности. Ключевым исследованием стала работа Diebold and Li (2006b), в которой авторы статьи с помощью VAR модели с латентными переменными объяснили влияние макроэкономических показателей на три фактора: уровень, наклон и выпуклость, которые определяются из уравнения, представленного в работе Nelson and Siegel (1987). Авторы представили модель пространства состояний, в которой в уравнении перехода коэффициенты уравнения кривой доходности следует векторному авторегрессионному процессу (для простоты авторы представили VAR(1)). В данном случае ограничением в модели служит ортогональность белых шумов транзитивного уравнения и уравнения перехода, а не отсутствие арбитража, как в предыдущих работах. Авторы провели оценку модели только с доходностями, а также расширили модель добавлением макроэкономических показателей, таких как производительность, ставка ФРС и инфляция. В результате оценивания было получено, что существует сильная взаимосвязь между макроэкономическими показателями и факторами, определяющими кривую доходности. Также обнаружено, что макроэкономические факторы определяют поведение кривой доходности в будущем. Стоит отметить, что такой подход позволяет не только проводить оценку и прогнозирование кривой для одной страны, но также и сравнивать кривые для различных стран, проводя сравнение коэффициентов уровня, наклона и выпуклости.

Именно подход, предложенный в работе Diebold and Li (2006b) заслужил популярность у экономистов и финансистов для проверки взаимосвязи макроэкономических показателей с доходностями по облигациям для различных стран. Современные работы основываются на этом подходе для оценки взаимосвязей. Например, Hoffimaister et al (2010) проводили исследование кривых доходностей для европейских стран. В модель были добавлены такие макроэкономические показатели как индекс промышленного производства, реальный эффективный валютный курс, ключевая ставка процента и инфляция. Авторами было оценено взаимное влияние показателей кривых доходностей друг на друга, а также на медианную кривую доходности всей Еврозоны. В работе Wong, Lucia, Price, Starz (2011) также было проведено сравнение кривых доходностей в двух странах-соседях - США и Канады. Контролирующим фактором служило событие - введение инфляционного таргетирования в 1991 году в Канаде, которое могло послужить причиной структурного разрыва. Также в модель были включены такие макроэкономические показатели как уровень безработицы, ставка овернайт, инфляция и валютный курс. В результате проведенного исследования было получено, что существует структурный сдвиг в кривой доходности США в результате смены политики. Также была обнаружена взаимосвязь между показателями США и Канады: авторы показали, что краткосрочные ставки для Канады формируются под воздействием показателей для США. Конитеграция между кривыми существует только в среднесрочном и долгосрочном периоде до введения в Канаде инфляционного таргетирования. В работе Levant, Ma (2016) не представлено сравнения, однако автор также, как и в работе Wong, Lucia, Price, Starz (2011) контролирует момент смены валютного курса для Великобритании. В качестве макроэкономических показателей были выбраны ставка процента, промышленное производство и инфляционные ожидания. Также проводилась проверка на структурный сдвиг в результате смены режима валютного курса в 1992 году. В результате исследования была обнаружена взаимосвязь макроэкономических показателей и формы кривой доходности: индекс промышленного производства оказывает значительное влияние на выпуклость кривой и наклон кривой, уровень кривой очень сильно зависит от инфляционных ожиданий. Структурный сдвиг был также обнаружен в результате смены валютного режима, более того авторы отмечают, что отмечается значительное снижение волатильности доходностей после смены режима.

Современные работы предлагают модификации модели, предложенной в работе Diebold and Li (2006b). В работе Zhu, Rahman (2015) предлагают ввести Марковские цепи и оценку методом Монте Карло, чтобы оценить влияние факторов. С помощью Байесовского метода авторы определяют оптимально количество высоковолатильный и низковолатильных режимов. Сначала оцениваются факторы с помощью обычной динамической модели, представленной в работе Diebold and Li (2006b), а затем на основе полученных значений производится корректировка показателей. Авторы показывают, что влияние макроэкономических показателей зависит от режима волатильности показателей. Byrne et al (2015) представил модификацию модели, в которой изменил методологию построения прогноза. В каждый момент времени были построены три модели: 1) только с тремя факторами кривой; 2) три фактора кривой и три макроэкономических показателя; 3) три фактора кривой и 15 макроэкономических и финансовых показателей. Затем выбиралась наилучшая модель. По имеющимся данным составлялось априорное распределение наилучших моделей, а затем задавались параметры, которые взвешивали модели для построения наилучшего прогноза. Таким образом, авторы получили модель, которая обладает большей предсказательной силой, чем модель, представленная в работе Diebold and Li (2006b). Более того авторы смоли определить потенциальные структурные сдвиги в поведении кривой.

