Ефективна ставка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ефективна ставка



Визначення терміна «ефективна ставка» почнемо з розв'язання задачі в прикладі 1. ставка дисконтування процентний

Приклад 1

Задача

Банк надав клієнту кредит 100 000 грн на 4 роки. За умовами кредитного договору проценти нараховуються щоквартально, механізм нарахування процентів складний, ставка - 40 %, що є номінальною, тобто річною. Повернення суми кредиту і нарахованих на неї процентів - укінці строку. Знайти суму повернення.

Розв'язання.

За формулою розрахунок має вигляд

Відповідь: сума повернення дорівнює 459497 грн.

Поставимо таке запитання.

А якою б повинна бути в попередній задачі річна ставка, якби нарахування процентів було річним, а не щоквартальним, а сума повернення залишилася б без змін, FV = 459497 грн?

Розрахунок такої ставки стає можливим при розв'язуванні рівняння

з якого тобто

Така річна ставка має назву «ефективна ставка».

Ефективна ставка (effective rate) - це така річна ставка при річному нарахуванні процентів, що дає той самий результат при іншій ставці (теж річній, яка називається номінальною), але при інших періодах нарахування процентів, відмінних від річного нарахування процентів.

У задачі прикладу 1 при складному щоквартальному нарахуванні процентів за ставкою 40 % маємо результат FV = 459497 грн. Такий самий результат одержуємо при складному щорічному нарахуванні процентів за ставкою 46,41 %. Ставка 46,41 % є ефективною ставкою стосовно ставки 40 %, яка є номінальною, і обидві ставки - річні. Іноді ефективну ставку називають дійсною. Можемо дати інший варіант визначення ефективної ставки.

Ефективна ставка (дійсна ставка) дає відносний розмір доходу, який одержуємо в цілому за 1 рік при річному нарахуванні процентів.

Позначимо ефективну ставку (наприклад, процентну) так: , або (від англ. effective rate).

Повертаючись до визначення ефективної ставки, бачимо, що є два варіанти «…при інших періодах нарахування процентів, відмінних від річного нарахування процентів».

Перший варіант. Нарахування процентів декілька разів на (за) рік:

- два рази на рік, або за півріччями;

- чотири рази на рік, або щоквартальне;

- дванадцять разів на рік, або щомісячне;

- 365 разів на рік, або щоденне;

- інша кількість періодів нарахування, що менші від 1 року.

Застосовуємо, як це вже використовувалося раніше (див. формули 6.1, 6.2), позначки m - кількість нарахувань упродовж 1 року та N - кількість років фінансової операції. Тоді при піврічному нарахуванні процентів m = 2, при щоквартальному нарахуванні процентів m = 4, при щомісячному нарахуванні процентів m = 12 і надалі - подібне чисельне визначення m.

Другий варіант. Період нарахування процентів довший за 1 рік. Іншими словами, нарахування процентів менше одного разу на (за) рік:

- один раз за два роки, m = 1/2;

- один раз за три роки, m = 1/3;

- один раз за півтора роки, m = 1/1,5 = 0,6(6);

Використовуючи показники m та N при записі основних чотирьох формул (2.2), (2.10), (4.1), (4.5) (див. початок розділу 6), одержуємо їх модифікації, в яких ставки процента є номінальними за визначенням, - це формули (1), (6.2), (2), (6.4):

1) формула простого нарахування процентів із використанням процентної ставки (основна формула 2.2):

або (1)

2) формула складного нарахування процентів із використанням процентної ставки (основна формула 2.10):

(6.2)

3) формула простого дисконтування з використанням облікової ставки (основна формула 4.1):

або (2)

4) формула складного дисконтування з використанням облікової ставки (основна формула 4.5):

(6.4)

Характеризуючи формули (1) та (2), необхідно зазначити, що використання номінальних ставок із введенням показників m та N не змінює характеристик цих формул, як не змінює і самих формул. Показник m у формулах (1) та (2) не застосовується, якщо у ці формули строк «підставляти» в роках (N - кількість років).

Щодо показника m у формулах складного нарахування процентів (6.2), (6.4), то формули «правильно спрацьовують» як при m > 1 (перший варіант - нарахування процентів декілька разів за 1 рік), так і при m < 1 (другий варіант - період нарахування процентів довший за 1 рік). При складному нарахуванні процентів для варіантів m > 1 та m < 1 формули одні й ті самі - (6.2), (6.4).

