Прогнозирование на основе корреляционно-регрессионного анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский Государственный университет

Информационных технологий, механики и оптики

Практическая работа по курсу

Социальное и экономическое прогнозирование

"Прогнозирование на основе корреляционно-регрессионного анализа"

Вариант №5

Санкт-Петербург

2015



Иcходные данные

Табл. 1

Годы базисного периода (i)	Объем производства (yi) млн. усл.ед.	Производительность труда (xi) тыс. усл.ед.
1	2,6	18,5
2	2,7	18,5
3	3,0	19,5
4	3,4	20,5
5	3,8	21,0
6	3,8	21,1
7	3,9	21,3
8	4,1	21,7
9	4,2	22,3
10	4,5	22,9
11	4,8	23,5
12	5,0	24,0
13	5,3	24,7

Табл 2

ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА НА ПРОГНОЗИРУЕМЫЙ ПЕРИОД (x0)

Годы прогнозируемого периода	Тыс. усл. ед.
16	25,5
17	26,0
18	26,5
19	27,0
20	28,0

Табл. 3

КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ при p=0,95

N	H	n	H	n	H
10	1,90	16	1,93	22	1,94
11	1,90	17	1,93	23	1,94
12	1,91	18	1,93	24	1,94
13	1,92	19	1,93	25	1,941
14	1,92	20	1,94	26	1,941
15	1,92	21	1,94	27	1,942

Табл. 4

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА. ЗНАЧЕНИЯ t=t(p=0,95; R)

R	t	R	T
6	2,447
7	2,365	11	2,201
8	2,306	12	2,179
9	2,262	13	2,160
10	2,228	14	2,145



Ход работы

1. На основе исходных данных необходимо построить матрицу исходных данных в табличной форме.

Форма 1

i	y	x
1	2,6	18,5
2	2,7	18,5
3	3,0	19,5
4	3,4	20,5
5	3,8	21,0
6	3,8	21,1
7	3,9	21,3
8	4,1	21,7
9	4,2	22,3
10	4,5	22,9
11	4,8	23,5
12	5,0	24,0
13	5,3	24,7
14		25,5
15		26,0
16		26,5
17		27,0
18		28,0

где i - номер наблюдения (в нашем случае - номер года в базе прогноза);

y - вектор значений фактор-функции (объема производства);

x - вектор значений фактора-аргумента (производительности труда).

2. Корреляционный анализ.

Корреляционный анализ, то есть анализ существенности связи между фактор-функцией y и фактор-аргументом x. Составлять прогноз по уравнению регрессии имеет смысл только в том случае, если фактор-аргументы достаточно тесно связаны с фактор-функцией.

Итак, мы располагаем априорными, то есть доопытными, возможно интуитивными, сведениями о том, что изменение производительности труда на предприятии x линейно влияет на объем производства y на этом же предприятии.

Для проверки этого предположения необходимо построить график так называемого корреляционного поля. Графическое построение его начинается с выбора масштаба для оси абсцисс, по которой будем отсчитывать значения производительности труда (X), и для оси ординат, по которой будем отсчитывать значения объемов производства рассматриваемого предприятия (Y).

Совокупность точек пересечения значений x (абсцисс) и y (ординат), приведенных в условии задачи, и образует корреляционное поле.

В ходе выполнения работы следует помнить, что в ряде случаев точки корреляционного поля располагаются цепочкой, укладывающейся в прямолинейную полосу, иногда настолько узкую, что она может быть принята за геометрическую прямую линию. Такие явные линейные закономерности обнаруживаются не всегда.

Чаще всего совокупности парных связей показателей y = f(x) представляют систему разбросанных точек. Когда группа точек может быть охвачена эллипсоидальной замкнутой кривой, длинная ось которой с осями координат составляет острый или тупой угол, тогда можно говорить о наличии прямолинейной связи между переменными x и y. Если же в результате построения окажется, что данная ось контура корреляционного поля параллельна одной из осей координат или контур приближается к форме круга, то исследуемые переменные величины не имеют или почти не имеют между собой корреляционной связи.

Аналитически теснота (или сила) связи парных линейных зависимостей измеряется коэффициентом корреляции r, вычисляемым по формуле:

В этом выражении n - число наблюдений, равное согласно условиям данной задачи 13;

- средние арифметические значения наблюдаемых величин xi и yi:

xi и yi - значения величин x и y при i-м наблюдении (в i-м году), i=1, 2, ..., n. Чем ближе к единице коэффициент корреляции, тем увереннее можно утверждать о пропорциональности изменений приращений исследуемых величин.