Методология исследования

Для исследования кривой доходности Швейцарии будет использована методология, представленная в работе Diebold and Li (2006b), потому что именной в этой модели включены три параметра кривой: уровень, наклон и выпуклость. Эти показатели в дальнейшем будут выступать основанием для моделирования кривой доходности, оценки влияния макроэкономических показателей на кривую доходности. Для изучения влияния кривых доходности других стран на кривую доходности исследуемой страны будет использована модель, представленная в работе Wong, Lucia, Price, Starz (2011), которая является модификаций модели, представленной в работе Diebold and Li (2006b).

Общее описание модели пространства состояний

Заметим, что такие показатели как, , - уровень, наклон и выпуклость, являются не наблюдаемыми, поэтому использование обычной векторной авторегрессионной модели представляется невозможным. Для оценки VAR-модели с переменными, которые определяются эндогенно, Diebold and Li (2006b) предлагают использовать модель пространства состояний (State Space model).

Базовая модель пространства состояний включает в себя два уравнения:

- оценочное уравнение

- уравнение перехода.

Оценочное уравнение связывает наблюдаемые переменные с ненаблюдаемыми. В данном случае - наблюдаемая переменная c ошибкой измерения , а - ненаблюдаемая переменная. Стандартная предпосылка модели состоит в том, что ошибка имеет гауссовское распределение. Уравнение перехода описывает динамику ненаблюдаемых переменных (). На практике чаще всего оказывается, что матицы H, B и дисперсии , неизвестны и требуют оценки. Так как объясняющие переменные в уравнениях являются ненаблюдаемыми, то использование метода наименьших квадратов не представляется возможным. В данном случае используется фильтр Кальмана, которые позволяет построить функцию правдоподобия для решения модели пространства состояний.

Рекурсивная модель фильтра Кальмана состоит и четырех этапов: инициализация, предсказание, коррекция и построение и максимизация функции максимального правдоподобия. На первом этапе выбирается наилучшее предсказательное значение и . В момент времени t рассчитывается новое прогнозное значение показателей, используя имеющиеся данные:

После получения предсказательного значения , можно построить прогнозное значение . Но у нас имеются наблюдаемые (реальные) значения , поэтому можно рассчитать ошибку прогноза . На основе полученных значений производится коррекция прогноза по формулам, предложенным Kalman (1960):

,

, где

Таким образом, скорректированное предсказание - это линейная комбинация сделанного предсказания и текущей ошибки предсказания, умноженной на которая в свою очередь выбирается так, чтобы минимизировать дисперсию ошибки. Функция правдоподобия в общем виде может быть записана в следующем виде:

Максимизация функции правдоподобия позволит найти искомое решение.

Методология для оценки модели без макроэкономических переменных

Для того, чтобы применить модель пространства состояний для оценки динамики кривой доходности, необходимо определить, каким образом будут рассчитываться ненаблюдаемые переменные (уровень, наклон и выпуклость). Как было показано в работе Diebold and Li (2006a), кривую доходности можно представить в виде следующего уравнения:

где , - это коэффициенты уровня, наклона и выпуклости соответственно.

Представленные коэффициенты можно так интерпретировать, потому что выражения, стоящие при этих множителях, отвечают всем свойствам:

· Для выражения при коэффициенте наклона заметим, что и = 0, при этом для любого допустимого m. На основе этих вычислений можно заключить, что функция монотонна, при этом наклон уменьшается во времени.

· Для выражения при коэффициенте выпуклости можно заметить, что и = 0, производная не имеет постоянного знака. Значит, выпуклость кривой может быть различной.

Таким образом, если записать уравнения в матричном виде, то оценочное уравнение может быть представлено в следующем виде:

Для определения уравнения перехода, воспользуемся предпосылкой, представленной в работе Diebold and Li (2006b). Авторы предполагают, что коэффициенты , следуют векторному авторегрессионному процессу прогрессу порядка p. Для простоты предположим, что VAR(1). Тогда уравнение перехода может быть записано так:

t = 1,…, T.