З іншого боку, використовуючи показники ефективних ставок () та показник N при записі основних чотирьох формул (2.2), (2.10), (4.1), (4.5) (див. початок розділу 6), одержуємо їх модифікації, в яких ставки процента є ефективними за визначенням, - це формули (3), (4), (5), (6):

1) формула простого нарахування процентів із використанням процентної ставки (основна формула 2.2):

(3)

2) формула складного нарахування процентів із використанням процентної ставки (основна формула 2.10):

(4)

3) формула простого дисконтування з використанням облікової ставки (основна формула 4.1):

(5)



4) формула складного дисконтування з використанням облікової ставки (основна формула 4.5):

(6)

При використанні номінальної ставки з m-разовим нарахуванням процентів за 1 рік фактичний результат фінансової операції більший від річного нарахування процентів за тією ж номінальною ставкою.

Розрахунок ефективної ставки ставить за мету визначення такої або , щоб за її використання отримувати такий самий фінансовий результат, як і за m-разового нарахування процентів за 1 рік за ставкою i / m.

Отримання одного й того самого фінансового результату (FV = const), (PV = const) при одному й тому самому N можливе за умови рівності множників наро-щення для різних ставок процента і з отриманої рівності знаходження потрібного показника. Для одержання формул розрахунку ефективної ставки запишемо чотири множники формул (3), (4), (5), (6) і чотири множ-ники формул (1), (6.2), (2), (6.4) у вигляді так званих квадратів ставок ефективності (рис. 1). На рисунку 1 усі множники записані виходячи з вигляду всіх формул FV = PV· k, де k - множник нарощення, або дисконтування.

Квадрат множників ефективних ставок

Квадрат множників номінальних ставок



де «і» - процентна ставка; «d» - облікова ставка, нижній індекс «s» означає, що ставки «і» та «d» прості (від англ. simpl), індекс «с» означає, що ставки «і» та «d» складні (від англ. compound), верхній індекс «ef» показує, що ставка ефективна (від англ. effective rate))

Квадрати ставок ефективності дають можливість самостійно за допомогою звичайних алгебраїчних перетворень виводити формули розрахунку ефективних ставок. «Працюють» квадрати ставок ефективності таким чином. Треба взяти один із множників, що подані в квадраті множників ефективних ставок, і прирівняти до окремих рівняннь до кожного множника, що представлені у квадраті множників номінальних ставок. Потім кожне рівняння розв'язати відносно ставки ефективності. Очевидно, що таких формул розрахунку ефективних ставок за співвідношенням до номінальних повинно бути шістнадцять.

1 Ефективну просту процентну ставку і, що відповідає номінальній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=

і= . (7)

2 Ефективну просту процентну ставку що відповідає номінальній складній процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників



=:

(8)

3 Ефективну просту процентну ставку , що відповідає номінальній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

= (9)

4 Ефективну просту процентну ставку що відповідає номінальній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(10)

5 Ефективну складну процентну ставку і, що відповідає номінальній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=

(11)

6 Ефективну складну процентну ставку і, що відповідає номінальній складній процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(12)

7 Ефективну складну процентну ставку і, що відповідає номінальній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(13)

8 Ефективну складну процентну ставку і, що відповідає номінальній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(14)

Ефективну просту облікову ставку , що відповідає номінальній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

= (15)

10. Ефективну просту облікову ставку , що відповідає номінальній складній процентній ставці , знаходимо з дорівнювання множників

=:

(16)

11. Ефективну просту облікову ставку , що відповідає номінальній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

=. (17)

12. Ефективну просту облікову ставку , що відповідає номінальній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(18)

13. Ефективну складну облікову ставку , що відповідає номінальній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(19)

14. Ефективну складну облікову ставку , що відповідає номінальній складній процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(20)

15. Ефективну складну облікову ставку , що відповідає номінальній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=: (21)

16. Ефективну складну облікову ставку , що відповідає номінальній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(22)

Розуміння ролі показника - ефективна ставка - досить важливе для фінансового аналізу. Справа у тому, що прийняття рішення про залучення коштів, наприклад банківської позики на тих або інших умовах, здійснюється частіше за все, виходячи з прийнятності ставки, що пропонується, яка в цьому випадку характеризує витрати позичальника. У рекламних оголошеннях ненавмисне або навмисне увагу на типі ставки зазвичай не акцентують, хоча в переважній кількості випадків мова йде про номінальну ставку, яка може дуже суттєво відрізнятися від ефективної ставки.