=21,5

=3,93

Промежуточные расчеты при определении коэффициента корреляции следует выполнять в виде формы 2.

Форма 2

i	yi	xi			()()	()2	()2
1	2,6	18,5	-1,33	-3,00	3,99	1,77	9,00
2	2,7	18,5	-1,23	-3,00	3,69	1,51	9,00
3	3	19,5	-0,93	-2,00	1,86	0,87	4,00
4	3,4	20,5	-0,53	-1,00	0,53	0,28	1,00
5	3,8	21	-0,13	-0,50	0,07	0,02	0,25
6	3,8	21,1	-0,13	-0,40	0,05	0,02	0,16
7	3,9	21,3	-0,03	-0,20	0,01	0,00	0,04
8	4,1	21,7	0,17	0,20	0,03	0,03	0,04
9	4,2	22,3	0,27	0,80	0,22	0,07	0,64
10	4,5	22,9	0,57	1,40	0,80	0,32	1,96
11	4,8	23,5	0,87	2,00	1,74	0,76	4,00
12	5	24	1,07	2,50	2,67	1,14	6,25
13	5,3	24,7	1,37	3,20	4,38	1,87	10,24
	51,1	279,5	0,00	0,00	20,04	8,67	46,58

r= 20,04/=0,997

Более строго значимость коэффициента корреляции проверяется путем сравнения абсолютной величины эмпирического коэффициента корреляции, умноженного на , с критическим значением этого произведения при заданной надежности расчетов p (доверительной вероятности). Показателем надежности расчета является вероятность того, что его результат не выйдет за расчетные пределы. Для большинства экономических расчетов значение этой вероятности может быть принято равным 0,95. Критическое значение произведения

для надежности расчетов p=0,95 и различных чисел наблюдений n дано в таблице 3 ИД.

|r| =0,997*=3,45

Hкр=1,92

3,45>1,92

Так как произведение

оказывается больше критического значения Hкр при p=0,95, то с надежностью вывода p=0,95 следует отвергнуть гипотезу о некоррелированности рассматриваемых величин.

3. Проверка нормальности распределения.

Следует учесть, что изложенный выше способ проверки значимости коэффициента корреляции строго правилен лишь для случая, когда имеет место нормальный закон распределения функции y=f(x), или, по крайней мере, нормальный закон распределения аргумента x.

Для проверки нормальности распределения x можно применить приближенный метод, связанный с оценками центральных моментов третьего и четвертого порядков:

,

,

В случае нормального распределения должны выполняться приближенные равенства:

и

,

где Sx - среднее квадратическое отклонение величин x1, x2, x3, ..., xn от их среднего значения . При

Для удобства сравнения M3 с нулем, а M4 с утроенным целесообразно подсчитать безразмерные характеристики::

показатель асимметрии

и эксцесс

.

М3=*3,54=0,272

М4=*343,26=26,405

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение Sx:

Sx==1,970

Показатель асимметрии:

g= 0,272/=0,036

Эксцесс:

Е=26,405/- 3= -1,248

О малости этих характеристик можно судить по сравнению их с их средними квадратическими отклонениями, вычисляемыми по выражениям:

,

.

?g=0,567

?Е= 0,910

Так как ни одна из характеристик не превосходит свое среднее квадратическое отклонение, то можно утверждать, что имеет место нормальный закон распределения.

4. Построение уравнения регрессии.

Нормальность закона распределения выборки xi(i=1, 2, ..., n) и коррелированность исследуемых величин не подвергаются сомнению. Тогда можно считать установленным, что зависимость объема производства от производительности труда имеет вид:

y=a+bx.

На основании результатов проделанных расчетов нетрудно найти параметры a и b уравнения:

;

В этих выражениях r - коэффициент корреляции, вычисленный по формуле;

Sx - среднее квадратическое отклонение величин x1, x2, ..., xn от их среднего значения , вычисляемого по формуле

Sy - среднее квадратическое отклонение величин y1, y2, y3, ..., yn от их среднего значения , вычисляется аналогично Sx.

Найдем параметры a и b.