В сокращенной форме модель пространства состояний может быть записана в следующем виде:

Вектор-состояние полученной динамической системы будет оценен с помощью фильтра Кальмана. Для того чтобы использовать фильтр Кальмана предполагается, что ошибки имеют нулевое математическое ожидание и ортогональны друг другу, то есть

Матрица H - это диагональная матрица, потому что отклонение доходностей с разными сроками погашения не коррелируют. Матрица Q - не является диагональной, потому что такая предпосылка позволяет коэффициентам уровня, наклона и выпуклости коррелировать друг с другом.

швейцария nelson siegel доходность

Методология для оценки модели с макроэкономическими переменными

Для того, чтобы оценить влияние макроэкономических переменных на кривую доходности, в модель пространства состояний будут включены также макроэкономические показатели. Сначала необходимо определить, какие макроэкономические показатели будут включены в модель. Все макроэкономические показатели можно разделить на три группы:

· показатели деловой активности;

· монетарные показатели;

· показатели открытой экономики.

1) В качестве показателя деловой активности был выбран индекс промышленного производства (его годовое изменение). Есть несколько преимуществ данного показателя перед ВВП. Во-первых, индекс показывает изменение в ВВП за счет изменения производства в фундаментальных отраслях экономики таких как добыча полезных ископаемых, обрабатывающие производства, производство и распределение энергии, газа и воды. Таким образом, не учитываются случайные и кратковременные изменения экономики. Во-вторых, доступны месячные данные для выбранной, что для позволяет сохранить достаточное большое количество наблюдений, и избежать перехода к квартальным значениям.

2) В качестве монетарных показателей был выбран индекс инфляции, который характеризует изменение уровня цен в стране. Также для описания монетарной политики страны была взята ключевая ставка процента, которая характеризует состояние не только экономики в целом, но и банковскую систему.

3) Для описания открытости экономики будет использоваться годовое изменение реального эффективного валютного курса, которое отражает изменение конкурентоспособности страны на мировом рынке.

Diebold and Li (2006b) в свой работе показали, что вектор f будет состоять не только из показателей, характеризующих уровень, наклон и выпуклость, на также и макроэкономических переменных. То есть вектор f будет состоять уже не из трех показателей, а из 7 показателей: , где - годовое изменение индекса промышленного производства, - уровень инфляции, - ключевая ставка процента, - годовое изменение реального эффективного валютного курса. Переменные, характеризующие уровень, наклон и выпуклость кривой доходности стоят впереди, потому что значения этих переменных определяется на начало периода. Стоит отметить, что макроэкономические показатели являются наблюдаемыми переменными, поэтому коэффициенты при них будут четко детерминированы и равны 1, то есть оценочное уравнение будет представлено в следующем виде:



Уравнение перехода с макроэкономическими показателями будет выглядеть следующим образом:

Методология для оценки влияния показателей Еврозоны на показатели Швейцарии

Для того, чтобы оценить взаимное влияние динамики кривых доходностей стран друг на друга, будет использована методология, которая представления в работе Wong, Lucia, Price, Starz (2011). Для этого в модель будут включаться не только характеристики кривой доходности Швейцарии, но и характеристики кривой доходности для Еврозоны.

Тогда вектор f будет состоять из шести элементов: Оценочное уравнение и уравнение перехода будут записаны следующим образом:

Описание данных доходности государственных облигаций

Для оценки кривой доходности были собраны данные доходностей государственных облигаций с различным сроком погашения. Для сбора данных была использована база данных Bloomberg. Периодичность наблюдений - месяц. Показатель доходности номинирован в национальной валюте. Сроки до погашения составляют 3, 12, 24, 36, 48, 60, 84, 108, 120, 240, 360 месяцев.

Швейцария

Период наблюдения для Швейцарии взят с января 1998 года по декабрь 2015 года (все доступные данные).

В таблице 1 представлены описательные статистики для доходностей.