У фінансових операціях на практиці не має значення, яку зі ставок зазначити - ефективну чи номінальну, якщо вони еквівалентні, тобто забезпечують одну й ту саму нарощену суму. У США в практичних розрахунках застосовують номінальну ставку (і, отже, використовують як основну формулу (6.2):

)

В європейських країнах , як правило, спочатку визначаються з ефективною ставкою і потім як основну використовують формулу (4):

Результат розрахунку ефективних ставок може використовуватись як критерій ефективності, як критерій для порівнянь з метою вибору кращого варіанта. Можливе застосування - приклад 2.

Приклад 2

Задача

Підприємець може одержати позику: а) або на умовах щомісячного нарахування процентів за ставкою 26 % річних; б) або на умовах піврічного нарахування процентів за ставкою 27 % річних. Якому варіанту віддати перевагу.

Розв'язання

Витрати підприємця на обслуговування позики (процент за позику) можуть бути визначеними за допомогою розрахунку ефективної процентної ставки: чим вона вища, тим більший рівень витрат.

За формулою (12):

- варіант а)

= 0,2933;

- варіант б)

= 0,2882.

Таким чином, варіант б) є більш прийнятним для підприємця.

За допомогою квадратів ставок ефективності (рис. 1) можливе вирішення оберненої задачі: розрахунок номінальної ставки з m-разовим нарахуванням процентів, якщо наперед відома ефективна ставка.

Треба взяти один із множників, що подано в квадраті множників номінальних ставок, і прирівняти до окремих рівнянь до кожного множника, що подані у квадраті множників ефективних ставок. Потім кожне рівняння розв'язати відносно номінальної ставки. Очевидно, що також таких формул розрахунку номінальних ставок за співвідношенням до ефективних повинно бути шістнадцять, але дві з них уже відомі, це формули (7), (17). Інші чотирнадцять формул одержуємо з нескладних перетворень, описаних на початку цього абзацу.

1. Номінальну складну процентну ставку , що відповідає ефективній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників



=:

(23)

2. Номінальну просту облікову ставку , що відповідає ефективній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

= (24)

3. Номінальну складну облікову ставку , що відповідає ефективній простій процентній ставці , знаходимо з прирівнювання множників

= :

(25)

4. Номінальну просту процентну ставку , що відповідає ефективній складній процентній ставці і, знаходимо з прирівнювання множників

=:

(26)



5. Номінальну складну процентну ставку , що відповідає ефективній складній процентній ставці і, знаходимо з прирівнювання множників

=:

(27)

6. Номінальну просту облікову ставку , що відповідає ефективній складній процентній ставці і, знаходимо з прирівнювання множників

=:

(28)

7. Номінальну складну облікову ставку , що відповідає ефективній складній процентній ставці і, знаходимо з прирівнювання множників

=:

(29)

8. Номінальну просту процентну ставку , що відповідає ефективній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників



=:

= (30)

9 Номінальну складну процентну ставку , що відповідає ефективній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(31)

10 Номінальну складну облікову ставку , що відповідає ефективній простій обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(32)

11 Номінальну просту процентну ставку , що відповідає ефективній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(33)

12 Номінальну складну процентну ставку , що відповідає ефективній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(34)

13 Номінальну просту облікову ставку , що відповідає ефективній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(35)

14 Номінальну складну облікову ставку , що відповідає ефективній складній обліковій ставці , знаходимо з прирівнювання множників

=:

(36)

Цікавим є ще один момент еквівалентності номінальних ставок. Якщо дві номінальні (річні) ставки процента визначаються через одну й ту саму ефективну ставку, то вони є еквівалентними. З цього визначення випливає, що еквівалентні, наприклад, складні процентні ставки та задовольняють рівняння, (див. (12)):

, (37)

з якого виникає рівняння еквівалентності ставок при різних m-разових нарахуваннях процентів за рік, але обов'язково за умови рівності строків Т, або, що одне й те саме, за умови рівності N. Отже, еквівалентна заміна номінальної ставки має місце в тому випадку, коли виконується рівняння

(38)

Якщо у рівнянні (38) m має лише цілі значення, то можемо одержати дві формули еквівалентності:

(39)

(40)

Приклад 3

Задача 1

Розрахувати розміри номінальних складних процентних ставок, що використовуються при нарахуванні за півріччями та щоквартально, якщо ефективна складна процентна ставка, що їм відповідає, дорівнює 30 %.