Sy==0,85

b= 0,99* (0,85/1,970)= 0,430

а=3,93-0,430*21,5= -5,319

Уравнение регрессии имеет вид: y=0,430x-5,319

5. Прогноз динамики объема производства на следующее пятилетие.

Прежде чем распространять найденную закономерность на перспективный период необходимо, по меньшей мере, ответить на вопрос, в какой степени эта закономерность останется неизменной в будущем, при намеченных мероприятиях по развитию производственной мощности предприятия и повышению производительности труда.

Для получения прогноза с помощью полученной модели следует подставить ожидаемые значения производительности труда в i-м году в уравнение регрессии , произвести расчеты по варианту на 5 будущих лет. Информация для расчета ожидаемых уровней производительности труда приведена в таблице 2 ИД.

y16=0,430*25,5-5,319=5,65

y17=0,430*26-5,319=5,87

y18= 0,430*26,5-5,319=6,08

y19= 0,430*27-5,319=6,30

y20= 0,430*28-5,319=6,73

6. Расчет вероятной погрешности сделанного прогноза и построение доверительного интервала на графике.

Погрешность найденных с помощью построенного уравнения регрессии значений прогнозируемого объема производства на предприятии, соответствующего ожидаемому уровню производительности труда на нем x0, оценивается по формуле:

,

где t - коэффициент распределения

Стьюдента, зависящий от надежности расчетов p и числа степеней свободы R.

В данном случае он определяется по таблице 4 ИД при p=0,95 и числе степеней свободы R=n-2. Следовательно, t=2,201

S - среднее квадратическое отклонение эмпирических данных от соответствующих значений, полученных по найденному уравнению регрессии

;

- значение объема производства на предприятии, определенное с помощью уравнения регрессии при x=xi (i=1,2, ,n).

Уравнение регрессии имеет вид: y=0,430x-5,319

Форма 3

i	yi	xi		yi-	[yi-]2
1	2,6	18,5	2,64	-0,04	0,00161
2	2,7	18,5	2,64	0,06	0,00359
3	3	19,5	3,07	-0,07	0,00494
4	3,4	20,5	3,50	-0,10	0,01011
5	3,8	21	3,72	0,08	0,00711
6	3,8	21,1	3,76	0,04	0,00171
7	3,9	21,3	3,84	0,06	0,00306
8	4,1	21,7	4,02	0,08	0,00692
9	4,2	22,3	4,27	-0,07	0,00562
10	4,5	22,9	4,53	-0,03	0,00109
11	4,8	23,5	4,79	0,01	0,00008
12	5	24	5,01	-0,01	0,00004
13	5,3	24,7	5,31	-0,01	0,00006
?	51,1	279,5	51,10	0,00	0,05
						X0	(x0-)2
14		25,5	5,65		25,5	16
15		26	5,87		26	20,25
16		26,5	6,08		26,5	25
17		27	6,30		27	30,25
18		28	6,73		28	42,25

0,1

0,1695

=0,1749

=0,1807

=0,1869

=0,2003

Доверительный интервал:

16=5,650,1695 млн.усл.ед.

17=5,870,1749 млн.усл.ед.

18=6,080,1807 млн.усл.ед.

19=6,300,1869 млн.усл.ед.

20=6,730,2003 млн.усл.ед.

7. Корреляционное поле и график зависимости y=a+bx для базисного и прогнозируемого периодов.

Вывод

Таким образом было проведено прогнозирование объема производства на пять лет на основе корреляционно-регрессионной модели. В результате мы выяснили, что: корреляционный фактор аргумент регрессия

· в 16 году объем производства составит =5,650,1695 млн.усл.ед., при производительности труда, равной 25,5 тыс.усл.ед.;

· в 17 году: 5,870,1749 млн.усл.ед. при производительности труда, равной 26, 0 тыс.усл.ед.;

· в 18 году: 6,080,1807 млн.усл.ед. при производительности труда, равной 26,5 тыс.усл.ед.;

· в 19 году: 6,300,1869 млн.усл.ед. при производительности труда, равной 27,0 тыс.усл.ед.;

· в 20 году: 6,730,2003 млн.усл.ед. при производительности труда, равной 28,0 тыс.усл.ед.;

К концу прогнозируемого периода не будет достигнуто увеличение объема производства на 30% по сравнению с последним годом базисного периода. Увеличение составит 27%.

Размещено на Allbest.ru

...