Срок до погашения	Среднее значение	Стандартное отклонение	Минимальное значение	Максимальное значение
3m	0.75	1.11	-2.00	3.50
1y	1.12	1.16	-0.98	3.90
2y	1.21	1.18	-1.05	3.94
3y	1.35	1.19	-1.04	3.89
4y	1.50	1.18	-0.97	3.90
5y	1.65	1.16	-0.87	3.93
6y	1.79	1.14	-0.76	3.98
7y	1.92	1.13	-0.65	4.03
9y	2.13	1.11	-0.42	4.14
10y	2.22	1.10	-0.31	4.19
20y	2.73	1.16	0.32	4.57
30y	2.94	1.24	0.43	4.79

Таблица 1. Описательные статистики для доходностей по гос. облигациям Швейцарии.

Заметим, что минимальные значения для срока погашения от 3 месяцев до 10 лет принимают отрицательные значения, что говорит о том, что в какой-то период времени, а именно после 2014 года, держатели государственных облигаций платят правительству за возможность держать долговые ценные бумаги их страны.

Страны Еврозоны

Еврозона объединят в себе 19 стран Евросоюза, официальной валютой которых является евро. Для всех стран, входящих в состав Еврозоны, Eurostat рассчитывает единый показатель доходности по государственным ценным бумагам. Этот показатель и будет использоваться для того, чтобы оценить, какое влияние структура процентных ставок Еврозоны оказывает на Швейцарию.

В таблице 2 представлены описательные статистики для значений доходностей по государственным облигациям для стран Еврозоны. Такой показатель рассчитывается с сентября 2004 года, поэтому период наблюдения для этого показателя - сентябрь 2004 года - декабрь 2015 года.



Срок до погашения	Среднее значение	Стандартное отклонение	Минимальное значение	Максимальное значение
3M	1.70	1.59	-0.13	5.28
1Y	1.42	1.53	-0.36	4.44
2Y	1.59	1.50	-0.35	4.56
3Y	1.78	1.45	-0.30	4.56
4Y	1.98	1.40	-0.20	4.54
5Y	2.17	1.35	-0.10	4.55
6Y	2.34	1.31	-0.03	4.56
7Y	2.50	1.26	0.04	4.58
9Y	2.77	1.19	0.17	4.63
10Y	2.87	1.16	0.22	4.66
20Y	3.34	1.03	0.55	4.80
30Y	3.38	1.03	0.67	4.86

Таблица 2. Описательные статистики по доходностям гос. облигаций для стран Еврозоны

Заметим, что также, как и для Швейцарии, ставки доходностей достаточно низкие и принимают отрицательные значения. Можно отметить, схожесть порядков значений со Швейцарией прослеживается. На рисунке 1 представлена корреляция между показателями Швейцарии и Еврозоны. Как можно отметить, корреляции достаточно высокая (свыше 90%). Можно проследить незначительный рост значения корреляции для небольших сроков до погашения (от 3 месяцев до 2 лет), и падение корреляции с ростом дюрации (от 9 лет до 30 лет).



Рисунок 1. Значение корреляции между доходностями Швейцарии и Еврозоны

Также все показатели были проверены на наличие единичного корня с помощью ADF теста, количество лагов было выбрано на основе критерия Шварца. Все ряды доходностей стационарны.

Макроэкономические показатели

Для оценки влияния макроэкономических показателей на кривую доходности были собраны показатели для каждой страны, которые бы описывали макроэкономическую ситуацию в стране: ключевая ставка процента, индекс потребительских цен, индекс промышленного производства и реальный эффективный валютный курс.

Период наблюдения для всех показателей с января 1998 года по декабрь 2015 года. В таблице 3 приведены описательные статистики для макроэкономических показателей Швейцарии.

Показатель	Среднее значение	Стандартное отклонение	Минимальное значение	Максимальное значение	Источник
Ключевая ставка процента	0.75	1.11	-2.00	3.50	Swiss National Bank
Индекс потребительских цен (% год к году)	0.51	0.92	-1.40	3.08	Swiss Federal Statistical Office
Индекс промышленного производства (% год к году)	2.39	5.16	-10.03	13.55	Swiss Federal Statistical Office
Реальный валютный курс (% год к году)	0.98	4.55	-14.14	19.29	Bank for International Settlements

Таблица 3. Описательные статистики для макроэкономических показателей Швейцарии

Заметим, что наибольшей волатильностью обладают ключевая ставка процента и индекс потребительских цен, более того значения этих показателей приближены к нулю. Такая ситуация характерна для многих развитых стран.