Розв'язання

Використовуючи (27), одержуємо:

- при піврічному нарахуванні процентів

= 0,28035;

- при квартальному нарахуванні процентів

= 0,27116,

таким чином, номінальні ставки 28,035 % та 27,116 % є такими, що відповідають ефективній ставці 30%.

Задача 2

Знайти номінальну складну процентну ставку, що використовується при піврічному нарахуванні процентів, яка була б еквівалентна номінальній складній процентній ставці, що здійснює нарощення при квартальному нарахуванні процентів та дорівнює 27,116 % .

Розв'язання

Розрахунок проведемо за допомогою формули (39) де за умовами задачі: - ?, = 2, = 27,116 %, = 4:

= 0,28035.

Номінальна складна процентна ставка = 28,035 % є еквівалентною ставці = 27,116 % за умов задачі 2.

Задача 3

Знайти номінальну складну процентну ставку, що використовується при квартальному нарахуванні процентів, яка була б еквівалентна номінальній складній процентній ставці, що здійснює нарощення при піврічному нарахуванні процентів та дорівнює 28,035 % .

Розв'язання

Розрахунок проведемо за допомогою формули (39), де за умовами задачі: - ?, = 4, = 28,035 %, = 2:

= 0,27116.

Номінальна складна процентна ставка =27,116 % є еквівалентною ставці = 28,035 % за умов задачі 3.

Розв'язання задачі 2 та задачі 3 можливе і за (40).



Список літератури

1. Бакаєв Л. О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями : навч. посіб. / Л. О. Бакаєв. - К. : КНЕУ, 2000. - 151 с.

2. Бланк И. А. Основы финансового менеджмента : в 2 т. / И. А. Бланк. - 3-е изд. - К. : Эльга; Ника-Центр, 2007. - Т. 1.- 624 с.

3. Гриценко Олена. Гроші та грошово-кредитна політика : навч. посіб. / Олена Гриценко. - К. : Основи, 1997. - 180 с.

4. Гроші та кредит : навч. посіб. / С. Б. Ільїна, В. П. Шило, В. І. Кисла, Н. І. Шрамкова. - К. : «ВД «Професіонал», 2007. - 368 с.

5. Гроші та кредит : підручник / М. І. Савлук, А. М. Мороз, І. М. Лазепко та ін. ; за заг. ред. М. І. Савлука. - 4-те вид., перероб. і доп. - К. : КНЕУ, 2006. - 744 с.

6. Долінський Л. Б. Фінансові обчислення та аналіз цінних паперів : навч. посіб. / Л. Б. Долінський. - К. : Майстер-клас, 2005. - 192 с.

7. Ковалёв В. В. Курс финансовых вичислений / В. В. Ковалёв, В. А. Уланов. - М. : Финансы и статистика, 1999. - 328 с.

8. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В. В. Кутуков. - М. : Дело, 1998. - 304 с.

9. Машина Н. І. Вищі фінансові обчислення : навч. посіб. / Н. І. Машина. - К. : Центр навчальної літератури, 2003. - 208 с.

10. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики : учеб. пособие / Г. А. Медведев. - М. : ТОО «Острожье», 2000. - 267 с.

11. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. - М. : ИНФРА-М, 2002. - 383 с.

12. Михайловська І. М. Гроші та кредит: практикум : навч. посіб. / І. М. Михайловська, К. Л. Ларіонова. - Львів : Новий Світ - 2000, 2008. - 312 с.

13. Семко Т. В. Гроші та кредит у схемах і таблицях : навч. посіб. / Т. В. Семко, М. В. Руденко. - К. : Центр навчальної літератури, 2006. - 158 с.

14. Словник іншомовних слів / за ред. О. С. Мельничука. - К. : АН УССР, 1974. - 775 с.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика : учеб. / Е. М. Четыркин. - М. : Дело, 2000. - 400 с.

Размещено на Allbest.ru

...