Для оценки моделей пространства состояний использовалась программа MATLAB R2014b. Для того, чтобы провести оценку модели, необходимо задать начальные значения параметров, чтобы определить начальное равновесие. Эти показатели были рассчитаны из уравнения, представленного в работе Diebold and Li (2006a) с помощью двухшаговой процедуры.

Результат оценки модели для Швейцарии только с коэффициентами, описывающими кривую доходности

В таблице 3 представлены значения уровня, наклона и выпуклости после оценки модели пространства состояний.

	Значение	Стандартное отклонение	z-Statistic	P-value
Уровень (L)	3.2781	0.05903	-32.5104	0.0000
Наклон (S)	-2.4609	0.03396	8.7525	0.0000
Выпуклость (C)	-1.5563	0.22415	-4.3308	0.00001

Таблица 3. Оценка коэффициентов уровня, наклона и выпуклости для Швейцарии

Заметим, что все коэффициенты значимы на уровне значимости 1%. Коэффициент уровня - положительный, что является ожидаемым результатом, потому что несмотря на отрицательные значения доходностей в последнее время, с начала периода наблюдения показатели принимали положительные значения. Коэффициент наклона отрицательный, то есть кривая является возрастающей (ставки процента растут с ростом дюрации). Коэффициент выпуклости отрицательный, что означает, что кривая выпукла вверх. Все результаты не противоречат теоретическим представлениям о форме кривой доходности.

В таблице 4 представлены результаты оценки модели пространства состояний только с показателями, характеризующими кривую доходности. Лучшая модель оказалась первого порядка (VAR (1)). Выбор был сделан на основе информационного критерия Шварца.

	Lt	St	Ct
Lt-1	0.99*** (0.012)	-0.01 (0.015)	0.04 (0.049)
St-1	0.01 (0.01)	0.95*** (0.018)	0.06 (0.057)
Ct-1	0.01 (0.01)	0.01 (0.01)	0.85 (0.04)

Таблица 4. Результаты оценки модели пространства состояния без макроэкономических переменных.



По результатам оценивания можно отметить, что показатели кривой не зависят друг от друга, то есть уровень кривой не зависит от наклона и выпуклости, наклон не зависит от уровня и выпуклости, а выпуклость от наклона и уровня. Полученный результат ожидаемый. Зависимость наблюдается только от значения аналогичного показателя в предыдущем периоде.

Если рассмотреть статистики оценки параметров доходностей, которые представлены в Таблице 5, то можно отметить, что стандартное отклонение оцениваемых ставок большая величина относительно среднего значения. В среднем отклонение составляет 14 базисных пункта.

Maturity (month)	Mean (bps)	St.deviation (bps)
3	-7.9154	68.4487
12	14.6571	40.8671
24	5.8302	14.048
36	1.3578	3.3006
48	-1.4514	5.7402
60	-0.1349	0.5391
72	0.0042	0.0782
84	0.1475	0.5064
108	-0.0004	0.0184
120	-0.1268	0.8468
240	-0.9522	14.6533
360	0.1298	27.3905

Таблица 5. Статистики оценки параметров доходностей Швейцарии.

На рисунках 2, 3, 4 представлена динамика коэффициентов уровня, наклона и выпуклости, полученных в результате оценки модели пространства состояния. Как видно из рисунка 2, уровень кривой обладает высокой персистенцией. Можно отметить снижающуюся тенденцию уровня кривой из-за понижения процентных ставок. Коэффициенты наклона и выпуклости не имеют определенной динамики. По поведению всех трех кривых можно отметить, что форма кривой подвержена изменению под воздействием экономического цикла и внешних шоков.

Рисунок 2. Динамика значения коэффициента уровня.

Рисунок 3. Динамика значения коэффициента наклона.



Рисунок 4. Динамика значения коэффициента выпуклости

В ходе работы было проведено сравнение получившихся коэффициентов с линейными комбинациями прокси переменных для краткосрочных, среднесрочных и долгосрочных ставок (3 месяца, 2 года и 10 лет соответственно). Для уровня - это среднее значение ставок, для наклона - разница между краткосрочными и долгосрочными ставками, а для наклона - это сумма отклонений долгосрочных и краткосрочных ставок от среднесрочных. Аналогичное сравнение проводилось в работе Diebold and Li(2006b) для данных США. Результаты представлены на рисунках 5, 6, 7. Можно отметить, что коэффициенты наклона и выпуклости достаточно близки к эмпирическим приближениям, в то время как коэффициент уровня может быть незначительно переоценен. Такие результаты еще раз подтверждают качество оценивая коэффициентов доходностей с помощью модели пространства состояний.



Рисунок 5. Сравнение динамики коэффициента уровня с эмпирическим приближением

Рисунок 6. Сравнение динамики коэффициента наклона с эмпирическим приближением

Рисунок 7. Сравнение динамики коэффициента выпуклости с эмпирическим приближением

Результат оценки модели для Швейцарии с макроэкономическими переменными

Для того, чтобы оценить модель пространства состояния с макроэкономическими переменными, была проведена проверка макроэкономических показателей на стационарность. Все переменные стационарны. Это можно объяснить тем, что все используемые значения макроэкономических переменных - это годовые изменения различных индексов.

Наилучшей моделью для уравнения перехода оказалась VAR(1). Она была выбрана на основе информационного критерия Шварца. В таблицах 6 и 7 приведены результаты оценивания модели.

	Lt	St	Ct	ipt	reert	cpit	ratet
Lt-1	1.006***	0.084***	-0.739***	-0.360*	0.679**	0.363**	-0.067
	(0.017)	(0.027)	(0.113)	(0.242)	(0.350)	(0.032)	(0.061)
St-1	0.010	1.018***	-0.673***	-0.538***	0.814	0.292***	-0.117**
	(0.017)	(0.144)	(0.079)	(0.147)	(1.285)	(0.092)	(0.064)
Ct-1	0.026**	0.023	0.795***	0.071	0.032	0.067**	0.011
	(0.014)	(0.024)	(0.067)	(0.000)	(0.308)	(0.029)	(0.039)
ipt-1	-0.002	0.017***	0.001	0.974***	-0.059	0.012*	0.004
	(0.014)	(0.024)	(0.067)	(0.000)	(0.308)	(0.029)	(0.039)
reert-1	-0.003*	0.001	-0.016	-0.062*	0.881***	-0.001	-0.011
	(0.004)	(0.004)	(0.019)	(0.036)	(0.158)	(0.000)	(0.001)
cpit-1	0.017	-0.118***	0.709***	0.222*	-0.787*	0.617***	0.134
	(0.029)	(0.025)	(0.073)	(0.133)	(0.334)	(0.081)	(0.001)
ratet-1	-0.045**	-0.013	0.145	0.026	0.246	-0.058	0.889***
	(0.018)	(0.018)	(0.159)	(0.191)	(0.759)	(0.012)	(0.173)

Таблица 6. Результаты модели пространства состояний с макроэкономическими переменными

	Lt	St	Ct	ipt	reert	cpit	ratet
Lt-1	4.1	-1.17	0.66	-0.7	0.78	2.83	2.16
St-1	-1.17	2.29	0.48	6.29	-1.76	0.82	0.07
Ct-1	0.66	0.48	5.86	11.79	-5.41	1.71	2.35
ipt-1	-0.7	6.29	11.79	62.94	-25.32	5.98	6.41
reert-1	0.78	-1.76	-5.41	-25.32	27.23	-1.45	-2.16
cpit-1	2.83	0.82	1.71	5.98	-1.45	3.6	2.33
ratet-1	2.16	0.07	2.35	6.41	-2.16	2.33	2.56

Таблица 7. Матрица ковариаций Q модели пространства состояний с макроэкономическими переменными

Полученные результаты подтверждают гипотезу о том, что макроэкономические показатели оказывают влияние на форму кривой доходности.

1) На уровень наклона оказывает значимое влияние ключевая ставка процента и реальный эффективный валютный курс, при этом:

· ставка процента оказывает отрицательное влияние, то есть расширительная монетарная политика приводит к сдвигу кривой вверх;

· реальный эффективный валютный курс оказывает положительное влияние на уровень кривой, то есть увеличение конкурентоспособности страны ведет к незначительному подъему кривой вверх.

2) На уровень наклона (или же на спрэд ставок по государственным долговым финансовым инструментам) оказывают влияние индекс промышленного производства и индекс потребительских цен, при этом:

· наклон кривой увеличивается (спрэд процентных ставок уменьшается) при росте экономики и увеличении деловой активности;

· индекс потребительских цен оказывает отрицательное влияние, то есть увеличение инфляции оказывает большее влияние на краткосрочные ставки, чем на долгосрочные.

3) На выпуклость кривой оказывает положительное значимое влияние только уровень инфляции.



Результат оценки влияния стран Еврозоны на динамику кривой доходности Швейцарии

При оценки данной модели был сокращен период наблюдения из-за отсутствия данных по Еврозоне.

В качестве лучшей модели для уравнения перехода опять была выбрана VAR(1) на основе информационного критерия Шварца. В таблице 8, 9 представлены результаты оценивания модели.

	Lt_SW	St_SW	Ct_SW	Lt_EZ	St_EZ	Ct_EZ
Lt-1_SW	0.976***	0.088***	0.136	0.033**	0.271	0.862***
	0.093	0.027	0.110	0.037	0.110	2.061
St-1_SW	0.074***	0.995***	0.027	0.012	0.258	0.366
	0.023	0.071	0.055	0.041	0.399	1.905
Ct-1_SW	0.047	0.037	0.710***	-0.018	0.029	0.529
	0.032	0.054	0.152	0.024	0.215	0.635
Lt-1_EZ	-0.005***	-0.086	0.018	0.966***	-0.198	-0.708
	0.0113	0.018	0.019	0.020	0.198	1.376
St-1_EZ	-0.030**	-0.060***	0.05913	0.001	0.819***	-0.210
	0.029	0.01854	0.094**	0.019	0.203	0.317
Ct-1_EZ	-0.004	0.005***	0.05972	0.031	0.012	0.617***
	0.030*	0.138	0.115	0.092	0.001	1.829

Таблица 8. Результаты модели пространства состояний с данными Еврозоны

	Lt_SW	St_SW	Ct_SW	Lt_EZ	St_EZ	Ct_EZ
Lt-1_SW	5.33	0.22	4.66	6.61	2.48	5.31
St-1_SW	0.22	1.01	0.78	-0.27	1.77	1.97
Ct-1_SW	4.66	0.78	5.63	5.42	3.74	6.66
Lt-1_EZ	6.61	-0.27	5.42	8.99	1.91	5.12
St-1_EZ	2.48	1.77	3.74	1.91	5.46	6.37
Ct-1_EZ	5.31	1.97	6.66	5.12	6.37	10.82

Таблица 9. Матрица ковариаций Q модели пространства состояний с данными Еврозоны

Полученные результаты показывают, что существует значимая взаимосвязь между странами Еврозоны и Швейцарии. При этом влияние динамики кривой доходности на динамику кривой Швейцарии сильнее, потому что количество значимых коэффициентов больше. Результат является ожидаемым, потому что крупные финансовые центры Еврозоны, такие как Франция и Германия являются торговыми партнерами Швейцарии. Более того страны являются соседями. Также стоит отметить, что большинство стран Еврозоны развитые, как и Швейцария, а такие страны характеризуются меньшими процентными ставками, большей стабильностью и меньшей волатильностью на долговом рынке.



Заключение

В работе проводилось исследование динамики кривой доходности для Швейцарии, а именно изучалось влияние макроэкономических показателей на кривую доходности и взаимосвязь между кривыми доходности Швейцарии и Еврозоны. В работе представлен обзор существующих исследований на тему прогнозирования, моделирования кривой доходности и оценки влияния различных макроэкономических и финансовых показателей на ее форму.

Исследование кривой доходности Швейцарии проводилось на основе модели, представленной в работе Diebold and Li (2006b) и ее расширенной модификации, представленной в работе Wong, Lucia, Price, Starz (2011). Для проверки гипотез были построены модели пространства состояния. В результате исследования было получено два ключевых результата. Во-первых, макроэкономические показатели оказывают значимое влияние на поведение кривой доходности: индекс потребительских цен оказывает влияние как на наклон, так и выпуклость, индекс промышленного производства оказывает наибольшее влияние на наклон кривой, а реальный эффективный валютный курс значим только для уровня кривой. Во-вторых, имеется сильная взаимосвязь между динамиками кривых доходностей Швейцарии и Еврозоны.

Данной исследование имеет высокую практическую пользу для финансистов, потому что в работе найдены объяснения динамики кривой, которые полезны для построения более точных прогнозов. Исследование может быть продолжено добавлением альтернативных макроэкономических показателей, например движения капиталов, которые могут оказывать влияние на кривую доходности, а также рассмотрением основных торговых партнеров Швейцарии помимо стран, входящих в состав Еврозоны.Список используемой литературы

Alexander Hoffmaister, Jorge Rold_os, and Anita Tuladhar. Yield curve dynamics and spillovers in central and eastern european countries. IMF Working Papers, pages 1-59, 2010.

Anderson B., Hammond P. J., Ramezani C. A. Affine models of the joint dynamics of exchange rates and interest rates. - 2010.

Ang A., Piazzesi M. A no-arbitrage vector autoregression of term structure dynamics with macroeconomic and latent variables //Journal of Monetary economics. - 2003. - Т. 50. - №. 4. - С. 745-787.

Bikbov R., Chernov M. No-arbitrage macroeconomic determinants of the yield curve //Journal of Econometrics. - 2010. - Т. 159. - №. 1. - С. 166-182.

Byrne J. P., Cao S., Korobilis D. Term Structure Dynamics, Macro-Finance Factors and Model Uncertainty //Macro-Finance Factors and Model Uncertainty (April 21, 2015). - 2015.

Charles R Nelson and Andrew F Siegel. Parsimonious modeling of yield curves. Journal of business, pages 473-489, 1987

David Durand. Basic yields of corporate bonds, 1900-1942. In Basic Yields of Corporate Bonds, 1900-1942, pages 1{40. NBER, 1942.

Dewachter H., Iania L., Lyrio M. Information in the yield curve: A Macro?Finance approach //Journal of Applied Econometrics. - 2014. - Т. 29. - №. 1. - С. 42-64.

Duffee G. R. Bond pricing and the macroeconomy. - Working Papers, The Johns Hopkins University, Department of Economics, 2012. - №. 598.

Francis X Diebold and Canlin Li. Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of econometrics, 130(2):337{364, 2006a.

Francis X Diebold, Glenn D Rudebusch, and S Boragan Aruoba. The macroeconomy and the yield curve: a dynamic latent factor approach. Journal of econometrics, 131(1): 309{338, 2006b.

J Huston McCulloch and Heon-Chul Kwon. US term structure data, 1947-1991. Department of Economics, Ohio State University, 1993.

J Huston McCulloch. The tax-adjusted yield curve. The Journal of Finance, 30(3):811-830,1975.

Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems //Journal of basic Engineering. - 1960. - Т. 82. - №. 1. - С. 35-45.

Kozicki S., Tinsley P. A. Shifting endpoints in the term structure of interest rates //Journal of monetary Economics. - 2001. - Т. 47. - №. 3. - С. 613-652.

Levant J., Ma J. Investigating United Kingdom's monetary policy with Macro-Factor Augmented Dynamic Nelson-Siegel models //Journal of Empirical Finance. - 2016. - Т. 37. - С. 117-127.

Litterman R. B., Scheinkman J. Common factors affecting bond returns //The Journal of Fixed Income. - 1991. - Т. 1. - №. 1. - С. 54-61.

Oldrich A Vasicek and H Gi_ord Fong. Term structure modeling using exponential splines. The Journal of Finance, 37(2):339-348, 1982.

Piazzesi M. Affine term structure models //Handbook of financial econometrics. - 2010. - Т. 1. - С. 691-766.

Wong E. et al. The changing relation between the Canadian and US yield curves //Journal of International Money and Finance. - 2011. - Т. 30. - №. 6. - С. 965-981.

Zhu X., Rahman S. A regime-switching Nelson-Siegel term structure model of the macroeconomy //Journal of Macroeconomics. - 2015. - Т. 44. - С. 1-17.

Swiss National Bank. December 2015 Monetary Policy Committee Press-release https://www.snb.ch/en/mmr/reference/pre_20141218/source/pre_20141218.en.pdf

Размещено на Allbest.ru

...